2025-2026学年宁夏银川二中高二（上）月考数学试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年宁夏银川二中高二（上）月考数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列命题中，假命题是(

)A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同

C.只有零向量的模等于0

D.共线的单位向量都相等2.直线y=−x+m的倾斜角为(

)A.π6 B.π4 C.π33.在三棱柱ABC−A1B1C1中，E是BC的中点，A.13AB−23AC+AA4.若直线l经过点(2,0)且与直线y=12x垂直，则l的方程为A.2x+y−4=0 B.2x−y−4=0 C.x−2y−2=0 D.x+2y−2=05.设A，B，C为不共线的三点，在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(其中O为坐标原点)(

)A.OM=OA−OB−OC B.OM6.圆(x−1)2+y2=1A.0 B.1 C.33 7.过点P(0,−1)作直线l，若直线l与连接A(−2,1)，B(23,1)两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角范围为A.[π4,π6] B.[8.一条沿直线传播的光线经过点P(−4,8)和Q(−3,6)，然后被直线y=x−3反射，则反射光线所在的直线方程为(

)A.x+2y−3=0 B.2x+y−15=0 C.x−2y−5=0 D.x+2y+3=0二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l：x−3y+1=0，则下列说法正确的是(

)A.直线l在x轴上的截距为1

B.直线l与直线l1：x−3y+2=0之间的距离为1010

C.直线l的一个方向向量为n=(1,3)

D.直线l与直线10.在空间直角坐标系中，向量a=(2,−1,m)，b=(−4,2,4)，下列结论不正确的是(

)A.若a//b，则m=2

B.若|a|=6，则m=5

C.若〈a,b〉为钝角，则m<5211.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，动点P在正方体表面AA.存在点P，使得CP//面A1BD

B.存在点P，使得AP⊥面A1BD

C.若AP与CC1的夹角为π6，则点P的轨迹长度为233三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,−2,1)，b=(2,1,1)，则(a+13.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，AF=λ14.已知在平面内，点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A,B,C∈R,A2+B2≠0)的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，已知在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形.AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=60°，设AB=a，AD=b，A16.(本小题15分)

在△ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(5,5)．

(Ⅰ)求点A到直线BC的距离；

(Ⅱ)求线段AC垂直平分线所在的直线方程；

(Ⅲ)求过点B且在x轴和y轴截距相等的直线的方程．17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，B1B⊥平面A1B1C1，AC=CB=CC1=2，∠ACB=90°，D，E分别是A1B118.(本小题17分)

已知直线l：kx−y+1+2k=0(k∈R)．

(1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

(2)求点P(1,2)到直线l距离的最大值并求此时直线l的方程；

(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．19.(本小题17分)

如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC.PA=PC=AC=2，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．

(1)求证：直线BC⊥平面PAC；

(2)求证：直线l//直线BC；

(3)直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的两角互余？若存在，求出AQ的值；若不存在，请说明理由．

参考答案1.D

2.D

3.C

4.A

5.B

6.D

7.B

8.D

9.BD

10.ABC

11.ACD

12.0

13.1314.415.(1)∵AB=a，AD=b，AA1=c，

∴AC1=AB+BC+CC1=a16.解：(Ⅰ)因为A(1,1)，B(4,2)，C(5,5)，

由题可知直线BC的斜率为kBC=2−54−5=3，

所以直线BC的方程为y−5=3(x−5)，即3x−y−10=0；

由点到直线距离公式可得点A到BC的距离d=|3−1−10|32+(−1)2=4105，

即点A到直线BC的距离为4105；

(Ⅱ)易知AC=(4,4)，且过AC的中点(3,3)，

可得该直线的点法式方程为4(x−3)+4(y−3)=0，

即x+y−6=0；

(Ⅲ)当在x轴和y轴截距都为0时，此时直线过B(4,2)，O(0,0)，

此时直线方程为x−2y=0；

当在x轴和y轴截距不为0时，因为直线在x，y轴的截距相等，

可得直线方程为x+y=a，将点B(4,2)代入可得17.(1)证明：取A1B的中点M，连接DM，EM，

因为D是A1B1的中点，

所以DM//BB1，且DM=12BB1，

在三棱柱ABC−A1B1C1中，

因为E是CC1的中点，所以C1E//BB1，且C1E=12BB1，

所以C1E//DM且C1E=DM，

所以四边形C1DME为平行四边形，所以C1D//EM，

又C1D⊄平面A1BE，EM⊂平面A1BE，

所以C1D//平面A1BE．

(2)如图建立空间直角坐标系C−xyz，

则B(0,2,0)，E(0,0,1)，A1(2,0,2)，EA1=(2,0,1)，EB=(0,2,−1)，

设平面A1BE的一个法向量为n=(x,y,z)，

则EA1⊥nEB⊥n，则EA1⋅n=0EB⋅n=0，即2x+z=02y−z=0，

令x=1，则z=−2，y=−1，

所以n=(1,−1,−2)，

易知平面ABC的一个法向量为(0,0,1)，

设平面ABC与平面A1BE所成角为α(α∈[0,π))，

则cosα=|(1,−1,−2)⋅(0,0,1)12+(−1)2+(−2)2×1|=26，

则sinα=1−cos2α=33

即平面ABC与平面A1BE所成角的正弦值为33．

18.解：19.解：(1)证明：因为点C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，所以BC⊥AC，

又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC；

(2)证明：∵E，F分别是PB，PC的中点，

所以BC//EF，又EF⊂平面EFA，且BC⊄面EFA，

所以BC//平面EFA，又BC⊂面ABC，平面EFA∩平面ABC=l，

所以BC//l；

(3)以CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建系如图，

则A(2,0,0)，B(0,4,