高一数学训练试题（人教A版2019）5-4-2第1课时正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性

第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性课后·训练提升基础巩固1.函数f(x)=cos(2xπ6)的最小正周期是(A.π2 B.π C.2π D.4答案B解析所求最小正周期T=2π2=π,故B2.函数f(x)=2|sinx|的最小正周期为()A.2π B.3π2 C.π D答案C解析∵sin(x+π)=sinx,|sinx|=|sinx|,∴f(x+π)=f(x),∴函数f(x)=2|sinx|的最小正周期为π.故选C.3.函数f(x)=x+sinx,x∈R()A.是奇函数,但不是偶函数B.是偶函数,但不是奇函数C.既是奇函数,又是偶函数D.既不是奇函数,又不是偶函数答案A解析由x∈R,f(x)=xsinx=(x+sinx)=f(x),可知f(x)是奇函数.4.(多选题)下列函数中,周期为2π的是()A.y=cosx2B.y=cosB(x+32C.y=|cosx2|D.y=D|cos2答案BC解析y=cosx2的周期T=2π12y=cos(x+32π)的周期T=2πy=|cosx2|的周期T=2πy=|cos2x|的周期T=π2.故选BC5.已知定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,fπ4=1,则f3π4的值为A.1B.B1 C.0 D.2答案B解析f3π4=fπ-π4=f-π6.已知函数f(x)=cosωx+π6(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象A.关于点π6,0对称 B.关于直线C.关于点π3,0对称 D.关于直线答案A解析由已知可得ω=2ππ=2,所以f(x)=cos因为fπ6=0,所以点π6,0是该函数图象的对称中心,所以A因为fπ3≠0,所以点π3,0不是该函数图象的对称中心,因为fπ3=32≠±1,所以直线x=π3不是该函数图象的对称轴,所以D中说法错误.7.若0<α<π2,g(x)=sin2x+π4+α是偶函数答案π解析要使g(x)=sin2x+π4+α为偶函数,则须π4+α=kπ所以α=kπ+π4,k∈Z因为0<α<π2,所以α=π8.已知函数f(x)=2cosωx+π3(ω>0)的最小正周期为π,则ω=答案2解析因为2π|ω|=π(ω>0),所以9.判断函数f(x)=cos(2πx)x3sin12x的奇偶性解f(x)=cos(2πx)x3sin12x=cosxx3sinx2的定义域为R,f(x)=cos(x)(x)3sin(x2)=cosxx3sinx2=f(x),所以f(10.若函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=xsinx,求当x<0时,f(x)的解析式.解当x<0时,x>0,∴f(x)=xsin(x)=x+sinx.又f(x)是奇函数,∴f(x)=f(x).∴f(x)=xsinx(x<0).能力提升1.(多选题)函数f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数,则φ的值可以是()A.π2 B.π C.3π2答案ACD解析因为f(x)=sin(2x+φ)是R上的偶函数,所以φ=π2+kπ,k∈Z,结合选项可知,A,C,D均符合,B不符合.故选ACD2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若直线x=π4是函数f(x)图象的一条对称轴,点π4,0是函数f(x)图象的一个对称中心,A.ω=4k+1(k∈N) B.ω=4k+3(k∈N)C.ω=2k+1(k∈N) D.ω=2k(k∈N*)答案C解析∵直线x=π4是函数f(x)图象的一条对称轴∴π4ω+φ=k1ππ2(k1∈Z)又点π4,0是函数f(x∴π4ω+φ=k2π(k2∈Z).∴②①得,ω=2(k2k1)+1.∵k1,k2∈Z,ω>0,∴ω=2k+1(k∈N).故选C.3.若函数f(x)=cosωx+π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6,则ωA.3 B.6 C.12 D.24答案B解析函数f(x)=cosωx+π4(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6,所以最小正周期T=由2πω=π3,4.(2024·全国甲卷,理7)函数y=x2+(exex)sinx在区间[2.8,2.8]的图象大致为()ABCD答案B解析令f(x)=y=x2+(exex)sinx.因为f(x)=x2+(exex)sin(x)=f(x),所以该函数为偶函数,又f(1)=1+(e1e)sin1>1+(e1e)×12=e215.已知函数f(x)=cos(x2+π3),则f(x)的最小正周期是;f(x)答案4π(2kπ+π3,0),k∈解析由f(x)=cos(x2+π3),得T=2令x2+π3=kπ+π2,k∈Z,求得x=2kπ+π3,k∈Z,可得f(x)图象的对称中心是(2kπ+π36.已知函数f(x)=2sinωx+φ-π6(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f((1)求fπ8的值(2)求函数y=fx+π(3)当x∈0,7π12时,方程f(x)=m有两个不同的实根,解(1)f(x)=2sinωx+φ-π6(0<φ<π,ω>0)是偶函数,则φπ6=解得φ=2π3+kπ(k∈又0<φ<π,所以φ=2π所以f(x)=2sinωx+π2=2cos由题意得2π|ω|=2×π2(ω>0),故f(x)=2cos2x,因此fπ8=2cosπ(2)由f(x)=2cos2x,得y=fx+π6=2cos(2x+令2x+π3=kπ,k∈Z,即x=kπ2-π所以函数y=fx+π6图象的对称轴为直线x=kπ2(3)若方程f(x)=m有两个不同的实根,则函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点.对函数y=f(x)=2cos2x,x∈(0,7π12],令t=2x,t∈0,7π6,则y=2cost,t∈0,7π6的图象与直线y=m有两个不同的交点,由图象(图略)知2<m≤7.已知函数f(n)=sinnπ4,n∈Z.求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2024)解由题意可知,函数f(n)的周期T=2ππ又f(1)=sinπ4=22,f(2)=sinπ2=1,f(3)=sin3π4