高考数学一轮复习 专题08 导数的综合应用（教师版）

专题08导数的综合应用（核心考点精讲精练）1.近几年真题考点分布导数的概念、运算及简单应用近几年考情考题示例考点分析关联考点2022年全国乙（理科），第21题,12分求切线方程根据零点求参分类讨论思想2022年全国乙（理科），第16题,5分求切线，根据极值点求参2022年全国甲（理科），第21题,12分函数不等式恒成立求参数取值范围双变量问题、极值点偏移问题2022年全国甲（理科），第6题,5分求某点处的导函数值已知最值求参2023年全国甲（文科），第8题,5分求切线方程2023年全国乙（文科），第8题,5分利用导数研究函数的零点2023年全国甲（理科），第21题,12分1、判断函数的单调性2、函数不等式恒成立求参数取值范围三角函数2023年全国乙（理科），第21题,12分1、求切线方程2、根据函数的性质求参根据极值求参数取值范围2.命题规律及备考策略【命题规律】1.本节内容为高考必考内容，各种题型都有涉及，且多年来均出现解答题压轴位置；2.常考题型：求一点处的切线；判断函数的单调性；判断函数的极值和最值；通过导函数研究函数的零点等；解答题常有：函数不等式恒成立求参、极值点偏移、隐零点、双变量、数列不等式、与三角函数的综合问题等。【备考策略】1.了解导数的概念,掌握基本初等函数的导数；2.通过函数图象,理解导数的几何意义；3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(形如f(ax+b))的导数；4.利用导函数判断函数的单调性；5.利用导函数判断函数的极值与最值；6.利用导函数研究函数的零点；7.利用导函数研究函数不等式恒成立问题。【命题预测】1.求一点处的切线问题；通过导函数判断函数的单调性（含参与不含参）；2.根据导函数判断函数的极值和最值、通过极值、最值求参；通过导函数研究函数的零点；3.通过导函数研究函数的零点问题；4.根据函数不等式恒成立问题求参、极值点偏移、隐零点、双变量、数列不等式、与三角函数的综合问题等知识讲解一、利用导数证明不等式1、利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数；（3）利用导数研究的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．二、导数中分离参数问题分离参数法基本步骤为：第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用导函数或基本不等式进行求解.第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.三、利用导数研究不等式恒成立问题1、导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为.2、本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，总有成立，故；（3）若，使得成立，故；（4）若，使得，故.3、对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．四、利用导数研究数列不等式问题利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.五、利用导数研究函数零点问题已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；（2）分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型①，构造函数（或，构造函数）；②，构造函数（或，构造函数）；③，构造函数（或，构造函数）.六、利用导数研究隐零点问题1、隐零点是指一个函数在某个区间上有一个零点，但是这个零点具体等于多少却无法计算。隐零点问题指的是一个函数的零点存在但无法直接求解出来的问题。2、隐零点问题的8种解决策略如下

（1）直接观察

（2）虚设零点

（3）分类讨论

（4）拆分函数

（5）等价转化

（6）降次代换

（7）巧妙放缩

（8）反客为主

这些解决策略可以帮助我们解决导函数存在隐零点的情况，其中包括形式上虚设、运算上代换、数值上估算、策略上等价转化、方法上分离函数(参数)、技巧上反客为主等方法。通过这些方法，我们可以更好地解决隐零点问题。七、利用导数研究双变量问题关于同一函数中的两个变量的问题，又可以分成两类题型，一是求参数取值范围类问题，二是没有参数的双变量证明问题，这两类题型在解法上不同，但是思想上均为构造函数的范畴。

方法一：构造函数，转化为单调性问题

在高中数学基础概念里面涉及双变量的有两个地方，一是函数专题中关于单调性的介绍，而是双参数引出导数的概念，由于导数概念仅作为理解的参考，因此我们解决很多双变量问题的时候用到最多的是单调性：

如果让证明，我们可以构造函数，并且令，若能判断出函数是单调增函数，则根据同增异减原则就可以证明出，这是解决问题最基础最核心的东西。

若证明，同理我们可以根据单调性同增异减，构造新函数，若令，若能证明出是增函数，则也能得证，因此此类问题的关键在于能够构造出所需要的函数并且能证明的出来单调性。

解读：注意分子正负未定，因此做题之前要人为设定出两变量的大小，变成多项式之后就能看出需要构造的函数。

总结：无论是证明题还是求参数范围问题，解题思路均相同，设定两个未知量的大小关系，然后构造出所需要的函数，进而使用单调性来判断不等式成立或将单调性转化为参数恒成立问题。

方法二：构造函数，转化为函数的最值问题

如果函数无法用单调性来求解，则两个变量显然不能直接求最值，因此最常见的做法是找两个变量之间的关系，然后将双变量转化为单变量即可，另外还有一种可以转化为单变量的方法就是虽不知道两变量之间的关系，但是可以试着用其中一个变量作为自变量而另外一个变量作为常数来用，这样题目也可以转化为单变量问题，另外也可以试着将两个变量的和或商作为一个新的变量，方法大致有三种，如下：

类型一：可以找到两个未知量的关系，从而转化为一个变量。

类型二：可将两变量的和，差，积，商作为一个整体设为新变量的。

类型三：将双变量指定主变量

双变量指定主变量即把其中一个设为自变量，另外一个看成常数，然后构造新函数就可以将双变量函数转化为一元函数。

解读：至于把谁看作自变量都可，题目转化为恒成立问题，即新函数的最小值大于零即可，这里需要注意将其中一个变量设为自变量，另外一个设为常数之后需要注意新的自变量的取值范围。八、利用导数研究极值点偏移问题1、极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数的图像不具有对称性。2、极值点偏移问题包括含参数的和不含参数的两种情况。（1）对于含参数的情况，可以通过消去参数或构造新函数来转化为不含参数的问题。常用的解法有换元、构造、化齐次、使用对数平均不等式和构造对称函数等方法。其中，构造对称函数是最常用的方法之一，可以从指数或对数的角度出发，利用单调性来解决问题。（2）对于不含参数的情况，可以通过求导数方程的根来求得极值点，并判断其是否在定义域内。同时，需要注意端点位置的点，以及比较各值的函数值的大小来确定最大值和最小值3、证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明（或）：①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；（2）证明（或）（、都为正数）：①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较；③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；（3）应用对数平均不等式证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.九、导数在情景中的运用1、利润最大问题2、面积、体积最大问题3、成本最小问题4、用料最省问题考点一、利用导数证明不等式1．已知函数，证明：.【答案】证明见解析【分析】由得

