信号与系统（第4版）课件 第4章-信号的频域分析

BEIJINGJIAOTONGUNIVERSITY连续周期信号的频域分析为何引入信号的频域分析

如何分析不同音域声音的特性？为何引入信号的频域分析

男高音时域波形男低音时域波形为何引入信号的频域分析

数字‘1’时域波形数字‘2’时域波形信号的时域波形含噪信号的时域波形如何滤除信号中的噪声？为何引入信号的频域分析

男低音/男高音时域波形信号/含噪信号时域波形数字键‘1’和‘2’时域波形信号时域分析与处理存在局限性分析不同音域声音滤除信号中的噪声识别电话拨号键为何引入信号的频域分析

信号的频域分析

连续周期信号的频域分析连续非周期信号频域分析离散周期信号的频域分析离散非周期信号频域分析连续时间信号的时域抽样连续周期信号的频域分析

连续周期信号的频域表示连续周期信号的频谱概念

连续时间Fourier级数的性质

连续周期信号的频域表示

…连续周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦波的加权线性叠加

法国数学家、物理学家。主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出周期函数可以展成三角函数的无穷级数。1822

年在代表作《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论由此创始。

傅里叶(Fourier）

1768-1830

连续周期信号的频域表示

连续周期信号的频域表示

A1sin(w1t+f1)A2sin(w2t+f2)A3sin(w3t+f3)

连续周期信号的频域表示

一系列正弦信号的表示方法

连续周期信号的频域表示

正弦信号和余弦信号、虚指数信号可以相互线性表示

连续周期信号的Fourier级数（CFS）

周期信号可以表示为无数个虚指数信号的线性叠加

Cn是的函数,简写为Cn

为周期信号的周期,为的角频率

连续周期信号的频域表示

信号展开为Fourier级数(Dirichlet)条件(充分条件):(1)在一个周期内绝对可积，即满足 (2)在一个周期内只有有限个不连续点；(3)在一个周期内只有有限个极大值和极小值。

连续周期信号的频域表示

的周期为,函数集在区间[0,

T0]上相互正交。

连续周期信号的频域表示

连续周期信号的频域表示

指数形式Fourier级数若为实信号，则Cn具有共轭偶对称性。即

令则有三角形式Fourier级数

连续周期信号的频域表示

三角形式Fourier级数

连续周期信号的频域表示

(纯余弦形式)其中

连续周期信号的频域表示

三角形式Fourier级数

周期信号可以表示为正弦类信号

连续周期信号的频域表示

虚指数形式正余弦形式纯余弦形式连续周期信号的频域分析

连续周期信号的频域表示

连续周期信号的频谱概念

连续时间Fourier级数的性质

连续周期信号的频谱概念

Cn反映了周期信号中各次谐波的分布特性Cn称为周期信号的频谱，与Cn为一一对应关系。基波分量N次谐波分量直流分量

连续周期信号的频谱概念

幅度频谱相位频谱

连续周期信号的频谱概念

【例】分析连续周期矩形信号的频谱，并画出频谱图。

解：在一个周期(-T0/2~T0/2)内的表达式为：

连续周期信号的频谱概念

周期矩形信号的频谱

【例】分析连续周期矩形信号的频谱，并画出频谱图。

连续周期信号的频谱概念

【例】分析连续周期三角波信号的频谱，并画出频谱图。解:

连续周期信号的频谱概念

【例】

分析连续周期三角波信号的频谱，并画出频谱图。周期三角波信号

连续周期信号的频谱概念

周期矩形信号的时域波形

周期三角波信号的时域波形

周期三角波信号的频谱

周期矩形信号的频谱

连续周期信号的频谱概念

【例】已知周期信号，求其频谱Cn。

解:根据信号表示，可得

连续周期信号的频谱概念

幅度谱

相位谱

连续周期信号的频谱概念

【例】已知连续周期信号频谱Cn如图所示，写出其对应的周期信号。

解:周期矩形信号的频谱

连续周期信号的频谱概念

离散特性：周期信号的频谱是由间隔为w0

的谱线组成连续周期信号的频谱特性

衰减特性：对于幅值有限的周期信号，其幅度频谱|Cn|

随谐波nw0增大逐渐衰减，并最终趋于零。连续周期信号的频谱特性

有效带宽信号的有效带宽wB和时域持续时间t成反比

通常将包含主要谐波分量的频率范围

称为周期矩形信号的有效频带宽度连续周期信号的频谱特性

吉布斯(Gibbs)现象

周期信号可以表示为无数个虚指数信号的线性叠加当使用有限项合成周期信号，会有什么问题？吉布斯(Gibbs)现象

N=5当周期信号有间断点时，利用有限项合成在间断点处出现振荡现象，且最大波纹大约为幅度跳变值的9%，这个现象称为吉伯斯现象。吉布斯(Gibbs)现象

N=500当周期信号有间断点时，利用有限项合成在间断点处出现振荡现象，且最大波纹大约为幅度跳变值的9%，这个现象称为吉伯斯现象。吉布斯(JosiahGibbs,1839-1903)

美国数学物理学家耶鲁大学教授

1898年，美国物理学家米切尔森做了一个谐波分析仪，以计算任何一个周期信号x(t)的有限项(可达80项)傅里叶级数近似式。而当他测试方波信号时，得到一个令他吃惊的结果!

