高考数学一轮复习 专题20 空间几何体的结构、三视图、表面积与体积（学生版）

专题20空间几何体的结构、三视图、表面积与体积（核心考点精讲精练）1.近几年真题考点分布空间几何体的结构、三视图、表面积与体积近几年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙（文科），第16题,5分已知三棱锥外接求半径，求线段长2023年全国乙（文科），第19题,12分1、证明线面平行；2、求三棱锥的体积；2023年全国乙（理科），第3题,5分2023年全国乙（文科），第3题,5分通过三视图求几何体的表面积2023年全国乙（理科），第8题,5分圆锥体积相关计算2023年全国乙（理科），第9题,5分证明面面垂直，由二面角求线段长，从而求线面角的正切值2023年全国乙（理科），第19题,12分1、证明线面平行；2、证明面面垂直；3、求二面角2023年全国甲（文科），第10题,5分证明线面垂直，求三棱锥的体积2023年全国甲（文科），第16题,5分正方体的外接球、棱切球问题2023年全国甲（文科），第18题,12分1、证明面面垂直；2、求四棱锥的高2023年全国甲（理科），第11题,5分四棱锥表面积有关计算余弦定理解三角形2023年全国甲（理科），第15题,5分正方体的棱切球问题2023年全国甲（理科），第18题,12分1、已知点面距，证明线面垂直，从而得到线线相等；2、已知平行线间的距离，求线面角的正弦值2.命题规律及备考策略【命题规律】1.本节内容为高考常考内容，常以选填题出现；2.考查已知三视图求几何体的体积或表面积；3.考查球体问题；4.考查几何体的体积或表面积.【备考策略】1.认识柱体、锥体、台体、球及简单组合体的结构特征,并能运用这些特征识别现实生活中简单物体的结构；2.理解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式,并能用公式解决实际问题；3.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.【命题预测】1.考查已知三视图求几何体的体积或表面积；2.考查球体问题；3.考查几何体的体积或表面积.知识讲解一、空间几何体的结构特征1.简单多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相且

多边形互相且

侧棱

相交于但不一定相等

延长线交于

侧面形状

2.旋转体的结构特征名称图形母线轴截面侧面展开图圆柱互相平行且相等,垂直于底面

矩形圆锥相交于

圆台延长线交于

球二、直观图斜二测画法:(1)原图形中轴,轴,轴两两垂直,直观图中轴,轴的夹角为45°(或135°),轴与轴和轴所在平面.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍,平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度,平行于轴的线段在直观图中的长度为.

按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系：，.三、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称几何体侧面展开图侧面积公式圆柱

圆锥

圆台

四、柱体、锥体、台体、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下球S=

1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.2.几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为,球的半径为,①若球为正方体的外接球,则;②若球为正方体的内切球,则;③若球与正方体的各棱相切,则.(2)若长方体过同一顶点的三条棱长分别为,,,外接球的半径为,则.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧:(1)熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,再依据题意判定.(2)通过反例对结构特征进行辨析,要说明一个说法是错误的,只要举出一个反例即可.(1)画几何体的直观图一般采用斜二测画法,其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于轴的线段长度减半,平行于轴和轴的线段长度不变)来掌握.对直观图的考查有两个方向:一是已知原图形求直观图的相关量;二是已知直观图求原图形中的相关量.(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形面积的关系为S直观图=24S原图形通常利用空间几何体的表面展开图解决以下问题:(1)求几何体的表面积或侧面积;(2)求几何体表面上任意两个点的最短表面距离.空间几何体表面积的求法(1)多面体:其表面积是各个面的面积之和.(2)旋转体:其表面积等于侧面面积与底面面积的和.(3)简单组合体:应搞清各构成部分,并注意重合部分的删、补.(4)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出几何体的表面积.计算柱体、锥体、台体的体积,关键是根据条件求出相应的底面面积和高,应注意充分利用多面体的截面,特别是轴截面,将空间问题转化为平面问题求解.若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法,在解题时,把不完整几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或将一个复杂的几何体置于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破解空间几何体的体积等问题,常见的补形法有对称补形、联系补形和还原补形.对于还原补形,主要涉及台体中“还台为锥”.利用“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题,即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高,通过将其顶点和底面进行转化,借助体积的不变性解决问题.考点一、基本立体图形命题角度1结构特征1．下列结论正确的是（）.A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在的直线为旋转轴,其余两条边旋转形成的曲面所围成的几何体叫作圆锥C．若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线命题角度2直观图2．有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积是.