设，可证明，从而可得结论；【详解】由得：

设，因为，函数的定义域为.所以时，，在单调递减；时，，在单调递增.故，从而

即.2．已知函数，当时，证明：.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由导数求出的最小值，与的最大值比较可证不等式成立；【详解】（1）当时，，，令，得，令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以，当且仅当时，等号成立，而当时，，当且时，，所以.3．已知函数，，设函数，证明：的图象在的图象的上方．【答案】证明见解析【分析】令，，将问题转化为证明对任意的，恒成立，等价于证明当，的最小值大于零，然后利用导数求的最小值即可.【详解】令，，证明的图象在图象的上方，等价于证明对任意的，恒成立，等价于证明当，的最小值大于零．由，得，，令，则，且当时，．所以在区间上单调递增，因为，，所以在区间上存在唯一零点，所以，即．当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．因为，且，所以．因为，所以．故．所以．故对任意的，恒成立，即的图象在图象的上方．1．设函数，，求证：．【答案】证明见解析【分析】作差构造函数，利用导数证明即可；【详解】（1）设，，令，得，令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以，即.2．函数，，当时，证明：．【答案】证明见解析【分析】当时求出函数解析式，即可求出导函数，从而求出函数的单调性，即可得到函数的最小值，即可得证；【详解】当时，则，所以当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以在处取得极小值即最小值，即，所以恒成立.3．设函数，，其中e是自然对数的底数，若，求证：．【答案】证明见详解【分析】分析可得，构建，利用导数结合零点存在性定理以及隐零点问题可得，进而可得结果.【详解】因为，，可得，构建，可知的定义域为，且，构建，可知的定义域为，且，因为在内单调递增，则在内单调递增，且，所以在内存在唯一零点，当时，，则在内单调递减；当时，，则在内单调递增；且，所以在内存在两个零点，且，当时，，则在内单调递增；当时，，则在内单调递减；且x趋近于0时，趋近于，又因为，即，可得，构建，则，可知在内单调递减，且，所以在内单调递减，且，即，所以在内恒成立，故，即.

考点二、导数中的分离参数1．已知函数，设，若在区间内恒成立，求k的最小值．【答案】1【分析】设，利用函数的导数，在区间求解函数的最值，推出k的最小值．【详解】设，若在区间内恒成立，即：，令，可得，当时，，函数是增函数，当时，，函数是减函数，所以时，函数取得最大值：，可得，k的最小值为1．2．（2023·山东省德州市名校模拟）任给两个正数x，y，使得不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先参变分离为，再构造函数，转化为求函数的最值问题，即可求解.【详解】不等式恒成立，整理为恒成立，设，，，令，得，当，，当，，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，函数的最小值，所以，得.3．（2023·北京市名校模拟）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将题意转化为，，令，即，对求导，求出在的最大值即可得出答案.【详解】若存在，使，即，所以，令，，，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，所以所以.1．已知，且恒成立，则k的值不可以是（