在不连续点附近部分xN(t)呈现出起伏，起伏的峰值大小似乎不随N增大而下降!他开始怀疑仪器是否有不完善的地方，于是将该问题写了一封信给吉布斯，吉布斯检查了该结果，证明其正确，并于1899年发表了他的看法，即我们所说的吉布斯现象。N=50N=500吉布斯(Gibbs)现象

存在间断点的连续时间信号将会出现Gibbs现象

没有间断点的连续时间信号不会出现Gibbs现象

N=50N=5吉布斯(Gibbs)现象

关于吉布斯现象，正确的说法是()。用Fourier级数有限项合成连续周期信号时，一定会出现吉布斯现象。用Fourier级数有限项合成连续周期信号时，随着N的增加，吉布斯现象会消失。AB用Fourier级数有限项合成连续周期信号时，随着N的增加，合成结果在周期信号不连续点附近起伏的峰值会减小。C以上都不对单选题D连续周期信号的频域分析

连续周期信号的频域表示

连续周期信号的频谱概念

连续时间Fourier级数的性质连续时间Fourier级数的性质

线性特性若则【证明】对称特性若则【证明】连续时间Fourier级数的性质

对称特性先令u=-t再令t=u【证明】若则连续时间Fourier级数的性质

对称特性幅度谱为偶对称，相位谱为奇对称。若

为实信号，则因此有因而有即若则连续时间Fourier级数的性质

幅度谱

相位谱

实信号连续时间Fourier级数的性质

对称特性Cn为nw0的实函数，且为偶对称函数。若

为实偶信号，则因而有若则连续时间Fourier级数的性质

实偶信号周期矩形信号的时域波形

周期三角波信号的时域波形

周期三角波信号的频谱

周期矩形信号的频谱

连续时间Fourier级数的性质

时移特性信号在时域的时移，导致其频谱在频域的相移已知若则【证明】连续时间Fourier级数的性质

求解如图所示周期信号的频谱Cn。连续时间Fourier级数的性质

频移特性信号在时域的相移，导致其频谱在频域的频移若则【证明】已知连续时间Fourier级数的性质

信号在时域的周期卷积，对应其频谱在频域的乘积

周期卷积特性

周期信号卷积定义：若

均是周期为T0的周期信号周期信号卷积结果，仍是周期为T0的周期信号连续时间Fourier级数的性质

【证明】信号在时域的周期卷积，对应其频谱在频域的乘积

周期卷积特性连续时间Fourier级数的性质

微分特性若则【证明】两边对t求导，可得因此有连续时间Fourier级数的性质

Parseval功率守恒定理周期信号的功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的功率之和连续时间Fourier级数的性质

周期信号的功率频谱：|Cn|2随nw0

分布称为周期信号的功率谱，功率谱|Cn|2与周期信号不是一一对应的关系。解：1）Parseval功率守恒定理2）【例】，求其功率。连续时间Fourier级数的性质

Asin(nw0t+j0)的功率为A2/2Acos(nw0t+j0)的功率为A2/2直流信号A的功率为A2信号Aejnw0t的功率为A2【例】试求周期矩形信号在其有效带宽内谐波分量

所具有的功率，及其占信号总功率的百分比。

其中:

A=1，T0=1/4，

=1/20。连续时间Fourier级数的性质

A=1，T0=1/4，

=1/20，

w0=2p/T0

=8p

信号在有效带宽内的功率为第一个零点出现在因此有效带宽内包含了直流分量和5个谐波分量解：连续时间Fourier级数的性质

信号总功率为周期矩形信号在有效带宽内各谐波分量的功率之和，占信号总功率的90%(T0=1/4，

=1/20，

w0=2p/T0

=8p)

连续时间Fourier级数的性质

内容回顾

线性特性

对称特性

时移特性

频移特性

卷积特性功率守恒连续时间Fourier级数的性质

连续周期信号频域分析的应用

男低音/男高音时域波形信号/含噪信号时域波形数字键‘1’和‘2’时域波形分析不同音域声音滤除信号中的噪声识别电话拨号键信号时域分析的局限性数字键‘1’

的频谱数字键‘2’的频谱识别数字键12连续周期信号频域分析的应用

连续周期信号频域分析的总结

连续周期信号可表示为虚指数信号的加权线性叠加连续周期信号的频谱连续周期信号频谱特点：离散、非周期吉伯斯现象：若周期信号有间断点，利用有限项合成时，

在间断点处出现振荡现象。信号正交表示与Fourier级数

信号x(t)可以用正交函数集表示为:正交函数集相互正交

(基函数)

信号正交表示与Fourier级数

当选取下列系数时，由正交函数集近似表示的信号与信号之间的均方误差(MSE)为最小

若只用有限项表示信号x(t)，其近似表示为:

