2018年数学（人教版选修4-5）练习阶段质量评估（三）

阶段质量评估(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设xy>0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(4,y2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2＋\f(1,x2)))的最小值为()A．－9 B．9C．10 D．0解析：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,y)))2))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2＋y2))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x·\f(1,x)＋\f(2,y)·y))2＝9.答案：B2．设a，b，c，d∈R，m＝eq\r(a2＋b2)＋eq\r(c2＋d2)，n＝eq\r(a－c2＋b－d2)，则m与n的大小关系是()A．m<n B．m>nC．m≤n D．m≥n解析：根据二维形式的三角不等式可知：m＝eq\r(a2＋b2)＋eq\r(c2＋d2)≥eq\r(a－c2＋b－d2)＝n.答案：D3．已知eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，设A＝a2＋b2，B＝(x＋y)2，则A，B间的大小关系为()A．A<B B．A>BC．A≤B D．A≥B解析：A＝a2＋b2＝1·(a2＋b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)))(a2＋b2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,a)·a＋\f(y,b)·b))2＝(x＋y)2＝B.即A≥B.当且仅当eq\f(bx,a)＝eq\f(ay,b)时取等号．答案：D4．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中单价为5元、3元、2元的奖品，则至少要花()A．300元 B．360元C．320元 D．340元解析：由排序原理知，逆序和最小．所以至少要花50×2＋40×3＋20×5＝320(元)．答案：C5．若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是()B.eq B.eq\f(1,21)D.eq D.eq\f(1,16)解析：因为1＝x＋2y＋4z≤eq\r(x2＋y2＋z2)·eq\r(1＋4＋16)，所以x2＋y2＋z2≥eq\f(1,21).当x＝eq\f(y,2)＝eq\f(z,4)，即x＝eq\f(1,21)，y＝eq\f(2,21)，z＝eq\f(4,21)时，x2＋y2＋z2取得最小值，为eq\f(1,21).答案：B6．设实数x，y满足x2＋(y－1)2＝1，当x＋y＋d≥0恒成立时，d的取值范围是()A．[eq\r(2)＋1，＋∞) B．(－∞，eq\r(2)－1]C．[eq\r(2)－1，＋∞) D．(－∞，eq\r(2)＋1]解析：运用三角换元法．令x＝cosθ，y－1＝sinθ，θ∈R，∴x＋y＝sinθ＋cosθ＋1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＋1.从而1－eq\r(2)≤x＋y≤1＋eq\r(2)，故d≥－(x＋y)恒成立，必有d≥－(1－eq\r(2))＝eq\r(2)－1.答案：C7．在锐角△ABC中，a<b<c，记P＝eq\f(a＋b＋c,2)，Q＝acosC＋bcosB＋ccosA，则P，Q间的关系为()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．不能确定解析：因为a<b<c，则0°<A<B<C<90°，所以cosA>cosB>cosC.所以acosC＋bcosB＋ccosA>acosB＋bcosC＋ccosA①，且acosC＋bcosB＋ccosA>acosC＋bcosA＋ccosB②.①②两式两边相加得2(acosC＋bcosB＋ccosA)>(acosB＋bcosA)＋(acosC＋ccosA)＋(bcosC＋ccosB)＝c＋b＋a，所以acosC＋bcosB＋ccosA>eq\f(a＋b＋c,2)，即Q>P.答案：C8．若A＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n)，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为()A．A>B B．A<BC．A≥B D．A≤B解析：不论x1，x2，…，xn的大小顺序如何变化，其中A＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n)一定是顺序和，所以A≥B.答案：C9．已知a，b，c∈R＋，下列各数中最大的是()A．a3＋b3＋c3 B．a2b＋b2c＋cC．ac2＋b3＋ca2 D．a3＋bc2＋cb2解析：取两组数：a，b，c与a2，b2，c2，显然a3＋b3＋c3是顺序和，a2b＋b2c＋c2a，ac2＋b3＋ca2，a3＋bc2＋cb答案：A10．函数y＝3eq\r(x－5)＋4eq\r(6－x)的最大值为()A.eq\r(5) B．5C．7 D．11解析：函数的定义域为[5,6]，且y>0.y＝3·eq\r(x－5)＋4·eq\r(6－x)≤eq\r(32＋42)×eq\r(\r(x－5)2＋\r(6－x)2)＝5.当且仅当eq\f(\r(x－5),3)＝eq\f(\r(6－x),4)，即x＝eq\f(134,25)时取等号．所以ymax＝5.答案：B11．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则eq\r(a)＋eq\r(b)＋2eq\r(c)的最大值是()A.eq\r(5)B.eqB.\r(3)C．2eq\r(3)D.eqD.\f(\r(3),2)解析：1＝a＋b＋4c＝(eq\r(a))2＋(eq\r(b))2＋(2eq\r(c))2＝eq\f(1,3)[(eq\r(a))2＋(eq\r(b))2＋(2eq\r(c))2]·(12＋12＋12)≥(eq\r(a)＋eq\r(b)＋2eq\r(c))2·eq\f(1,3)，∴(eq\r(a)＋eq\r(b)＋2eq\r(c))2≤3，即所求最大值为eq\r(3).答案：B12．若5x1＋6x2－7x3＋4x4＝1，则3xeq\o\al(2,1)＋2xeq\o\al(2,2)＋5xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)的最小值是()A.eq\f(782,15)B.eqB.\f(15,782)D.eq D.eq\f(25,3)解析：因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,3)＋18＋\f(49,5)＋16))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x\o\al(2,1)＋2x\o\al(2,2)＋5x\o\al(2,3)＋x\o\al(2,4)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,\r(3))×\r(3)x1＋3\r(2)×\r(2)x2＋\f(－7,\r(5))×\r(5)x3＋4×x4))2＝(5x1＋6x2－7x3＋4x4)2＝1，所以3xeq\o\al(2,1)＋2xeq\o\al(2,2)＋5xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)≥eq\f(15,782).