高三一轮复习练习试题（提高版）数学第三章培优点3泰勒展开式

培优点3泰勒展开式分值：60分一、单项选择题(每小题5分，共15分)1.(2024·郑州统考)计算器计算ex，lnx，sinx，cosx等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的.“泰勒展开式”的内容为：如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内可以进行多次求导数运算，则当x≠x0时，有f(x)=f(x0)+f'(x0)1！(xx0)+f''(x0)2！(xx0)2+f'''(x)3！(xx0)3+…，其中f'(x)是f(x)的导数，f″(x)是f'(x)的导数，f'''(x)是f″(xA.0.82 B.0.84 C.0.86 D.0.882.已知a=e0.11，b=sin0.1，c=ln1.1，则()A.a<b<c B.b<c<aC.c<a<b D.c<b<a3.设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.041，则()A.a<b<c B.b<c<aC.b<a<c D.c<a<b二、多项选择题(共6分)4.(2025·沈阳模拟)泰勒公式通俗地讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式：ex=1+x+x22！+x33！+x4sinx=xx33！+x55！x77！+…+(由此可以判断下列各式中正确的是()A.eix=cosx+isinx(i是虚数单位)B.eix=i(i是虚数单位)C.2x≥1+xln2+(xln2)22D.cosx<1x22+x424(x∈(三、填空题(共5分)5.数学家研究发现，对于任意的x∈R，sinx=xx33！+x55！x77！+…+(1)n1x2n-1(2n-1)！+…(n∈N*)，称为正弦函数的泰勒展开式.在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x，可以用这个展开式来求sinx的近似值.如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B的仰角∠BAC四、解答题(共34分)6.(17分)(2024·合肥模拟)英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当f(x)在x=0处n(n∈N*)阶导数都存在时，f(x)在x=0处的n阶泰勒展开式为f(x)=f(0)+f'(0)x+f″(0)2！x2+f(3)(0)3！x3+…+f(n)(0)n！xn+….注：f″(x)表示f(x)的2阶导数，即为f'(x)的导数，f(n)(x)((1)写出f(x)=11-x的泰勒展开式(只需写出前4项)；(4(2)根据泰勒公式估算sin12的值，精确到小数点后两位；(4分(3)证明：当x≥0时，exx22sinxcosx≥0.(97.(17分)(2024·廊坊模拟)对于函数f(x)，规定f'(x)=[f(x)]'，f″(x)=[f'(x)]'，f(3)(x)=[f″(x)]'，…，f(n)(x)=[f(n1)(x)]'，f(n)(x)叫做函数f(x)的n阶导数.若函数f(x)在包含x0的某个开区间(a，b)上具有直到(n+1)阶的导数，则对任意x∈(a，b)，f(x)=f(x0)+f'(x0)(xx0)+f″(x0)2！(xx0)2+f(3)(x0)3！·(xx0)3+…+f(n)(x0)n！(xx0)n+Rn(x)，该公式称为函数f(x)在x=x0处的(1)写出函数f(x)在x=1处的3阶泰勒展开式(Rn(x)用R3(x)表示即可)；(4分)(2)设函数f(x)在x=0处的3阶余项为g(x)，求证：对任意的x∈(1，1)，g(x)≤0；(4分)(3)求证：1+121+1221+123…1+12n答案精析1.B[根据题意，f(x)=sinx，f'(x)=cosx，f″(x)=sinx，f'''(x)=cosx，…，取x0=0，可得f(x)=f(0)+f'(0)1！x+f''(0则f(x)=sinx=0+1×x+0×x2+(1)×13！x3+0×x4+1×15！x5+…=x16x3+1令x=1，代入上式可得f(1)=sin1=116+1120+…=101120+所以sin1≈0.84.]2.D[∵sinx=xx33！+ln(1+x)=xx22+xex=1+x+x22！+x∴sin0.1=0.10.136+ln1.1=0.10.122+e0.1=1+0.1+0.122+0.则e0.11=0.1+0.122+0.∴ln1.1<sin0.1<0.1<e0.11，故c<b<a.]3.B[因为a=2ln1.01=ln1.012=ln1.0201>ln1.02，所以a>b，排除A，D；由公式ln(1+x)=xx22+得a=2ln(1+0.01)≈2×0.01-≈0.020.0001=0.0199，由公式(1+x)α=1+αx+α(α-1)2！得c=(1+0.04)121≈12×0.04142×0.042≈0.020.0002=0所以a>c，排除C.]4.ACD[对于A，B，由sinx=xx33！+x55！x77！+…+两边求导得cosx=1x22！+x44！x66！+…+isinx=xix3i3！+x5i5！x7i7！+cosx+isinx=1+xix22！x3i3！+x44！+x5i5！x66！x7i7又eix=1+xi+(xi)22！+(xi=1+xix22！x3i3！+x44！+x5i5！x66！x7=cosx+isinx，故A正确，B错误；对于C，已知ex=1+x+x22！+x33！+x44！+…+xnn因为2x=exln2(x≥0)，则exln2≥1+xln2+(xln2)22！，即2x≥1+xln2+(xln2对于D，cosx=1x22！+x44！x66！+x88！=1-x22！+x44！x66！+x当x∈(0，1)时，x66！+x88！<0，xx2n=x2n[x2-(2n+1)(2n+2)所以x66！+x88！x1010所以cosx<1x22！+x44！=1x22+x424(x∈5.86解析由题意过点B作切线的垂线交于点D，在△ABD中，BD=3，sin1°=BDAB所以AB=BDsin1°在Rt△ABC中，sin∠BAC=sin30°=BCAB联立可得BC=32sin1°=32sinπ1806.(1)解f(x)=11-x，f'(x)=1(1-x)2，f″(x)=2(1-x)3，ff(0)=f'(0)=1，f″(0)=2，f

