4.3一次函数的图象（第2课时一次函数图象与性质）（教学设计）数学北师大版2024八年级上册

4.3.2一次函数的图象（第2课时）教学设计1.教学内容本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》八年级上册（以下统称“教材”）第四章“一次函数”4.3.2一次函数图象第2课时，主要内容包括：主要聚焦一次函数图象的深入探究.学生将进一步学习一次函数图象的特征，理解一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中k、b的值对图象的影响，掌握一次函数图象与坐标轴的交点坐标的确定方法，以及一次函数图象与正比例函数图象的关系．2.内容解析从知识体系来看，一次函数图象是在学生学习了函数概念、一次函数概念以及正比例函数图象的基础上进行的深入学习.它不仅是对一次函数知识的深化，也是后续学习一次函数性质、应用以及其他函数知识的重要基础.通过对一次函数图象的研究，能让学生从“形”的角度更直观地理解函数，体会数形结合思想，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力.在实际生活中，如行程问题、销售问题等，一次函数图象能帮助学生更清晰地分析数量关系，解决实际问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：一次函数图象与k、b值的关系，包括k对直线倾斜方向的影响，b对直线与y轴交点位置的影响；一次函数图象与正比例函数图象的关系，以及一次函数图象的平移规律；一次函数图象与坐标轴交点坐标的确定方法.1.教学目标（1）能准确画出一次函数的图象，理解一次函数图象是一条直线，并能熟练确定直线与坐标轴的交点坐标.（2）理解一次函数y=kx+b中k、b的值对图象的影响，掌握k决定直线倾斜方向，b决定直线与y轴交点位置的规律.（3）掌握一次函数图象与正比例函数图象的关系，理解一次函数图象可由正比例函数图象平移得到.（4）通过对一次函数图象的探究，体会数形结合思想，培养学生的观察、分析、归纳能力，提升学生的数学核心素养.2.目标解析（1）学生需掌握在平面直角坐标系中用“两点法”准确绘制一次函数图象的技能，理解函数表达式与图象上点的坐标的对应关系，能够根据函数表达式求出直线与坐标轴的交点坐标；（2）学生要能够通过观察不同k、b值的一次函数图象，分析总结出k、b对图象的影响规律；（3）学生要理解正比例函数是特殊的一次函数，通过对比两者图象，明确一次函数图象由正比例函数图象平移的方式和规律；（4）学生要在探究过程中，经历从“数”（函数表达式）到“形”（函数图象），再从“形”到“数”的思考过程，提高数学思维能力，体会数形结合思想在数学学习中的重要性.1.

已有知识及掌握情况：学生在之前已经学习了函数的概念、变量与常量、平面直角坐标系等基础知识，在上一课时也学习了一次函数的概念以及用列表、描点、连线的方法绘制正比例函数图象，对函数和一次函数有了初步的认识，具备了一定的绘图能力和对函数的基本理解能力.2.

预估困难：对于一次函数y=kx+b中k、b的值对图象的影响，学生可能难以理解其中抽象的数学关系，在分析图象特征与k、b值的联系时会遇到困难；在理解一次函数图象与正比例函数图象的关系，特别是一次函数图象由正比例函数图象平移的过程中，学生可能对平移方向和单位长度的确定感到困惑；部分学生在根据一次函数图象的特征，准确归纳出函数性质时，可能存在归纳不全面、不准确的问题.3.