）A．－2 B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】先对不等式变形得，发现是与双变量之间的关系，然后再根据已知的等式把双变量转化为单变量，从而构造新函数，然后利用导数求出新函数的最小值即可得出结果.【详解】由知，，，令，则，令，则，导函数单调递增，且，所以存在使得，即，所以在上单调递增，在上单调递减，，所以可取，2．已知函数，若，求c的取值范围.【答案】【分析】，求出的最大值即可.【详解】函数的定义域为：，，设，则有，当时，，单调递减，当时，，单调递增.所以当时，函数有最大值，即，要不等式在上恒成立，只需.3．若在上恒成立，则实数a的取值范围是为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将不等式变形为，易知函数在上单调递增，即原不等式可等价于，在任意上恒成立，再利用导函数求出在上的最小值即可.【详解】因为，所以，记，则恒成立，即在上单调递增，即原不等式等价于，在任意上恒成立，所以等价于，在任意上恒成立，记，，则，令，解得，当时，，当时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，【点睛】易错点点睛：本题在化简不等式时，一定注意到在区间上有意义，必有.考点三、利用导数研究不等式恒成立问题1．（2023·江苏省苏州名校模拟）已知函数，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】【分析】将恒成立问题转化为恒成立，构造函数求导得单调性，结合对的讨论即可求解.【详解】即，令，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，又当时，时，，所以(i)若，不等式恒成立;(ii)若，不等式等价于，因为，所以，故，(iii)若，不等式等价于，因为没有最大值，所以不存在的值，使得不等式恒成立;综上，实数的取值范围为【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.2．（2023·甘肃省宁夏回族自治州名校模拟）设函数，．若当时，恒成立，求的取值范围．【答案】.【分析】作差构造函数，求导后分三种情况①，②，③，讨论求解即可得解.【详解】（2）设，当时，，即恒成立，，当时，因为，，，所以，在上为增函数，恒成立，当时，设，，若，即时，因为，所以，在上为增函数，，即在上恒成立，故在上为增函数，所以恒成立，若，即时，令，得，则在上为减函数，所以当时，，即，在上为减函数，可得，不符合题意.综上所述：.3．（2023·河北省石家庄名校模拟）已知函数，若恒成立，求的取值范围.【答案】【分析】将问题转化为恒成立，对参数进行分类讨论，根据函数的单调性，即可求解；【详解】，可得.令，其中，则.①当时，，合乎题意；②当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，所以，，所以，不恒成立，不合乎题意；③当时，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以可得，解得.综上所述，实数的取值范围是；1．设，，．证明：当时，恒成立．【答案】证明见解析【分析】构造函数，分类讨论实数的取值范围，利用导数求解函数在区间上的单调性，进而得到函数在区间上的最值，只需证明即可.【详解】设，若证成立，即证，，，当时，，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以恒成立．当时，，令，则对称轴为直线，所以当时，函数单调递增，当时，取最小值，所以，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以恒成立，综上：当时，恒成立．即恒成立．2．已知函数若不等式对一切恒成立，则正整数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将不等式整理为，由此构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，即恒成立；令，利用导数判断其单调性，求得其恒大于0时m的范围，即得答案.【详解】由题意不等式对一切恒成立，即对一切恒成立，令，则，当时，；当时，，即在上单调递减，在上单调递增，故，则需恒成立；令，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，取，（），取，即在存在唯一的零点，且，故时，，时，，故正整数的最大值为7，【点睛】方法点睛：关于不等式恒成立求参数的范围问题，一般解决方法是转化为函数的最值问题，即将不等式整理，构造函数，利用导数求函数最值；另外有时也可以参变分离，构造函数，利用导数解决.3．已知函数（）．当时，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】【分析】先由时，，得.再验证当时，不等式在上恒成立即可，构造函数，得其导函数，分析函数的单调性和最值，即可得解.【详解】因为当时，不等式恒成立，所以，所以，所以要证，只需证，即证．构建函数，，所以，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．所以当时，函数取得极大值．因为，所以，所以当时，，所以当时，不等式恒成立．综上所述，的取值范围为．考点四、利用导数研究数列不等式1．（2023·河南省南阳市名校模拟）已知，证明：时，.【答案】证明见解析【分析】由题知，从而，，，…，，相加即可得证.【详解】由题意知，的定义域为，，令，解得：令，解得.所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，所以，当且仅当时等号成立，所以，，，…，，所以.2．已知函数，对任意的，求证：.【答案】证明见解析.【分析】由题意得，求导后可判断在上递增，则，令（），则，（），然后利用累加法可证得结论.【详解】，则，当时，，所以在上递增，所以，所以，所以，令（），则（），即（），所以，（），所以，即，同理得，，…，，所以，所以.【点睛】关键点睛：解题的关键是利用导数判断出在上递增，则可得，然后令，转化为，（），再给依次增加1，得到个不等式相加可得结论，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.3．（2023·广东省广州市名校模拟）已知函数，证明：对任意的且，都有：.【答案】证明见解析【分析】根据得，结合放缩法和累加法即可证明.【详解】令，，在上单调递增，在上单调递减，，所以，（当且仅当时等号成立），令，，则，所以，即，所以.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究含参函数单调性，以及构造函数利用导数证明不等式，以及数列和导数的综合，要善于运用转化法，整体代换转化进行放缩证明不等式.1．设在上恒成立，证明：当时，．【答案】证明见解析【分析】，令，，令，化简得到，进而证得结论.【详解】在上恒成立，当且仅当时，等号成立，因为，令，代入得到，即，且，令，，即，代入化简得到，所以成立．2．已知函数.(1)若在上单调递增，求的值；(2)证明：（且）.【答案】(1)1；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，根据给定条件可得恒成立，再利用导数分类讨论求解作答.（2）利用（1）的结论得当时，，取，利用不等式的性质结合裂项相消法求和作答.【详解】（1）函数，求导得，由于函数在R上单调递增，则恒成立，令，则，当时，，当时，，不满足条件；当时，，在R上单调递增，又，即，不满足条件；当时，令，得，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，于是当时，取得最小值，于是，即，令，则，当时，，单调递增；时，，单调递减，则，由于恒成立，因此，则有，所以单调递增时，的值为1.（2）由（1）知，当时，，即有，当且仅当时取等号，即当时，，因此当且时，，而当时，，所以，则，所以，.【点睛】关键点睛：函数不等式恒成立求参数范围问题，结合已知，利用换元法构造新函数，用导数探讨函数的性质，借助数形结合的思想推理求解.3．已知函数，当时，证明：.【答案】证明见解析【分析】时，，结合，可得，再利用不等式进行适度放缩，结合裂项求和，即可证明.【详解】当时，，所以.令，，在上单调递增，在上单调递减，，所以，即，所以.令，得，即，所以.当时，，则，显然，结论成立；当时，，结论成立.因此，当时，成立.【点睛】思路点睛：本题第二小问考查的是证明不等式，综合了导数与数列的知识，基本方法应使用不等式适度放缩，使得左边的和能求出，进而得出结果.考点五、利用导数研究函数的零点1．（2023·陕西省榆林市名校模拟）已知函数的图象与轴有且仅有两个交点，则实数的值是（

）A． B． C．-1 D．0【答案】A【分析】根据函数的导数判断函数的单调性，利用函数单调性结合交点个数列方程求解.【详解】，，当时，，单调递增，至多与轴有一个交点，故不符合题意；当时，由可得，所以或时，，单调递减；当时，，单调递增.所以函数的图象与轴有且仅有两个交点，则需要或，如图，

因为，所以，解得.2．（2023·四川省眉山市名校模拟）已知函数，其中为自然对数的底数，当时，求函数零点个数．【答案】2.【分析】把代入，利用导数探讨函数单调性，求出函数最小值，再借助零点存在性定理求解作答.【详解】当时，，，求导得，当时，，则，当时，，则，当时，函数都递增，即函数在上单调递增，而，因此存在，使得，当时，，当时，，从而当时，，当时，，即有函数在上单调递减，在上单调递增，，而，于是函数在，各存在一个零点，所以函数零点个数是2.【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.3．（2023·湖南省名校模拟）已知函数，若方程有3个零点，求实数的取值范围．【答案】【分析】将问题转化为与有三个不同的交点，利用导数研究函数的性质，从而结合图象即可求得实数的范围；【详解】令，即得，即方程有三个零点，即直线与曲线有三个不同的交点，可得，所以当或时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，有极小值为，当时，有极大值为，当时，，且当时，，所以作出函数的图象如图所示，所以数形结合可知，即实数的取值范围为.

