2025新高考数学尖子生培优拔高讲义（教师版）

47 92 95 99 题型4等体积法求点面距离 230 235 在三角函数化简求值的问题中,当遇到形如Asinα+BcosαAsin2α+Bcos2α的式Csinα+Dcosα,Csin2α+Dcos2αα,将其转变为只含tanα的式子.除此之外,对于形如Asin2α+Bcos2α+Csinαcosα,Asin2α+Bcos2α+Csin2α或Asin4α+tanα的式子来表示.如:①Asin2α+Bcos2α+Csinαcosα②Asin2α+Bcos2α+Csin2α=Asin2α+Bcos2α+2Csinαcosα③Asin4α+Bcos4α例例1(2021新高考I)若tanθ=-2,则)A.-B.-C.D.注意到分式的分子中含有常数1,故需要先借助sin2θ+cos2θ=1替换,再转化为含有tanθ例例2已知sin[2(α+β([=nsin2γ,则-=.【解析】因为sin[2(α+β([=nsin2γ,所以sin[(α+β+γ(+(α+β-γ([=nsin[(α+β+γ(-(α+β-γ([,所以sin(α+β+γ)⋅cos(α+β-γ(+cos(α+β+γ(⋅sin(α+β-γ)=n[sin(α+β+γ(⋅cos(α+β-γ(-cos(α+β+γ(⋅sin(α+β-γ(],所以(1-n)sin(α+β+γ(⋅cos(α+β-γ(=(-1-n(⋅cos(α+β+γ(⋅sin(α+β-γ(,我们发现题目中的式子sin[2(α+β([=nsin2γ并不是我们熟悉的“同角关系”,故不能直接2(α+β(=(α+β+γ)+(α+β-γ(,2γ=(α+β+γ(-(α+β-γ(.由于sinx+cosx,sinx-cosx与sinxcosx这三个式子之间可以相互转化,因此只需知道其(1)(sinx+cosx(2=1+2sinxcosx=1+sin2x;(2)(sinx-cosx(2=1-2sinxcosx=1-sin2x;(3)(sinx+cosx(2+(sinx-cosx(2=2.对于涉及sinx+cosx,sinx-cosx与sinxcosx的三角函数求最值问题,可以借助换元思想,(1)设sinxcosx=m,则sinx+cosx=±、1+2m,sinx-cosx=±1其中,还有一个关键问题就是如何确定sinx-cosx与sinx+cosx的符号:【解析】设t=sinx-cosx=2sin(x-,则t2=1-2sinxcosx,则f(x(可转化为g(t(=tt2-2tt-1(2+1,t因为函数yx-1(2+1,x∈R的图象的对称轴为直线x=1,该题主要考查换元法的灵活应用,即令t=sinx-cosx,将原函数变形为关于t的二次函数,1+2sinαcosα=,所以sinαcosα=-.(2)因为sinαcosα=-<0,0<α<π,所以<α<π,所以sinα>0,cosα<0,所以本题重点考查sinα+cosα,sinα-cosα与sinαcosα三者之间的关系,值得注意辅助角公式是一种高等三角函数公式,其主要作用是可把含sinx,cosx的一次三角函数式化为Asin(x±φ(或Acos(x±φ(的形式,从而便于进一步探索三角函数的性质.当然,很多情况下,在使用辅助角公式之前,需要用二倍角公式对三角函数式进行降幂.对于涉及辅助角三角函数中的降幂思想主要来源于二倍角公式的一些重要变形,如:aasinx+bcosx=、a2+b2sin(x+φ(,其中ab≠0,sinφ=aacosx+bsinx=、a2+b2cos(x-φ(,其中ab≠0,sinφ=a.第一类:求f(x(=asinx+bcosx的最值f(x(=asinx+bcosxsin(x+φ(,则当sinxcosx时,f(x(取得最大值;当sinxcosx时,f(x(取得最小值-、a2+b2.第二类:方程asinx+bcosx=c有解求参若方程asinx+bcosxsin(x+φ(=c(sinθ,cosθ(的连线所在直线的斜率.设该直kx-y+2k=0,当直线与圆有公共点时,圆心(0,0)到直线kx-y+2k=0的距离d= 令tant,t∈R,则y,整理可得(2y+1(t2+2yt+2y,由题意知关于t的方程有解,所以Δ=4y2-4(2y+1((2y-1(≥0,解得,由y,得ysinθ-cosθ=-2y,因为该方程有实数解,所以y2+(-1(2≥(-2y(2,整体代换是指将问题或者是问题的一部分看成一个整体,用一个新的变量代之,进而简化研究过程.整体代换思想是研究数学问题的一种重要思想,这一思想在解决三角函数相关问题时有着广泛的应用.在三角函数求值问题中,往往可以把已知式或待求式(经常是一些角的和或差的形式)作为一技巧.①2α=(α+β(+(α-β(；②2β=(α+β(-(α-β(；③α=(α+β(-β=(α-β(+β;①互余关系:+=;+=等;在求解形如f(x(=Asinx+Bcos2x或g(x(=Acosx+Bcos2x(A,B为非零常数)的三角函数最值问题时,可借助余弦二倍角公式cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1,将原函数转化为正弦二次复合函数或余弦二次复合函数,即f(x(=Asinx+B(1-2sin2x(或g(x(=Acosx+述函数转化为关于t的二次函数,即y=At+B(1-2t2(或y=At+B(2t2-1(,t∈[-1,1[,最后借助二次函数的性质求得原函数的最值.我们在研究形如函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0(的性质时,可以根据函数y=sinx的相关性质,把y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0(中的ωx+φ看成一个整体,结合函数y=sinx的图象,得到函数y=Asin(ωx+φ(+b(A>0,ω>0(的性质,这一过程把“数形结合”与=. 