解决办法：针对k、b对图象影响的理解困难，利用多媒体软件，如几何画板，动态展示改变k、b值时图象的变化，让学生直观感受，再通过小组讨论、教师引导分析，帮助学生总结规律；对于一次函数图象与正比例函数图象关系的理解问题，通过在同一坐标系中分别绘制正比例函数和对应的一次函数图象，对比观察，演示平移过程，让学生动手操作，加深理解；对于归纳函数性质的困难，教师给出具体的观察方向和问题引导，如“当k>0时，图象从左到右是上升还是下降？”等，组织学生小组讨论，交流归纳结果，教师及时点评和补充.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解k、b值如何影响一次函数图象的特征，从图象变化中抽象出与k、b值的数学关系；掌握一次函数图象由正比例函数图象平移的原理和具体方式，准确确定平移方向和单位长度；能根据一次函数图象的特征，全面、准确地归纳出函数的性质.回顾旧知正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条直线且过原点.画函数图象的一般步骤有：①列表②描点③连线（设计意图：固上节课所学知识，为本节课进一步探究一次函数图象做铺垫，通过提问，了解学生对一次函数图象绘制的掌握程度）.（教学建议：提问时鼓励学生积极回答，对于学生的回答给予及时的肯定或纠正）.2．情境导入正比例函数：y=kx的图象是一条过原点的直线.一次函数：y=kx+b，多了一个常数项b,b对图象有什么影响？（设计意图：通过直观的多媒体展示和小组讨论，让学生自主探究k、b对一次函数图象的影响，培养学生的观察能力、分析能力和合作交流能力）（多媒体展示要清晰，图象变化过程要逐步演示；小组讨论时，教师参与到小组中，引导学生深入思考，鼓励学生发表不同见解）.探究点1一次函数的图象在同一直角坐标系中，画出函数y=2x和y=2x+1的图象.1、方法：列表描点连线2、问题：（1）y=2x+1图象是一条直线.（只要确定两点，过两点画一条直线）（2）这两个函数图象有什么关系？（可从形状和位置观察）都是直线且平行（3）由y=2x的图象如何得到y=2x+1的图象？y=2x+1的图象是由y=2x向上平移１个单位得到因为y=2x过(0,0),y=2x+1过(0,1)（4）推广：y=kx+b与y=kx的图象有什么关系？(两个函数的k值相等时，有什么意义？)两函数图象平行，y=kx+b的图象可由y=kx的图象上下平移b个单位得到（b>0向上，b<0向下)探究归纳1、一次函数y=kx+b的图象是一条直线，只要过两个点，确定这条直线，一般取（0，b）和（−𝒃/𝒌，0）或(1,k+b).2、一次函数y=kx+b与正比例函数y=kx的图象平行，y=kx+b的图象可由y=kx的图象上下平移b个单位得到（b>0向上，b<0向下).一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.思考：一次函数的图象与k,b有什么关系呢？一次函数y=kx＋b的图象由k和b的值决定:（设计意图：通过对比绘图和观察分析，让学生理解一次函数图象与正比例函数图象的关系，掌握一次函数图象的平移规律.）（教学建议：画图时，让学生自己动手在练习本上画，增强学生的动手能力和直观感受；讲解平移规律时，结合图象进行演示，让学生更易理解．）探究点2一次函数的性质过一、二、三象限过一、二、三象限过一、三、四象限过一、二、四象限k＞0，b＞0k＞0，b＜0k＜0，b＞0xyOOOOxyxyxyk＜0，b＜0过二、三、四象限画一画：画出一次函数y＝3x＋1,y＝－x＋1,y＝3x－2,y＝4x－3的图象.思考：(1)哪个函数y的值随着x值的增大而增大?哪个函数y的值随着x值的增大而减小?①y＝3x＋1，y＝3x－2和y＝4x－3，y随着x的增大而增大，图象由左到右是逐渐上升的.②y＝－x＋1，y随着x的增大而减小，图象由左到右是逐渐下降的.你能得出什么结论？(提示：k决定函数的增减性.)在一次函数y＝kx＋b中，当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大；当k＜0时，y的值随着x值的增大而减小.(2)随着x值的增大，y的值增大速度最快的函数是哪个?y＝4x－3结论:|k|越大，函数图象越陡峭.(3)哪两个函数的图象相互平行?一次函数y＝3x＋1和一次函数y＝3x－2的图象相互平行.结论：k的值相同的两个一次函数图象平行.(4)图象与y轴相交于同一点的函数有哪些?一次函数y＝3x＋1和一次函数y＝x＋1的图象与y轴相交于同一点(0,1).结论：一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0,b).