1．已知函数，，当时，判断的零点个数.【答案】的零点个数为0【分析】求导得函数的单调性，即可由单调性求解最值，进而可判断，【详解】当时，，则，

当，，函数在上单调递增，当，，函数在上单调递减，所以，

所以的零点个数为0.2．给定函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数与方程的思想将函数恰有两个零点转化成函数与函数图象有两个交点，画出图像数形结合即可得.【详解】若函数恰有两个零点，即方程有两个不相等的实数根，即函数与函数图象有两个交点，易知，令，解得，所以当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以在取得最小值，易知当时，，且时，在同一坐标系下分别画出两函数图象，如下图所示：

由图可知当时，函数与函数图象有两个交点.3．已知函数，若存在零点，求a的取值范围．【答案】．【分析】解法1：令，可得，令函数，求得，令，求得在上单调递增，得到的单调性，进而求得实数a的取值范围；解法2：求得，转化为关于x的方程有唯一正根，设的唯一正根为m，求得的单调性，得到，设，结合单调性，即可求解.【详解】解法1：令，可得，令函数，可得．令函数，则，所以在上单调递增，又因为，所以当时，；当时，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以．当时，；当时，，因为存在零点，所以，故实数a的取值范围为．解法2：由函数，可得，由，可得，其判别式，由一元二次方程根与系数的关系知，关于x的方程有唯一正根，设的唯一正根为m，则有，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，；当时，．因为存在零点，所以，设，则，则，所以在上是增函数，所以，即，由，可得，由，得，故a的取值范围为．考点六、利用导数研究隐零点问题1．（2023·河北省沧州市名校模拟）已知函数，当时，证明：不等式恒成立．【答案】证明见解析【分析】依题意恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，只需证明即可.【详解】当时，则不等式恒成立，即恒成立，令，，则，令，，则，所以在上单调递增，又，，所以存在唯一实数使得，所以当时，即，所以在上单调递减，当时，即，所以在上单调递增，所以，又，即，所以，则，所以，令，，则,所以在上单调递减，所以，所以，即，所以恒成立，即不等式恒成立.2．（2023·贵州省铜仁市名校模拟）已知函数，若恒成立，求的取值范围．【答案】【分析】当，取判断不成立；当时，三次求导结合隐零点进行判断不成立；当时，，可得，即.【详解】（1）当时，，可得.（I），所以在处的切线方程为，即.（II），设，则单调递增，所以，即，所以当时，单调递增.（2）设，由题意恒成立.①当时，不恒成立，不合题意；②当时，设，，，，，设，，，单调递增，由零点存在定理得，使得.在上，，即，所以在上单调递减，，不恒成立，不合题意；③当时，，则，当时，，即，则，所以当时，单调递增.可得：，即，所以.综上，的取值范围为．3．（2019·新课标Ⅰ高考真题（文科））已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，，当时，，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围.【详解】（1）令，则当时，令，解得：当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减又，，即当时，，此时无零点，即无零点

，使得又在上单调递减

为，即在上的唯一零点综上所述：在区间存在唯一零点（2）若时，，即恒成立令，则，由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减且，，，①当时，，即在上恒成立在上单调递增，即，此时恒成立②当时，，，，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，即恒成立③当时，，，使得在上单调递减，在上单调递增时，，可知不恒成立④当时，在上单调递减

，

可知不恒成立综上所述：【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.1．已知函数，证明：当时，．【答案】证明见解析.【分析】隐零点讨论，证得结果.【详解】因为，所以在区间内单调递增．设，当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增且，所以．设，则．所以在区间内单调递减，故，即成立．2．设函数．(1)求的单调区间(2)若，k为整数，且当时，求k的最大值【答案】(1)答案见解析；(2)2【分析】(1)求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母，故应按照的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间.(2)由题设条件结合(1)，将不等式成立转化为，由此将转化为求在给定区间的最值问题.【详解】（1）函数的定义域是，，当时，，所以函数在上单调递增，当时，时，，当，所以，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）由于，所以，故当，，等价于令，①，则，由(1)可知，当时，函数在上单调递增，而，所以在存在唯一零点，故在存在唯一零点，设此零点为，则有，当时，，当时，，所以在上的最小时为，又由，可得，所以，由于①等价于，故整数的最大值为2.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．3．设函数.（Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数；（Ⅱ）证明：当时.【答案】（Ⅰ）当时，没有零点；当时，存在唯一零点.（Ⅱ）见解析【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式.试题解析：（Ⅰ）的定义域为，.当时,，没有零点；当时，因为单调递增，单调递增，所以在单调递增.又,当b满足且时，,故当时，存在唯一零点.（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，;当时，.故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为.由于，所以.故当时，.考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.考点七、利用导数研究双变量问题1．（2023·黑龙江省哈尔滨市名校模拟）已知，函数，当时，若，求证：.【答案】见解析【分析】首先将函数零点代入函数，变形为，不等式转化为，再利用换元，构造函数，，利用导数证明不等式成立，即可证明.【详解】当时，，由题意可知，，两式相减得，整理为，要证明，即证明，不妨设，即证明，即，设，即证明，设，，所以函数在区间单调递减，且，即在区间恒成立，即,即，得证.2．（上海师范大学附属外国语中学2023届试题）已知函数，若函数有三个不同的极值点、、，且，求实数a的取值范围.【答案】【分析】首先根据有个不同的极值点求得的一个范围，然后化简不等式，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围.【详解】，设曲线图象上任意一点，所以曲线在点处的切线方程为，将代入得，故切点为，过的切线方程为，所以直线和曲线相切，并且切点坐标为，所以当且仅当时，方程有两个不相等的实根，，并且，从而当时，有三个极值点，，，并且，，，取对数知：，，即，，则．构造，在时恒成立，则在区间上单调递增，且，从而的解为，综上所述．3．（2023·福建省福州名校模拟）已知函数，若，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数讨论函数的单调性，设、且，结合图象得，再利用导数研究函数的性质得，结合变形、基本不等式，即可判断各项正误.【详解】，则，令，当时，单调递减，当时，单调递增，在上，且，，，即.综上，的图象如下：结合，，令，如上图，若且，则，则不一定成立，A错误；又，故，则不一定成立，B错误；令，则，当时，，得，则；当时，，得，则，所以函数在R上单调递增，且，所以在R上恒成立，得，即，又，所以，由，且函数在单调递减，得，即，D正确.又，则，即，故，C错误.故选：D.【点睛】关键点点睛：先由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；进而巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，求出函数的最值；最后回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.1．已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（

