浙教版八年级上册3.3一元一次不等式及其解法课堂

3.3一元一次不等式及其解法讲解目录讲解目录TOC\o"13"\h\u【知识点1】由实际问题抽象出一元一次不等式 1【知识点2】一元一次不等式的整数解 2【知识点3】一元一次不等式的定义 3【知识点4】一元一次不等式的应用 4【知识点5】解一元一次不等式 6【题型1】在数轴上表示一元一次不等式的解集 7【题型2】根据一元一次不等式概念求字母的值 10【题型3】一元一次不等式的整数解 11【题型4】根据在数轴上表示的解写出不等式的解集 12【题型5】一元一次不等式与新定义型问题 14【题型6】根据一元一次不等式的解求字母的取值范围或值 17【题型7】根据“五步法”解一元一次不等式 19【题型8】根据实际问题抽象出一元一次不等式 21【题型9】判断是否为一元一次不等式 22【题型10】一元一次不等式的解 24【题型11】一元一次不等式与方案问题 25【题型12】用一元一次不等式解决实际问题 29知识讲解知识讲解【知识点1】由实际问题抽象出一元一次不等式用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．1.（2025春•桥西区期末）语句“a的14与b的3倍的差的平方是一个非负数”A．（B．1C．3（D．1【答案】A【分析】根据“a的14与b的3倍的差的平方是一个非负数”【解答】解：根据题意得：（14a3b）2≥0故选：A．2.（2025春•泗阳县期末）某动车组列车速度v（km/h）最高可达400km/h,用不等式表示其数量关系是（）A．v＞400B．v≥400C．v≤400D．v＜400【答案】C【分析】根据最高即“≤”求解可得．【解答】解：v≤400．故选：C．【知识点2】一元一次不等式的整数解解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．1.（2022春•米东区校级期末）不等式3x+6≥4x的正整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．【解答】解：不等式的解集是x≤1，故不等式3x+6≥4x的正整数解为1，共1个．故选：A．2.（2023春•天峨县期末）已知不等式2xa≤0的正整数解恰好是1，2，3，4，5，那么a的取值范围是（）A．a＞10B．10≤a≤12C．10＜a≤12D．10≤a＜12【答案】D【分析】先求出不等式的解集，再根据正整数解恰好是1，2，3，4，5，逆推a的取值范围．【解答】解：解不等式2xa≤0得：x≤12根据题意得：5≤12a＜6解得：10≤a＜12．故选：D．3.（2024•金凤区校级三模）不等式2x3a≤2a的正整数解为1和2，则a的取值范围是（）A．4≤a≤6B．4＜a＜6C．4＜a≤6D．4≤a＜6【答案】D【分析】求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【解答】解：解不等式2x3a≤2a,得：x≤1∵不等式组整数解为1和2，则2≤1∴4≤a＜6，故选：D．【知识点3】一元一次不等式的定义（1）一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．（2）概念解析一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．1.（2024春•南岗区校级月考）下列各式中，是一元一次不等式的是（）A．5+4x＞8B．2x1C．2≤5D．1【答案】A【分析】根据一元一次不等式的定义逐项分析即可．【解答】解：A．5+4x＞8是一元一次不等式，故符合题意；B．2x1不含不等号，不是一元一次不等式，故不符合题意；C．2≤5不含未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意；D．1x故选：A．2.（2025春•肥西县期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（）A．x3B．x1=2C．x+y＞1D．x3＞5【答案】D【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此逐项判断即可．【解答】解：x3是代数式，则A不符合题意，x1=2是等式，则B不符合题意，x+y＞1中含有两个未知数，则C不符合题意，x3＞5符合一元一次不等式的定义，则D符合题意，故选：D．【知识点4】一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．1.（2024春•长汀县期末）某种商品的进价为200元，出售标价为300元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则最多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折【答案】C【分析】先设出可以打x折，得出售价是300×x10元，利润是（300×x10200）元，再根据利润率不低于20%，即利润要大于或等于200×20%元，列出不等式，解出【解答】解：设可以打x折，根据题意得：则300×x10200≥200×20%解得x≥8，则最多可打8折．故选：C．2.（2023春•横县期末）某工人计划在15天内加工408个零件，最初三天中每天加工24个零件，要想在规定时间内超额完成任务，若设从第4天开始每天至少加工x个零件，依题意可列出式子为（）A．24×3+（153）x=408B．24×3+（153）x＞408C．24×3+（153）x≥408D．24×3+（153）x＜408【答案】B【分析】利用工作总量=工作效率×工作时间，结合要在规定时间内超额完成任务，即可列出关于x的一元一次不等式，此题得解．【解答】解：根据题意得：24×3+（153）x＞408．故选：B．3.（2023春•城关区校级期中）静怡准备用70元在文具店买A，B两种笔记本共7本，A种笔记本每本10元，B种笔记本每本8元，如果至少要买4本A种笔记本，请问静怡购买的方案有（）A．2种B．3种C．4种D．5种【答案】B【分析】设静怡准备买A种笔记本x本，则购买B种笔记本（7x）本，根据题意建立不等式即可求解．【解答】解：设静怡准备买A种笔记本x本，则购买B种笔记本（7x）本，根据题意可知，10x+8（7x）≤70，7x＞0，解得，x＜7，∵x≥4，∴4≤x＜7，∴x可取4，5，6，∴共三有种方案．故选：B．【知识点5】解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．1.（2025春•肇庆期末）不等式4x7≥5的解集是（）A．x≤3B．x≥3C．x≥3D．x≤3【答案】C【分析】解一元一次不等式，通过移项、合并和系数化为1求解即可．【解答】解：原不等式

