高考数学一轮复习 专题30 双曲线及其性质（教师版）

专题30双曲线及其性质（核心考点精讲精练）1.近几年真题考点分布圆锥曲线近几年考情考题示例考点分析关联考点2023年全国乙（文科），第11题,5分直线与圆的位置关系，参数方程2023年全国乙（文科），第13题,5分根据抛物线上的点求标准方程，抛物线的定义2023年全国乙（理科），第3题,5分2023年全国乙（文科），第3题,5分通过三视图求几何体的表面积2023年全国乙（理科），第5题,5分2023年全国乙（文科），第7题,5分根据标准方程确定圆的圆心和半径几何概型2023年全国乙（理科），第11题,5分2023年全国乙（文科），第12题,5分直线与双曲线的位置关系，求线段的中点坐标2023年全国乙（理科），第12题,5分直线与圆的位置关系向量的数量积2023年全国乙（理科），第20题,12分2023年全国乙（文科），第21题,12分1、根据离心率求椭圆方程；2、椭圆中的定点问题；2023年全国甲（文科），第7题,5分椭圆中焦点三角形的面积问题2023年全国甲（理科），第8题,5分2023年全国甲（文科），第9题,5分双曲线的渐近线、离心率、圆的中点弦2023年全国甲（理科），第12题,5分椭圆的定义、焦点三角形2023年全国甲（理科），第20题,12分2023年全国甲（文科），第20题,12分1、根据直线与抛物线相交所得弦长求抛物线方程；2、抛物线中的三角形面积问题2.命题规律及备考策略【命题规律】1.根据定义Ⅰ，平面内、是两定点，动点到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于定点间距离)，即(为常数)，则动点的轨迹是双曲线。根据定义Ⅱ，若动点到定点与到定直线的距离之比是常数，则动点的轨迹是双曲线；2.双曲线在坐标轴上的取值区域为、或者、；双曲线关于坐标轴和原点对称；3.双曲线有两个顶点、，这两点在横轴上，且叫做双曲线的实轴，长度为；另外，还有两个顶点、，这两点在纵轴上，且叫做双曲线的虚轴，长度为；4.双曲线有两条渐近线，横轴为，竖轴为；5.双曲线的离心率，其中是双曲线的半焦距。离心率取值范围为；6.双曲线上的一点到定点的距离和到定直线(相应准线)的距离的比等于双曲线的离心率；7.圆锥曲线上任意一点到焦点距离可以通过焦半径公式计算。过右焦点的半径，过左焦点的半径；8.当双曲线的实轴与虚轴长相等时，即，双曲线的离心率√2；【备考策略】1.了解双曲线产生的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质.3.通过对双曲线的学习,进一步体会数形结合的思想.【命题预测】1.双曲线的定义和基本属性可能会继续是考查的重点。这包括双曲线的定义、取值范围、对称性、顶点、渐近线等；2.双曲线的几何性质也是一个可能的考查重点。双曲线的离心率和焦半径公式等，这些不仅涉及到双曲线的形状和大小，还涉及到双曲线与坐标轴和焦点等的关系；3.在考查双曲线的计算时，可能会在复杂度上有所提升；知识讲解一、双曲线的定义平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数(小于||)的点的集合叫作双曲线,这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.

(1)定义的数学表达式为||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|).

(2)在双曲线的定义中,当时,动点的轨迹是两条射线;当||时,动点的轨迹不存在.

二、双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形(续表)标准方程性质范围或,,或对称性对称轴:坐标轴,对称中心:原点

顶点渐近线离心率,(1,+∞),其中轴线段叫作双曲线的实轴,它的长||=2a;线段叫作双曲线的虚轴,它的长||=2b.叫作双曲线的实半轴长,叫作双曲线的虚半轴长

,,的关系a2+b2三、等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率e=2.

