连续体结构拓扑优化方法及存在问题分析

连续体结构拓扑优化方法及存在问题分析

文章深化分析国内外连续体结构拓扑优化的研讨现状，介绍了拓

扑优化方法的发展及完成过程中存在的问题。比照分析了匀称化方法,

渐进结构优化法，变密度法的优缺点。研讨了连续体结构拓扑优化过程

中产生数值不稳定现象的原因，重点商量了灰度单元，棋盘格式，网格

依靠性的数值不稳定现象，并针对每一种数值不稳定现象提出了相应

的解决方法。

结构拓扑优化设计的主要对象是连续体结构，1981年程耿东和

Olhof在研讨中指出：为了得到实心弹性薄板材料分布的全局最优解,

必需扩大设计空间，得到由无限细肋增加的板设计工此研讨被认为是近

现代连续体结构拓扑优化的先驱。

目前，国内外学者对结构拓扑优化问题进行了大量研讨，这些研讨

大多数建立在有限元法结构分析的基础上，但由于有限元法中单元网

格的存在，结构拓扑优化过程中经常显现如灰度单元，网格依靠性和棋

盘格等数值不稳定的现象。本文介绍了几种连续体结构拓扑优化方法

及每种方法存在的问题，并提出了相应的解决方法。

1.拓扑优化方法

连续体结构拓扑优化开头于1988年Bendoe和K汰uchi提出的匀

称化方法，此后很多学者相继提出了渐进结构优化方法、变密度法等拓

扑优化数学建模方法。

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1.1.匀称化方法

匀称化方法即在设计区域内构造周期性分布的微结构，这些微结

构是由同一种各向同性材料实体和孔洞复合而成。采纳有限元方法进

行分析，在每个单元内构造不同尺寸的微结构，微结构的尺寸和力向为

拓扑优化设计变量。1988年Bendsoe研讨发现，通过在结构中引入具

有空洞微结构的材料模型，将困难的拓扑设计问题转换为相对简洁的

材料微结构尺寸优化问题。

许多学者发展了匀称化方法，Suzhk进行了基于匀称化方法结构外

形和拓扑优化协同设计。Hassani等全面系统的总结了基于匀称化理论

的拓扑优化理论和算法。该方法的长处：数学理论严谨，在理解拓扑优

化的理论框架方面有重要的意义。缺点：（1）匀称化弹性张量的求解操

作繁琐，内部微结构的外形和方向难以确定。（2）计算结果简单产生棋

盘格和多孔材料等数值不稳定性问题，可制造性差。

12渐进结构优化法

渐进结构优化的设计理论与方法,是由谢亿民于20XX年提出的，

主要用于连续体结构拓扑优化设计问题。ESO方法通过渐渐将无效或

低效的材料删除，完成连续体结构拓扑优化，防止了多变量数学规划求

解问题。ESO方法中主要有三种方法删除无效或低效单元。

近年来ESO由于突出的长处而得到快速的发展，同时存在的问题

也不容无视。主要长处有：不仅可以解决各类结构的尺寸优化，还可以

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完成外形和拓扑优化；拓扑形式清楚，迭代过程在计算机上完成，可以

对有限元分析结果进行后处理近似得到灵敏度值，且在优化过程中防

止二次划分网格问题。缺点是：迭代次数较多，计算效率较低，且通用

性、数值稳定性差。

1.3.变密度法。

密度法是人为假定单元的密度和材料物理属性之间的某种对应关

系，以连续变量的密度函数形式表达这种对应关系。变密度法是基于各

向同性材料-，以每个单元的相对密度作为设计变量，将结构拓扑优化问

题转化为材料最优分布设计问题，应用优化准则法或数学规化方法来

求解材料最优分布设计。

20XX年Sigrnund等证明了该方法物理意义的存在性。变密度法

主要长处有：设计变量少；程序完成简洁；以结构重量为目标，不存在

多目标问题。缺乏有：（1）优化过程中存在相对密度在［0,1］之间单元。

对于中间密度的单元，是否删除就变得难以选择；（2）以柔度最小为优

化目标，在解决含有强度和刚度约束的优化问题时不够便利。

2.拓扑优化中数值不稳定现象及其解决方法2.1.灰度单元

灰度单元是在优化结构中大量存在密度介于0-1之间的单元，导致

优化结果难以准确的给出拓扑构型，从而使优化结果难以在工程实际

中应用。存在灰度单元的根本原因是连续模型同原离散模型的靠近问

题，灰度单元主要存在于SIMP等变密度法中，两种主要解决方法：（1）

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加大SIMP模型中的惩处因子，伴着惩处因子的增大，使设计变量的值

越来越接近于拓扑优化特征函数希望的值。（2）滤波半径过大会产生灰

度单元，合理确定滤波半径的值，可以抑制灰度单元的生成。

2.2.棋盘格式

棋盘格式是指结构优化过程中单元材质密度周期性上下分布，拓

扑呈现为黑白相间，犹如棋盘。Bendsoe认为，棋盘格式的显现与优化

问题解的存在性以及有限元近似的收敛性亲密相关，是连续问题的解

以弱收敛方式靠近原离散问题的真实解时显现的一种现象。为了获得

清楚的图形，一些解决的方法如：（1）灵敏度过滤技术（2）采纳较为

稳定的有限元模式，转变优化目标函数的泛函，使优化过程趋于顺畅。

（3）Kikuchi等提出访用超参元，可以在肯定程度上抑制棋盘格。

2.3.网格依靠性

网格依靠性是指拓扑优化计算结果与计算区域的网格密度有关，

选择不同的网格密度，可能会产生不同的优化结果，且伴着网格的剖分

密度增加，优化结果的几何冗杂性增加，几何尺寸逐步减小。网格依靠

性使得计算结果的可制造性下降。

文章对拓扑优化的