移项，得

4x≥5+7，即

4x≥12，系数化为1，得

x≥3，故选：C．2.（2025春•商河县期末）不等式3x+1≥2x+2的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】依次移项、合并即可得出答案．【解答】解：∵3x+1≥2x+2，∴3x2x≥21，则x≥1，故选：D．3.（2025春•闵行区校级月考）以下关于不等式x1＜0的判断错误的是（）A．0是这个不等式的解B．x＞1是这个不等式的解集C．大于1的数都是这个不等式的解D．小于1的数都不是这个不等式的解．【答案】D【分析】首先求出不等式的解集，然后逐项判断即可．【解答】解：由x1＜0可得x＞1，∴0是这个不等式的解，故选项A正确，不符合题意；x＞1是这个不等式的解集，故选项B正确，不符合题意；大于1的数都是这个不等式的解，故选项C正确，不符合题意；小于1的数中有这个不等式的解，故选项D错误，符合题意．故选：D．题型专练题型专练【题型1】在数轴上表示一元一次不等式的解集【典型例题】不等式﹣1﹣3x≤2的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】﹣1﹣3x≤2，﹣3x≤2+1，﹣3x≤3，x≥﹣1，在数轴上表示为：．故选：C．【举一反三1】不等式2x﹣1＜﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】移项，得2x＜﹣3+1，合并同类项，得2x＜﹣2，x的系数化为1，得x＜﹣1．在数轴上表示为：．故选：D．【举一反三2】不等式﹣1﹣3x≤2的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】﹣1﹣3x≤2，﹣3x≤2+1，﹣3x≤3，x≥﹣1，在数轴上表示为：．故选：C．【举一反三3】不等式x﹣1≤2的解集表示在数轴上正确的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】x﹣1≤2，x≤3，在数轴上表示为：故选：A．【举一反三4】解不等式，并把解在数轴上表示出来．【答案】解：，3（﹣3+x）≤2（2x﹣4），﹣9+3x≤4x﹣8，3x﹣4x≤9﹣8，﹣x≤1，x≥﹣1．将不等式的解集表示在数轴上如下：【举一反三5】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】解：，去分母：2（2x+5）＜x+1+6，去括号：4x+10＜x+1+6，移项：4x﹣x＜1+6﹣10，合并同类项：3x＜﹣3，化系数为1：x＜﹣1，不等式的解集在数轴上表示如图所示：【题型2】根据一元一次不等式概念求字母的值【典型例题】已知（a﹣1）x|a|+m＞0是关于x的一元一次不等式，则a的值为．【答案】﹣1【解析】由题意得：|a|＝1且a﹣1≠0，∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．【举一反三1】已知（a﹣4）x|3﹣a|+1＞0是关于x的一元一次不等式，则a＝

