高考数学一轮复习 一元函数的导数及其应用 第03讲 极值与最值（练习）（解析版）

第03讲极值与最值（模拟精练+真题演练）1．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）函数的极小值点为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为定义域为，所以，令得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值．故选：D2．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数，则（

）A．有一个极值点B．有两个零点C．点（0，1）是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线【答案】C【解析】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A错误；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：C.3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，由已知得，解得，所以，所以，由，解得，所以函数的单调递增区间是.故选：C．4．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】的定义域为，在上单调递增，且，，所以，．的定义域为，由，当时，，当时，，故在处取得极大值，也是最大值，，即．所以．故选：A5．（2023·河北·校联考模拟预测）已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵∴原式令，则，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，又∵，，，∴当时，，∴当，的取值范围是.故选：D.6．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）当时，函数取得最小值，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，函数取得最小值，所以，所以，得，又，根据函数在处取得最值，所以即得，所以，.故选：C.7．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知e是自然对数函数的底数，不等于1的两个正数m，t满足，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则，解出，或（舍），所以，即，，令，，，时，，时，，在上单调递减，在上单调递增，所以，故选：B.8．（2023·山东烟台·统考二模）若函数有两个极值点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数有两个极值点，又函数的定义域为，导函数为，所以方程由两个不同的正根，且为其根，所以，，，所以，则，又，即，可得，所以或（舍去），故选：C.9．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·校联考二模）函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（

）A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点【答案】AC【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间上，有极大值为，C选项正确.在区间上，是的极小值点，D选项错误.故选：AC10．（多选题）（2023·广东汕头·统考三模）设函数的导函数为，则（

）A． B．是函数的极值点C．存在两个零点 D．在(1，+∞)上单调递增【答案】AD【解析】，所以函数在上单调递增，所以函数不存在极值点，故B错误，D正确；，故A正确；，得，中，，所以恒成立，即方程只有一个实数根，即，故C错误.故选：AD11．（多选题）（2023·山西运城·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．曲线在处的切线与直线垂直B．在上单调递增C．的极小值为D．在上的最小值为【答案】BC【解析】因为，所以，所以，故A错误；令，解得，所以的单调递增区间为，而，所以在上单调递增，故B正确；当时，所以的单调递减区间为，所以的极小值为，故C正确；在上单调递减，所以最小值为，故D错误；故选：BC12．（多选题）（2023·辽宁·校联考三模）已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的可能取值有（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由题可知，，因为有两个不同的极值点，所以且，若，则．当时，，即，即，即，设，则，所以在上单调递减，则，则，所以．若，则．当时，，即，若，则当时，，不满足题意，所以，此时，即．设，则易得在上单调递减，在上单调递增，所以解得，所以．综上，的取值范围是，故选:BD．13．（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）函数在内有极小值，则的一个可能取值为______．【答案】（答案不唯一，只要符合均可）【解析】由得，若有极值点，则，所以，故当或时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，故当时，取极小值，因此要使在内有极小值，则，故答案为：（答案不唯一，只要符合均可）14．（2023·云南红河·统考二模）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．【答案】/【解析】由，得，因为是函数的极小值点，所以，即，即，解得或．当时，，当或时，，当时，，所以，在区间，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点，不符合题意；当时，，当或时，，当时，，所以在区间，上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故又因为，，所以函数在的最大值为．故答案为：．15．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，，若与中恰有一个函数无极值，则的取值范围是______．【答案】【解析】若无极值，则恒成立，即，解得；若无极值，则对恒成立，所以，即．所以与中恰有一个函数无极值，则或，解得．16．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】当时，，符合题意；当时，令，则，可化为，令，则，时，单调递减，时，单调递增，所以的最小值为，对于任意，都有，等价于，即，对于①：由在上单调递增，且，可知，即且，在且的条件下，对②：由时，单调递减，可得，②成立，综上可知：实数的取值范围为.故答案为：17．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知函数，且f（x）在内有两个极值点（）．(1)求实数a的取值范围；(2)求证：．【解析】（1）由题可知,,令,即,即有两个根,令,则,由得,,解得;由得,,解得,所以在单调递增,单调递减,时,所以要使有两个根,则,解得,所以.（2）由(1)可知且，所以要证，只用证，等价于证明，而，即，故等价于证明，即证.令，则，于是等价于证明成立，设，，所以在上单调递增，故，即成立，所以，结论得证.18．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知函数.(1)求的极值；(2)若恒成立，求的取值范围.【解析】（1）由得，令，故在单调递增，令，故在单调递减，故当时，取极小值，且极小值为，故极大值，（2）由恒成立可得恒成立，记，则，令，则，由（1）知：在处取极小值也是最小值，且最小值为1，故，因此在上单调递增，且，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取极小值也是最小值1，故19．（2023·全国·模拟预测）已知函数.(1)若曲线在处的切线与直线相互垂直，探究函数的单调性；(2)若函数有唯一的极值0，求的值.【解析】（1）依题意，，故，解得，则，故，则，故当时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减，故，故，则函数在上单调递减；（2），则，设唯一的极值点为，则由得，，（*）令，则，所以，记，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，且，所以当时，，从而单调递减，当时，，从而单调递增，故，从而在上单调递增，又因为，所以，代入①可得，当时，，，因为是（*）的唯一零点，且，所以是唯一的极值点，且极值为0，满足题意.所以.20．（2023·四川成都·三模）已知函数，其中．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若是函数的极小值点，求的取值范围．【解析】（1）当时，函数．．．

