第5章 几何证明初步 教学设计　青岛版数学八年级上册

第5章几何证明初步教学设计青岛版数学八年级上册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容青岛版数学八年级上册第5章“几何证明初步”，内容包括：几何证明的基本方法，如公理、定义、定理的运用；三角形全等的判定方法，如SSS、SAS、ASA、AAS；平行线的判定和性质；以及证明过程的基本步骤和技巧。核心素养目标1.发展逻辑推理能力，通过几何证明过程，培养学生的严谨思维和推理技巧。

2.培养几何直观，通过图形分析和证明，提升学生空间想象和视觉辨识能力。

3.增强数学应用意识，将几何证明应用于实际问题，提升解决实际问题的能力。

4.培养合作学习习惯，在小组讨论中，学习与他人交流合作，共同解决问题。教学难点与重点1.教学重点

-理解并掌握三角形全等的判定方法：重点在于SSS、SAS、ASA、AAS等判定条件的应用，能够通过观察、操作和逻辑推理判断三角形是否全等。

-掌握几何证明的基本步骤：强调从已知条件出发，通过逻辑推理得出结论的过程，例如，在证明三角形全等时，能够正确列出已知条件，运用判定条件进行证明。

2.教学难点

-运用三角形全等证明解决实际问题：难点在于将理论知识应用于解决实际问题，如解决几何图形的相似、面积和体积计算等。

-理解并运用几何证明中的逻辑推理：学生在证明过程中可能难以理解如何从已知条件推导出结论，尤其是在条件复杂或结论不直接的情况下。

-培养学生的空间想象能力：对于一些空间几何问题，学生可能难以在脑海中形成清晰的图像，从而影响证明的进行。教学资源准备1.教材：确保每位学生拥有青岛版数学八年级上册教材，包括几何证明初步的相关章节。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表和视频，如三角形全等的实例图、证明过程的动画演示等。

3.实验器材：准备几何图形模型、直尺、圆规等，用于学生操作和直观理解。

4.教室布置：设置分组讨论区，以便学生进行合作学习和讨论；在黑板或白板上绘制几何图形，方便展示和讲解。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对几何证明的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们能列举出生活中哪些需要证明的事情吗？”

展示一些生活中常见的需要证明的例子，如建筑结构的稳定性、产品尺寸的准确性等。

简短介绍几何证明的基本概念和重要性，指出它在科学研究和日常生活中的应用，为接下来的学习打下基础。

2.几何证明基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解几何证明的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解几何证明的定义，强调其逻辑性和严谨性。

详细介绍几何证明的组成部分，包括已知条件、求解过程和结论。

3.几何证明案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解几何证明的特性和重要性。

过程：

选择三角形全等的证明作为案例，分析SSS、SAS、ASA、AAS等判定条件的应用。

详细介绍每个判定条件的背景、特点和意义，通过具体图形展示如何应用这些条件。

引导学生思考这些案例对解决几何问题的帮助，以及如何在实际问题中运用几何证明。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成小组，每组分配一个与几何证明相关的任务，如设计一个证明题，并尝试证明。

小组成员讨论各自的想法，共同完成证明过程。

每组选出一名代表，准备向全班展示他们的证明过程和结论。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对几何证明的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示他们的证明题和证明过程。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，指出证明中的亮点和可能的改进之处。

教师总结各组的亮点和不足，强调证明过程中的关键步骤和注意事项。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调几何证明的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括几何证明的基本概念、判定条件、案例分析等。