信号正交表示与Fourier级数

根据均方误差最小准则，可求得CnWalsh函数Wavelet函数Chebyshev函数

连续周期信号的频域分析

谢谢

本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来源于多种媒体以及同事与同行的交流，难以一一注明出处，特此说明并表示感谢！

BEIJINGJIAOTONGUNIVERSITY连续非周期信号的频域分析信号的频域分析

连续周期信号的频域分析

连续非周期信号频域分析离散周期信号的频域分析离散非周期信号频域分析连续时间信号的时域抽样连续非周期信号的频域分析

连续非周期信号的频域表示常见连续时间信号的频谱

连续时间Fourier变换的性质连续非周期信号的频域表示周期信号非周期信号极限思想

连续非周期信号的频域表示

谱线间隔：成为连续变量，用w表示当时，

连续非周期信号的频域表示

连续非周期信号的频域表示

连续非周期信号的Fourier变换

ICTFT：CTFT：

连续非周期信号的Fourier变换

信号可以表示为无数个虚指数信号的线性组合

X(jw)被称为连续非周期信号的频谱（密度）函数幅度频谱相位频谱

连续非周期信号的Fourier变换

(1)非周期信号在其定义区间上绝对可积(2)在任意有限区间内，信号只有有限个最大值和最小值。(3)在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点，且这些间断点必须是有限值。连续非周期信号x(t)存在Fourier变换的(Dirichlet)条件:

连续非周期信号的Fourier变换

（充分条件）【例】计算非周期矩形信号x(t)的Fourier变换，并画出频谱图。

解：非周期矩形信号的频谱图

连续非周期信号的Fourier变换

连续非周期信号的频谱特性

非周期矩形信号的频谱是连续频谱信号在时域持续时间有限，在频域其频谱延续至无限

连续非周期信号的频谱特性

矩形信号的频谱分量主要集中在

(-2p/t~2p/t)范围，工程中一般将此正频率范围称为信号的有效带宽wB。信号的有效带宽wB

=2p/t连续非周期信号的频域分析

连续非周期信号的频域表示

常见连续时间信号的频谱

连续时间Fourier变换的性质连续非周期信号的频域分析

矩形信号pt(t)：以0为中心，宽度为t

且幅度为1的矩形信号常见连续时间信号的频谱

单位冲激信号常见连续时间信号直流信号符号函数信号单边指数信号余弦信号周期冲激串信号…一般周期信号单位阶跃信号常见连续时间信号的频谱

虚指数信号1.单位冲激信号d(t)常见连续时间信号的频谱

2.直流信号x(t)=1,-<t<

根据d(t)的频谱以及Fourier反变换的定义根据d(t)的偶对称特性常见连续时间信号的频谱

3.符号函数信号sgn(t)常见连续时间信号的频谱

4.单位阶跃信号u(t)常见连续时间信号的频谱

5.单边指数信号常见连续时间信号的频谱

x(t)=e-atu(t)，(a>0)6.

虚指数信号根据常见连续时间信号的频谱

7.余弦信号常见连续时间信号的频谱

8.一般周期信号常见连续时间信号的频谱

9.周期冲激串常见连续时间信号的频谱

连续周期信号的频谱是Cn，为什么求其Fourier变换X(jw)？

Cn可以清晰地描述连续周期信号的频谱特性，但在某些场合，会同时出现连续周期信号和连续非周期信号，比如信号调制。引入周期信号的Fourier变换X(jw)可以将连续周期信号和连续非周期信号的频域分析统一起来，有利于信号的分析与处理。常见连续时间信号的频谱

常见连续时间信号的频谱

连续周期信号频谱（函数）频谱密度函数常见连续时间信号的频谱

连续非周期信号的频域分析

连续非周期信号的频域表示

常见连续时间信号的频谱

连续时间Fourier变换的性质线性特性对称特性互易对称特性展缩特性时移特性频移特性连续时间Fourier变换的性质

卷积特性乘积特性时域微分特性积分特性频域微分特性能量守恒定理连续时间Fourier变换的性质

1.线性特性 其中a，b均为常数 若则连续时间Fourier变换的性质

1.线性特性 连续时间Fourier变换的性质

2.对称特性若则连续时间Fourier变换的性质

【证明】2.对称特性（1）当x(t)为实信号时，则有幅度与相位实部与虚部连续时间Fourier变换的性质

偶对称奇对称（2）当x(t)为实偶信号时，则有是w的实函数，且为偶对称（3）当x(t)为实奇信号时，则有是w的纯虚函数，且为奇对称连续时间Fourier变换的性质

2.对称特性（4）当实信号x(t)表示为奇分量和偶分量之和时，连续时间Fourier变换的性质

2.对称特性则有：连续时间Fourier变换的性质

因此有：【例】求双边指数信号的频谱函数解：由于：当x(t)为实偶对称信号时，其频谱函数X(jw)也为实偶对称函数。3.互易对称特性连续时间Fourier变换的性质