）．A．1 B．C． D．【答案】D【分析】令，将都用表示，从而可将构造出关于的函数，再利用导数求出函数的最小值即可.【详解】解：由题意，令，则，，所以，，，令，所以，令，得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，有最小值，即的最小值为.2．已知函数(1)求的单调区间；(2)若函数有两个不同的零点，，证明：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）由（1）可得，，，显然，，令，设，则，依题意只需证明，即证，即证，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得证.【详解】（1）定义域为，且，当时，，在上单调递减．当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减．综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间．当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）因为，是函数的两个不同的零点，所以，，，显然，，因为，，所以，，即，，所以．不妨令，设，则，，所以，．又，所以要证，只需证，即．因为，所以只要证，即，即．令，，则，所以在上单调递减，所以，所以．3．已知函数（a为常数），设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．【答案】【分析】根据函数有两个不相等的极值点得到，故，变形得到函数，求导得到其单调性，得到的值域为，得到答案.【详解】若在定义域内有两个极值点，则是方程，即的两个不相等的实数根，从而得到，即，又，故，，令，则，，所以在上单调递增，所以，即的值域为，所以的范围是.考点八、利用导数研究极值点偏移问题1．（2023·广东省广州市名校模拟）已知函数.(1)讨论函数的单调性：(2)若是方程的两不等实根，求证：；【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的定义域和导数，再根据和分类讨论，即可得出函数的单调性；（2）由可得，是方程的两不等实根，从而可将问题转化为是方程的两不等实根，即可得到和的范围，原不等式等价于，即极值点偏移问题，根据对称化构造（解法1）或对数均值不等式（解法2）等方法即可证出．【详解】（1）由題意得，函数的定义域为.由得：，当时，在上单调递增；当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减.（2）因为是方程的两不等实根，，即是方程的两不等实根，令，则，即是方程的两不等实根.令，则，所以在上递增，在上递减，，当时，；当时，且.所以0，即0.令，要证，只需证，解法1（对称化构造）：令，则，令，则，所以在上递增，，所以h，所以，所以，所以，即，所以.解法2（对数均值不等式）：先证，令，只需证，只需证，令，所以在上单调递减，所以.因为，所以，所以，即，所以.【点睛】方法点睛：本题第二问解题关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称化构造及对数均值不等式等方法证出．2．（新疆维吾尔自治区名校模拟）已知函数，，其中为自然对数的底数．(1)若有两个极值点，求的取值范围；(2)记有两个极值点为、，试证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）求得，令，分析可知有个变号零点，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可；（2）欲证，即证，由已知条件得出，令，解得，，将所证不等式变形为，然后令，其中，利用导数证得即可.【详解】（1）解：因为，，，设，则，若有两个极值点，则有个变号零点．当时，，在上递增，至多有一个零点，不符合题意，舍去；当时，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，若使得有个变号零点，则，即，即，解得，此时，，，令，其中，所以，，所以，函数在上单调递增，所以，，故，由零点存在定理可知，函数在、上各有一个变号的零点，设函数在、上的零点分别为、，当或时，；当时，.此时函数有两个极值点，合乎题意.综上所述，.（2）证明：欲证，即证，由于、为的零点，则，可得，令，则，解得，，所以只需证明：，即证：，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递减，则，所以，即得证，故.3．（2023·河北省石家庄名校模拟）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个零点、，证明.【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为；(2)证明见解析【分析】（1）利用函数单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间；（2）设，由（1）可得，先证，即证，构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，可证得成立；其次证明出，令，则，将所证不等式变形为即证，令，，利用导数分析函数的单调性，可证得，综合可得结论.【详解】（1）解：因为的定义域为，则，令，解得，令，解得，所以的单调减区间为，单调增区间为.（2）证明：不妨设，由（1）知：必有.要证，即证，即证，又，即证.令，其中，则，令，则在时恒成立，所以在上单调递减，即在上单调递减，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以；接下来证明，令，则，又，即，所以，要证，即证，有，不等式两边取对数，即证，即证，即证，令，，则，令，其中，则，所以，在上单调递增，则当时，，故当时，可得函数单调递增，可得，即，所以，综上，.1．已知函数，若，，，证明：．【答案】证明见解析【分析】将已知不等式化为，令，利用导数可求得单调性，易知时成立，当时，采用分析法可知只需证得即可，构造函数，，利用导数可说明，由此可得结论.【详解】由得：，令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；由得：；，，当时，由得：，；当时，要证，只需证，，，则只需证，又，只需证；令，，则，在上单调递减，，，即，即得证，；综上所述：成立.【点睛】关键点点睛：本题证明不等式的关键是能够采用同构法将所给不等式化为的形式，结合极值点偏移的分析思想将问题转化为证明，从而通过构造函数来进行证明.2．已知，若存在，，使，求证：．【答案】证明见解析【分析】）由可得（*），通过证明单调递增，（*）转化为，接着证明成立，即可求解【详解】；由知，整理得，（*），不妨令，则，故在上单调递增，当时，有，即，那么，因此，（*）即转化为，接下来证明，等价于证明，不妨令（），建构新函数，，则在上单调递减，所以，故即得证，由不等式的传递性知，即．【点睛】思路点睛：应用对数平均不等式证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.3．已知函数，a为实数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：．【答案】(1)递减区间为，递增区间为；(2)证明见解析【分析】（1）求导，由导函数的正负即可确定的单调区间，（2）构造函数，求导得的单调性，即可证明，构造函数求导，利用单调性即可求证.【详解】（1）函数的定义域为，令，所以，得，当，，当，，故函数递减区间为，递增区间为.（2）因为函数在处取得极值，所以，得，所以，得，令，因为，当时，，所以函数在单调递减，在单调递增，且当时,,当时,,故.

先证，需证.因为，下面证明.设,则,故在上为增函数,故,所以,则,所以,即得，下面证明：令，当时，所以成立,所以，所以.当时，记,所以时，所以为减函数得,所以,即得.所以得证，综上，.【点睛】思路点睛：求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.考点九、导数在情景中的应用1．现有一个帐篷，它下部分的形状是高为的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为的正六棱锥（如图所示）当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】设为，则，根据题意，可得正六边形的面积为S的表达式，进而可得帐篷的体积为V的表达式，利用导数，即可求得V的单调性和极值点，即可求得答案.【详解】设为，则，设底面正六边形的面积为，帐篷的体积为.则由题设可得，正六棱锥底面边长为，于是，所以，则.令，解得或（舍去）.当时，，V单调递增；当时，，V单调递减.所以当（m）时，V最大.2．（2023·广东省汕尾市名校模拟）某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，一个瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是瓶子的半径．已知每出售的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为，则使得每瓶饮料的利润最大时的瓶子的半径为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】写出利润关于的函数，利用导函数求出利润最大时的的取值.【详解】设每瓶饮料获得的利润为，依题意得，，，于是，递减；，递增，所以是极小值点，于是在，只可能使得最大.3．（2023·河南省南阳市名校模拟）给出新定义：设是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为的“拐点”，已知函数的一个拐点是，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】二次求导，根据拐点定义求得，然后代入函数可得.【详解】由题可知，，结合题意知，即，又，所以，所以．1．已知正三棱锥的高为，且，其各个顶点在同一球面上，且该球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设底面三角形的边长为a，在中，利用勾股定理得到h和a的关系，得到三棱锥的体积，再利用导数法求解最值.【详解】解：因为外接球的表面积为，所以外接球的半径为，如图所示：