认真观察题目中所涉及的角可以发现这些角之间是有关系的,如这些角的整体代换,不仅可以简化运算,还可以提高准确性.例例7函数f(x(=sin(2xcosx的最小值为.【解析】f(x(=sin(2xcosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1,令t=cosx,则原函数转变为y=-2t2-3t+1,-1≤t≤1,因为二次函数y=-2x2-3x+1的图象开口向下,且对称轴为直线x,所以当t=1时,二次函数y=-2t2-3t+1,-1≤t≤1取得最小值-4,即当cosx=1时,函数f(x(取得最小值-4.该类型题目利用余弦的二倍角公式转化为正弦二次复合函数或余弦二次复合函数后,利用二次例例8(2022・新高考II)(多选)已知函数f(x(=sin(2x+φ((0<φ<π(的图象关于点C.直线x是曲线y=f(x(的对称轴D.直线yx是曲线y=f(x(的切线【解析】因为f(x(=sin(2x+φ((0<φ<π(的图象关于点中心对称,那么函数y=Asin(ωx+φ)取得最大值时,xk∈Z(,当x时,2x,根据函数y=sinx的单调性可知,函数f(x(直线yx显然与y=sin(2x的图象相切,故D正确.故选AD.卡根法是解决复合三角函数y=Asin(ωx+φ((ω>0(或y=Acos(ωx+φ((ω>0(所涉及的②任意相邻对称轴与对称中心的水平间距为②任意相邻对称轴与对称中心的水平间距为T.4在限定的周期范围内,给定单调性等条件,对于给定范围内单调或没有零点的问题,卡根的范②f(x(=Asin(ωx+φ((ω>0(在区间(a,b)内没有零点⇒图2③f(x(=Asin(ωx+φ((ω>0(在区间[a,b[内没有零点⇒|-π+kπ-φkπ-φ④f(x(=Asin(ωx+φ((ω>0(在区间(|-π+kπ-φkπ-φ<b≤,图3⑤f(x(=Asin(ωx+φ((ω>0(在区间[a,b[内有n(n∈图4例例10已知把函数f(x(=sinωx(ω>0(的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关介绍射影定理的几个应用.a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=acosB+bcosA.代换为bcosC+ccosB,从而解决问题.(3)隐含型应用--求边:在解三角形的题目中,常规思路是利用正余弦定理求边,解题过程中【解析】因为A+B+C=π,sin2(B+C)+2sin2A=0,所以sin2A+22sinAcosA=0,因为sinA≠0,所以sinA=-22cosA,所以cosA<0,A为钝角,又sin2A+cos2A=1,化简并整理可得c2-8c+15=0,解得c=3或c=5,因为A>C,所以a>c,所以c=3.故c=3,cosB.由射影定理可得c=acosB+bcosA故c=3,cosB.有一定计算量;思路二:考虑余弦定理的推论cosB,此题利用余弦定理的推论可直接求思路三:考虑直接使用射影定理c=acosB+bcosA,规避舍解的讨论.tanA=λtanB⇔c=(λ+1(bcosA⇔(λ+1)(b2-a2(+(λ-1(c2=0(λ为非零实数(.证明:由tanA=λtanB,得,所以sinAcosB=λsinBcosA,即sinAcosB+sinBcosA=(λ+1(sinBcosA,故sin(A+B(=sinC=(λ+1(.sinBcosA,即c=(λ+1(bcosA,又由余弦定理的推论,得c=(λ+1(b,整理可得(λ+1)(b2-a2(+(λ-1(c2=0,由于推导过程可逆,故tanA=λtanB⇔c=(λ+1(bcosA⇔(λ+1((b2-a2(+(λ-1(c2=0(λ为非零实数),证毕.tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.例例12(多选)若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b-3a+C.4tanA+tanC=0D.tanB的最大值为所以C一定为钝角,选项A错误;由tanC=λtanA⇔(λ+1((a2-c2(+(λ-1(b2=0(λ为非零实数),所以4tanA+tanC=0,选项C正确;因为A+B+C=π,所以tanB=-tan(A+C,因为C为钝角,所以AtanA>0,所以tanA,此时tanB取得最大值,选项D正确.故选BCD.解得λ=3,所以tanA=3tanC,且tanC>0,又tanB=-tan(A+C此时取得最小值.故选B.tanA=λtanB⇔c=(λ+1(bcosA⇔(λ+1)(b2-a2(+(λ-1(c2=0(λ为非零实数),此结论题误区.证明:由2C—=C+C,A=C-C,可得4C2=C2+C2+2C.C,A=C+C-2C.C,两式相加,可得4CM=2(C+C(-A,即CM.解决与中线有关的三角形问题时,若能利用中线定理,直接构建中线与边的关系或向量数量积AC=；cos∠MAC=.在△ABM中,由余弦定理可得AM2=BA2+BM2-2BA.BMcos60°,×BM,即BM2-2BM-8=0,解得BM=4,因为点M是BC的中点,所以MC=4,BC=8.进而求得AC的长.分别是过平面内一点P所引三条射线PA,PB,PC上的点,线P在解三角形问题中,面积关系可反映边角关系,而张角定理即为三角形面积和关系的变形,反映的是边与角的相邻关系,与正弦定理反映的对边及对角关系不同,与余弦定理反映的三边与一角关系也不同,张角定理可以看作正余弦定理的有益补充,掌握张角定理,可化繁为简,提高解题效率.