．【答案】2【解析】∵（a﹣4）x|3﹣a|+1＞0是关于x的一元一次不等式，∴a﹣4≠0且|3﹣a|＝1，解得a＝2．故答案为：2．【举一反三2】已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式，求k的值以及不等式的解集．【答案】解：∵（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式，∴k+3≠0且|k|﹣2＝1，解得k＝3，则不等式为6x+5＜3﹣4，解得x＜﹣1．【举一反三3】已知（b+2）xb+1＜﹣3是关于x的一元一次不等式，试求b的值，并解这个一元一次不等式．【答案】解：∵（b+2）xb+1＜﹣3是关于x的一元一次不等式，∴b+1＝1，则b＝0，∴2x＜﹣3，解得x＜﹣1.5．【题型3】一元一次不等式的整数解【典型例题】若代数式2x+1的值不大于3x﹣4的值，则x的最小整数值是（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】∵代数式2x+1的值不大于3x﹣4的值，∴2x+1≤3x﹣4，解得：x≥5，∴x的最小整数值是5，故选：A．【举一反三1】已知不等式2x+a＜x+4的正整数解有2个，则a的取值范围是（）A.1＜a＜2B.1＜a≤2C.1≤a≤2D.1≤a＜2【答案】D【解析】解不等式2x+a＜x+4得，x＜﹣a+4．因为此不等式的正整数解有2个，所以2＜﹣a+4≤3，解得1≤a＜2．故选：D．【举一反三2】不等式5﹣x＞2（x﹣1）的正整数解为