设底面三角形的边长为a，且为等边三角形的中心，则，在中，，解得，所以，则，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取得最大值为，2．如图所示，ABCD是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设，当cm时，包装盒的容积最大，最大容积为．

【答案】10【分析】利用可分别表示出包装盒侧面高和底边长，进而将容积表示出来，通过导数研究其最大值即可.【详解】因为，，，所以，包装盒底边长为，因为阴影部分为等腰直角三角形，所以包装盒侧面高为，所以包装盒容积，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，取得最大值.【点睛】实际问题要善于转化为数学问题，本题通过将实际问题转化为函数问题，进而利用导数研究函数的单调性，得到函数的最大值，从而得到答案.3．定义方程的实数根叫做函数的“奋斗点”.若函数，的“奋斗点”分别为，，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导，根据“奋斗点”的定义可得，，构造函数，利用导数及零点存在定理求出的范围，由求出的范围，从而可比较大小.【详解】函数，得，由题意可得，，即.设，，因为，所以，易得在上单调递减且，，故.由，，由题意得：，易知，所以，因为，所以.【基础过关】1．证明：.【答案】证明见解析【分析】构造函数，求导，根据函数的单调性求解最值，即可求证.【详解】令，则，令，则，所以在上单调递增，且，故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取极小值也是最小值，故，因此.2．已知．（1）若对任意，有，求实数a的取值范围；（2）当时，的值域为，求实数a的取值范围；（3），，使得成立，求实数a的取值范围．（4），使得成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】（1）方法一：由，分类讨论的范围，求出时的最小值，列出不等式，求解即可；方法二：根据和，分析得出分子在上恒成立，求解即可；（2）方法一：对求导，分类讨论的范围，求出的最小值，令最小值等于0即可；方法二：将转化为，分类讨论的范围，求出最小值，令最小值等于0即可；（3）设，，由条件得出在有解，求出在上的最小值，得出，求解不等式即可；（4）设，，由已知分析出在上恒成立，求出在的最大值，令，求解不等式即可．【详解】（1）方法一：，当时，由得，所以在上单调递增，所以，即，所以；当时，令，解得或，则在单调递减，在和单调递增；①当，即时，，所以在上单调递增，所以，即，所以；②当，即时，在单调递减，在单调递增，所以，所以，综上所述，．方法二：因为，有，所以在上恒成立，因为在上单调递增，所以当时，，即，故．（2）方法一：，当时，由得，所以在上单调递增，所以，即，当时，令，解得或，则在单调递减，在和单调递增；①当，即时，，所以在上单调递增，所以，即，舍去，②当，即时，在单调递减，在单调递增，所以，无解，综上所述，．方法二：，当时，，无解；当时，，当，，不合题意，舍去；当时，因为和在上单调递增，所以在上单调递增，所以，解得，所以．（3）设，，由，，使得成立，则在有解，，因为时，，所以在上单调递增，所以，所以，即，因为，所以在恒成立，因为在单调递增，所以当时，，即，故．（4）设，，由（3）得，所以在上单调递增，所以，因为，使得成立，所以在恒成立，所以，即，所以当时，，所以在恒成立，因为在上单调递增，所以当时，，即，故．3．设实数，若对不等式恒成立，则m的取值范围为．【答案】【分析】构造函数判定其单调性得，分离参数根据恒成立求即可.【详解】由，构造函数，在为增函数，则即对不等式恒成立，则，构造函数令，得；令，得；在上单调递增，在上单调递减，，即.4．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出导函数，排除，当时得到函数的单调性以及函数的取值范围，再列不等式组求解即可.【详解】因为所以若时恒成立，在上单调递增，函数不可能有两个不同的零点，不合题意；所以，只有时，，函数递减，此时时，，函数递增，此时，因为函数有两个不同的零点，所以解得5．已知，如图是一张边长为的正方形硬纸板，先在它的四个角上裁去边长为的四个小正方形，再折叠成无盖纸盒．