3.互易对称特性若则连续时间Fourier变换的性质

4.展缩特性若则信号在时域中的扩展，对应频谱函数在频域中的压缩。连续时间Fourier变换的性质

【证明】4.展缩特性信号在时域中的扩展，对应频谱函数在频域中的压缩。连续时间Fourier变换的性质

已知，该信号的最高角频率是

rad/s，求信号ACD的最高角频率是（）rad/s。单选题B5.时移特性若则t0为任意实数信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中的相移。连续时间Fourier变换的性质

【证明】连续时间Fourier变换的性质

【例】

试求如图所示信号x(t)的频谱函数。6.频移特性(调制定理)若则连续时间Fourier变换的性质

信号在时域中的相移，对应频谱函数在频域中的频移。【证明】【例】

试求矩形信号x(t)与余弦信号cos(w0

t)相乘后信号的频谱函数。解:幅值为A、宽度为

的矩形信号的频谱函数为应用频移特性可得连续时间Fourier变换的性质

解:连续时间Fourier变换的性质

【例】试求矩形信号x(t)与余弦信号cos(w0

t)相乘后信号的频谱函数。线性特性对称特性互易对称特性展缩特性时移特性频移特性连续时间Fourier变换的性质

卷积特性乘积特性时域微分特性积分特性频域微分特性能量守恒定理连续时间Fourier变换的性质

7.卷积特性 若则信号在时域中的卷积，对应频谱函数在频域中的乘积。连续时间Fourier变换的性质

7.卷积特性 【证明】连续时间Fourier变换的性质

【例】求如图所示信号x(t)的频谱。

解：根据时域卷积特性

8.频域卷积特性 若则连续时间Fourier变换的性质

信号在时域中的乘积，对应频谱函数在频域中的卷积。8.频域卷积特性 连续时间Fourier变换的性质

【证明】【例】若信号x(t)的频谱如图所示，求x(t)。

解：连续时间Fourier变换的性质

根据频域卷积特性可得 9.时域微分特性 若连续时间Fourier变换的性质

则【证明】9.时域微分特性 若连续时间Fourier变换的性质

则【例】

试利用微分特性求矩形信号x(t)的频谱。解：

连续时间Fourier变换的性质

【例】

试利用微分特性求矩形脉冲信号x(t)的频谱。利用时域微分特性，得因此有解：

连续时间Fourier变换的性质

【例】求如图所示信号x(t)的频谱。

解：利用Fourier变换的时域微分特性，可得连续时间Fourier变换的性质

【例】试利用微分特性求图示信号x(t)的频谱。解：

利用时域微分特性信号的时域微分，丢失了信号中的直流分量。连续时间Fourier变换的性质

╳10.时域积分特性连续时间Fourier变换的性质

若则证明：因为【例】

试利用积分特性求图示信号y(t)的频谱。解：

时域积分特性连续时间Fourier变换的性质

连续时间Fourier变换的性质

【例】试利用积分特性求如图所示信号y(t)的频谱。解：

时域积分特性X连续时间Fourier变换的性质

【例】试利用积分特性求如图所示信号y(t)的频谱。解：

时域积分特性10.时域积分特性连续时间Fourier变换的性质

若则拓展连续时间Fourier变换的性质

若则解：连续时间Fourier变换的性质

【例】试利用积分特性求如图所示信号x(t)的频谱。连续时间Fourier变换的性质

【例】试利用积分特性求如图所示信号y(t)的频谱。解：

时域积分特性连续时间Fourier变换的性质

注意：11.频域微分特性 若则连续时间Fourier变换的性质

【证明】连续时间Fourier变换的性质

【例】分别求信号的频谱函数解：由于因此由于因此12.Parseval定理

非周期能量信号在时域中的归一化能量等于其在频域中的归一化能量，能量保持守恒。连续时间Fourier变换的性质

称为信号x(t)的能量谱连续时间Fourier变换的性质

【证明】连续时间Fourier变换的性质

【例】已知能量信号x(t)=e-3tu(t)，若以确定信号x(t)的有效带宽wB(rad/s)，试求解该wB(rad/s)。解：(E为信号总能量)由于故连续时间Fourier变换的性质

【例】计算

解：根据Parseval能量守恒定理，可得连续时间Fourier变换的性质

【例】已知连续时间信号x(t)如图所示，求其频谱。解：方法一

信号频域分析举例由于信号中不含有直流分量，可利用Fourier变换的时域微分特性信号频域分析举例根据Fourier变换的卷积特性，可得解：方法二信号频域分析举例根据Fourier变换的线性特性，可得解：方法三

【例】已知连续时间信号x(t)如图所示，求其频谱。解：方法一

信号频域分析举例根据Fourier变换的乘积特性，可得解:

方法二：信号频域分析举例根据Fourier变换的频移特性，可得

信号频域分析举例解:

方法三：由于x(±∞)=0，可利用Fourier变换的时域微分特性

信号频域分析举例根据Fourier变换的微分特性，可得解:

方法三：信号频域分析应用男低音信号时域波形男高音信号频谱男高音信号时域波形男低音信号频谱分析不同音域声音信号频域分析应用男低音信号时域波形男高音信号频谱男高音信号时域波形男低音信号频谱分析不同音域声音Hz频谱Hz帕瓦罗蒂戴玉强频谱信号频域分析应用含噪信号的时域波形含噪信号的频谱信号的时域波形信号的频谱信号频域分析应用滤波器的幅度响应滤波前信号的频谱滤波后信号的频谱滤除信号中的噪声信号频域分析应用连续非周期信号的频域分析

谢谢

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BEIJINGJIAOTONGUNIVERSITY离散周期信号的频域分析信号的频域分析

连续周期信号的频域分析

连续非周期信号频域分析

离散周期信号的频域分析离散非周期信号频域分析连续时间信号的时域抽样

离散周期信号的频域分析

离散周期信号的频域表示离散周期信号的频谱

离散Fourier级数的性质离散周期信号的频域表示周期为N的离散周期信号可用虚指数序列表示为上式为周期序列的离散Fourier级数(DiscreteFourierSeriers,DFS)表示，

称为周期序列的DFS系数。时域信号与其DFS系数

之间存在一一对应关系。称为离散周期信号的频谱离散周期信号的频域表示

离散周期信号的频域分析

离散周期信号的频域表示

离散周期信号的频谱

离散Fourier级数的性质离散周期信号的频谱（1）

是离散谱（2）

是周期为N的周期序列幅度频谱相位频谱求如图所示周期为3的周期单位脉冲序列

的频谱。离散周期信号的频谱周期单位脉冲序列解：【例】求周期为3的序列的频谱。离散周期信号的频谱解：【例】求周期为4的序列的频谱。离散周期信号的频谱解：【例】求周期为4的序列的频谱。离散周期信号的频谱解：1j-1-j【例】求周期序列的频谱。解：离散周期信号的频谱周期序列

的周期N=10解：离散周期信号的频谱【例】求周期序列的频谱。【例】如图所示周期为6的周期矩形序列的频谱。解：离散周期信号的频谱解：【例】已知周期为N=8的序列的频谱如下，确定

。离散周期信号的频谱离散周期信号的频谱解：【例】已知周期为N=8的序列的频谱如下，确定

。

离散周期信号的频域分析

离散周期信号的频域表示

离散周期信号的频谱

离散Fourier级数的性质离散Fourier级数的性质

线性特性时域位移特性

频域位移特性对称特性周期卷积特性

Parseval定理1.线性特性若：则：离散Fourier级数的性质

a,b为常数周期序列位移后，仍为相同周期的周期序列，因而只需要观察位移后序列一个周期的情况。周期序列的位移2.时域位移特性离散Fourier级数的性质

序列在时域的位移，对应其频谱在频域的相移。2.时域位移特性若则【证明】离散Fourier级数的性质

【例】已知周期为3的序列，

求的频谱。解：离散Fourier级数的性质

解：【例】已知离散周期为4的序列的频谱为，

若离散周期序列的频谱，试求。离散Fourier级数的性质

已知周期为4的周期序列(1)计算其频谱；(2)若，计算和。解：1j-1-j离散Fourier级数的性质

解：已知周期为4的周期序列(1)计算其频谱；(2)若，计算和。离散Fourier级数的性质

序列在时域的相移，对应其频谱在频域的位移。若则3.频域位移特性离散Fourier级数的性质

【证明】【证明】【例】已知周期为3的序列，求

的频谱。解：离散Fourier级数的性质

离散Fourier级数的性质

周期序列的偶对称4.对称特性离散Fourier级数的性质

周期序列的奇对称4.对称特性离散Fourier级数的性质

4.对称特性【证明】离散Fourier级数的性质

若为实序列，则有4.对称特性因此有离散Fourier级数的性质

偶对称奇对称为实序列，则幅度谱偶对称，相位谱奇对称。离散Fourier级数的性质

周期卷积定义：

周期卷积是两个等周期的周期序列的卷积运算周期卷积的结果仍为一个相同周期的周期序列离散Fourier级数的性质

例：周期为3的序列如图，计算周期卷积的矩阵表示：例：周期为3的序列如图，计算

时域周期卷积特性：周期序列在时域的周期卷积，对应其频谱在频域的乘积5.周期卷积特性【证明】离散Fourier级数的性质

频域周期卷积特性：周期序列在时域的乘积，对应其频谱在频域的周期卷积。5.周期卷积特性离散Fourier级数的性质

6.Parseval定理若则离散Fourier级数的性质

线性特性

对称特性

时移特性

频移特性

卷积特性

Parseval定理离散Fourier级数的性质

离散周期信号的频域分析

谢谢

本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来源于多种媒体以及同事与同行的交流，难以一一注明出处，特此说明并表示感谢！

BEIJINGJIAOTONGUNIVERSITY离散非周期信号的频域分析信号的频域分析

连续周期信号的频域分析连续非周期信号频域分析离散周期信号的频域分析

离散非周期信号频域分析连续时间信号的时域抽样离散非周期信号的频域分析

离散非周期信号的频域表示

离散非周期信号的频谱

离散时间Fourier变换的性质离散非周期信号的频域表示满足一定收敛条件的非周期序列可用虚指数序列表示为加权系数称为离散非周期信号的频谱IDTFTDTFT离散非周期信号的频域表示离散非周期信号与其频谱

