贵州省黔南布依族苗族自治州瓮安县瓮安中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题（含解析）

贵州省瓮安中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数2+ia−i(其中a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则a+i的模为(

)A.52 B.55 C.2.若{a,b,A.2a−b，a+b−c，7a+5b+3c

B.2a+b，a+3.在空间直角坐标系O−xyz中，已知点A(−1,0,0)、B(0,0,1)、C(1,1,1)，则下列向量可以作为平面ABC的一个法向量的是(

)A.(−1,1,−1) B.(−1,1,1) C.(1,1,−1) D.(−1,−1,1)4.PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，cos<DP，AE>=33A.(1,1,2) B.(2,2,1) C.(1,1,1) D.(1 , 1 , 5.已知a=(1,−32,52)，b=(−3,λ,−A.23 B.92 C.−96.如图，在△ABC中，AN=NC，P是BN上的一点，BP=3PN，若AP=mAB+A.14

B.38

C.347.已知函数f(x)=(4−a)x−1(x<1)x2+2(a−1)x+1(x≥1)，对∀x1，x2A.[1,3) B.[1,3] C.[1,+∞) D.[0,3)8.[2013·东城模拟]如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为(

)

A.AC⊥BD B.AC/​/截面PQMN

C.AC=BD D.异面直线PM与BD所成的角为45°二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列关于平面向量的说法中正确的是(

)A.已知a=(1,n)，b=(−1,n)，若2a−b与b垂直，则|a|=3

B.a=(2,k)，b=(k,2)，若a与b共线，则k=±2

C.若点G为△ABC的重心，则GA+GB+GC=0

D.平面上三点的坐标分别为A(−2,1)，10.已知O，A，B，C为空间的四个点，则(

)A.若OA,OB,OC构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面

B.若{OA,OB,OC}是空间的一个基底，则{OA+OB,OA−OB,OC}也是空间的一个基底

C.若OA11.下列说法，正确的是(

)A.|a|−|b|=|a+b|是a，b共线的充要条件

B.若{a,b,c}为空间的一个基底，则{a+b,b+c,c+a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设O为坐标原点，F1,F2为双曲线C:x29−y2613.若曲线f(x)=xex有且仅有两条过点(0,a)的切线，则实数a14.对于任意实数k，直线(3k+2)x−ky−2=0与圆x2+y四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A为锐角，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m=(cosA,sinA)，n=(cosA,−sinA)，且m⋅n=12．

(1)求角A的大小；

(2)若a=716.(本小题15分)

如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，|AB|=|AC|=2，|AA1|=4，D为BC中点，E为CC1上的点，且|CE|=14|C17.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC−DEF中，AC=BC=2，AB=22，AB=22，AD=4，M、N分别为AD、CF的中点．

(1)求证：AN⊥平面BCM；

(2)设G为BE上一点，且BG=34BE18.(本小题17分)

某手机App公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款App人数的满意度统计数据如下：月份x12345不满意的人数y1201051009580(1)求不满意人数y与月份x之间的回归直线方程y​=b​x+a​，并预测该小区10月份对这款App不满意人数；

(2)工作人员从这使用APP不使用APP女性4812男性2218根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为是否使用这款App与性别有关？

附：回归方程y​=b​x+a​中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

bα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828参考数据：i=15xiyi=141019.(本小题17分)

已知复数z满足(1+i)z=1−3i(i是虚数单位)．

(1)若复数(1+ai)z是纯虚数，求实数a的值；

(2)若复数z的共轭复数为z−，求复数z−z+1的模．答案和解析1.【答案】C

【解析】解：复数2+ia−i=(2+i)(a+i)(a−i)(a+i)=2a−1a2+1+a+2a2+1i是纯虚数，∴2a−1a22.【答案】B

【解析】解：因为2a−b+a+b−c=3a−c≠k(7a+5b+3c)，当k不为零是，k无解，所以2a−b，a+b−c，7a+5b+3c不共面，A错误．

因为2(2a+b)+3(a+b+c)=7a+5b+3c，所以23.【答案】B

【解析】解：根据题意，A(−1,0,0)，B(0,0,1)，C(1,1,1)，

则AB=(1,0,1)，AC=(2,1,1)，

设平面ABC的法向量为m=(x,y,z)，

则AB⋅m=x+z=0AC⋅m=2x+y+z=0，令x=1，则y=−1，z=−1，

故m=(1,−1,−1)，

依次分析选项：

对于A，对于向量(−1,1,−1)，因为−11=1−1≠−1−1，所以此向量与m不共线，不能作为平面ABC的法向量，所以A错误，

对于B，对于向量(−1,1,1)，因为−11=1−1=1−1，所以此向量与m共线，可以作为平面ABC的法向量，所以B正确，

对于C，对于向量(1,1,−1)，因为11≠1−1≠−1−1，所以此向量与m不共线，不能作为平面4.【答案】C

【解析】解：设P(0,0,t)，(t>0)，D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，E(1,1,t2)，