．【答案】1，2【解析】∵5﹣x＞2（x﹣1），∴x，∴正整数解有：1，2．故答案为：1，2．【举一反三3】求不等式的非负整数解．【答案】解：，去分母得：5x﹣1＜3（x+1），去括号得：5x﹣1＜3x+3，移项、合并同类项得：2x＜4，解得：x＜2，故不等式的非负整数解为0，1．【举一反三4】解不等式10﹣4（x﹣3）≥2（x﹣1），在数轴上表示它的解集，并写出它的非负整数解．【答案】解：10﹣4（x﹣3）≥2（x﹣1）去括号，得10﹣4x+12≥2x﹣2，移项，得﹣4x﹣2x≥﹣2﹣10﹣12，合并同类项，得﹣6x≥﹣24，系数化为1，得x≤4．这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：∴它的非负整数解为0，1，2，3，4．【题型4】根据在数轴上表示的解写出不等式的解集【典型例题】一个不等式的解在数轴上如图所示，则这个不等式为（）A.3﹣5x＜3x﹣5B.6x+4＞﹣2C.﹣7x+6≥7+3xD.﹣3x+4≥3﹣4x【答案】B【解析】A、解得x＞1，不符合题意；B、解得x＞﹣1，符合题意；C、解得，不符合题意；D、解得x≥﹣1，不符合题意；故选：B．【举一反三1】一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（）A.x+2≥0B.x﹣2≤0C.2x≥4D.2﹣x≤0【答案】B【解析】由图可知，不等式的解集为x≤2，A、不等式x+2≥0的解集为x≥﹣2，不符合题意；B、不等式x﹣2≤0的解集为x≤2，符合题意；C、不等式2x≥4的解集为x≥2，不符合题意；D、不等式2﹣x≤0的解集为x≥2，不符合题意．故选：B．【举一反三2】已知一个不等式的解集在数轴上如图所示，则这个不等式是（）A.2x+3≥﹣5B.3﹣4x＞10C.0D.1﹣3x＜2x+8【答案】A【解析】根据数轴可知不等式的解集为x≥﹣4，A．2x+3≥﹣5的解集为x≥﹣4，与数轴表示的解集相符，此选项符合题意；B．3﹣4x＞10的解集为x，与数轴表示的解集不符，此选项不符合题意；C．0的解集为x，与数轴表示的解集不符，此选项不符合题意；D．1﹣3x＜2x+8的解集为x，与数轴表示的解集不符，此选项不符合题意；故选：A．【举一反三3】若一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式应是下列中的（）A.x﹣1＜0B.x﹣1≤0C.x﹣1＞0D.x﹣1≥0【答案】B【解析】A、x＜1，故A不符合题意；B、x≤1，故B正确；C、x＞1，故C错误；D、x≥1，故D错误．故选：B．【题型5】一元一次不等式与新定义型问题【典型例题】我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a*b＝﹣4a﹣3b．例如：5*6＝﹣4×5﹣3×6，若m满足m*（﹣2）＜0，则m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵m*（﹣2）＜0，∴﹣4m﹣3×（﹣2）＜0，则﹣4m＜﹣6，∴m．故选：D．【举一反三1】在R上定义运算：a⊕b＝（a+1）b，当1≤x≤2时，存在x使不等式2⊕mx＜4成立，则实数m的取值范围为（）A.B.C.m≤0D.【答案】D【解析】∵2⊕mx＜4，∴3mx＜4，∵当1≤x≤2时，存在x使不等式2⊕mx＜4成立，∴m，∴m，故选：D．【举一反三2】定义新运算“⊕”如下：当a＞b时，a⊕b＝ab+b；当a＜b时，a⊕b＝ab﹣b，若3⊕（x+2）＞0，则x的取值范围是（）A.﹣1＜x＜1或x＜﹣2B.x＜﹣2或1＜x＜2C.﹣2＜x＜1或x＞1D.x＜﹣2或x＞2【答案】C【解析】当3＞x+2，即x＜1时，∵3⊕（x+2）＞0，∴3（x+2）+（x+2）＞0，∴3x+6+x+2＞0，∴x＞﹣2，∴﹣2＜x＜1；当3＜x+2，即x＞1时，∵3⊕（x+2）＞0，∴3（x+2）﹣（x+2）＞0，∴2x+4＞0，∴x＞﹣2，∴x＞1；综上所述，﹣2＜x＜1或x＞1，故选：C．【举一反三3】定义新运算：对于任意实数a，b均有a※b＝a（a﹣b）+1，则不等式4※x≥1的解集为

．【答案】x≤4【解析】原不等式可变形为4（4﹣x）+1≥1，16﹣4x+1≥1，﹣4x≥﹣16，x≤4，故答案为：x≤4．【举一反三4】定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式x⊗m＞3的解集为x＞﹣1，则m＝

．【答案】﹣2【解析】∵a⨂b＝a﹣2b，∴x⨂m＝x﹣2m．∵x⨂m＞3，∴x﹣2m＞3，∴x＞2m+3．∵关于x的不等式x⨂m＞3的解集为x＞﹣1，∴2m+3＝﹣1，∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．【举一反三5】定义：对于任意实数a，b，关于☆的一种运算如下a☆b＝b﹣2a，例如5☆3﹣10＝﹣7，（﹣3）☆5＝5﹣（﹣6）＝11．（1）若2☆x＜5，求x的取值范围；（2）已知关于x的方程2（2x﹣1）＝x+7的解满足m☆x＜5，求m的取值范围．【答案】解：（1）∵2☆x＜5，∴x﹣2×2＜5，∴x＜9；（2）2（2x﹣1）＝x+7，解得x＝3，∵m☆x＜5，∴m☆3＜5，∴3﹣2m＜5，∴m＞﹣1．【举一反三6】定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝2b﹣a．例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※2＝2×2﹣（﹣6）＝10．（1）填空：2※（﹣3）＝

