奔驰定理教师版

奔驰定理一、引言：向量是重要的数学概念，既有大小（模）又有方向（角）的它在代数和几何的运算中灵活多变，是数形结合的典型代表.当向量和三角问题结合时,产生了一类重要的且有难度的问题—“奔驰定理问题”,此类题属于选择、填空题、解答题证明问题中的压轴类，虽然不一定是唯一的解法，但是运用结论可以快速解题。二、定理原理：O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，求证：SAOA+SBOB+SCOC=0.三、定理证明：如图，延长AO与BC相交于点D，BDDC=S△ABDS△ACD=S△BODS△COD=-S△BOD-S△COD=S△ABD-S△BODS△ACD-S又OD=|OD||OA|OA=SASB+SCOA，所以SASB四、常见命题方向和二级结论：1.奔驰定理和内心，外心，垂心，重心的关系2.（1）：P是△ABC所在平面内任意一点(其中a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边长)，O是△ABC的内心⇔PO=aPA（2）：P是锐角△ABC所在平面内任意一点，PO=PAsin2A+PBsin2B+PC3）P是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔PO=PAtanA+（4）：P是△ABC所在平面内任意一点，PG=13(PA+PB+PC)⇔五、典例：例1.已知O为△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=0．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为A．23-8 B．-2 C．6解析：因为a=3，b=23，c=5，所以cosB=因为O为△ABC的内心，设∠1=∠OBC,∠2=∠OBA，由题意∠1=∠2，则SA同理可得SA:SB所以aBA-BO所以BO⋅AC=例2.如图，已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SA⋅OA+SB⋅OB+SC⋅OC=①O是△ABC的垂心；②∠BOC+A<π③OA:OB解析：【思路】将OA⋅OB=OB⋅OC移项，并结合平面向量的减法和数量积的运算法则，可得OB⊥CA，同理推出OA⊥CB，OC⊥AB，即可判断①；根据①可知，∠OBC+C=π2，∠OCB+B=π【详解】因为OA⋅OB=OB⋅OC，所以OB⋅OA-OC=0，所以OB因为OB⊥CA，OC⊥AB，所以∠OBC+C=π2，∠OCB+B=π又∠OBC+∠OCB+∠BOC=π，所以∠BOC=B+C，又A+B+C=π，所以由②知A=π-∠BOC，B=π-∠AOC，延长CO交AB

所以cosA:cosB=cos=OP同理可得cosA:cosC=OA:OC，所以cosA:cosB:cosC=OA:OB:OC，所以OA:由SA=12=tan∠BOP:tan∠AOP=tanA:tanB，同理SB:S又SA⋅OA:S例3:奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC,△AMC,△AMB的面积分别为SA,SA．若SA:SB:B．若M为△ABC的内心，则BC⋅C．若∠BAC=45°,∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则SD．若M为△ABC的垂心，3MA+4解析：【思路】取BC的中点D，连接MD,AM，结合奔驰定理可得到2MD=-MA，进而即可判断A；设内切圆半径为r，从而可用r表示出SA,SB,SC，再结合奔驰定理即可判断B；设△ABC的外接圆半径为R，由圆心角和圆周角的关系可得∠BMC=90°,∠AMC=120°,∠AMB=150°，从而可用R表示出SA,SB,SC，进而即可判断C；延长AM交BC于点D，延长BM交AC【详解】对于A：取BC的中点D，连接MD,AM，由SA:SB:所以A，M，D三点共线，且AM=设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得CM=23CE，BM=对于B：由M为△ABC的内心，则可设内切圆半径为r，则有SA所以12r⋅BC⋅MA对于C：由M为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R，∠BAC=45°,∠ABC=60°，则有∠BMC=2∠BAC=90°,∠AMC=2∠ABC=120°,∠AMB=2∠ACB=150°，所以SA=1SC=1对于D：如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，由M为△ABC的垂心，3MA+4MB+5MC=0，则SA:SB:SC=3:4:5，又S△ABC=SA【反思】解答D选项的关键是通过做辅助线（延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E，），根据题意，结合奔驰定理得到S△ABCSA=4，S△ABCSB=3，从而可设MD=x,MF=y，则例4:已知点G，O，H在△ABC所在平面内，满足GA+GB+GC=0，|OA|=|OB|=|OC|，AH·BH=BH·CH=CH·AH，则点G，O，H依次为△ABC的()A.重心、外心、内心 B.重心、内心、外心C.重心、外心、垂心 D.外心、重心、垂心解析：因为GA+GB+GC=0，所以GA+GB=GC，设AB的中点为D，则GA+GB=2GD，所以GC=2GD，所以C，G，D三点共线，即G为△ABC的中线CD上的点，且GC=2GD，所以G为△ABC的重心；因为|OA|=|OB|=|OC|，所以OA=OB=OC，所以O为△ABC的外心；因为AH·BH=BH·CH=CH·AH，所以BH·(AHCH)=0，即HB·AC=0，所以HB⊥AC，同理可得HA⊥BC，HC⊥AB，所以H为△ABC的垂心.例5:若O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，且平面内的动点P满足OP=OA+λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC，λ∈A.内心 B.