∴DP=(0,0,t)，AE=(−1,1,t2)．

∴DP⋅AE=t22，|DP|=t，|AE|=2+5.【答案】B

【解析】解：a=(1,−32,52)，b=(−3,λ,−152)满足a/​/b，

6.【答案】A

【解析】【分析】本题考查平面向量基本定理及线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．

根据题意得到AP=14AB+【解答】

解：∵在△ABC中，AN=NC，P是BN上的一点，BP=3PN，

∴AP=AB+BP=AB+34BN

7.【答案】A

【解析】解：依题意，函数f(x)在R上为增函数，

即4−a>11−a≤13−a≤2+2(a−1)，解得1≤a<3．

故选：A．

由条件推理判断函数f(x)在R上为增函数，利用分段函数的单调性建立不等式组，求解即得参数范围．8.【答案】C

【解析】注意P、Q、M、N不一定为中点，选C项．9.【答案】ABC

【解析】解：对于A，∵a=(1,n)，b=(−1,n)，

∴2a−b=(3,n)，

∵2a−b与b垂直，

∴−3+n2=0，解得n2=3，

∴|a|=1+n2=2，故A正确，

对于B，a=(2,k)，b=(k,2)，a与b共线，

则4=k2，解得k=±2，故B正确，

对于C，∵点G为△ABC的重心，

∴GA=13(BA+CA)，GB=13(AB+CB)，GC=13(BC+AC)，

∴GA+GB+GC=0，故C正确，

对于D，设点D的坐标为(x,y)，

当四边形ABCD为平行四边形时，

∵AB=(1,2)，DC=(3−x,4−y)，

∴1=3−x2=4−y，解得x=2y=2，

∴点D的坐标为(2,2)，

当四边形ACDB为平行四边形时，

∵AB=(1,2)，CD=(x−3,y−4)，且AB=CD10.【答案】BD

【解析】解：对于选项A，由OA,OB,OC构成空间的一个基底，可得O，A，B，C四点不共面，故A选项错误；

对于选项B，假设{OA+OB,OA−OB,OC}不是空间的一个基底，则存在m，n，使得OC=m(OA+OB)+n(OA−OB)，

∴OC=(m+n)OA+(m−n)OB，与{OA,OB,OC}是空间的一个基底矛盾，故B选项正确；

对于选项C，∵OA与BC共线，对于任意非零向量a，都满足OA,BC,a共面，

故不存在一个向量与OA,BC构成空间的一个基底，故C选项错误；

对于选项D，由已知可得(x+y+z)OM=xOA+yOB+zOC，

∴xMA+yMB+zMC=0，

∵x+y+z=1，∴x，y，z至少有一个数不为0，

不妨设11.【答案】BC

12.【答案】3【解析】【分析】本题考查双曲线的焦点三角形问题，利用余弦定理解三角形，向量的数量积的概念及其运算，属于中档题．

利用双曲线的定义以及余弦定理求出|PF【解答】解：由题可得||PF1|−|P则由余弦定理得，即|PF1|2+|PF因为PO=12(P即|PO|=12|故答案为：313.【答案】4e【解析】解：设切点P(x0,y0)

由f(x)=xex上一点，得f(x0)=x0ex0，

又f′(x)=ex−xex(ex)2=1−xex，则f′(x0)=1−x0ex0，

则曲线f(x)=xex在点P(x0,y0)处的切线方程为y−x0ex0=1−x0ex0(x−x0)，

把点(0,a)代入，可得则a−x0ex0=1−x0ex0(−x0)，即a=x02ex14.【答案】相切或相交

【解析】解：把圆的方程化为标准形式得：(x−1)2+(y−1)2=22，可知圆的半径等于2，求出圆心到直线的距离d=|2k|(3k+2)215.【答案】解：(1)∵m=(cosA,sinA)，n=(cosA,−sinA)，且m⋅n=12，

∴cos2A−sin2A=cos2A=12．

∵0<A<π2，∴0<2A<π，

∴2A=π3，

则A=π6；

(2)∵a=7，【解析】本题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

(1)由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式，求出cos2A的值，即可确定出A的度数；

(2)利用余弦定理列出关系式，把a，c，cosA的值代入求出b的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积S．16.【答案】解：(1)证明：依题意，|CE|=14|CC1|=14×4=1，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(2,0,0)，E(0,2,1)，A(0,0,0)，D(1,1,0)，B1(2,0,4)，

∴BE=(−2,2,1)，AD=(1,1,0)，AB1=(2,0,4)，

∴BE⋅AD=0,BE⋅AB1=0，

∴BE⊥AD，BE⊥AB1，

∴AD∩AB1=A，

∴BE⊥【解析】(1)建立空间直角坐标系，证明BE⋅AD=0,BE⋅AB1=0，即可得到结论；

(2)17.【答案】解：(1)证明：在直三棱柱ABC−DEF中，AC=BC=2，AB=22，AD=4，M、N分别为AD、CF的中点，

∵AC=BC=2，AB=22，

∴AC2+BC2=AB2，即AC⊥BC，

又ABC−DEF是直三棱柱，∴BC⊥平面ACFD，则BC⊥AN，

∵M、N分别为AD、CF的中点，且AD=4，AC=2，

∴四边形ACNM为正方形，则CM⊥AN，

又BC∩CM=C，∴AN⊥平面BCM；

(2)由(1)知，即AC⊥BC，

又ABC−DEF是直三棱柱，∴AC⊥平面BCFE，∴MA//FC，

则点M到平面GBC的距离即为AC=2，∴VG−BCM=VM−BCG=13S△BCG⋅AC=13×12⋅BC⋅BG⋅AC=16×2×3×2=2，

由(1)【解析】(1)根据AC2+BC2=AB2得AC⊥BC，并且得出四边形ACMN为正方形，进而即可求证；

(2)先算出点M到平面GBC的距离即为AC=2，由VG−BCM=VM−BCG=13SABCG18.【答案】解：(1)由表可知，x−=15×(1+2+3+4+5)=3，y−=15×(120+105+100+95+80)=100，

所以b=i=15xiyi−5x−⋅y−i=15xi2−5x−2=1410−5×3×10055−5×32=−9，

a【解析】(1)根据表中数据和参考公式计算回归系数b​和a​，即可得回归方程，再代入x