由基本不等式,得4a+c=(4a+c(,由基本不等式,得4a+c=(4a++=++5≥2+5=4+5=9,本题欲求4a+c的最小值,则需寻找a,c之间的等量关系,可直接运用角平分线张角定理2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4,故c=4=S△ABD+S△ACD,可得bcsinc.ADsinb.AD,则AD=3,此题第(2)问,条件已知两边及分角大小,直接使用张角定理即可求出AD的长,进而即可求解三角形面积,不失为上上策.在一些较为复杂的解三角形问题中,尽管题目条件中没有直接出现圆的身影,却以隐含条件的能够起到事半功倍的效果!下面归纳出隐形圆问题的常见条件形式.①定径圆--利用圆的定义确定隐形圆.根据圆的定义--到定点的距离等于定长的点的集合,当题目条件中出现线段定长或向量模为助解题.②定和幂圆--利用PA2+PB2为定值确定隐形圆.已知A,B是平面内两个定点,线段AB的中点为O,AB=a,若动点P满足PA2+PB2=点P的轨迹为以点O为圆心,PO长为半径的圆.③阿氏圆--利用确定隐形圆(阿波罗尼斯圆).P ,即点P的轨迹是圆,圆心为,半径为P所以,所以S△PB/D=S△PBD,又PB/=PB,所以∠BPD=∠B/①直径圆--利用动点P对两定点的张角为90。确定隐形圆.已知A,B是平面内两个定点,若∠APB=90。,由圆的性质可得,动点P的轨迹是以②定角圆--利用定角(圆周角)确定隐形圆.若线段AB的长为定值,∠APB为定角,则动点P的轨迹是以AB为弦长,∠APB为圆周角的圆弧,即定角圆,由正弦定理可得圆半已知A,B是平面内两个定点,线段AB的中点为O,AB=2a,若动点P满足PA.PB动点P的轨迹为以点O为圆心,PO长为半径的圆.又DA.DB=DB.DC=DC.DA=-2,所以∠ADB=∠CDB= (3-cosθ(2+(33+sinθ(2=37-6cosθ+63sinθ=37+12sin(θ-AC的中点N为圆心,为半径的圆上运动,如图2所示,连接BN,MN,(BN+2=DB+2=.故选B.显然当∠ABC最大时,BA是⊙O的一条切线,由切割线定理可得BA2=BD.BC=2BD2,则.故选B.共线向量定理是研究三点共线的一个有力工具.③当0<μ<λ<1时,点P在线段AB上且靠近点A；④当0<λ<μ<1时,点P在线段AB上且靠近点B；⑤当λ<0且μ>1时,点P在线段AB的延长线上;⑥当μ<0且λ>1时,点P在线段BA的延长线上.μ,使得OP=λOA+μOB,且λ+μ等系数和线的概念主要用于解决向量线性表示中的系数和问题,如求基底系数代数的和、最值或取值范围等,这类问题的解决方法更侧重于利用数形结合的思想分析、解决问题.一般地,在向量的基底表示中,表示出两个基底系数之和,从而可利用其几何性质,将系数之和取值范P在直线AB上或与AB平行的直线上,则λ1+λ2=k(定值),反之也成立.我们称直线AB及与AB平行的直线为等系数和线(如图).(3)利用等系数和线解决x+y型问题:①连接AB,构造直线AB；②连接(延长(OC交直线AB于点C/,则x+y,必要时,应利用平利用等系数和线处理向量分解中的系数和问题时,应注意问题中待求和的两个数是否为基底的例例19如图,在△ABC中,D是BC的中点,H是AD的别与边AB,AC交于点M,N,若AM=xAB,AN=yAC,则x+4y的最小值是由M,H,N三点共线可得AH=mAM+nAN,其中m+n=1yAC,所以AH=所以x+4y=(x+4y,由题意知x>0,y>0,所以当且仅当,即x=2y时本题既要考虑到三点共线的向量表达式,又要考虑到平面向量基本定理,是一道较为综合的题在以O为圆心的AB上运动,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,则x+. +y得,xy=cosy=sinθ,所以sinθ,所以1≤2sin(θ+30°(≤2,所以x+y的最图2所以x+y.因为OA=OB,所以OE⊥AB.所以OD≥OE=OAcos60°=,故OD的最可以由向量关系得出三角形面积的比值,此类题属于选择、填空题中的难题,在高考中时有出问题.奔驰定理可以很好地帮助我们解决此类问题.奔驰定理及其推论对于利用平面向量解决平面几何问题,尤其是解决与三角形的面积和“四心”相关的问题时,有重要作用.④如图,O是△ABC的垂心⇔S△BOC:S△OA:S△AOB=tanA:tanB:tanC⇔tanA.O—+tanB.O+tanC.O—=0.因为S△PBCBPC=60°,且PB=PC=R,因为S△ABC=x+y,故当S△ABC最大时,x+y取得最大值,易知当A离BC最远时,S△ABC最大,此时AB=AC,x+y=S△PAB+S△PAC=2S△PAB=2××R2sin=,故x+y的最大值为.P+xP+yP=0,即A=2xP+2yP,所以x2+y2+xy,所以(x+yxy解得0<x+y,当且仅当x=y时取等号,故x+y的最大值为.【解析】方法一如图1所示,延长OB到点E,使得OE=平行四边形OAFE,则OA+2OB=OA+所以-OF=3OC,所以O,C,F三点共线.连接OF交AB由A=2O,可得D=2O,于是C=O,所以S△ABC=2S△A同理可得S△ABC=3S△AOC,S△ABC=6S△BOC,所以△ABC,△BOC,△ACO的面积比为6:1:2.方法二如图2,分别取AC,BC的中点D,E,连接DE,则DE⎳AB,DEAB.图2因为O+2O+3O=0,所以,即O=-2O,由共线向量定理可知,O,D,E三点共线,且OEDEABAB,ODDEABAB.