探究归纳对于一次函数y＝kx＋b的性质，你有哪些结论?1、当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大；当k＜0时，y的值随着x值的增大而减小.2、|k|越大，函数图象越陡峭.3、k的值相同的两个一次函数图象平行.4、一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0,b).（设计意图：通过观察、思考、讨论等活动，让学生自主探究一次函数的性质，培养学生的观察能力、分析能力、合作交流能力和归纳总结能力，体会数形结合思想.）（教学建议：多媒体演示要直观、清晰，让学生能够清楚地看到图象的变化；小组讨论时，教师要参与到小组中，倾听学生的发言，引导学生深入思考，鼓励学生发表不同的见解．）典例分析例1正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y=xk的图象大致是（B）（提示：𝑘，𝑏决定一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象所在的象限）解析：正比例函数的性质可得出𝑘>0，进而可得出−𝑘<0，由1>0，−𝑘<0利用一次函数图象与系数的关系，可找出一次函数𝑦=𝑥−𝑘的图象经过第一、三、四象限.例2若直线𝒚=𝟑𝒙向上平移2个单位长度后过𝑷(𝒎,−𝟒)，求m的值．（提示：一次函数图像的平移的规则是：“上加下减”）.解：直线y=3x向上平移2个单位长度，平移后的解析式为y=3x+2，又因为平移后的直线过点P(m,4)，所以4=3m+2，解得m=2，例3已知一次函数y＝（1﹣m）x＋2m﹣3，（1）若函数图像经过原点，求m的值；（2）若函数图像平行于y＝2x﹣3，求这个函数的表达式．（提示：两个一次函数图像平行时，k的值相等）解：（1）∵函数图像经过原点，∴2m﹣3＝0，解得m＝1.5；（2）∵函数图像平行于直线y＝2x﹣3，∴1﹣m＝2，解得m＝﹣1，∴这个函数的表达式为y＝2x﹣5．（设计意图：围绕正比例函数与一次函数的核心知识，从不同角度考查学生对函数性质、图象平移、函数图象与点的关系以及两直线平行时函数解析式关系的掌握情况，全面提升学生对一次函数相关知识的综合运用能力，同时渗透数形结合、方程等数学思想.）（教学建议：先带领学生系统回顾正比例函数和一次函数的性质、图象平移规律、函数图象上的点与关系式的关系以及两直线平行的解析式特征等基础知识.然后，以这三道题为载体，采用小组合作探究的方式，让学生在讨论中分析每道题的解题思路，教师适时引导点拨，帮助学生理清解题逻辑.最后，进行总结归纳，强调解题中涉及的数学思想和方法，以及容易出错的地方，如一次函数图象平移规律的准确运用、两直线平行时常数项的限制等，加深学生对知识的理解与掌握.）1.一次函数y＝－2x＋4的图象与y轴的交点坐标是（D）A.（0，2）B.（4，0）C.（2，0） D.（0，4）2.P1(3，y1)，P2(4，y2)是一次函数y=0.5x+3图象上的两点，下列判断中，正确的是(A)A.y1＞y2C.yy1=y2C.y1＜y2D.不确定3．在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，若一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图像由直线𝑦=𝑘𝑥（𝑘>0）向上平移3个单位长度得到，则一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图像经过的象限是第一、二、三象限．4、不画图象，仅从函数解析式能否看出直线𝑦=3𝑥+4与𝑦=3𝑥−4具有什么样的位置关系？平行解析：一次函数图象的位置关系，做题的关键是注意k和b的值.5、在同一直角坐标系中，画出函数y=2x+4与y=2x+4的图象，并指出每个函数中当x增大时y如何变化．函数𝑦=2𝑥+4与两个坐标轴的交点为（2，0）,（0，4）𝑦=−2𝑥+4与两个坐标轴的交点为（2，0）,（0，4）．𝑦=2𝑥+4中y随x增大而增大，𝑦=−2𝑥+4中y随x增大而减小．6.已知一次函数y＝(3m8)x＋1m图象与y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值.解:由题意得解得又∵m为整数,∴m＝2设计意图：巩固学生对一次函数图象与k、b值的关系、与正比例函数图象的关系以及与坐标轴交点坐标确定方法的理解和掌握,练习题目要由易到难，逐步加深学生对知识的理解；对于学生的回答，及时给予反馈和评价.设计意图：帮助学生梳理知识，形成知识体系，加深对本节课内容的理解和记忆,以提问学生、教师补充的方式进行小结，让学生积极参与总结.1.必做题：习题4.3第1题(4)、（5）、（6），第4题，第8题2.探究性作业：习题4.3第10题.4.3一次函数的图象(第2课时)1.