全等三角形性质及判定标准练习题

全等三角形性质及判定标准练习题在平面几何的学习旅程中，全等三角形无疑是一块基石。深刻理解并熟练运用全等三角形的性质与判定方法，不仅能够解决各类几何证明与计算问题，更能培养我们的逻辑推理能力和空间想象能力。本文将系统梳理全等三角形的核心知识，并辅以精心设计的练习题，帮助同学们巩固提升。一、全等三角形的性质回顾当两个三角形全等时，它们能够完全重合。这种“完全重合”意味着：1.对应边相等：全等三角形的三组对应边长度分别相等。2.对应角相等：全等三角形的三组对应角角度分别相等。3.对应元素的一致性：由上述两点可进一步推知，全等三角形的对应中线、对应高线、对应角平分线、周长以及面积也分别相等。简而言之，全等三角形的一切对应元素都是相等的。我们通常用符号“≌”来表示两个三角形全等，读作“全等于”。二、全等三角形的判定标准梳理要判定两个三角形全等，无需验证所有对应元素都相等，我们有以下几条经过严格证明的判定公理和定理，它们是我们判断三角形全等的“利器”：1.SSS（边边边）判定公理：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。*解读：三边对应相等，三角形的形状和大小就完全确定了。2.SAS（边角边）判定公理：如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。*解读：两边一夹角对应相等，注意这里的“角”必须是两条边的夹角，不可混淆。3.ASA（角边角）判定公理：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。*解读：两角一夹边对应相等，三角形的形状和大小同样被唯一确定。4.AAS（角角边）判定定理：如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。*解读：由三角形内角和定理可知，若两角对应相等，则第三角也必然相等，因此AAS可视为ASA的一个推论。5.HL（斜边、直角边）判定公理：仅适用于直角三角形。如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。*解读：这是直角三角形特有的判定方法，因为直角三角形已有一个直角是确定的。重要提示：*“SSA”（边边角）和“AAA”（角角角）不能作为判定两个三角形全等的依据。前者无法唯一确定三角形形状，后者只能确定相似。三、练习题精练（一）选择题（单选）1.下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A.AB=DE，BC=EF，AC=DFB.∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DEC.AB=DE，BC=EF，∠B=∠ED.AB=DE，AC=DF，∠B=∠E2.在△ABC和△A'B'C'中，已知∠A=∠A'，AB=A'B'，若要使△ABC≌△A'B'C'，还需添加一个条件，这个条件不可以是（）A.AC=A'C'B.BC=B'C'C.∠B=∠B'D.∠C=∠C'（二）填空题3.如图，已知AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△______，依据是______（填判定方法的简写）。（*此处应有示意图：两个三角形共用一条边AD，形成一个类似“钻石”的四边形，AB=CD，AC=BD*）4.已知△ABC≌△DEF，∠A=60°，∠B=70°，则∠F=______度。（三）解答题（证明与计算）5.如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。（*此处应有示意图：AB与DE平行，B、E、C、F依次在同一直线上，连接AC、DF形成两个三角形*）6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E。求证：△ACD≌△AED。（*此处应有示意图：直角三角形ABC，∠C为直角，AD是∠BAC的角平分线，DE垂直AB于E*）四、练习题解析与思路点拨（一）选择题1.答案：D解析：选项A是SSS，选项B是ASA，选项C是SAS，均能判定全等。选项D是SSA的情况，其中∠B和∠E并非AB与AC、DE与DF的夹角，因此不能判定全等。2.答案：B解析：已知∠A=∠A'，AB=A'B'。若添加A选项AC=A'C'，则构成SAS；添加C选项∠B=∠B'，则构成ASA；添加D选项∠C=∠C'，则构成AAS。均能判定全等。添加B选项BC=B'C'，是SSA，无法判定。（二）填空题3.答案：△DCB，SSS解析：已知AB=CD，AC=BD，且公共边BC=CB，因此依据SSS可判定△ABC≌△DCB。4.答案：50解析：在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-70°=50°。因为△ABC≌△DEF，所以∠F=∠C=50°。（三）解答题5.证明：∵AB∥DE（已知）∴∠B=∠DEF（两直线平行，同位角相等）∵BE=CF（已知）∴BE+EC=CF+EC（等式的性质）即BC=EF在△ABC和△DEF中，AB=DE（已知）∠B=∠DEF（已证）BC=EF（已证）∴△ABC≌△DEF（SAS）6.证明：∵AD平分∠BAC（已知）∴∠CAD=∠EAD（角平分线的定义）∵DE⊥AB（已知）∴∠AED=90°（垂直的定义）又∵∠C=90°（已知）∴∠C=∠AED（等量代换）在△ACD和△AED中，∠CAD=∠EAD（已证）∠C=∠AED（已证）AD=AD（公共边）∴△ACD≌△AED（AAS）五、总结与提升全等三角形的学习，关键在于“对应”二字的理解与运用。无论是性质的应用还是判定的选择，都需要准确找到对应边和对应角。在解决具体问题时，