(1)试把无盖纸盒的容积表示成裁去边长的函数；(2)当取何值时，容积最大？最大值是多少？（纸板厚度忽略不计）【答案】(1)(2)当时，容积最大，最大值为【分析】（1）根据长方体的体积公式即可得解；（2）求导，再利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案.【详解】（1）由题意，长方体的高为，底面是正方形，正方形的边长为，则，所以，则；（2）由（1）得，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，容积最大，最大值为.6．（2023·浙江省丽水市名校模拟）已知函数．(1)求函数的单调递减区间；(2)若函数有三个零点，求的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）对函数直接求导，根据导数正负与原函数单调性关系直接求解即可；（2）根据（1）中单调性得到函数极大值与极小值，通过变化趋势列出不等式组求解即可.【详解】（1）函数的导数，当时，；当时，.所以的单调递减区间为.（2）由（1）得：当时，取得极大值；当时，取得极小值.由三次函数性质知：当时，；当时，.所以若有三个零点，则，解得.所以的取值范围为.7．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，下列选项中没有“巧值点”的函数是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用新定义：存在使得，则称是的一个“巧点”，对四个选项中的函数进行一一的判断即可．【详解】对于A：，则，令，则，故有“巧值点”；对于B，，则，令，故方程有解，故有“巧值点”；对于C，，则，令，则.∴方程有解，故函数有“巧值点”．对于D：定义域为，则，而，显然无根，故没有“巧值点”.8．已知函数，．当，时，求证：．【答案】证明见解析【分析】根据要证，构造新函数，利用导数研究在上单调性，证明所以，即可得出结论.【详解】证明：要证，即证，只需证，因为，也就是要证，令，因为，所以，所以在上为减函数，所以，所以得证．9．已知函数．(1)若是函数的极值点，求的值；(2)若函数有两个零点，求的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）求导，利用导数研究函数的单调性、极值.（2）利用导数研究函数的单调性、图象，根据函数有两个零点求解.【详解】（1）函数的定义域为，，因为，所以，若是函数的极值点，则，所以．当时，若则，函数在上单调递增，若则，函数在上单调递减，所以是函数的极小值点，此时.（2）由（1）知，若，则，函数在区间上单调递增，若，则，函数在区间上单调递减，所以是函数的极小值点，，当时，，当时，，所以若函数有两个零点，则仅需，所以．10．（2023·安徽省名校模拟）已知函数为函数的导函数．(1)讨论函数的单调性；(2)已知函数，存在，证明：．【答案】(1)函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；(2)证明见解析【分析】（1）运用导数研究函数单调性即可.（2）由可得，结合（1）可得，联立两者可得，运用比值代换法，设，转化为求证,即可证明.【详解】（1）的定义域为，，令，则，所以函数在单调递增，又因为，所以，，即：，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）由（1），得，又，即，所以．不妨设，所以．由（1）得当，函数单调递增，所以，故，所以，所以，故．下证．即证：，设，则，所以函数在区间上单调递增，所以，故，即，所以，即，所以，得证．11．（2023·河南省洛阳市名校模拟）已知函数（a为常数）．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）由导数的几何意义求解，（2）根据函数有两个不相等的极值点得到，故，变形得到函数，求导得到其单调性，得到的值域，得到答案.【详解】（1）当时，，，所以，，故曲线在点处的切线方程为．（2）若在定义域内有两个极值点，则是方程即的两个不相等的正根，从而得到，即，又，故，且令，则，，所以在上单调递减，所以，即的值域为，所以的范围是.【能力提升】1．已知正三棱锥的外接球半径R为1，则该正三棱锥的体积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设该正三棱锥的高为，底面外接圆的半径为，根据球的截面圆的性质，求得，得到，进而得到锥体的体积为，设，求得，得出函数单调性与最大值，即可求解.【详解】如图所示，设该正三棱锥的高为，底面外接圆的半径为，底面面积为，由球的截面圆的性质，可得，即，解得，即，解得，由锥体的体积公式，正四棱锥的体积为：，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以正三棱锥体积的最大值为.

2．（2023·四川省自贡市名校模拟）已知函数，，，恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，其中，分析可知，存在，使得，可得出，由题意可得出，可得出，由此可得出，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即为的最大值.【详解】令，其中，则，令，其中，则，故函数在上为增函数，①当时，，，则，所以，，所以，存在，使得；②当时，，则，，所以，存在，使得；③当时，令，则，令，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，即，当且仅当时，等号成立，所以，，所以存在，使得，即.由上可知，对任意的，存在，使得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，则，所以，，令，其中，所以，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，即的最大值为.故选：A.【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.3．（2023·陕西省咸阳市名校模拟）已知函数，若方程恰有四个不等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】运用导数研究单调性及图象趋近，进而画出其图象观察即可.【详解】因为当时，，则，，，所以在上单调递增，在上单调递减，，，当时，，当时，，则在上单调递增，，当时，，综上，的图象如图所示，

因为，所以或，又因为恰有4个不等的实根，且，所以恰有3个不等的实根，即恰有3个不同的交点，所以由图象可知，.4．若关于的方程有两个解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先变形构造函数，讨论和两种情况，利用导数判断函数的单调性，再结合函数的最值，并结合零点存在性定理，求实数的取值范围.【详解】依题意，有，令，则.当时，在上恒成立，在上单调递增，故至多只有1个零点；当时，令，设为该方程的解，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，则函数的最大值为；而，故，故，故，解得，可知，故，所以在上仅有1个零点，当时，，故在上也有1个零点，故实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质和零点问题，涉及构造函数，分类讨论，以及隐零点问题，本题的一个关键是根据，变形求，再结合函数零点存在性定理说明存在两个零点.5．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】结合“不动点”函数的概念，转化为方程有根的问题，对于选项A、C，构造新函数，求导，研究函数的单调性，求函数最值，即可判断，对于选项B，利用零点存在性定理判断，对于选项D，直接根据方程无根判断.【详解】对于A：令，即，令，则，令，得，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，所以，所以方程无根，所以函数不是“不动点”函数，故A不正确；对于B：令，即，令，函数的图象连续不断，且，由零点存在性定理知，函数在上有零点，即有根，所以函数是“不动点”函数，故B正确；对于C：令，即，令，则，得，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，所以，所以方程无根，所以函数不是“不动点”函数，故C不正确；对于D：令，即，而，所以方程无根，所以函数不是“不动点”函数，故D不正确；【点睛】思路点睛：方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可直接求方程的根，或者利用零点存在性定理判断，也可构造新函数，把问题转化为研究新函数的零点问题，有时还可以转化为两函数交点问题.6．已知函数有两个零点，且，(1)求的取值范围；(2)证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）利用导函数与单调性的关系结合零点的存在性定理，确定两个零点所在的区间范围，再结合，构造函数，，求出最值即可求解的取值范围；（2）根据函数的零点可得，设，，进一步解得，，从而可得，进一步得到，利用基本不等式即可证明原不等式.【详解】（1）因为的定义域为，所以.当时，恒成立，所以在上单调递增，故不可能有两个零点，故舍去；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，要使有两个零点，则，解得，又，设，，所以在单调递减，所以，所以，所以,所以当时，在和上各有一个零点,且，所以，由单调性知：当时，；当时，；因为，所以，即，所以，而，所以，所以，令，，则，所以在上单调递增，所以，所以.（2）只需证，由题意：，设，.所以，即，所以，，即，所以∴，令，，令，，设，所以函数在单调递增，，∴在单调递增，∴，∴在单调递增，∴.∴，∴，∴，（由于，此处无法取得等号），得证.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于列出方程组，并假设，，进一步解出，从而可得，巧妙地将双变量问题转化为单变量问题，进而利用导数与最值的关系可得，进一步利用不等式即可证明原命题.7.（2023·河南省开封市名校模拟）已知函数，其中为自然对数的底数.(1)当时，求的单调区间；(2)若函数有两个零点，证明：.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2)证明见解析【分析】（1）将代入后得，对其求导，利用导数与函数的单调性即可得解；（2）由题意得，从而利用分析法将变形为，构造函数，利用导数证得，由此得证.【详解】（1）当时，的定义域为，则，因为，则，所以，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）若函数有两个零点，则，即，两式相减，可得，两式相加得，要证，只要证，即证，即证，只须证，即证，即证，令，则由得，故须证，令，则，当时，，所以在上单调递增，所以当时，，即成立，故原不等式成立.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．8．（2023·广西邕衡名校模拟）已知函数．(1)若，求在处的切线方程；(2)若有两个不同零点，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析【分析】（1）求出切线斜率，根据点斜式可得.（2）由得，故考虑构造函数，先证，利用的单调性去证明即可.【详解】（1）当时，，故，，故在处的切线方程为，即.（2）证明：不妨设，设，则，