设h1,h2分别为△ABC,△BOC的公共边BC上的高,设h3,h4分别为△ABC,△AOC的方法三如图3,延长AO交BC于点图33=63=6奔驰定理结论相对简洁一些,易于记忆,解题时目的性很强,多种解法相比较,奔驰定理可以向量的数量积作为平面向量的重点考查内容,解决方法多种多样,不同求解方法虽然各有千秋但本质上殊途同归,能够在不同场景下灵活应用是高效解题的关键.下面阐释数量积的六种常见求解方法.若已知或易求对应向量的模与夹角,优先考虑用定义法计算:即已知两个非零向量a与b,在向量问题中,若已知向量关系式,需联系条件中的模、数量积或夹角,考虑用平方法计算.例如:已知a=λe1+μe2,平方即为a2=(λe1+μe2(2=λ2e+2λμe1.e2+μ2e.坐标法是解决向量数量积的通用方法,一般适用于具备垂直(易建系)、点的坐标易写出,或含有动点的数量积问题中.数量积的坐标公式:若a=(x1,y1(,b=(x2,y2(,则a.b=x1x2+y1y2.若向量数量积的相关要素(对应的模、夹角)未知或不易直接求出,则可考虑把已知向量利用合适的基底表示,进而转化为基底运算求解.a.b=(me1+ne2(.(pe1+qe2(,此时a与b的数量积计算即可转化为基底的数量积运算.若向量数量积的相关要素(对应的模、夹角)未知或不易直接求出,而且在图形中存在垂足确定的情况,或者其中一个向量的模为定值,即可考虑利用投影法计算数量积.向量a与b的求解向量数量积.直接求出,而且存在长度确定的线段,如底边BC或中线AM确定,即可考虑使用极化恒等式,将数量积转化为线段长相关的代数计算.-3,3[2=4-2+1=3,所以|2b-a|=3-b|=1,=(2b-a(.(λa+μb(=2λb=|λa+μb|=1,所以|λa+μb|2=λ2a2+2λμa.b+μ2b2=λ2+λμ+μ2=1.2+λμ+μ2=1必然有解,所以要求μ的范围,只需让关于λ的方程λ2+λμ+μ2-1=0的根的判别式Δ=μ2-4(μ2-1(≥0即可,即4-3μ2≥0,解得.故(a-2b(.(a-c-c(=A.A的取值范围是[-3,3[.故选A.例例24已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点，则P.(P+PA.-2B.C.D.-1则P.(P+P(=P.2PNAM,以BC中点为坐标原点,建立如图2所示的平面直角坐标系,则A(0,3(,B(-1,0(,C(1,0(设P(x,y(,则P=(-x,3-y(x,-yx,-y(,则y+2yx2+(y所以当x=0,y时,P.(P+P(取得最小值,为.故选B.图2数列是函数概念的继续和延伸,数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数,是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲,数列的问题最终归结为对通项的研究,而数列的前n项和Sn可视为数列{Sn{的通项.求数列的通项及前n项和是最基本也是最重要的问题之一,与数列极限及数学归纳法有着密切的联系,是高考对数列问题考查中的热点.当题目中同时出现关于Sn,an的式子时,一方面可通过特殊值法(令n=1(求出首项,另一方面考虑将等式转化为只含有Sn或只含有an的递推式,然后再已知Sn可以求得ann≥2,注意最后要验证a1是否满足an(n≥2(的表达式,若满足可合并,若不满足则要写成分段形式.①由关系式消去Sn,建立an与an-1(n≥2(之间的关系式求an;②由关系式消去an,建立Sn与Sn-1(n≥2(之间的关系式求Sn,进而求an.例例25设数列{an{满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.求{an{的通项公式.【解析】因为数列{an{满足a1+3a2+…+(2n-1(an=2n,所以当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3(an-1=2(n-1),所以(2n-1(an=2,所以an.n=(2n-1(an,由数列{bn{的前n项和Sn=a1+3a2+…+(2n-1(an,利用bn=Sn-Sn-1(n≥2(即可求得bn(注意验证b1),继而求得an.n为数列{an{的前n项和,bn为数列{Sn{的前n项积,已知(2)求{an{的通项公式.当n≥2时,Sn,代入,消去Sn,可得,所以bn-bn,所以{bn{是以为首项,为公差的等差数列.n可得Sn,当n≥2时,an=Sn-Sn,作为常规的等差数列或等比数列可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要先构造成等差数列或等比数列,再应用各自的通项公式求解.常见的类型如下.第一类:an+1=pan+q(p,q为常数,p≠0,1)型把an+1-pan+q化为an+1+λ=p(an+λ(的形式,其中λ由待定系数法求得,从而构造等比数列an,得出答案.构造过程:将an+1=pan+q化为an+1+λ=p(an+λ(,则有q=pλ-λ,所以,n=an,则数列{bn{是公比为p,首项为a的等比数列,所以an=(apn第二类:an+1=pan+qn+r(p,q,r为常数,p≠0,1,q≠0)型将an+1=pan+qn+r化为an+1+t(n+1(+λ=p(an+tn+λ(,则有an+1=pan+(p-1(tn+(p-1(λ-t,所以q=(p-1(t,r=(p-1(λ-t,解得t,令bn=an,则数列{bn{是公比为p,首项为a+第三类:pan+1an=an-an+1(p为非零常数)型在pan+1an=an-an+1(数列{an{中各项均不为0)的等号左右两边同时除以an+1an,化为p的形式,从而构造公差为p的等差数列,得出答案.