2023北京重点校高一（上）期末数学汇编：一元二次函数、方程和不等式章节综合

第1页/共1页2023北京高一（上）期末数学汇编一元二次函数、方程和不等式章节综合一、单选题1．（2023秋·北京朝阳·高一统考期末）若，则下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）已知，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2023秋·北京西城·高一统考期末）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心．已知仓储中心建造费用C（单位：万元）与仓储中心到机场的距离s（单位：）之间满足的关系为，则当C最小时，s的值为（

）A．20 B． C．40 D．4004．（2023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则5．（2023秋·北京东城·高一统考期末）已知，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．56．（2023秋·北京东城·高一统考期末）不等式的解集是（

）A．或 B．或 C． D．7．（2023秋·北京怀柔·高一统考期末）已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．8．（2023秋·北京怀柔·高一统考期末）已知，：方程有实数解，：，则是的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件9．（2023秋·北京大兴·高一统考期末）已知，则M，N的大小关系是（

）A． B． C． D．10．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）已知，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．411．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）已知，，则下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．二、填空题12．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知某产品总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），那么f（Q）的最小值是___________．13．（2023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）已知是关于的方程的两个实根，且，则__________.14．（2023秋·北京顺义·高一统考期末）不等式的解集是__________.15．（2023秋·北京怀柔·高一统考期末）已知，则的最小值为___________.三、解答题16．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知函数(1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；(2)解不等式．17．（2023秋·北京东城·高一统考期末）已知关于x的不等式的解集为A.(1)当时，求集合A；(2)若集合，求a的值；(3)若，直接写出a的取值范围.18．（2023秋·北京大兴·高一统考期末）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；(2)已知点是点的“上位点”，判断点是否是点的“下位点”，证明你的结论；(3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求满足要求的一个正整数的值，并说明理由．19．（2023秋·北京石景山·高一统考期末）有这样一道利用基本不等式求最值的题：已知且求的最小值.小明和小华两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同.小明的解法：由于所以而那么则最小值为小华的解法：由于所以而则最小值为（1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（2）请说明你判断的理由.四、双空题20．（2023秋·北京通州·高一统考期末）已知，则的最大值为__________，最小值为__________．

参考答案1．C【分析】结合特殊值以及幂函数的性质确定正确答案.【详解】AD选项，，则，但，所以AD选项错误.B选项，若，则，所以B选项错误.C选项，若，由于在上递增，所以，所以C选项正确.故选：C2．C【分析】将式子变形为，然后利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，则（当且仅当，也即时取等号）所以的最小值为，故选：.3．A【分析】根据均值不等式求解即可.【详解】因为，当且仅当，即时等号成立，所以当C最小时，s的值为20.故选：A4．B【分析】根据不等式的性质确定正确答案.【详解】A选项，若，则，所以A选项错误.B选项，若，两边平方得，所以B选项正确.C选项，若，则，所以C选项错误.D选项，若，如，则，所以D选项错误.故选：B5．D【分析】利用基本不等式的性质求解即可.【详解】因为，所以.当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.故选：D6．B【分析】直接解出不等式即可.【详解】，解得或，故解集为或，故选：B.7．B【分析】根据给定条件，举例说明判断A，C，D；利用不等式的性质判断B作答.【详解】，，，且，取，则有，，选项A，C都不正确；由不等式性质知，不等式一定成立，B正确；取，则，D不正确.故选：B8．B【分析】求出命题p为真的a的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】因为方程有实数解，则有，解得或，因此p：或，显然，即有命题q成立，命题p必成立，而命题p成立，命题q未必成立，所以是的必要而不充分条件.故选：B9．C【分析】利用作差法即可判断M，N的大小【详解】因为，所以，故选：C10．C【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【详解】因为，则，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：C11．D【分析】直接利用特殊值检验及其不等式的性质判断即可.【详解】对于选项A，令，，但，则A错误；对于选项B，令，，但，则B错误；对于选项C，当时，，则C错误；对于选项D，有不等式的可加性得，则D正确，故选：D.12．1600【分析】由题意得到年产量为Q时的平均成本为，再利用基本不等式求解.【详解】解：因为某产品总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．所以年产量为Q时的平均成本为，当且仅当，即时，取得最小值，最小值为1600，故答案为：160013．2【分析】根据根与系数的关系结合条件即得.【详解】因为是关于的方程的两个实根，则，又，所以，解得或，经判别式检验知.故答案为：2.14．或【分析】将不等式变形为，即可求出不等式的解集.【详解】解：不等式，即，即，解得或，所以不等式的解集为或.故答案为：或15．【分析】由可得，将整理为，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．(1)(2)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，【分析】（1）根据二次函数的性质确定参数的取值区间；（2）由题化简不等式，求出对应方程的根，讨论两根的大小关系得出不等式的解集.【详解】（1）函数的对称轴，函数在区间上单调依题意得或，解得或，所以实数的取值范围为.（2）由，即，即，令得方程的两根分别为，当，即时，不等式的解集为，当，即时，不等式的解集为，当，即时，不等式的解集为，综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，17．(1)；(2)；(3)．【分析】（1）直接解不等式可得；（2）由题意得是方程的根，代入后可得值；（3）代入后不等式不成立可得．【详解】（1）时，不等式为，即，，∴；（2）原不等式化为，由题意，解得，时原不等式化为，或，满足题意．所以；（3），则，解得．18．(1)“上位点”为，“下位点”为；(2)是，证明见解析(3)【分析】（1）由定义即可得所求点的坐标.（2）先由点是点的“上位点”得，作差化简得，结合所得结论、定义，利用作差法即可判断出点是否是点的“下位点”.（3）借助（2）的结论证明点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数的值.【详解】（1）根据题设中的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个“下位点”坐标分别为和；（2）点是点的“下位点”，证明：点是点的“上位点”，

又均大于，

，

，即，所以点是点的“下位点”.（3）可证点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明：点是点的“上位点”，均大于，

，

，即，所以点是点的“上位点”，同理可得，即，所以点是点的“下位点”，所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”．根据题意知点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”对时恒成立，根据上述的结论可知，当，时，满足条件.故：【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键.19．（1）小华的解法正确；小明的解法错误；（2）理由见解析.【分析】（1）小华的解法正确；小明的解法错误；（2）根据等号成立的条件判断.【详解】（1