2025-2026学年上海市浦东新区致远中学九年级上学期9月月考数学试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页上海市致远中学2025-2026学年上学期9月月考九年级数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．符号sinA表示（）A．∠A的正弦 B．∠A的余弦 C．∠A的正切 D．∠A的余切2．如果，那么（

）A． B． C．5 D．3．在Rt中，∠C=90°，如果AC=2，，那么AB的长是（

）A． B． C． D．4．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（）A．俯角67°方向 B．俯角23°方向C．仰角67°方向 D．仰角23°方向5．已知，为非零向量，如果＝﹣5，那么向量与的方向关系是（）A．∥，并且和方向一致 B．∥，并且和方向相反C．和方向互相垂直 D．和之间夹角的正切值为56．如果点、、分别在边、、上，联结、，且，那么下列说法错误的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7．已知，那么8．如果，那么锐角度9．线段AB＝2cm，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP的长为cm．10．计算：2（﹣2）+3（+）＝．11．在比例尺为1:8000000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为千米12．如果两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们某一对对应边上的高之比为．13．如图，，，，，那么

14．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE=9，BC=12，则cosC=．15．如图，的中线、交于点，点在边上，，那么．16．如图，斜坡长为100米，坡角，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡改造成坡度的斜坡（、、三点在地面的同一条垂线上），那么由点到点下降了米（结果保留根号）17．如图，点C是长度为8的线段AB上一动点，如果AC＜BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD、△BCE，联结DE，当△CDE的面积为3时，线段AC的长度是．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是．三、解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分)19．计算：20．如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，设，．(1)试用、的式子表示向量；(2)在图中作出向量在、方向上的分向量，并写出结论．21．如图，已知在中，，，延长边至点D，使，连接.（1）求的正切值；（2）取边的中点E，连接并延长交边于点F，求的值.22．某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼顶M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）23．在中，点D、E分别在边、上，与交于点F.若平分，．(1)求证：；(2)若，交边的延长线于点G，求证：．24．综合与实践(1)【问题初探】某兴趣小组探索这样一个问题：若是的角平分线，则线段，，，有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空：小智的思路和方法：如图①，作，，垂足分别为M，N．∵平分，，，___________．∵，，∴．再用另一种方式表示与的面积，即可推导出结论…小勇的思路和方法：如图②，作，交的延长线于点E．∵平分，∴．∵，∴．∴．∴___________．再通过证明得到比例式，从而推导出结论…根据小智或小勇的方法，可以得到线段，，，的数量关系是___________；(2)【变式拓展】小慈对问题作了进一步拓展：如图3，在中，，D是边上一点，，，求的值．请你完成解答．(3)【迁移应用】请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段上作一点P，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹）25．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），连接CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，连接AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页答案解析1．A【分析】直接利用锐角三角函数的定义分析得出答案．【详解】符号sinA表示∠A的正弦．故选：A．【点睛】考查了锐角三角函数的定义．在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．2．B【分析】将已知变形即可得出答案．【详解】解：，．故选：．【点睛】本题考了等式的性质，正确理解等式的性质是解题的关键．3．B【分析】根据余弦函数的定义即可直接求解．【详解】解：∵cosA=，∴AB=AC·＝，故选：B．【点睛】本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键．