(3)(0)=6，所以f(x)=11-x=1+x+x2+x3+(2)解因为(sinx)'=cosx，(cosx)'=sinx，可得sinx=xx33！+x5故sin12=12148+…≈0(3)证明方法一由泰勒展开式ex=1+x+x22！+x33！+x44！易知当x≥0时，ex≥1+x+x2所以exx22sinxcosx≥1+x+x22x22=1+xsinxcosx≥xsinx，令g(x)=xsinx，则g'(x)=1cosx≥0，所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，故g(x)≥g(0)=0，即证得当x≥0时，exx22sinxcosx≥方法二令G(x)=exx22sinxcosG'(x)=exx2cosx+易知当x∈0，3π4时，y=ey=2cosx+所以G'(x)=exx2cosx+所以G'(x)≥G'(0)=0，所以当x∈0，3π4时，G(所以G(x)≥G(0)=0，当x∈3π4G(x)=exx22sinxcos≥exx22令F(x)=exx22则F'(x)=exx>0，则F(x)=exx22则当x∈3π4，+∞时，F(x)=exx222>F(综上，原不等式得证.7.(1)解由f(x)=ln(x+1)，得f'(x)=1x+1，f″(x)=f

(3)(x)=2(所以f(1)=ln2，f'(1)=12f″(1)=14，f

(3)(1)=1所以函数f(x)在x=1处的3阶泰勒展开式为f(x)=ln2+12(x1)18(x1)2+124(x1)3+R3((2)证明由(1)，得f(0)=0，f'(0)=1，f″(0)=1，f

(3)(0)=2.所以函数f(x)在x=0处的3阶泰勒展开式为f(x)=x12x2+13x3+R3(x所以g(x)=R3(x)=ln(x+1)x+12x213xg'(x)=1x+11+xx2=x3x+1，令g'(x)当x∈(1，0)时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，1)时，g'(x)<0，g(x)单调递减.所以g(x)≤g(0)=0，即对任意的x∈(1，1)，g(x)≤0.(3)证明由(2)知，当x∈(0，1)时，g(x)=ln(x+1)x+12x213x3即ln(x+1)<x12x2+