为一一对应关系

定义X(ejW)的部分和绝对可和，则一致收敛于若序列满足绝对可和，则序列存在DTFT。（充分条件）

离散非周期信号的频域表示离散非周期信号的频域分析

离散非周期信号的频域表示

离散非周期信号的频谱

离散时间Fourier变换的性质离散非周期信号的频谱（1）X(ejW

)是W的连续函数（2）X(ejW)是以2

为周期的周期函数离散非周期序列的频谱X(ejW

)特点：离散非周期信号的频谱（1）X(ejW

)是W的连续函数（2）X(ejW

)是以2

为周期的周期函数离散非周期序列的频谱X(ejW

)特点：离散非周期信号的频谱X(ejW

)是以2

为周期的周期函数√=2+2cos(2W)X(ejW

)是周期为2

的周期函数╳相位谱φ(W)

的主值(principalvalue)区间为-p<φ

(W)

p

序列频谱的表示幅度频谱相位频谱离散非周期信号的频谱【例】求单位脉冲序列的频谱。解：离散非周期信号的频谱【例】求离散非周期序列x[k]=a

ku[k]的频谱。

当|a|≥1时，不满足绝对可和，序列的DTFT不存在。

当|a|<1时，解：a=0.7离散非周期信号的频谱【例】求宽度为2M+1的矩形序列x[k]的频谱。解：矩形序列离散非周期信号的频谱M=4时M=10、M=4的两个矩形序列，哪个信号的高频成分更丰富？【例】求宽度为2M+1的矩形序列x[k]的频谱。离散非周期信号的频谱【例】已知序列x[k]的频谱X(ejW)在[-p,p)的定义为解：试求解其对应的x[k]。根据IDTFT的定义离散非周期信号的频谱Sa(Wck)不满足绝对可和，但仍存在DTFT。离散非周期信号的频域分析

离散非周期信号的频域表示离散非周期信号的频谱

离散时间Fourier变换的性质离散时间Fourier变换的性质

线性特性对称特性时移特性频移特性时域卷积特性频域卷积特性频域微分特性Parseval定理若则1.线性特性离散时间Fourier变换的性质

2.对称特性离散时间Fourier变换的性质

若则【证明】根据可得当x[k]是实序列时幅度与相位实部与虚部2.对称特性离散时间Fourier变换的性质

偶对称奇对称

【例】求序列x[k]={1,2,1；k=0,1,2}的幅度谱和相位谱。解：

序列在时域的位移，对应其频谱在频域的相移。3.时移特性若则离散时间Fourier变换的性质

【例】已知x[k]如图所示，求y[k]=x[k－1]的频谱。解：

序列在时域的相移，对应其频谱在频域的频移。4.频移特性若则离散时间Fourier变换的性质

【例】已知x[k]的频谱如图所示，求y[k]的频谱。解：离散时间Fourier变换的性质

解：序列在时域的卷积，对应其频谱在频域的乘积。5.时域卷积特性离散时间Fourier变换的性质

若则序列时域的乘积，对应其频谱在频域的周期卷积。6.频域卷积特性离散时间Fourier变换的性质

若则7.频域微分特性若则离散时间Fourier变换的性质

【证明】根据可得

序列在时域的能量，等于其频谱在频域的能量。8.Parseval定理若则离散时间Fourier变换的性质

8.Parseval定理证明：离散时间Fourier变换的性质

反映了序列x[k]的能量在频域的分布情况离散非周期序列x[k]的能量谱离散时间Fourier变换的性质

序列x[k]与其能量谱G(ejW)不是一一对应关系

【例】已知有限长序列，不计算x[k]

的频谱

X(ejW)，直接确定下列表达式的值。解：(3)(4)(2)(1)

线性特性

对称特性

时移特性

频移特性离散时间Fourier变换的性质

时域卷积特性

频域卷积特性

Parseval定理离散时间Fourier变换的性质

频域微分特性声音的特性与分类信号频域分析的工程应用

声音的特性与分类特性含义决定因素听感表现相关问题音调声音的基频发声体振动的频率(频率高则音调高,频率低则音调低)音调高：清脆、尖细音调低：粗犷、低沉声音是由基频f0和许多f0整数倍的谐波组成。基频f0决定音高。人听觉频率20Hz~20kHz音色声音的特质发声体本身的材料、结构分辨不同发声体发出的声音的重要特征谐波成分决定音色响度声音的强弱发声体振动的幅度响度大：震耳欲聋响度小：轻声耳语随着响度增加，低音会变得更低，高音会变得更高，中音(1~2kHz)只有微小变化。信号频域分析的工程应用