答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)13．已知x>0，y>0，且2x＋y＝6，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为________．解析：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,6)(2x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝eq\f(1,6)[(eq\r(2x))2＋(eq\r(y))2]·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(y))))2))≥eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2x)·\f(1,\r(x))＋\r(y)·\f(1,\r(y))))2＝eq\f(1,6)(eq\r(2)＋1)2＝eq\f(3＋2\r(2),6)，当且仅当eq\r(2x)·eq\f(1,\r(y))＝eq\r(y)·eq\f(1,\r(x))，即eq\r(2)x＝y时取等号．答案：eq\f(1,6)(3＋2eq\r(2))14．已知a，b均为正数且acos2θ＋bsin2θ≤6，则eq\r(a)cos2θ＋eq\r(b)sin2θ的最大值为________．解析：由柯西不等式可得eq\r(a)cos2θ＋eq\r(b)sin2θ≤[(eq\r(a)cosθ)2＋(eq\r(b)sinθ)2]eq\f(1,2)(cos2θ＋sin2θ)eq\f(1,2)＝eq\r(acos2θ＋bsin2θ)≤eq\r(6).答案：eq\r(6)15．设实数a1，a2，a3满足条件a1＋a2＋a3＝2，则a1a2＋a2a3＋a3解析：由柯西不等式，得(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))·(12＋12＋12)≥(a1＋a2＋a3)2＝4，于是aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)≥eq\f(4,3).故a1a2＋a2a3＋a3a1＝eq\f(1,2)[(a1＋a2＋a3)2－(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))]＝eq\f(1,2)×22－eq\f(1,2)(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))≤2－eq\f(1,2)×eq\f(4,3)＝eq\f(4,3).当且仅当a1＝a2＝a3＝eq\f(2,3)时取等号．答案：eq\f(4,3)16．三角形三边a，b，c对应的高为ha，hb，hc，r为三角形内切圆半径，若ha＋hb＋hc的值为9r，则三角形为________三角形．解析：记三角形的面积为S，则2S＝a·ha＝b·hb＝c·hc，又因为2S＝r(a＋b＋c)，所以ha＋hb＋hc＝2Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))＝r(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c))).由柯西不等式，得(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))＝[(eq\r(a))2＋(eq\r(b))2＋(eq\r(c))2]·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(a))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(b))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(c))))2))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)×\f(1,\r(a))＋\r(b)×\f(1,\r(b))＋\r(c)×\f(1,\r(c))))2＝9，当且仅当a＝b＝c时取等号．由题知ha＋hb＋hc＝9r，所以a＝b＝c＝2eq\r(3)r.故此三角形为等边三角形．答案：等边三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a>0，b>0，且a＋b＝1.求证：eq\r(2a＋1)＋eq\r(2b＋1)≤2eq\r(2).证明：由柯西不等式得(eq\r(2a＋1)·1＋eq\r(2b＋1)·1)2≤(2a＋1＋2b＋1)(1＋1)＝8.所以eq\r(2a＋1)＋eq\r(2b＋1)≤2eq\r(2).18．(本小题满分12分)设a，b，c∈(0，＋∞)，利用排序不等式证明：a2ab2bc2c≥ab＋cbc＋aca＋b证明：设a≥b≥c>0，则lga≥lgb≥lgc，所以alga＋blgb＋clgc≥blga＋clgb＋algc，alga＋blgb＋clgc≥clga＋algb＋blgc.所以2alga＋2blgb＋2clgc≥(b＋c)lga＋(a＋c)lgb＋(a＋b)lgc.所以lg(a2a·b2b·c2c)≥lg(ab＋c·ba＋c·ca＋故a2ab2bc2c≥ab＋cbc＋aca＋b19．(本小题满分12分)设x2＋2y2＝1，求u(x，y)＝x＋2y的最值．解：设α＝(1，eq\r(2))，β＝(x，eq\r(2)y)，由柯西不等式得|α·β|＝|u(x，y)|＝|1·x＋eq\r(2)×eq\r(2)y|≤eq\r(1＋2)·eq\r(x2＋2y2)＝eq\r(3)，得umax＝eq\r(3)，umin＝－eq\r(3).分别在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))处取到．20．(本小题满分12分)求函数y＝eq\f(2sinx＋3cosx－4,cosx－2)的最大值及最小值．解：由原函数式得2sinx＋(3－y)cosx＝4－2y，设a＝(2,3－y)，b＝(sinx，cosx)，由|a·b|≤|a|·|b|得|4－2y|≤eq\r(22＋3－y2)⇒eq\f(1,3)≤y≤3，故最大值及最小值分别为3与eq\f(1,3).21．(本小题满分12分)设a，b，c∈R＋，且满足abc＝1，试证明：eq\f(1,a3b＋c)＋eq\f(1,b3a＋c)＋eq\f(1,c3a＋b)≥eq\f(3,2).证明：因为abc＝1，则所求证的不等式变为eq\f(b2c2,ab＋ac)＋eq\f(a2c2,ba＋bc)＋eq\f(a2b2,ac＋bc)≥eq\f(3,2).又(ab＋bc＋ca)2＝eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ab,\r(ac＋bc))·\r(ac＋bc)＋\f(bc,\r(ab＋ac))·\r(ab＋ac)＋))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ac