高考数学一轮复习 题型突破 专题6.5 正、余弦定理（原卷版）

专题6.5正、余弦定理题型一利用正弦余弦定理进行解三角形题型二判断三角形解的个数题型三三角形面积及其应用题型四判断三角形的形状题型五利用正弦定理求外接圆半径题型六利用正余弦定理进行边角互化题型七解三角形的实际应用题型一 利用正弦余弦定理进行解三角形例1．（2022春·福建·高二统考学业考试）的内角，所对的边分别为，且，则的值为（

）A． B． C． D．例2．（2023春·上海黄浦·高三格致中学校考期中）在中，，，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是______.练习1．（2023春·全国·高三专题练习）在中，已知，，，则角的度数为（）A． B． C．或 D．练习2．（2023春·北京·高三北京市第五十中学校考期中）如图，在中，，点D在边BC上，且．(1)求；(2)求线段的长．练习3．（2023春·广东深圳·高三翠园中学校考期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.(1)求的值；(2)若为边所在线段上一点，且，，，求b的值；练习4．（2023·河南郑州·统考模拟预测）中，，，，平分线与交于点，则_________.练习5．（2023·四川攀枝花·统考三模）如图，四边形中，与相交于点O，平分，，，则的值_______.题型二 判断三角形解的个数例3．（2022春·高三课时练习）已知在中，，若有两解，则正数的取值范围为____________．例4．（2023春·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，，若三角形有且只有一解，则b的取值范围为___________.练习6．（2023春·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考期中）（多选）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，B＝30°，则使此三角形只有唯一解的b的值可以是（

）A． B．3 C．5 D．练习7．（2021春·广东深圳·高三红岭中学校考期中）中，.则满足这样的三角形的个数为（

）A．唯一一个 B．两个 C．不存在 D．有无数个练习8．（2023春·福建·高三校联考期中）（多选）在中，，角所对的边，下列结论正确的为（

）A．若，有一个解 B．若，无解C．若，有两个解 D．若，有一个解练习9．（2023春·陕西西安·高三西安市第八十三中学校考期中）在中，，，分别是角，，所对的边，，，若有两解，请写出一个满足题意的的值：_____.练习10．（2023春·广东深圳·高一校考期中）在△中，，若三角形有两解，则的取值范围是（

）A． B．C． D．题型三 利用正弦定理求外接圆半径例5．（北京市东城区2023届高三综合练习数学试题）在中，，，，则______.例6．（2023·北京·高一专题练习）在中，.(1)求；(2)若，求的面积.练习11．（2023·全国·高三专题练习）在中，，AB边上的高为，则（

）A． B． C． D．练习12．（2022秋·河南焦作·高二统考期末）在中，其三边分别为，，且三角形的面积，则角__________.练习13．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△，若，，则（

）A． B． C． D．练习14．（2023春·河南信阳·高三校联考期中）如图，在中，为钝角，，是的平分线，交于点，且，．

(1)求的大小；(2)求的面积．练习15．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）的内角，，所对边分别为，，，若，，，则的面积为______.题型四 三角形面积及其应用例7．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）若在中，，则三角形的形状一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰或直角三角形 D．等边三角形例8．（2023春·浙江·高三期中）已知分别是三内角的对边，且满足，则的是__________三角形．（填三角形的形状特征）练习16．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则△ABC是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．的三角形练习17．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）（多选）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（

）A．若，则B．若△ABC是锐角三角形，则不等式恒成立C．若，则△ABC必是等边三角形D．若，，则△ABC是等边三角形练习18．（2023·上海·高三专题练习）在中，已知.(1)求；(2)若，判断的形状.练习19．（2023·江苏·高一专题练习）在中，，且，试判断的形状．练习20．（2023春·江西赣州·高三校考期中）已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若，，则△ABC的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形题型五 判断三角形的形状例9．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆为的外接圆，，，则（

）A．2 B． C．4 D．例10．（2023·河南·河南省实验中学校考模拟预测）在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径R，则R=______.练习21．（2023春·河北·高三校联考期中）在中，，，则外接圆的半径为（

）A．2 B． C． D．4练习22．（2023春·河南·高三校联考期中）已知外接圆的周长为，，则（

）A．4 B．2 C． D．练习23．（2023春·广东东莞·高三东莞高级中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角C的大小；(2)若的外接圆半径，，求的面积．练习24．（2023·全国·高三专题练习）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点都在圆周上，角的对边分别为，，，满足(1)求；(2)若的面积为，且，求的周长练习25．（2023·全国·高二专题练习）在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径，则（

）A．4 B．2 C．1 D．题型六 利用正余弦定理进行边角互化例11．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知在中，它的内角的对边分别为，若，则_________．例12．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求B；(2)设，，求的面积.练习26．（2023·河北·统考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，已知．(1)证明：；(2)若，，求△ABC的面积．练习27．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（

）A． B．C． D．练习28．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知中角的对边分别为，．(1)求；(2)若，且的面积为，求周长．练习29．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）在中，角所对的边分别为，c.已知.(1)求角；(2)若，求的值；练习30．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）的内角，，的对边分别为，，，且，，则下面四个选项中错误的是（

）A． B．C． D．周长的最大值为3题型七 解三角形的实际应用例13．（2023春·福建南平·高一福建省南平市高级中学校考期中）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.

(1)求灯柱的高（用表示）；(2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值.例14．（2023春·河南洛阳·高三统考期中）（多选）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为6海里，该轮船从A处沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向上，下面结论正确的有（

）A．海里 B．海里C．或 D．灯塔C在D的南偏西方向上练习31．（2023·河南·校联考模拟预测）中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=800步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH=_________步.（古制单位:180丈=300步）

练习32．（2023春·浙江·高三校联考期中）位于某港口的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口北偏东且与该港口相距海里的处，并正以海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与海轮相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？(2)若经过小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？(3)假设小艇的最高航行速度只能达到海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间.练习33．（2023春·广东广州·高三西关外国语学校校考期中）如图，某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的、两点，在点测得红豆树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（

）

A．米 B．米 C．米 D．米练习34．（2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美