请听下面A-G大调音阶，并注意声音有什么变化?A大调B大调C大调D大调E大调F大调G大调音调越来越高各大调音阶的基波频率是多少?音阶的频谱分析音名DoReMiFaSoLaSiDo2频率220247277294330370415440A大调音阶的时域波形及其频谱音阶的频谱分析音名DoReMiFaSoLaSiDo2频率392440494523587659740784音阶的频谱分析G大调音阶的时域波形及其频谱不含谐波含谐波两者音色不同音阶的频谱分析C大调音阶的时域波形及其频谱音阶基频谐波分布(频率Hz/幅度)Do262524/0.38786/0.181048/0.1Re294588/0.38882/0.181176/0.1Mi330660/0.38990/0.181320/0.1Fa349698/0.421047/0.21396/0.1C大调音阶频谱DoReMi音阶的频谱分析我和你_萨拉布莱曼s信号频谱Hz时域波形她的声音空灵到了极致，仿佛带你漫步云端。音乐信号的频谱分析

忐忑_龚琳娜s信号频谱Hz时域波形音乐信号的频谱分析

童声接电话的时域波形及其频谱s信号频谱Hz时域波形音乐信号的频谱分析

Fourier变换从理论上解决了如何从时域映射到频域连续非周期信号x(t)：连续周期信号：离散非周期信号x[k]：离散周期信号：信号的频域分析

信号的频域分析

离散非周期信号的频域分析

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BEIJINGJIAOTONGUNIVERSITY连续时间信号的时域抽样信号的频域分析

连续周期信号的频域分析连续非周期信号频域分析离散周期信号的频域分析离散非周期信号频域分析

连续时间信号的时域抽样连续时间信号的时域抽样

为何要进行信号抽样信号抽样的理论分析

抽样定理的本质内容抽样定理的工程应用

抽样所得信号的重建为何要进行信号抽样信号时域抽样的定义离散系统抽样重建输入x(t)x[k]y[k]输出y(t)利用数字技术处理模拟信号易于存储易于传输易于处理为何要进行信号抽样易于存储模拟存储数字存储相机胶卷磁带录像带DVD硬盘SD卡存储方式数字信号的主要特点数字存储优点：1.容量大2.稳定性好容量大易于存储序号存储方式名称存储容量需要数量1模拟A4纸约2000字/页2415页2模拟胶卷36页A467卷3数字CD700MB1.4张4数字U盘8GB0.12个5数字硬盘1TB0.0009个例如：中国最长的古典小说《榴花梦》共483万字。存储一个汉字需要2个字节，约计943MB。700M容量CD需1.4张8G容量U盘需0.12个数字信号的主要特点模拟信号传输原理图数字信号传输原理图模拟信源A/D转换D/A转换信道模拟信宿模拟信源信道模拟信宿数字传输优点：抗干扰能力强易于传输数字信号的主要特点模拟信号传输受到的噪声干扰数字信号传输受到的噪声干扰易于传输数字信号的主要特点数字信号的幅值采用二进制0,1编码。相比模拟信号而言，抗干扰能力强。易于传输数字信号的主要特点数字电视信号模拟电视信号抗干扰能力强语音信号加密语音伪随机码保密性好易于处理数字信号的主要特点通过信号延时可以实现音乐的混响效果刘欢“我和你”原唱处理后的音频信号混响框图数字信号的主要特点易于处理识别检索采集定位特征提取特征匹配检索结果易于处理数字信号的主要特点人脸资料库信号的时域抽样

为何要进行信号抽样

信号抽样的理论分析

抽样定理的本质内容抽样定理的工程应用抽样所得信号的重建信号抽样的理论分析抽样间隔（频率）对音乐信号的影响fsam=44,100Hzfsam=22,050Hzfsam=11,025Hzfsam=5,512Hz信号抽样的理论分析抽样间隔对图像的影响信号抽样的理论分析思考：如何选取抽样间隔T？信号抽样的理论分析精度与效率的辩证关系传统模型新模型输入和输出都是连续时间信号输入是连续时间信号，输出是离散时间信号信号抽样的理论分析信号抽样的理论分析新模型?离散序列x[k]的频谱为X(ejW)。连续信号x(t)的频谱为X(jw)，信号抽样的理论分析多视角分析问题信号抽样的理论分析信号抽样的理论分析信号的时域抽样

为何要进行信号抽样信号抽样的理论分析

抽样定理的本质内容抽样定理的工程应用抽样所得信号的重建时域抽样定理其中：T

为抽样间隔，wsam=2p/T为抽样角频率。则有本质内容：信号时域的离散化，对应其频域的周期化若存在W=wT抽样定理的本质内容勇于探索【例】已知连续时间信号x(t)的频谱如图所示，试画出抽样间隔T=0.01s时，

抽样后离散序列的频谱。W=wT解：wsam=2p/T=200prad/s解：T=0.01sW=wTwsam=2p/T=200prad/s时域离散化频域周期化若带限信号x(t)的最高频率为fm，当抽样频率fsam满足fsam=

2fm

为最小抽样频率，称为NyquistRate。fsam

2fm

（ωsam

2ωm）传统的时域抽样定理信号x(t)可以用等间隔T的抽样值唯一表示。(充分条件)