当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，

可知，也是的两个零点，且，，于是，

设，因为．

设，当时，，故在单调递增，所以，从而，因此在单调递增，又，故，故，于是．

又在单调递减，故

即，故【点睛】关键点点睛：第一个关键点是从结论分析，由得，故构造函数；第二个关键点是能利用函数的最值得到，进而证明.9．已知函数；(1)若无零点，求a的取值范围；(2)若有两个相异零点，证明：．【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）在定义域内，根据函数求导判断函数单调性，找出定义域内最小值，当满足时即可求的取值范围.（2）根据（1）中求导结果得出零点的取值范围，根据零点性质可知，据此利用函数单调性定义得出和的大小关系，从而证明出.【详解】（1），，，得，当时，，单调递减，时，，单调递增，所以函数的最小值是，因为函数无零点，，得，所以的取值范围是；（2）证明：不妨设，由（1）得，在上单调递减，在上单调递增，，故，，，设，，因为，，所以函数在区间单调递增，且，所以在区间上恒成立，故，即，又在上单调递减，，.【点睛】本题考查利用导数研究函数的形状，以及双变量问题，综合性较强，本题第二问的关键是利用，结合函数的单调性，判断的正负.10．（2023·甘肃省酒泉市名校模拟）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可得出结果；（2）求出，可得，化简，构造函数，利用单调性即可求得答案.【详解】（1），曲线在点处的切线方程为，即.（2），则函数的定义域为，若函数有两个极值点，且．则方程的判别式，且，．．设，则在上恒成立．故在单调递减，从而．因此，的取值范围是．11．（2023·湖南省常德市名校模拟）已知函数（）.(1)讨论函数的单调性；(2)若两个极值点，，且，求的取值范围.【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增(2)【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，先对函数求导得（），再结合二次函数的图像与性质分类讨论，，时，的符号，从而得到函数的单调性；（2）根据（1）和韦达定理得到，，结合化简得到，，再构造函数，利用导数求得的值域，即可求解.【详解】（1）函数的定义域为，又，，令，得，当时，时，，所以在单调递增；当时，方程的，①当时，，则，所以在单调递增；②当时，，令，得，，当时，；当时，；所以在上单调递减，在，上单调递增；综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增；（2）由（1）得，若有两个极值点，，则，且，，即，；故，，令，则，所以在上单调递减；即，故，综上所述：的取值范围为：.【点睛】关键点睛：破解含双参不等式证明题的3个关键点（1）转化：即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值或值域；（3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.12．已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若在定义域内有两个极值点，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析【分析】（1）求导，分类讨论的值，由导数得出单调性；（2）由极值点的性质以及韦达定理得出，构造函数，利用导数证明不等式.【详解】（1）由题意得：的定义域为，令，，当，即时，恒成立，即：，在上单调递减，当，即时，令，解得：，当时，，即；当时，，即，在上单调递减；在上单调递增，（2）在定义域上有两个极值点由（1）知且是方程的两个不等实根，则，，设，则，，，，则在上为减函数，，则成立.【点睛】关键点睛：在问题二中，关键在于由极值点的性质结合韦达定理将双变量问题，转化为单变量问题，从而由导数证明不等式.13．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)设函数，若恒成立，求的最大值；(3)已知，证明：.【答案】(1)递减区间为，递增区间为；(2)(3)证明见解析【分析】（1）求导函数，解导数不等式既得单调区间；（2）利用导数研究含的单调性，找到函数的极值点，从而得到最小值，然后利用导数研究最值函数的范围即可求解；（3）由（1）可得，变形得.借助数列的裂项求和的方法和对数的运算性质即可证明.【详解】（1）因为，所以，当，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以单调递减区间为，单调递增为；（2），则，所以，所以在上单调递增，又，，故存在唯一的实数，使得即成立.故时；时.所以在上单调递减，在上单调递增.所以，其中，令，，因为，，所以在上单调递减，所以即，故，故所求的最大值为（3）由（1）可得，则，可得，即，即，令，所以，所以，即，所以，，令，则，且不恒为零，所以，函数在上单调递增，故，则，所以，，所以.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.【真题感知】1．（2023年全国甲卷理数）已知函数(1)当时，讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.【详解】（1）令,则则当当,即.当,即.所以在上单调递增,在上单调递减（2）设设所以.若,即在上单调递减,所以.所以当,符合题意.若当,所以..所以,使得,即,使得.当,即当单调递增.所以当,不合题意.综上,的取值范围为.【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)在上单调递减；(2)【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；（2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解.【详解】（1）因为，所以，则，令，由于，所以，所以，因为，，，所以在上恒成立，所以在上单调递减.（2）法一：构建，则，若，且，则，解得，当时，因为，又，所以，，则，所以，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；综上所述：若，等价于，所以的取值范围为.法二：因为，因为，所以，，故在上恒成立，所以当时，，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；当时，因为，令，则，注意到，若，，则在上单调递增，注意到，所以，即，不满足题意；若，，则，所以在上最靠近处必存在零点，使得，此时在上有，所以在上单调递增，则在上有，即，不满足题意；综上：.【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解.3．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)存在满足题意，理由见解析；(3).【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，据此可得，函数在处的切线方程为，即.（2）由函数的解析式可得，函数的定义域满足，即函数的定义域为，定义域关于直线对称，由题意可得，由对称性可知，取可得，即，则，解得，经检验满足题意，故.即存在满足题意.（3）由函数的解析式可得，由在区间存在极值点，则在区间上存在变号