强调几何证明在数学学习和解决问题中的重要性，鼓励学生在日常生活中发现和运用几何证明。

布置课后作业：让学生选择一个生活中的实例，尝试用几何证明的方法来解释或解决问题。学生学习效果1.理解与掌握几何证明的基本概念和原理

-学生能够清晰理解几何证明的定义、目的和重要性。

-学生掌握了几何证明的基本步骤，包括列出已知条件、应用判定条件进行推理和得出结论。

2.运用三角形全等判定方法进行证明

-学生熟练掌握了SSS、SAS、ASA、AAS等三角形全等的判定条件。

-学生能够在实际操作中运用这些判定条件，证明两个三角形全等。

3.增强逻辑推理和空间想象能力

-学生通过几何证明的学习，提高了逻辑推理能力，学会了如何从已知条件推导出结论。

-学生在分析几何图形和证明过程中，空间想象能力得到了锻炼和提升。

4.提高几何问题的解决能力

-学生能够将几何证明应用于解决实际问题，如计算图形的面积、体积等。

-学生在遇到几何问题时，能够运用所学知识进行分析和解决，提高了问题解决能力。

5.培养合作学习与交流能力

-学生在小组讨论中，学会了与他人合作，共同解决问题。

-学生在展示和点评过程中，提高了表达能力和倾听能力，学会了有效地与他人交流。

6.增强数学学习的兴趣和自信

-学生通过本节课的学习，感受到了数学证明的严谨性和逻辑性，增强了学习的兴趣。

-学生在掌握几何证明方法后，对自己的数学能力有了更自信的认识。

7.提升数学思维品质

-学生在几何证明过程中，培养了严谨、细致、有序的数学思维品质。

-学生学会了如何从多个角度思考问题，培养了多元思维能力和创新意识。

8.培养解决问题的策略和方法

-学生在解决几何证明问题时，学会了分析问题、选择合适的证明方法、进行逻辑推理等策略。

-学生在解决问题过程中，积累了经验，形成了有效的解决策略和方法。典型例题讲解1.例题：

已知三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，求证：BD=CD。

解答：

因为AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。

根据等腰三角形的性质，AD是BC边上的中线，所以AD也是三角形ABC的高。

由于AD是高，所以它垂直于BC，即AD⊥BC。

在直角三角形ABD和ACD中，∠ADB和∠ADC都是直角。

因为AB=AC，所以∠BAD=∠CAD（等腰三角形的底角相等）。

根据直角三角形全等的判定条件（HL，即斜边和直角边对应相等），三角形ABD和ACD全等。

因此，BD=CD。

2.例题：

在三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AD的延长线与BC的交点，求证：BE=CE。

解答：

因为AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。

D是BC的中点，所以BD=DC。

由于E是AD的延长线与BC的交点，所以AE=AD。

在三角形ABE和ACD中，AB=AC（已知），BD=DC（D是中点），AE=AD（AD的延长线）。

根据SAS（边-角-边）全等条件，三角形ABE和ACD全等。

因此，BE=CE。

3.例题：

在三角形ABC中，AB=AC，M是BC的中点，N是AM的延长线与BC的交点，求证：AN=2BM。

解答：

因为AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。

M是BC的中点，所以BM=MC。

由于N是AM的延长线与BC的交点，所以AN=AM+MN。

在三角形ABN和ACM中，AB=AC（已知），BM=MC（M是中点），AM=AM（公共边）。

根据SAS全等条件，三角形ABN和ACM全等。

因此，AN=2BM。

4.例题：

在三角形ABC中，AB=AC，D是BC边上的高，E是AD的延长线与BC的交点，求证：BE=CE。

解答：

因为AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。

D是BC边上的高，所以AD⊥BC。

由于E是AD的延长线与BC的交点，所以AE=AD。

在直角三角形ABE和ACD中，∠ADB和∠ADC都是直角。

因为AB=AC，所以∠BAD=∠CAD（等腰三角形的底角相等）。

根据HL全等条件，三角形ABE和ACD全等。

因此，BE=CE。

5.例题：

在三角形ABC中，AB=AC，D是BC边上的中线，E是AD的延长线与BC的交点，求证：BE=3CE。

解答：

因为AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。

D是BC的中线，所以BD=DC。

由于E是AD的延长线与BC的交点，所以AE=AD。

在三角形ABE和ACD中，AB=AC（已知），BD=DC（D是中点），AE=AD（AD的延长线）。

根据SAS全等条件，三角形ABE和ACD全等。

因为BD=DC，所以BE=3CE。课堂小结，当堂检测课堂小结：

在本节课的学习中，我们重点探讨了几何证明初步的相关知识，主要包括以下内容：

1.几何证明的基本概念和原理，理解证明的目的和重要性。

2.三角形全等的判定方法，包括SSS、SAS、ASA、AAS等判定条件。

3.几何证明的基本步骤，从已知条件出发，通过逻辑推理得出结论。

4.通过案例分析，让学生深入了解几何证明的特性和重要性。

1.几何证明的基本概念和原理，强调了证明的严谨性和逻辑性。

2.三角形全等的判定方法，通过具体案例，让学生掌握了判定条件的应用。

3.几何证明的基本步骤，让学生学会了如何进行逻辑推理和得出结论。

4.在案例分析中，学生了解了几何证明在解决实际问题中的应用。

当堂检测：

为了检测学生对本节课内容的掌握情况，以下为当堂检测题：

1.已知三角形ABC中，AB=AC，D是BC边上的高，E是AD的延长线与BC的交点，求证：BE=CE。

2.在三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E是AD的延长线与BC的交点，求证：BE=3CE。

3.在三角形ABC中，AB=AC，D是BC边上的中线，M是AD的中点，求证：BM=MC。

4.在三角形ABC中，AB=AC，D是BC边上的高，E是AD的延长线与BC的交点，求证：DE=BC。

5.在三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，F是AD的延长线与BC的交点，求证：AF=2BD。

请学生在规定时间内完成检测题，并互相检查答案。教师将根据学生的答题情况，对课堂所学内容进行总结和点评。板书设计①几何证明基础知识

-几何证明的定义

-几何证明的目的

-几何证明的步骤

②三角形全等的判定方法

-SSS（Side-Side-Side）：三边对应相等

-SAS（Side-Angle-Side）：两边及其夹角对应相等

-ASA（Angle-Side-Angle）：两角及其夹边对应相等

-AAS（Angle-Angle-Side）：两角及一边对应相等

③几何证明案例分析

-三角形全等的证明实例

-证明过程中的关键步骤

-证明的严谨性和逻辑性

④几何证明的应用

-解决几何问题的方法

-计算图形的面积、体积等

-几何证明在日常生活和科学研究中的应用反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.案例教学法的运用：通过实际案例的分析，让学生在解决具体问题的过程中，深入理解几何证明的应用，提高他们的实践能力。

2.小组合作学习的推广：鼓励学生在小组内讨论和合作，培养他们的团队协作精神和解决问题的能力。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对几何证明的兴趣不足：部分学生对几何证明的学习缺乏兴趣，导致学习效果不佳。

2.教学方法单一：在教学中，过分依赖讲解和演示，缺乏互动和实践活动，学生参与度不高。

3.评价方式单一：主要依赖考试评价学生的学习成果，未能全面考察学生的综合能力和素养。

反思改进措施（三）

1.增强趣味性：通过引入生活中的实例，激发学生对几何证明的兴趣，例如，通过建筑结构、日常用品等，让学生看到几何证明的实际应用。

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