第四类:an+1=pan+rqn(p,r为常数,p≠0,1,r≠0)型形如an+1=pan+rqn(p,r为常数,p≠0,1,r≠0),方法一原递推式可化为an+1+λqn+1=p(an+λqn(,用待定系数法求得,从而构造首项为a,公比为p的等比数列anp≠q(,得出答案.方法二原递推式两边同时除以qn+1,得,引入辅助数列{bn{(设bn=A.52021-2n+1=5an-8,所以an+1-2=5(an-2(,2=3-2=1,例例28在数列{an{中,a1=3,an=2an-1-n+2(n≥2,n∈N*(,若an>980,则n的最小值n{中,a1=3,an=2an-1-n+2,所以an-n=2[an-1-(n-1(],又a1-1=2,所以数列{an-n{是首项为2,公比为2的等比数列,所以an-n=2×2n-1=2n,所以an=n+2n,因为数列{an{为递增数列,当n=9时,an=521,当n=10时,an=例例29已知数列{an{满足an+1=2an+2n+1,则下列结论正确的是()通过构造特征方程,借助特征方程的根求得满足二阶线性递推式的数列的通项的方法,叫作特征根法.对于形如an+2=pan+1+qan(p,q为非零常数)的数列递推式,构造一元二次方程x2-px-q=0,若Δ=p2+4q≥0,设该方程的两个实数根分别为x1,x2,则①若Δ=p2+4q>0,则x1≠x2,此时,原递推式可以转变为an+2-x1an+1=x2(an+1-x1an(和an+2-x2an+1=x1(an+1-x2an(,可得数列{an+1-x1an{是公比为x2的等比数列,数列{an+1-x2an{是公比为x1的等比数列,根据数列{an+1-x1an{和{an+1-x2an{的通项,易得数列{an{的通项,形式通常为an=Ax+Bx,其中A,B是待定系数,A,B的值可由a1,a2确定.②若Δ=p2+4q=0,则x1=x2,此时,原递推式可以转变为an+2-x1an+1=x1(an+1-x1an(,可得数列{an+1-x1an{是公比为x1的等比数列,且an+1-x1an=(a2-x1a1(x-1,即a2-x1a1(x,可知数列为等差数列,易得数列{an{的通项,形式通常为an=(An+B(x,其中A,B是待定系数,A,B的值可由a1,a2确定.对函数f(x(,若存在实数x0,满足f(x0(=x0,则称x0为f(x(的不动点.对此定义有两方面的理解.代数意义:若方程f(x(=x有实数根x0,则y=f(x(有不动点x0.几何意义:若函数f(x(=x与y=x有交点(x0,y0(,则x0为y=f(x(的不动点.利用递推数列f(n(的不动点,可以将某些由递推关系an=f(an-1((n≥2(所确定的数列转化为较易求通项的数列(如等差数列或等比数列),这种方法称为不动点法.下面举例说明几种常见的递推数列如何用不动点法求其通项公式.(1)若数列{an{满足an=f(an-1(,则称f(x(为数列{an{的特征函数.(2)方程f(x(=x称为函数f(x(的不动点方程(特征方程),其根称为函数f(x(的不动点.(1)设f(x(=ax+b(a≠0且a≠1(,{an{满足递推关系an=f(an-1((n≥2(,p为f(x(的不动点,则an-p=a(an-1-p(.例例30在数列{an{中,a1=1,a2=2,且an+2=3an+1+4an.n+1+an{是等比数列;n+2=3an+1+4an,得an+2+an+1=4(an+1+an(,且an+1+an≠0,2+a1=3,所以数列{an+1+an{是首项为3,公比为4的等比数列.n+1+an=3.4n-1,则an+2+an+1=3.4n,故an+2-an=9.4n-1,所以当n为奇数时,an=a1+(a3-a1(+(a5-a3(+…+(an-an-2(=1+9(1+42+…+4n-3(当n为偶数时,an=3.4n-1-an+1=.4n-1-n+1+an=3.4n-1①,n+2=3an+1+4an,可得an+2-4an+1=-(an+1-4an(,又a2-4a1=-2,则数列{an+1-4an{是首项为-2,公比为-1的等比数列,所以an+1-4an=-2×(-1(n-1②,=1,∞2=-1,1.跳跃等差数列--形如an+2-an=d(d为非零常数)型n+2与an不是数列{an{中连续的项,故此我们称满足an+2-an=d(d为非零常数)于是an=a2k-1=a1+(k-1(d=ad=ad;于是an=a2k=a2+(k-1(d=ad=ad.注意说明换元求解时,要将最后的结果还原成关于n的表达式.令an=xn+y+z(-1(n,其中x,代入n=1和n=2即可确定y和z.第一类:等和数列--形如an+1+an=s(s为常数)型定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫作等和数列,这个常数叫作该数列的公和.若an+1+an=s(s为常数),则数列{an{为等和数列,它是一个周期数列,周期为2,其通项分为奇数项和偶数项来讨论.第二类:类等和数列一形如an+1+an=f(n(型n+an+1=f(n(=An+B(A,B为常数,A≠0(时,则an-1+an=A(n-1(+B,两式相减得an+1-an-1=A,故{an{是公差为A的跳跃等差数列,求解跳跃等比数列通项的方法一般采用换元法,即对数列下标n进行换元,分为奇数项项两种情况讨论.n=a2k-1=a1.qk-1=a1.