.命题角度3展开图3．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（

）A． B． C． D．1．有下列说法:①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形;②在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③存在每个面都是直角三角形的四面体;④棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确的说法是.(填序号)

2．如图，是水平放置的的直观图，则的周长为．3．如图,已知正三棱柱的侧棱长为,底面边长为,一只蚂蚁从点出发沿每个侧面爬到点,路线为,则蚂蚁爬行的最短路程是（）A． B．C．D．考点二、几何体的表面积1．（2022年全国新高考II卷数学试题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．2．（2021年北京市高考数学试题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（

）A． B． C． D．3．（2023届河北省调研数学试题）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，，若，，则三棱锥的外接球表面积为.1．（2020年天津市高考数学试题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．2．（2020年北京市高考数学试题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（

）．A． B． C． D．3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（

）A．6+4B．4+4 C．6+2 D．4+2考点三、几何体的体积命题角度1直接法求体积1．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为,侧面积分别为和,体积分别为和.若,则（）.A． B． C． D．命题角度2割补法求体积2．如图所示,已知多面体中,,,两两互相垂直,平面∥平面,平面∥平面,,,则该多面体的体积为.

命题角度3等体积转换法求体积3．（2023年广西柳州联考数学试题）如图所示,已知三棱柱的所有棱长均为1,且,则三棱锥的体积为（）.A． B．C．D．1．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（

）A．8 B．12 C．16 D．202．（2022年浙江省高考数学试题）某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（

）A． B． C． D．3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．考点四、球体问题1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．2．在三棱锥中，平面，，且，则三棱锥外接球的体积等于（

）A． B． C． D．3．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（）A． B． C． D．4．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（）A． B． C． D．5．（2023年贵州省教学质量监测考试数学试题）在正四棱台中，，．其外接球的体积为（

）A． B． C． D．1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为．2．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（大纲卷））正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A． B． C． D．3．已知三棱锥，其中平面，，，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．4．（2023年云南省学业质量监测数学试题）现有一个高为2的三棱锥被一个平行于底面的平面截去一个高为1的三棱锥，得到棱台．已知，，，则该棱台的外接球体积为．5．（2023年重庆市九校联盟模拟数学试题）设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积为，，则此直三棱柱的高是（

）A．1 B．2 C． D．46．（2023年广东省模拟数学试题）如图，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使得三点重合于点，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为（

）

A． B． C． D．

【基础过关】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．2．已知圆锥的顶点为,母线,所成角的余弦值为,与圆锥底面所成的角为45°.若的面积为,则该圆锥的侧面积为.

3．（2020年浙江省高考数学试题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A． B． C．3 D．64．（2021年天津高考数学试题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（

）A． B． C． D．5．（2021年全国新高考II卷数学试题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（

）A． B． C． D．6．（2021年浙江省高考数学试题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（

）A． B．3 C． D．7．（2021年北京市高考数学试题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：

等级24h降雨量（精确到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是（）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨8．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A． B． C． D．9．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为（

）A． B． C． D．10．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（

）A． B． C． D．11．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C． D．12．（2022年全国新高考I卷数学试题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（

）A． B． C． D．13．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）

A． B． C． D．214．（2023年辽宁省模拟数学试题）所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（

）A． B． C． D．15．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为.16．（2020年江苏省高考数学试题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是cm3.17．（2021年全国新高考II卷数学试题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（

）A．26% B．34% C．42% D．50%【能力提升】1．在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是.2．已知正方体的棱长为6，E、F分别是、的中点，则平面CEF截正方体所得的截面的周长为．

3．（2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省适应性测试数学试题）三棱锥中，平面，．若，，则该三棱锥体积的最大值为（

）A．2 B． C．1 D．4．（2023届广东省调研数学试题）如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A． B． C． D．6．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，，，，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．7．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（

）A． B． C．1 D．8．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为．9．（2022年全国新高考I卷数学试题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）A． B． C． D．11．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（）A． B． C． D．12．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（）A． B． C． D．13．已知A，B，C是表面积为的球O的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．14．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有个面，其棱长为．15．如图，多面体中，面为正方形，平面，，且，，为棱的中点，为棱上的动点，有下列结论：①当为棱的中点时，平面；②存在点，使得；③三棱锥的体积为定值；④三棱锥