；（2）若x是一个负数，且满足（2x﹣3）※（1﹣3x）＜7，求x的取值范围．【答案】解：（1）2※（﹣3）＝2×2+（﹣3）＝4﹣3＝1；故答案为：1；（2）∵x＜0，∴2x﹣3＜0，1﹣3x＞0，则2x﹣3＜1﹣3x，由（2x﹣3）※（1﹣3x）＜7得2（1﹣3x）﹣（2x﹣3）＜7，则2﹣6x﹣2x+3＜7，﹣6x﹣2x＜7﹣2﹣3，﹣8x＜2，∴x．∴x＜0．【题型6】根据一元一次不等式的解求字母的取值范围或值【典型例题】已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（）A.a＜1B.a＞1C.a＜0D.a＞0【答案】A【解析】∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，∴a﹣1＜0，∴a＜1，故选：A．【举一反三1】已知关于x的不等式2x﹣a＞﹣3的解在数轴上表示如图，则a的值为（）A.2B.﹣1C.0D.1【答案】B【解析】∵2x﹣a＞﹣3的解集在数轴上为：x＞﹣2，则2x＞a﹣3，即x，故2，解得：a＝﹣1．故选：B．【举一反三2】已知关于x的不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集为x＞1，则a的取值范围是（）A.a＜0B.a＜5C.a＜﹣5D.a＞5【答案】B【解析】∵关于x的不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集为x＞1，∴a﹣5＜0，解得a＜5，故选：B．【举一反三3】已知关于x的不等式（a﹣3）x＞（a﹣3）的解是x＜1．则a的取值范围是

．【答案】a＜3【解析】∵不等式（a﹣3）x＞（a﹣3）的解集为x＜1，∴a﹣3＜0，解得a＜3．故答案为：a＜3．【举一反三4】已知关于x的不等式2（a+1）x＞2x+（4a﹣3）．（1）当a＝﹣5时，求这个不等式的解集．（2）如果该不等式的解集为x，求a的取值范围．（3）如果x＝﹣2是该不等式的一个解，求a的取值范围．【答案】解：（1）把a＝﹣5代入2（a+1）x＞2x+（4a﹣3）得：﹣8x＞2x﹣23，﹣8x﹣2x＞﹣23，﹣10x＞﹣23，x＜2.3；（2）2（a+1）x＞2x+（4a﹣3），2（a+1）x﹣2x＞4a﹣3，2ax＞4a﹣3，∵不等式的解集为x，∴2a＜0，即a＜0，∴a的取值范围是a＜0；（3）∵x＝﹣2是该不等式的一个解，∴﹣4（a+1）＞﹣4+（4a﹣3），∴﹣4a﹣4＞﹣4+4a﹣3，∴﹣8a＞﹣3，∴a．【举一反三5】已知关于x的不等式a（x﹣1）＞x+1﹣2a的解集是x＜﹣1，求a的取值范围．【答案】解：整理得：（a﹣1）x＞1﹣2a+a，（a﹣1）x＞1﹣a，∵不等式解是x＜﹣1，∴a﹣1＜0，解得：a＜1．【题型7】根据“五步法”解一元一次不等式【典型例题】不等式x+2＞﹣1的解集为（）A.x＞﹣3B.x＞1C.x＜﹣3D.x＜1【答案】A【解析】x+2＞﹣1，解得：x＞﹣3，故选：A．【举一反三1】不等式﹣4x﹣1≥﹣2x+1的解集是（）A.x＞﹣1B.x≥﹣1C.x＜﹣1D.x≤﹣1【答案】D【解析】不等式﹣4x﹣1≥﹣2x+1，移项得：﹣4x+2x≥1+1，合并得：﹣2x≥2，解得：x≤﹣1，故选：D．【举一反三2】若，则（）A.x＞﹣3B.x＜﹣3C.x＞1D.【答案】A【解析】，移项，得：x＜2﹣1，合并同类项，得：x＜1，系数化为1，得：x＞﹣3，故选：A．【举一反三3】解不等式1+2（x﹣1）≤3，则x的解集是

．【答案】见试题解答内容【解析】1+2（x﹣1）≤3；去括号得：1+2x﹣2≤3，移项得：2x≤3﹣1+2，合并同类项得：2x≤4，两边同除以2得：x≤2．故答案为：x≤2．【举一反三4】不等式的解集是