定义:从第2项开始,如果每一项与它的前项的积是一个不为零的常数数列,那么这个数列若an+1通项分奇数项和偶数项来讨论.an+1an+2=f(n(=qA(n+1(+B(A,B为常数,A≠0(时,则anan+1=qAn+B,两式相除得n=2xn+y+z(-1(n,则an+1=2xn+x+y+z(-1(n+1,an.an+1=22xn+x+2y,n+1=2n,an=1,则对比系数得,x例例32数列{an{满足a1=1,且对任意k∈N*,a2k+1=a2k+1,a2k=a2k-1+2,则a2020=【解析】由题意得当k=1时,a2=a1+2,可得a2=3,则a2k+2=a2k+1+2=a2k+3,所以2020=(a2020-a2018(+(a2018-a2016(+…+(a4-a2(+a2=1009×3+3=3030.故选B.例33已知{an{是由非负整数组成的数列,满足a1=0,a2=3,an=an-2+2(n∈N*,n≥3),则n=n+(-1(n【解析】由题意可得,当n≥3时,an=an-2+2,即an-an-2=2,当n为奇数时,an=ad=n-1;当n为偶数时,an=ad=3+n-2=n+1.综上,an=n+(-1(n.倒序相加法相传来源于高斯在计算1+2+3+⋯+n时,“倒序”为n+(n-1(+⋯+1,将两式相加,得到n个相同的数(即n+1)相加,从而把不同数的求和转化为n个相同的数求和.写和倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加法.n=a1+a2+a3+⋯+an①,且a1+an=a2+an-1=a3+an-2=⋯,得Sn=an+an-1+an-2+⋯+a1②,(1)计算f(-1(+f(1(,f(-2(+f(2(,f(-3(+f(3(的值;(3)求f(-6(+f(-5(+f(-4(+⋯+f(4(+f(5(+f(6(的值.f(-1(+f+f(-x(=1.则有f(x(+f(-x(=1,结论成立.得f(-6(+f(-5(+f(-4(+⋯+f(4(+f(5(+f(6(=f(6(+f(-6(+f(5(+f(-5(+⋯+f(1(+f(-1(+f(0(这种方法适用于求数列{an.bn{的前n项和,其中{an{和{bn{分别为等差数列和等比数列,且等比数列的公比q≠1.③将所得的结果进行求和,整理即可.①要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;②在书写Sn与qSn的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步将准确作差;③在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比q=1和q≠1两种情况求解.(1)求数列{an{的公比；(2)若a1=1,求数列{nan{的前n项和.q+a1q2,即q2+q-2=0,解得q=-2(1舍去),所以数列{an{的公比为-2.(2)若a1=1,则an=(-2(n-1,nan=n.(-2(n-1,则数列{nan{的前n项和为Sn=1×1+2×(-2(+3×(-2(2+…+n×(-2(n-1①,则-2Sn=1×(-2(+2×(-2(2+3×(-2(3+…+n×(-2(n,②①-②得3Sn=1+(-2(+(-2(2+(-2(3+…+(-2(n-1-n.(-2(nn.(-2(n所以数列{nan{的前n项和为.等差数列{an{首项为a1,公差为d,等比数列{bn{首项为b1,公比为q(求{an.bn{的前n项和Sn.过程如下:Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn①,两边同乘公比,得n=a1b1q+a2b2q+…+an-1bn-1q+anbnq②,①-②得(1-q(Sn=a1b1+db2+db3+…+dbn-1+dbn-anbnq=a1b1+d(b2+b3+…+万能公式差比数列cn=(an+b(qn-1,则其前n项和Sn=(An+B(qn+C,其中证明如下:n=(a+b(+(2a+b(q+(3a+b(q2+…+[(n-1(a+b[qn-2+(an+b(.qn-1①,n=(a+b(q+(2a+b(q2+(3a+b(q3+…+[(n-1(a+b[qn-1+(an+b(qn②,由②-①得(q-1(Sn=-(a+b(-a(q+q2+…+qn-1(+(an+b(qn=-(a+b(-a.-+(an+b(qn=(an+b--qn-(b--(,裂项相消法的基本思路是设法将数列的每一项拆成两项干项,并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余各项都能前后正负相消,进而-f(n(或an=f(n+k(-f(n(的形式.利用裂项相消法求和时,既要注意检验通项公式裂项前后是否等价,又要注意求和时,正负项相消消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项.例例36(2022新高考I)记等差数列.(1)求{an{的通项公式；=1,所以S1=a1=1,所以,所以当n≥2时,Sn,所以an=Sn-Sn整理得(n-1(an=(n+1(an-1,即,显然当n=1时,上式也成立,所以{an{所以原不等式成立.若数列{an{满足an=bn±cn,且{bn{,{cn{为等差数列或等比数列n=an(an+1(,所以当n≥2时,2Sn-1=an-1(an-1+1(,两式相减得2an=a+an-a-1-an-1,即an+an-1=(an+an-1(.(an-an-1(,因为an>0,所以an+an-1≠0,所以an-an-1=1(n≥2(,所以数列{(-1(nan{的前101项的和为-a1+a2-a3+a4-…-a99+a100-a101=-(a1+a3+…+a101(+(a2+a4+…+a100(=-+ =-+=-51.的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*(,则d+q的值是.