4．D【分析】求出∠BAC＝23°，即可得出答案．【详解】∵BC⊥AB，∠BCA＝67°，∴∠BAC＝90°﹣∠BCA＝23°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23°方向；故选：D．【点睛】此题主要考查了仰角以及俯角的定义，仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．5．B【分析】根据平行向量的性质解决问题即可．【详解】∵已知，为非零向量，如果＝﹣5，∴∥，与的方向相反，故选：B．【点睛】本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．6．C【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得出选项A不符合题意；由平行线分线段成比例定理和已知条件得出选项B不符合题意；由相似三角形的性质得出EF与AB不平行，选项C符合题意；由平行线的性质和相似三角形的判定得出选项D不符合题意；即可得出答案．【详解】如图所示：A、∵DE∥AC，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，△BDE∽△BAC，∴DE＝AF，，∴AF：AC＝BD：AB；选项A不符合题意；B、∵DE∥AC，∴AD：AB＝CE：BC，∵AD：AB＝CF：AC，∴CE：BC＝CF：AC，∴EF∥AB，选项B不符合题意；C、∵△EFC∽△ABC，∴∠CFE＝∠CBA，∴EF与AB不平行，选项C符合题意；D、∵DE∥AC，EF∥AB，∴∠C＝∠BED，∠CEF＝∠B，∴△EFC∽△BDE，选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．6【分析】本题考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键，直接利用比例的性质得出x的值即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：6．8．30【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键，直接利用特殊角的三角函数值进而求得答案．【详解】解：∵，∴锐角，故答案为：30．9．（﹣1）/（﹣1＋）【分析】根据黄金分割的定义得到AP＝AB，把AB＝2cm代入计算即可．【详解】解：∵线段AB＝2cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），∴AP＝AB＝×2cm＝（﹣1）cm，故答案为：（﹣1）．【点睛】本题考查了黄金分割点，熟练掌握黄金分割的黄金比值是解题的关键．10．5【分析】根据平面向量的运算法则解答即可．【详解】解：2（﹣2）+3（+）＝2﹣4+3+3）＝5﹣．故答案为：5．【点睛】本题考查了平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则是解题的关键．11．320【分析】根据比例尺=代入数据计算即可．【详解】解：设甲、乙两地的实际距离为xcm，∵比例尺=，∴1：8000000=4：x，∴x=32000000，∴甲、乙两地的实际距离为是320km.【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例尺=是解题的关键．12．1:2．【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，得到对应边上的高之比．【详解】∵两个相似三角形的周长比为1：2，∴两个相似三角形的相似比为1：2，∴它们某一对对应边上的高之比为1：2，故答案为：1：2．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键．13．/2.25【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】解：∵，，，，∴，即，解得：，故答案为：．14．【详解】试题分析：线段中垂线上的点到线段的两个端点的距离相等.根据DE是BC的中垂线可得CE=BE=9，CD=BC=6，∠EDC=90°，则cosC=.考点：中垂线的性质、三角形函数.15．【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由题得点是的重心，得到，可证明，得到，即可得到．【详解】解：的中线、交于点，点是的重心，，，，，，，，．16．【分析】根据直角三角形的性质求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据坡度的概念求出CD，结合图形计算，得到答案．【详解】在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴AC=AB=50，BC=AB•cos∠ABC=50，∵斜坡BD的坡度i=1：5，∴DC：BC=1：5，∴DC=10，则AD=50-10，故答案为：50-10．【点睛】此题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．17．2．【分析】作DH⊥EC于H．设AC＝x，则BC＝EC＝8﹣x．利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．【详解】作DH⊥EC于H．设AC＝x，则BC＝EC＝8﹣x．