．【答案】x＜1【解析】，去分母，得：x+1＞4x﹣2，移项及合并同类项，得：﹣3x＞﹣3，系数化为1，得：x＜1，故答案为：x＜1．【举一反三5】解不等式：（1）7x﹣1≤9x+5（2）【答案】（1）x≥﹣3；（2）x．【举一反三6】解不等式：．【答案】解：去分母得：x﹣5＞2（x﹣4），去括号得：x﹣5＞2x﹣8，移项得：x﹣2x＞﹣8+5，合并同类项得：﹣x＞﹣3，系数化为1得：x＜3，∴不等式的解集为：x＜3．【题型8】根据实际问题抽象出一元一次不等式【典型例题】北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x件，则能够得到的不等式是（）A.100x+80（10﹣x）＞900B.100x+80（10﹣x）＜900C.100x+80（10﹣x）≥900D.100x+80（10﹣x）≤900【答案】D【解析】设购买冰墩墩礼品x件，则购买雪容融礼品（10﹣x）件，根据题意，得：100x+80（10﹣x）≤900，故选：D．【举一反三1】小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（）A.52+15n＞70+12nB.52+15n＜70+12nC.52+12n＞70+15nD.52+12n＜70+15n【答案】A【解析】由题意可得：52+15n＞70+12n．故选：A．【举一反三2】学校准备购进两种型号的节能灯共50只，且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，设A型节能灯共购进x只，请你列出相应不等式

．【答案】x≤3（50﹣x）【解析】设A型节能灯共购进x只，则B型节能灯共购进（50﹣x）只，根据题意可得：x≤3（50﹣x）．故答案为：x≤3（50﹣x）．【举一反三3】一次知识竞赛共有10道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要不少于60分，设她答对了n道题．则根据题意可列不等式：

．【答案】解：∵一次知识竞赛共有10道题，娜娜答对了n道题，∴娜娜答错或不答（10﹣n）道题．根据题意得：10n﹣5（10﹣n）≥60．故答案为：10n﹣5（10﹣n）≥60．【题型9】判断是否为一元一次不等式【典型例题】下列是一元一次不等式的是（）A.2x＞1B.x﹣2＜y﹣2C.2＜3D.x2＜9【答案】A【解析】A、是一元一次不等式，故此选项符合题意；B、含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；C、不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；D、未知数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；故选：A．【举一反三1】下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A.x＞5﹣yB.2x﹣3＜0C.4＞2D.x＜x2【答案】B【解析】A、x＞5﹣y含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；B、2x﹣3＜0是一元一次不等式，符合题意；C、4＞2不含未知数，是不等关系，不是一元一次不等式，不符合题意；D、x＜x2未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，不符合题意；故选：B．【举一反三2】下列是一元一次不等式的有（）x＞0，1，2x＜﹣2+x，x+y＞﹣3，x＝﹣1，x2＞3，．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】是一元一次不等式的有：x＞0，2x＜﹣2+x共有2个．故选：B．【举一反三3】下列各式是一元一次不等式的有