【解析】因为{an+bn{的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*(,数列{an{是公差为d的所以{an{的通项公式为an=a1+(n-1(d,其前n项和Rnn2+(an,所以{an+bn{的前n项和Sn=Rnn2+(an+nb1=n2-n+2n-1(n∈N*(所以Sn=Rn+Qnn2+(an2-n+2n-1(n∈N*(,=1,所以d+q=4.类型一:若奇偶项的通项公式均为已知,则奇数项和偶数项分别求和,然后相加得到前n项和.类型二:若已知奇偶项满足的递推式,则分别求出奇偶项的通项公式,①若an+2-an=d,则奇数项成等差数列,则有an=an-1((n为奇数(;偶数项也成等差数列,则有an=an-2((n为偶数).②若,则奇数项成等比数列,则有an=an-1(n为奇数);偶数项也成等比数列,则有an=a2(p(n-2(n为偶数).类型三:若奇偶项的通项不可求,则可考虑连续若例例39数列{an{满足an+2+(-1(nan=3n-= .n+2+(-1(nan=3n-1,得当n为奇数时,有an+2-an=3n-1,可得an-an-2=3(n-2(-1,…,a5-a3=3×3-1,a3-a1=3×1-1,累加可得当n为偶数时,an+2+an=3n-1,可得a4+a2=5,a8+a6=17,a12+a10=29,a16+a14=41,所以a2+a4+…+a16=92.nSn+2<S+1(n∈N*(;1=15=5(a4-a3(,得1+4d=5d,即d=1,所以an=1+n-1=n.n=2n-1.所以SnSnn(n+1((n+3(,Sn+1(2(n+2(2,所以SnSn+2-Sn+1((n+2(<0,所以SnSn+2<S+1(n∈N*(.所以SnSn+2<S+1(n∈N*(.①-②得c2k第一条路径是微调,看能否使数列中的前几项不动,其余项放缩,从而减小放缩的程度,使之符合所证不等式;第二条路径是选择放缩程度更小的方式再进行尝试.⑦1=2n+1-1<2n+1=2-2n-1(2n-1((2n+1-1((2n-1((2n+1-1(2n-12n+1-1.往往需要多次尝试探路,才可能试探到合适的放缩途径,这样会费时费力.如何提前预判,恰到好处的放缩就尤为关键.当出现放缩过度的情况时,可调整放缩的起点开始放缩.对于放缩后,再裂项相消求和的类型,通过裂项后的首项或前几项的和即可判断放缩的精度是否满足题设要求.常见的题目无非是从第一项开始放缩、从第二项开始放缩或者从第三项开始+c2+…+cnn=n2+n,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,当n=1时,a1=2也适合上式,所以an=2n.n=3n-1.所以c1+c2+…+cn故c1+c2+…+cn.在数列的学习过程中,常常会遇到一些含有指数形式的数列求和或不等式证明的问题,类似ai<M的形式,难度相对较高,解题时可以尝试利用等比放缩的思想,通过目标值M或对目标式通项ai的分析,猜测放缩的路径,然后利用辅助不等式或待定系数法来确定具体的i是指目标式通项,bi是估计能符合要求的等比数列一般从i=1开始,但是如果前几项不符i<bi或ai≤bi即可.②待定系数法:直接寻找满足ai<bi或ai≤bi的等比数列{bn{.通常构造不等式an<λqn思想来处理.所以a1+a2+a3+…+an=所以a1+a2+a3+…+an<1.则a1+a2+a3+…+an命题a1+a2+a3+…+an<1.又因为⇔4n<4n+2恒成立,所以放缩的“辅助在数列的学习过程中,有时候借助数列的单调性会有助于解题.常采取作差法或作商法来判断,也可结合相应函数的图象直观判断.an+1-an>0⇔数列{an{是单调递增数列;an+1-an<0⇔数列{an{是单调递减数列;an+1-an=0⇔数列{an{是常数列.n>0时,①>1⇔数列{an{是单调递增数列；②<1⇔数列{an{是单调递减数列；n<0时,①>1⇔数列{an{是单调递减数列；②<1⇔数列{an{是单调递增数列;设f(n,则f(n所以,即f(n+1(>f(n(.所以f(n(>f(n-1(>…>f(3(>f所谓“糖水不等式”,指的就是:当a>b>0,m>0时,有.之所以叫“糖水不等式”,就是这个不等式蕴含着一个生活小常识:一杯糖水加上一块糖,它会变得更甜,即百分比浓度增大.如果把式中的a看成中所含糖的质量,m看成是后加的一块糖的质量,那么就是原来糖水的百分比浓度,而就是加糖后的糖水的百分比浓度,显然加糖后百分比浓度增大,即有,如果再加一块糖k,则百分比浓度更大,即<<.从右往左分子、分母同减一个正数,分式值会变小.这个不等式本身的证明很容易,利用这个不等式可以进行放缩,证明有关不等式,体现了灵活性、技巧性与趣味性.“糖水抽象的数学问题变得简单化、趣味化,能调动学生的学习兴趣.应用“糖水不等式”证明有关问题在高考中常有体现,并且具有较强的灵活性.则2<××××…××=,=、2n+1-、2n-1.(5-3(+…+(2n+1-2n-1(=2n+1-1.累加公式:an-a1=(an-an-1(+(an-1-an-2(+…+(a2-a1(;a1an-1aa1an-1an-2a1①累加型:an-an-1≤f(n(；②累乘型:g(n(.对于累加型递推关系可结合累加公式进行放缩:an-aak-akf(k(,这种放缩方法称为累加放缩.对于累乘型递推关系可结合累乘公式进行放缩:g(n(.g.….g(2(,这种放缩方法在递推数列中,二次型递推数列an+1=pa+qan+r有重要的地位,对于二次型递推数列不等式,我们应运用恒等变形和构造新数列的方法,并结合范围的估计使之转化为累加型an-an-1≤f(n(或累乘型g(n(,从而实现累加放缩或累乘放缩.