2025年新高考数学一轮复习（基础版）第10章　§10.1　计数原理

§10.1计数原理课标要求1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．知识梳理两个计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(√)(3)在分步乘法计数原理中，只有各步骤都完成后，这件事情才算完成．(√)(4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√)2．(选择性必修第三册P11练习T3改编)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为()A．16B．13C．12D．10答案C解析将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，不同走法共有4×3＝12(种)．3.由于用具简单、趣味性强，象棋成为流行性极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，其中也能把“炮”吃掉的可能路线有()A．10条B．8条C．6条D．4条答案C解析由题意可知，“兵”吃掉“马”的最短路线需横走三步，竖走两步；其中也能把“炮”吃掉的路线可分为两步：第一步，横走两步，竖走一步，有Ceq\o\al(2,3)种走法；第二步，横走一步，竖走一步，有Ceq\o\al(1,2)种走法．所以所求路线共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)＝6(条)．4．(选择性必修第三册P5例3改编)书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法种数为________，从第1,2,3层各取1本书，不同的取法种数为________．答案15120解析由分类加法计数原理知，从书架上任取1本书，不同的取法种数为4＋5＋6＝15.由分步乘法计数原理知，从1,2,3层各取1本书，不同的取法种数为4×5×6＝120.题型一分类加法计数原理例1(1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种答案B解析赠送1本画册，3本集邮册，需从4人中选取1人赠送画册，其余赠送集邮册，有4种方法；赠送2本画册，2本集邮册，只需从4人中选出2人赠送画册，其余2人赠送集邮册，有6种方法．由分类加法计数原理可知，不同的赠送方法共有4＋6＝10(种)．(2)椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0)的焦点在x轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为()A．10B．12C．20D．35答案A解析因为焦点在x轴上，所以m>n，以m的值为标准分类，由分类加法计数原理，可分为四类：第一类：当m＝5时，n有4种选择；第二类：当m＝4时，n有3种选择；第三类：当m＝3时，n有2种选择；第四类：当m＝2时，n有1种选择．故符合条件的椭圆共有10个．延伸探究在本例(2)中，若m∈{1,2，…，k}，n∈{1,2，…，k}(k∈N*)，其他条件不变，这样的椭圆有多少个？解因为m>n，当m＝k时，n＝1,2，…，k－1.当m＝k－1时，n＝1,2，…，k－2.…当m＝3时，n＝1,2.当m＝2时，n＝1.所以共有1＋2＋…＋(k－1)＝eq\f(kk－1,2)(个)椭圆．思维升华使用分类加法计数原理的两个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏．(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．跟踪训练1(1)某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()A．3种B．5种C．7种D．9种答案C解析分三类：买1本、买2本或买3本，各类购买方式依次有3种、3种、1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．(2)设I＝{1,2,3,4}，A与B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”有________个．答案9解析对子集A分类讨论：当A＝{1,2}时，B可以为{1,2,3,4}，{1,2,4}，{1,2,3}，{1,2}，共4种情况；当A＝{1,2,3}时，B可以为{1,2,4}，{1,2}，共2种情况；当A＝{1,2,4}时，B可以为{1,2,3}，{1,2}，共2种情况；当A＝{1,2,3,4}时，B可以为{1,2}，有1种情况．根据分类加法计数原理可知，共有4＋2＋2＋1＝9(种)结果，即符合此条件的“理想配集”有9个．题型二分步乘法计数原理例2(1)一次时装表演中，有7顶不同款式的帽子，12件不同款式的上衣和8条不同款式的裤子．一位模特要从这些帽子、上衣和裤子中各选1款穿戴，则有________种不同的选法．答案672解析模特完成穿戴需要分三步：第一步，选择帽子，共有7种选择；第二步，选择上衣，共有12种选择；第三步，选择裤子，共有8种选择，根据分步乘法计数原理知，共有7×12×8＝672(种)不同的选法．(2)(多选)高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有()A．所有可能的方法有35种B．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种C．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种D．如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种答案BC解析对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，故有5×5×5＝53(种)选择方案，A错误；对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有53－43＝61(种)，B正确；对于选项C，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有52＝25(种)，C正确；对于选项D，如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有5＋5×4＝25(种)，D错误．思维升华利用分步乘法计数原理解题的策略(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成．跟踪训练2(1)从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．答案186解析一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有3×3×2＝18(个)不同的二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数．(2)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．答案336解析甲有7种站法，乙有7种站法，丙有7种站法，故不考虑限制共有7×7×7＝343(种)站法，其中三个人站在同一级台阶上有7种站法，故符合本题要求的不同站法有343－7＝336(种)．题型三两个计数原理的综合应用命题点1涂色、种植问题例3中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1,2,3，…，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同．若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有()A．1050种 B．1260种C．1302种 D．1512种答案C解析由题意可得，只需确定区域1,2,3,4的颜色，即可确定整个伞面的涂色．先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择．当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择．当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择．故不同的涂色方案有7×6×(5×5＋6)＝1302(种)．命题点2与几何有关的问题例4如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60B．48C．36D．24答案B解析长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.命题点3排数与排队问题例5用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个答案B解析①当万位数字为5，个位数字为0时，有4×3×2＝24(个)；②当万位数字为5，个位数字为2时，有4×3×2＝24(个)；③当万位数字为5，个位数字为4时，有4×3×2＝24(个)；④当万位数字为4，个位数字为0时，有4×3×2＝24(个)；⑤当万位数字为4，个位数字为2时，有4×3×2＝24(个)．由分类加法计数原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(个)．思维升华完成一件事的方法种数的计算步骤(1)审清题意，弄清要完成的事件是怎样的．(2)分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种．(3)弄清在每一类或每一步中的方法种数．(4)根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数．