（填序号）．①﹣2x＞5；②3x﹣4y≥0；③；④．【答案】①③【解析】①是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1，用不等号连接的整式，符合题意；②含有2个未知数，不符合题意；③是只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1，用不等号连接的整式，符合题意；④不是整式，不符合题意；∴一元一次不等式的有①③．【举一反三4】下列各式中，哪些是一元一次不等式？（1）﹣3＞﹣5；（2）x＞1；（3）2x+y≥6；（4）2﹣x＜3x+5；（5）3x+1＝0；（6）；（7）2x2+5＞7；（8）2a﹣7≤15；（9）1．【答案】解：一元一次不等式有：（2）x＞1；（4）2﹣x＜3x+5；（8）2a﹣7≤15；（9）1．【举一反三5】判断下列不等式是否为一元一次不等式：（1）2x+y⩾0；（2）3≤1；（3）（2x+1）＞n（x﹣2）；（4）1﹣3x＜4+7x．【答案】解：（1）不等式2x+y⩾0是二元一次不等式，不是一元一次不等式，（2）不等式3≤1不是一元一次不等式；（3）不等式（2x+1）＞n（x﹣2）是二元二次不等式，不是一元一次不等式；（4）不等式1﹣3x＜4+7x是一元一次不等式．【题型10】一元一次不等式的解【典型例题】如果x＝1.6是某不等式的解，那么该不等式可以是（）A.x＞3B.x＞2C.x＜1D.x＜2【答案】D【解析】∵1.6＜2，∴x＝1.6是不等式x＜2的解．故选：D．【举一反三1】下列各数中，是不等式x＞2的解的是（）A.﹣2B.2C.1D.3.5【答案】D【解析】在﹣2，2，1，3.5中，只有3.5＞2，故选：D．【举一反三2】构造一个一元一次不等式，使它的解集是，如

．【答案】3x﹣4≥0（不唯一）【解析】由不等式的两边同时乘以3，得3x≥4，不等式的两边同时减去4，得3x﹣4≥0，所以不等式3x﹣4≥0符合题意．故答案可以是：3x﹣4≥0．【举一反三3】不等式|x|＜1的解集是

．【答案】﹣1＜x＜1【解析】根据绝对值的几何意义可得：“|x|＜1”可理解为数x在数轴上对应的点到原点的距离小于1，不等式|x|＜1的解集是﹣1＜x＜1．故答案为：﹣1＜x＜1．【举一反三4】下列各数中，是不等式x+1＜4解的数有哪些？哪些不是不等式的解？8、7、5.5、4、2、1、0、2.5、﹣6．【答案】解：∵x+1＜4，∴x＜3．∴2、1、0、2.5、﹣6是不等式的解．8、7、5.5、4不是不等式的解．【举一反三5】判断下列说法是否正确，为什么？（1）x＝﹣1是不等式2x＜6的解；（2）x＝1不是不等式x﹣2＞0的解；（3）因为x＝1是不等式x﹣5＜0的一个解，所以该不等式的解为x＝1．【答案】解：（1）不等式2x＜6解集有x＜3，包括﹣1，故正确；（2）不等式x﹣2＞0的解集有x＞2，不包括1，故正确；（3）因为不等式x﹣5＜0的解是所有小于5的数，故错误．【题型11】一元一次不等式与方案问题【典型例题】联通公司推出两种手机收费方案．方案一：月租费36元，本地通话话费0.1元/分；方案二：不收月租费，本地通话费为0.6元/分．设小明的爸爸一个月通话时间为x分钟．小明爸爸一个月通话时间为多少时，选择方案一比方案二优惠？（）A.60分钟B.70分钟C.72分钟D.80分钟【答案】D【解析】∵方案一：月租费36元，本地通话话费0.1元/分；方案二：不收月租费，本地通话费为0.6元/分．设小明的爸爸一个月通话时间为x分钟．∴方案一：y＝36+0.1x，方案二：y＝0.6x，∴当方案一比方案二优惠，则36+0.1x＜0.6x，解得：x＞72，故选：D．【举一反三1】小明欲购买A，B两种型号的笔记本共10本（不可购买一种），要求其总价钱不超过60元，已知A型号的单价是5元，B种型号的单价是7元，则购买方案有（）A.3种B.4种C.5种D.6种【答案】C【解析】设购买A种型号的笔记本x本，则购买B种型号的笔记本（10﹣x）本，根据题意得5x+7（10﹣x）≤60，解得x≥5，而x＞1且10﹣x≥1，所以5≤x≤9，因为x为正整数，所以x＝5、6、7、8，9．故选：C．【举一反三2】某种毛巾的原零售价为每条6元，凡一次性购买两条以上（含两条），商家推出两种优惠方案：（1）两条按原价，其余按七折优惠；（2）全部按八折优惠．若在购买相同数量的毛巾的情况下，要使方案（1）比方案（2）合算，则最少要购买毛巾