形如an+1=pa+qan+r的二次型递推数列可化为:an+1=pa+qan+r→an+1-qan=par→,其中对式子要进行范围的估计,从而得到t(或≥t(,进一步可化为t.qn(或≥t.qn(,此为累加放缩.也可将t(或≥t)化为k≤qk((或≥qk((,此为累乘放缩.利用不动点,形如an+1=pa+qan+r的二次型递推数列也可化为:其中对式子an+k要进行范围的估计,此为累乘放缩.n所以,即->,->,->,…,n≥2,累加可得n-1(,即n+2(,n≥2,所以an,累加可得-1<(n-1(+++…+100>.综上,a100<3.故选B.A.S100<3B.3<S100<4C.4<S100<D.S100<5所以an>0,a,所以S100>a1+a,由累加法可得当n≥2时,n-1(⇒⇒an>由累乘法可得当n≥2时,an方法二设f(xx>0,f/(x,可得f(x(在(0,+∞(上单调递探索an+1满足上界的条件.数列不等式的证明通常是高中学习的难点,技巧性很高,尤其是在一些含有对数式或指数式的复杂的数列不等式中,常见的一些方法可能难以处理,但如果能够通过切线放缩的方式,变成一次式或者等差、等比的形式,或者其他易于求和的形式,那么问题的解决可能就变得容易很多.③lnx≤x-1(x>0(,其中y=lnx与y=x-1的图象相切于点(1,0),如图2;图2①ex-1≥x(x∈R(；②e-x≥1-x(x∈R(；⑤xlnx≥x-1(x>0(；用放缩法证明数列不等式是高中数学的难点内容,放缩法灵活多变,技巧性强,在使用该方法时往往把握不好放缩的度,找不到解题的规律,这时候可以考虑先构造合适的形式,再利用待2+bn+c≥(n+λ((n+k+λ(,得(b-k-2λ(n+c-λk-λ2≥0.令b-k-2λ=0,c-λk-λ2≥0,联立后得k因为此时Sn=a1+a2+…+an≤如果不成立,则考虑从第二项、第三项甚至第四项开始进第二类:分母为指数函数型ana>b>0,a>1)存在kn-bn≥λan(a>b>0,a>1)对于n≥k恒成立.n-bn≥λan,得n对于n≥k恒成立,则minkn<k(an-an+1((n∈N*(恒成立.【注:通常取k】有时候可以把两个结论k和k≤m(a-b(结合起来考虑,确定k的取值.即②kam(首项开始放缩)或a1+k或a1+a2+kam(第三项开始放缩)甚至第四项开始放缩等等,值.从而ln(1++ln(1++…+ln(1+<++…+=1-<1,又当n≥3时,(1+1+1+>(1+1+1+=>2,数学归纳法是一种递推形式的数学证明方法,主要用于证明某个结论在自然数范围内成立,如证明一些等式和公式.数学归纳法在中学数学中是一种比较严谨的推理方法.,k≥n0(时结论成立”为条件,推出“当n=k+1时,为数学归纳法.第一步证明结论在常数的情况下成立,从数学的角度看,结论在常数的情况下成立,即结论在第二步证明结论在任意常数下都成立,在实际情况.在n=k的情况下结论成立,然后推导出n=k+1的时候结论也成立.这是证明结论成立关键的一步,同时它也代表着所要证明的结论具有普遍性.在归纳分析的时候,要将特殊的情况推广到一般的情况才能证明结论成立.通常采用“归纳一猜想一证明”的思路,是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式.一般思路是:先通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方想出公式.*.假设当n=k时命题成立,即(k+1((k+2(.….-1(,当n=k+1时,左边=(k+1+1((k+1+2(.….(k+1+k-1((k+1+k((k+1+k+1(=2k-1(.2.(2k+1(+1(-1([=右边,所以当n=k+1时,等式成立.用归纳法证明时要注意以下几点:②由n=k时的结论推出n=k+1时的结论时,要找出两边的变化(差异),明确变形目标,合理变形.空间几何体的内切球与外接球问题是立体几何的一个重点与难点,也是高考考查的一个热点,考查空间想象能力及化归能力.研究此类问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,为了帮助学生快速解决问题,现将此类问题常考查的模型进行总结.第二步：求DHBD，PO=PH-r，PD是侧面ΔABP的高；第二步：求FHBC，PO=PH-r，PF是侧面ΔPCD的高；等第二步：设内切球的半径为r，建立等式：VP-ABC=VO-ABC+VO-PAB+VO-PAC+VO-PBC⇒理=2r2=(h-R)2+r2(R为外接球半径，r为底面外接圆半对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即OA=OB=OC=OPAB，∴O为三棱锥P-ABC外接球球心，然后在OP面面垂直模型是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，(其中r1r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长).例例49已知正三棱锥的底面边长为23,侧棱长为25,则该正三棱锥内切球的表面积为. 平面ABC,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为.【解析】方法一设△PAC的外接圆的半径为r,则2r=AC=8,解得r棱锥P-ABC的外接球的球心,由题意可得外接球的半径R,所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为4πR2=80π.