2025年下学期初中数学基本国际智能创新组织竞赛试卷

2025年下学期初中数学基本国际智能创新组织竞赛试卷一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）1.已知正整数(a)、(b)满足(a+b=2025)，且(\text{gcd}(a,b)=45)，则这样的数对((a,b))有多少组？A.11B.12C.13D.142.若二次函数(y=|x^2-4x+3|+kx)的图像与(x)轴恰好有3个交点，则(k)的值为？A.(-2)B.(-1)或(-3)C.(1)或(3)D.(2)3.在(\triangleABC)中，(AB=5)，(AC=7)，(BC=8)，点(D)为(BC)中点，以(AD)为直径的圆交(AB)于点(E)，则(BE)的长度为？A.(\frac{11}{5})B.(\frac{12}{5})C.(\frac{13}{5})D.(\frac{14}{5})4.定义运算“(\otimes)”：((a,b)\otimes(c,d)=(ac-bd,ad+bc))，若((x,y)\otimes(2,1)=(3,4))，则((x,y)\otimes(x,-y))的值为？A.((5,0))B.((0,5))C.((8,0))D.((0,8))5.从1到2025的所有整数中，至少能被3、5、7中的一个整除的数有多少个？A.1095B.1125C.1155D.1185二、填空题（共5小题，每小题7分，满分35分）6.已知(x+\frac{1}{x}=3)，则(x^4+\frac{1}{x^4}=)__________。7.若关于(x)的方程(ax^2+2(a-3)x+(a-2)=0)至少有一个整数根，则正整数(a)的最大值为__________。8.如图，在矩形(ABCD)中，(AB=6)，(AD=8)，点(E)为(BC)上一点，将(\triangleABE)沿(AE)折叠，点(B)的对应点(B')恰好落在对角线(AC)上，则(BE)的长度为__________。9.现有5个不同的红球和3个不同的白球，从中任取4个球，要求红球不少于白球，则不同的取法有__________种。10.若正整数(n)满足(n\leq2025)，且(n^2+n+1)能被7整除，则这样的(n)有__________个。三、解答题（共4小题，每小题20分，满分80分）11.已知关于(x)的方程(x^2-(m+2)x+(2m-1)=0)的两个根为等腰三角形的腰长和底边长，求该三角形的周长。12.如图，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，(\angleBAC=100^\circ)，点(D)为(BC)延长线上一点，且(AD=BC)，求(\angleADC)的度数。13.已知二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像过点(A(-1,0))、(B(3,0))，与(y)轴交于点(C(0,3))。（1）求该二次函数的解析式；（2）点(P)为抛物线上一动点，过点(P)作(PD\perpx)轴于点(D)，连接(PC)，当(\trianglePCD)为等腰三角形时，求点(P)的坐标。14.（1）证明：对于任意正整数(n)，(n^3+5n)能被6整除；（2）已知(a)、(b)、(c)为正整数，且(a^3+b^3+c^3=2025)，求(a+b+c)的最小值。参考答案及评分标准（简要提示）一、选择题A（提示：设(a=45m)，(b=45n)，则(m+n=45)且(\text{gcd}(m,n)=1)）B（分(x\leq1)、(1<x<3)、(x\geq3)三段去绝对值讨论）C（利用余弦定理求(\cosB)，再由圆幂定理得(BE\cdotBA=BD\cdotBC)）A（根据新定义列方程组解得(x=2)，(y=1)，代入计算）C（容斥原理：(\lfloor\frac{2025}{3}\rfloor+\lfloor\frac{2025}{5}\rfloor+\lfloor\frac{2025}{7}\rfloor-\lfloor\frac{2025}{15}\rfloor-\lfloor\frac{2025}{21}\rfloor-\lfloor\frac{2025}{35}\rfloor+\lfloor\frac{2025}{105}\rfloor)）二、填空题47（由(x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=7)，再平方得结果）10（参数法：(a=\frac{7-2x}{x^2-2x+1})，(x)为整数根）3（设(BE=x)，则(B'E=x)，(EC=8-x)，利用勾股定理列方程）110（分类讨论：3红1白、4红0白，(\text{C}_5^3\text{C}_3^1+\text{C}_5^4\text{C}_3^0=10\times3+5\times1=35)）289（(n^2+n+1\equiv0\mod7)，解得(n\equiv2)或(4\mod7)，周期为7）三、解答题分两种情况：①两根相等（(m=2)，周长为7）；②一根为腰，一根为底（(m=3)，周长为10）。作(\angleBAE=60^\circ)交(BC)于点(E)，证明(\triangleABE)为等边三角形，(\triangleAED)为等腰三角形，得(\angleADC=40^\circ)。（1）(y=-x^2+2x+3)；（2）(P(1,4))或((2+\sqrt{7},-4-2\sqrt{7}))或((2-\sqrt{7},-4+2\sqrt{7}))。（1）分奇偶性和3的倍数讨论；（2）(a