Nyquist，美国物理学家，1889年出生在瑞典。他对信息论做出了重大贡献。1907年移民到美国，并于1912年进入北达克塔大学学习。1917年在耶鲁大学获得物理学博士学位。1917～1934年在AT&T公司工作，后转入Bell电话实验室工作。

1927年，Nyquist确定了对某一带宽的有限时间连续信号进行抽样，为不使原波形产生“半波损失”，抽样率至少应为信号最高频率的2倍，这就是著名的Nyquist抽样定理。HarryNyquist(1889–1976)传统的时域抽样定理wm=56╳103rad/s,B=8╳103rad/swsam=2B=16

╳103rad/s(103rad/s)(103rad/s)高频窄带信号的抽样信号的时域抽样

为何要进行信号抽样信号抽样的理论分析

抽样定理的本质内容抽样定理的工程应用抽样所得信号的重建抽样定理工程应用

许多实际工程信号不满足带限条件

抗混低通

滤波器

混叠误差与截断误差比较非带限信号的抽样语音信号的抗混叠滤波抽样频率fsam=44,100Hz抽样频率fsam=5,512Hz抽样频率fsam=5,512Hz抽样前对信号进行了抗混叠滤波非带限信号的抽样混叠误差截断误差混叠误差大于截断误差，对于非带限信号，一般先通过抗混叠滤波器后，再进行抽样。

信号时域抽样在通信4G信号采集中的应用通信4G信号是射频信号，通过相应调制可使之成为下列频谱分布的中频信号。该信号为最高频率55MHz的模拟信号，无需采用2x55=110MHz进行抽样，按照22MHz抽样未出现频谱混叠失真。抽样定理的工程应用关于连续信号的时域抽样，正确的说法是()ABC单选题对于连续时间信号的抽样，抽样频率越大越好

对于带限信号，抽样频率不能小于信号最高频率的两倍

对于高频窄带信号，抽样频率只能是信号带宽的两倍信号在时域的离散化，对应频谱在频域的周期化D信号时域抽样的本质内容（重点）信号时域的离散化，对应信号频谱的周期化高频窄带信号的时域抽样（难点）高频窄带信号的抽样频率无需是信号最高频率的两倍，需要根据信号频谱特点确定合适的抽样频率。抽样频率选取的工程概念（升华）信号抽样频率既不能太大，也不能太小；其体现了精度与效率（得与失）的辩证关系。内容总结

信号的时域抽样

为何要进行信号抽样信号抽样的理论分析

抽样定理的本质内容

抽样定理的工程应用

抽样所得信号的重建信号重建的理论分析

频域分析信号重建的理论分析

时域分析wsam=2p/Twc=wsam/2信号重建的理论分析

离散序列冲激串信号滤波器冲激响应时域分析信号重建的理论分析

时域分析信号重建的理论分析

重建的连续信号时域分析信号抽样与重建的工程实现

连续时间信号离散时间信号抽样保持0010010001000110011110011000011101000010数字信号量化编码信号抽样与重建的工程实现

离散序列零阶保持输出的连续信号低通滤波后的重建信号信号抽样与重建的工程实现

为了保证重建信号的正确，要求如果T1≠T2会出现什么问题？抽样间隔与重建间隔关系信号抽样与重建的工程实现

连续信号的离散处理

基于信号的抽样与重建，可利用离散系统处理连续时间信号连续信号的离散处理

【例】如图所示系统，已知输入信号x(t)的频谱X(jw)，离散系统的频率

响应H(ejW)，试画出x[k],y[k],y(t)的频谱X(ejW)、Y(ejW)和Y(jw)。连续信号的离散处理

解：H(ejW)连续信号的离散处理

解：T连续信号的离散处理

(1)已知数字滤波器的截频Wc，等效的AF的截频wc=Wc/T。(2)若等效AF的截频为wc，则DF的截频应设计为Wc=wcT。

解：数字滤波器(DF)等效模拟滤波器(AF)连续时间信号的时域抽样

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BEIJINGJIAOTONGUNIVERSITY利用MATLAB进行信号的频域分析音乐音阶信号的频谱分析频谱近似值与理论值比较利用有限项分析Gibbs现象利用MATLAB进行信号的频域分析1.

音乐音阶信号的频谱分析利用MATLAB进行信号的频域分析男高音时域波形男低音时域波形fft(x)：计算信号M点的频谱。M是序列x的长度。fft(x,N)：计算信号N点的频谱。

M>N，将原序列裁为N点计算N点的频谱；

M<N，将原序列补零至N点，然后计算N点的频谱。fftshift(X)：重新排列fft的输出结果。MATLAB提供了计算频谱的函数：利用MATLAB进行信号的频域分析

信号的频谱一般为复函数，可分别利用abs和angle函数

获得其幅频特性和相频特性。Mag=abs(X)计算频谱X的幅度谱。

Pha=angle(X)

计算频谱X的相位谱，

返回(-p,p]的相位值。

其调用格式分别为:

(其中为信号x的频谱)

X=fft(x)利用MATLAB进行信号的频域分析%computethespectrumofaudiosignal[x,Fs,Nbits]=