∵△ACD，△ECB都是等边三角形，∴∠ACD＝∠ECB＝60°，∴∠DCE＝60°，∴S△DCE＝•EC•CD•sin60°＝3，∴•（8﹣x）•x＝3，解得x＝2或6（舍弃），∴AC＝2，故答案为2．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，利用三角形的面积公式构建方程是解本题的关键.18．．【分析】如下图，过点B作BF⊥AC，过点E作EH⊥AC，由勾股定理可求AC＝5，由面积法可求BF＝，由勾股定理可求AF＝，由旋转的性质可得AB＝BA'，∠BAD＝∠BA'D'＝90°，可求AA'＝，由等腰三角形的性质可求HC的长，通过证明△EHC∽△ABC，可得，可求EC的长，即可求解．【详解】如下图，过点B作BF⊥AC，过点E作EH⊥AC，∵AB＝3，AD＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝＝5，∵S△ABC＝AB×BC＝AC×BF，∴3×4＝5BF，∴BF＝∴AF＝，∵将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，∴AB＝BA'，∠BAD＝∠BA'D'＝90°，且BF⊥AC，∴∠BAC＝∠BA'A，AF＝A'F＝，∠BA'A+∠EA'C＝90°，∴A'C＝AC﹣AA'＝，∵∠BA'A+∠EA'C＝90°，∠BAA'+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠EA'C，∴A'E＝EC，且EH⊥AC，∴A'H＝HC＝A'C＝，∵∠ACB＝∠ECH，∠ABC＝∠EHC＝90°，∴△EHC∽△ABC，∴∴∴EC＝，∴BE＝BC﹣EC＝4﹣＝，故答案为：．【点睛】本题考查矩形的旋转，需要用到矩形的性质，相似三角形和勾股定理求解，解题关键是利用矩形性质，得出△EHC∽△ABC．19．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【详解】原式====．【点睛】此题考查特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．20．(1)(2)图形见解析，向量在方向上的分向量分别为，【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，平面向量定理，解决本题的关键是掌握平面向量定理．（1）根据平行线分线段成比例可得，结合平面向量定理即可表示；（2）根据平面向量定理画图即可．【详解】（1）解：，，∴，，，即，，，，方向相同，，，；（2）如图所示：即为向量在方向上的分向量分别为，．21．（1）；（2）【分析】（1）过点C作于G，根据，可得，得，设，则，可求出，，进而可得出∠D的正切值；（2）延长至H，使，连接，可得，得，，可得,即得．【详解】解：（1）过点C作于G，则，∴，∵，∴设，则，∵，∴，∴，∴，∴，∴，又，∴，∴，故的正切值为；（2）延长至H，使，连接，∵E是的中点，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题考查解直角三角形．熟练掌握勾股定理，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键．22．楼MF的高56.1米．【分析】设MC=x，利用求得AC=x，再根据∠MBC＝45°得BC=MC=x，然后由AC-BC=40列出方程并解解方程，求得MC=x，再加上测角仪的高度即可求解．【详解】解：设MC＝x，∵∠MAC＝30°，∴在Rt△MAC中，AC＝＝x，∵∠MBC＝45°，∴在Rt△MCB中，MC＝BC＝x，又∵AB＝DE＝40，∴AC﹣BC＝AB＝40，即x﹣x＝40，解得：x＝20+20≈54.6，∴MF＝MC+CF＝54.6+1.5＝56.1（米），答：楼MF的高56.1米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的意义，熟练运用锐角的三角函数解直角三角形是解答的关键．23．(1)见详解(2)见详解【分析】（1）先根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”可得，则可得，再根据“等角的补角相等”可得，进而可得；（2）先证，，然后根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，则可得，进而可得，再由可得，由此可得．本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵平分，∴，又∵，，，，又，，又，．（2）证明：∵，，，，，，，，，，，．24．(1)，，(2)(3)作图见详解【分析】（1）利用角平分线上的点到角两边距离相等，等角对等边即可求解；（2）分别作出，边上的高，利用两三角形面积之比即可求解；（3）利用（1）中所得，根据有一个角为的直角三角形的两直角边之比为，构造出使得，即可求解．【详解】（1）解：由角平分线定理可知，角平分线上任意一点向两边作垂线，两条线段相等可得；由等腰三角形两个底角相等可得两腰相等，即；通过题意的推论进一步得出其对应边成比例的关系，即．故答案为：，，．（2）解：如图，设的边上的高为h，作边上的高，边上的高，则，，又，，∴，∴．（3）解：如图所示为所求：【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形面积计算公式、相似三角形的判定与性质和锐角三角函数．25．（1）AD＝；（2）y＝（0＜x＜4）；（3）﹣或+【分析】（1）根据等角的余角相等，证明∠ACD＝∠EDB＝∠B，推出tan∠ACD＝tan∠B，得到即可求出AD；（2）求出sin∠B=，cos∠B=，表达出EH，BH