∴曲线在点处的切线方程为．（2）由题知，不妨设．．

（i）当时，不妨设．在上恒成立．在上单调递增．

又，∴当时，；当时，．

，．∴当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增．是函数的极小值点．

（ii）当时，不妨设．，使得，且．在上单调递减．

∴当时，．∴当时，．在上单调递减．

不是函数的极小值点．综上所述，当是函数的极小值点时，的取值范围为．21．（2023·北京房山·统考二模）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)当时，求函数的最小值；(3)证明：【解析】（1）.所以，，所以在点处切线的方程为，即.（2）当时，，，令，则.当时，，所以在单调递减.所以.所以，函数在上单调递减.函数在上单调递减.所以，即函数的最小值为.（3）由（2）可知在上单调递减.又因为，所以.所以，即22．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知．(1)求在处的切线方程；(2)若，记为函数g(x)的两个极值点，求的取值范围．【解析】（1），又切点切线方程为，即.（2）为两个极值点，有两个不等的正根，，，得，令，得，，，则，则，在递减，，即的取值范围为．1．（2022•乙卷）函数在区间，的最小值、最大值分别为A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】，，，则，令得，或，当，时，，单调递增；当时，，单调递减；当，时，，单调递增，在区间，上的极大值为，极小值为，又，，函数在区间，的最小值为，最大值为，故选：．2．（2021•乙卷）设，若为函数的极大值点，则A． B． C． D．【答案】【解析】令，解得或，即及是的两个零点，当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，则；当时，由三次函数的性质可知，要使是的极大值点，则函数的大致图象如下图所示，则；综上，．故选：．3．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）若函数既有极大值也有极小值，则A． B． C． D．【答案】【解析】函数定义域为，且，由题意，方程即有两个正根，设为，，则有，，△，，，，即．故选：．4．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知函数，则A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【答案】【解析】，令，解得或，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，且，有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；又，则关于点对称，故选项正确；假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，显然和均不在曲线上，故选项错误．故选：．5．（2022•乙卷）已知和分别是函数且的极小值点和极大值点．若，则的取值范围是．【答案】．【解析】对原函数求导，分析可知：在定义域内至少有两个变号零点，对其再求导可得：，当时，易知在上单调递增，此时若存在使得，则在单调递减，，单调递增，此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，应满足，不满足题意；当时，易知在上单调递减，此时若存在使得，则在单调递增，，单调递减，且，此时若函数在和分别取极小值点和极大值点，且，故仅需满足，即：，解得：，又因为，故综上所述：的取值范围是．6．（2023•北京）设函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）设，求的单调区间；（Ⅲ）求的极值点的个数．【解析】（Ⅰ）因为函数，所以，因为在点，（1）处的切线方程为，所以，即，解得，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，所以，所以，令，解得或，所以与的关系列表如下：0，，000单调递增单调递减单调递增单调递减所以在区间和，上单调递增，在区间和，上单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，单调递增，当时，，，所以存在，使得，又因为在上单调递减，在，上单调递增，所以是的一个极小值点；当时，单调递减，且（1），所以存在，使得，所以在上单调递增，在，上单调递减，所以是的一个极大值点；当，时，单调递增，又因为（3），所以存在，，使得，所以在，上单调递减，，上单调递增，所以是的一个极小值点，又因为当时，，所以在上单调递增，无极值点；综上，在定义域上有3个极值点．7．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若为的极大值点，求的取值范围．【解析】（1）证明：设，，则，，在上单调递减，，在上单调递减，，即，，，，设，，则，在上单调递增，，，即，，，，综合可得：当时，；（2），，且，，①若，即时，易知存在，使得时，，在上单调递增，，在上单调递增，这显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去；②若，即或时，存在，使得，时，，在，上单调递减，又，当时，，单调递增；当时，，单调递减，满足为的极大值点，符合题意；③若，即时，为偶函数，只考虑的情况，此时，时，，在上单调递增，与显然与为函数的极大值点相矛盾，故舍去．综合可得：的取值范围为，，．8．（2023•乙卷）已知函数．（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）是否存在，，使得曲线关于直线对称，若存在，求，的值，若不存在，说明理由；（3）若在存在极值，求的取值范围．【解析】（1）时，（1），，（1），曲线在点，（1）处的切线方程为．（2），定义域为，，，要使函数的图像关于对称，则由，且，可知，即的图像关于对称，则（1），，得，解得．综上，，；（3），要使在存在极值点，则方程有正根，记，，，①当时，，故