条．【答案】7【解析】设购买毛巾x条，由题意得：6×2+6×0.7（x﹣2）＜6×0.8x解得x＞6．∵x为最小整数，∴x＝7，故答案为：7．【举一反三3】某电信公司提供的移动通信服务的收费标准有两种方案，如下表：（1）当通话时间为100分钟时，方案A的费用为

元；（2）当通话时间满足条件

分钟时，方案B比方案A更优惠．【答案】（1）30；（2）大于170【解析】（1）∵100＜120，∴当通话时间为100分钟时，方案A的费用为每月基本服务费30元．故答案为：30．（2）设每月通话时间为x分，当x＞120时，A方案的收费为30+0.4（x﹣120）＝0.4x﹣18，当x＞200时，B方案的收费为50+0.4（x﹣200）＝0.4x﹣30，当0＜x＜170时，A方案最优；当0.4x﹣18＝50，即x＝170分钟时，两个方案话费一样多；∵﹣18＞﹣30，∴0.4x﹣18＞0.4x﹣30，即当x＞170时，方案B比方案A更优惠．故答案为：大于170．【举一反三4】某公司有甲、乙两种型号的客车共20辆，它们的载客量、每天的租金如表所示．已知在这20辆客车都坐满的情况下，共载客720人．（1）求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？（2）某中学计划租用甲、乙两种型号的客车共10辆，接送七年级的师生到基地参加暑期社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过5600元．①至少要租用多少辆甲型客车？②若七年级的师生共有370人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．【答案】解：（1）设甲型客车有x辆，乙型客车有y辆，根据题意得：，解得：．答：甲型客车有12辆，乙型客车有8辆；（2）①设租用m辆甲型客车，则租用（10﹣m）辆乙型客车，根据题意得：450m+600（10﹣m）≤5600，解得：m≥，又∵m为正整数，∴m的最小值为3．答：至少要租用3辆甲型客车；②根据题意得：30m+45（10﹣m）≥370，解得：m≤，又∵m≥，且m为正整数，∴m可以为3，4，5，∴共有3种租车方案，方案1：租用3辆甲型客车，7辆乙型客车；方案2：租用4辆甲型客车，6辆乙型客车；方案3：租用5辆甲型客车，5辆乙型客车．选择方案1所需租金为450×3+600×7＝5550（元）；选择方案2所需租金为450×4+600×6＝5400（元）；选择方案3所需租金为450×5+600×5＝5250（元），∵5550＞5400＞5250，∴最省钱的租车方案为：租用5辆甲型客车，5辆乙型客车．【举一反三5】为了提高学生学习英语的兴趣，检测学生词汇掌握情况，万州区某中学举办了“英语词汇竞赛活动”，学校英语组准备给每个获奖学生颁发一种售价为30元/个的奖品．由于需要的奖品数量较多，商家给出两种优惠方案，方案一：所有奖品按售价打8折；方案二：免费赠送10个奖品，其余奖品按售价打9折．（1）负责购买奖品的老师发现，按方案一购买奖品比按方案二购买奖品可以节约30元钱，求需要购买多少个奖品？（2）购买的奖品数量在什么范围时，按方案一购买比按方案二购买要划算？【答案】解：（1）设需要购买m个奖品，由题意可得：30m×0.8+30＝30（m﹣10）×0.9，解得m＝100，答：需要购买100个奖品；（2）设购买奖品x个，由题意可得：30x×0.8＜30（x﹣10）×0.9，解得x＞90，答：当购买的奖品数量大于90时，按方案一购买比按方案二购买要划算．【题型12】用一元一次不等式解决实际问题【典型例题】某商店为了促销一种定价为4元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小颖有44元钱，那么她最多可以购买该商品（）A.10件B.11件C.12件D.13件【答案】C【解析】设小颖可以购买x件该商品，依题意得：4×5+4×0.8（x﹣5）≤44，解得：x，又∵x为正整数，∴x的最大值为12，∴小颖最多可以购买该商品12件．故选：C．【举一反三1】某批电子产品的进价为200元/件，售