跟踪训练3(1)(2023·乐清模拟)一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形的个数为__________．答案8解析如图1，由圆上相邻两个点和圆心可构成等边三角形，共有6个；如图2，由圆上相间隔的三点可构成等边三角形，共有2个，所以在这7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形的个数为6＋2＝8.(2)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成________个无重复数字的四位偶数(用数字作答)．答案420解析当个位数字为0时，有6×5×4＝120(个)无重复数字的四位偶数；当个位数字为2,4,6中的一个时，千位数字不能为0，有3×5×5×4＝300(个)无重复数字的四位偶数．根据分类加法计数原理知，共有120＋300＝420(个)无重复数字的四位偶数．(3)某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域花卉颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有________种．(用数字作答)答案180解析先在A中种植，有5种不同的种植方法，再在B中种植，有4种不同的种植方法，再在C中种植，有3种不同的种植方法，最后在D中种植，有3种不同的种植方法，所以不同的种植方案共有5×4×3×3＝180(种)．课时精练一、单项选择题1．一个电路中含有(1)(2)两个零件，零件(1)含有A，B两个元件，零件(2)含有C，D，E三个元件，每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作，则该电路能正常工作的线路条数为()A．9B．8C．6D．5答案C解析由分步乘法计数原理易得，该电路能正常工作的线路条数为2×3＝6.2．高二1,2,3班各有升旗班同学人数分别为1,3,3人，现从中任选2人参加升旗，则2人来自不同班的选法种数为()A．12B．15C．20D．21答案B解析依题意，选中高二1班的同学有1×6种方法，高二1班的同学没选中有3×3种方法，所以2人来自不同班的选法种数为1×6＋3×3＝15.3．记a，b，c，d为1,2,3,4的任意一个排列，则使得(a＋b)(c＋d)为奇数的排列个数为()A．8B．12C．16D．18答案C解析由已知得前两位a和b一奇一偶，有2×2×2＝8(种)排法，后两位c和d一奇一偶，有2种排法，根据分步乘法计数原理，使得(a＋b)(c＋d)为奇数的排列个数为8×2＝16.4．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40B．16C．13D．10答案C解析分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13(个)不同的平面．5．从数字1,2,3,4中取出3个数字(允许重复)组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为()A．7B．9C．10D．13答案C解析其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形：①由1,1,4三个数字组成的三位数：114,141,411，共3个；②由1,2,3三个数字组成的三位数：123,132,213,231,312,321，共6个；③由2,2,2三个数字可以组成1个三位数，即222.所以共有3＋6＋1＝10(个)．6．有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．需选择一套服装参加“五一”劳动节歌舞演出，则不同的选择方式种数为()A．24B．14C．10D．9答案B解析第一类：一件衬衣，一件裙子搭配一套服装有4×3＝12(种)选择方式；第二类：选2套连衣裙中的一套服装有2种选择方式，由分类加法计数原理可知，共有12＋2＝14(种)选择方式．7.在如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A．24 B．48C．72 D．96答案C解析分两类情况：(1)A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2＝24(种)涂法．(2)A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48(种)涂法．综上，不同的涂色方法共有48＋24＝72(种)涂法．8．过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线中能构成异面直线的对数为()A．18B．30C．36D．54答案C解析如图，分以下几类：棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有3×2＝6(对)；棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有3×2＝6(对)；底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有6×2＝12(对)；底面边与底面边之间所构成的异面直线有3×2＝6(对)，侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有eq\f(6×2,2)＝6(对)，所以共有6＋6＋12＋6＋6＝36(对)．二、多项选择题9．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有()A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法D．要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法答案ABC解析对于选项A，根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法，故A正确；对于选项B，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法，故B正确；对于选项C，可分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画．由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法，所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法，故C正确；对于选项D，可以分两个步骤完成：第一步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理，知不同挂法的种数是N＝3×2＝6，故D错误．10．现有4个数学课外兴趣小组，第一、二、三、四组分别有7人、8人、9人、10人，则下列说法正确的是()A．选1人为负责人的选法种数为34B．每组选1名组长的选法种数为5400C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为420D．若另有3名学生加入这4个小组，加入的小组可自由选择，且第一组必须有人选，则不同的选法有37种答案AD解析对于A,4个数学课外兴趣小组共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故选1人为负责人的选法共有34种，故A对；对于B，分四步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选1名组长，所以不同的选法共有7×8×9×10＝5040(种)，故B错；对于C，分六类：从第一、二组中各选1人，有7×8种不同的选法；从第一、三组中各选1人，有7×9种不同的选法；从第一、四组中各选1人，有7×10种不同的选法；从第二、三组中各选1人，有8×9种不同的选法；从第二、四组中各选1人，有8×10种不同的选法；从第三、四组中各选1人，有9×10种不同的选法．所以不同的选法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)，故C错；对于D，若不考虑限制条件，每个人都有4种选法，共有43＝64(种)选法，其中第一组没有人选，每个人都有3种选法，共有33＝27(种)选法，所以不同的选法有64－27＝37(种)，故D对．三、填空题11．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙两人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种(用数字作答)．答案36解析第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人担任文娱委员，有3种选法．第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)．12．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为________．答案52解析在8个数中任取2个不同的数共可组成8×7＝56(个)对数值，但在这56个数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94重复了4个数值，要减去4，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．13.(2023·佛山联考)某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域(有公共边)不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有()A．720种 B