双曲线的几个常用结论(1)与双曲线有共同渐近线的双曲线系的方程为.(2)焦点到渐近线的距离为.(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.四、直线和双曲线的位置关系1.直线和双曲线的位置关系有三种:相交、相切、相离.设双曲线方程为,直线方程为,将直线方程与双曲线方程联立,消去得到关于的方程,(1)若,当时,直线与双曲线有两个公共点;当Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点;当Δ<0时,直线与双曲线无公共点.(2)若,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行.2.弦长公式:设直线交双曲线于点,则,或.3.双曲线的切线方程双曲线在其上一点处的切线方程为.双曲线的定义及应用(1)利用双曲线的定义判断平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常用定义,运用平方的方法,建立与的联系.求双曲线的标准方程的方法1.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线的定义确定或,从而求出,写出双曲线方程.2.待定系数法:先确定焦点在轴上还是在轴上,设出标准方程,再由条件确定的值,即“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为,再根据条件求的值.求双曲线的离心率或其范围的方法:(1)求的值,由直接求;(2)列出含有的齐次方程(或不等式),借助于消去,然后转化成关于的方程(或不等式)求解.求与渐近线有关的双曲线方程的常用方法:(1)与双曲线共渐近线的方程可设为;(2)若双曲线的渐近线方程为,则双曲线的方程可设为.求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法(1)点在双曲线上,求相关式子(目标函数)的取值范围,常转化为函数的最值问题解决.(2)求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值的方法,在使用均值不等式求最值时,要检验等号是否成立.(1)解答直线与双曲线的公共点问题时,不仅要考虑判别式,更要注意当二次项系数为0时,直线与渐近线平行的特殊情况.(2)双曲线与直线只有一个公共点的问题,应分两种情况讨论:双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行.(3)注意对直线l的斜率是否存在进行讨论.解决综合问题时,可以仿照椭圆的处理思路,借助于方程思想,将问题进行化归,然后利用直线与双曲线的位置关系进行求解.(1)解决与双曲线有关的应用问题时,除了要准确把握题意,了解一些实际问题的相关概念之外,还要注意双曲线的定义的灵活运用.(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量的取值范围.考点一、双曲线的定义及应用1．双曲线的两个焦点分别是，点是双曲线上一点且满足，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，可得，中再利用余弦定理可得，由面积公式即可求得答案.【详解】，所以，，，在双曲线上，设，，①，由，在中由余弦定理可得：，故②，由①②可得，直角的面积.2．（2020年浙江省高考数学试题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，由，解得，即．【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．3．已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（

）A．6 B．7 C． D．5【答案】A【分析】由双曲线的定义及三角形的几何性质可求解.【详解】如图，圆的圆心为，半径为1，，，当，，三点共线时，最小，最小值为，而，所以．故选：A

4．（2023届广东省教学质量检测数学试题）已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设双曲线的右焦点为，由双曲线方程可求出，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出的周长的最小值．【详解】设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则，所以，且，所以，的周长为，当且仅当M，P，A三点共线时取等号，则周长的最小值为．5．若方程表示双曲线，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义可知与同号，从而可求出m的取值范围【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得.1．设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线定义得到，，用余弦定理和面积公式求出答案.【详解】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为.2．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案【详解】由，得，则，所以左焦点为，右焦点，则由双曲线的定义得，因为点在双曲线的两支之间，所以，所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为9.3．双曲线过焦点的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为，则的周长为（

）．A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m【答案】C【分析】由双曲线定义得到，，两式相加得到，进而求出周长.【详解】由双曲线的定义得：①，②，两式相加得：，即，所以，故的周长为.4．（2023届广东省联考数学试题）“k<2”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分条件和必要条件的定义，双曲线方程的定义进行分析即可【详解】∵方程为双曲线，∴，∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件.考点二、双曲线的标准方程1．（2022年高考天津卷数学真题）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得出的值，求出点的坐标，分析可得，由此可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线的准线方程为，则，则、，不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，因为且，则为等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.2．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，又因为双曲线满足，即，又由，即，解得，可得，所以双曲线的方程为.3．设双曲线C：（，）的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，，其中O为坐标原点，则双曲线C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将左焦点坐标代入中可求出，设右焦点为N，连接，，，则三角形为直角三角形，可得，，然后利用双曲线的定义列方程可求出，从而可求出双曲线的方程【详解】设左焦点F的坐标为，由点F过直线，所以，解得，设右焦点为N，连接，，.由，故三角形为直角三角形，即,又因为直线斜率为，设直线倾斜角为，则.又，则，，由双曲线定义，则，所以，所以所以双曲线C的方程为.1．（2021年北京市高考数学试题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.2．（2023年新高考天津数学高考真题）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以.设,则，所以，所以.因为,所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为.3．与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为．【答案】【分析】设双曲线方程为，将点代入，解得，即可求解．【详解】解：设双曲线方程为，将点代入，即，解得或（舍去），故所求双曲线方程为．考点三、双曲线的几何性质1．已知双曲线C的离心率为是C的两个焦点，P为C上一点，，若的面积为，则双曲线C的实轴长为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据双曲线的定义，在中，运用余弦定理，并结合和的面积建立方程，解出方程即可【详解】根据双曲线的定义，可得：又：解得：，双曲线C的离心率为，则有：在中，由余弦定理，可得：则有：的面积为，可得：解得：故双曲线C的实轴长为：22．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为（）A． B．C． D．【答案】D【详解】由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为．点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得，结合PF与x轴垂直，可得，最后由点A的坐标是(1，3)，计算△APF的面积．3．若双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则（

）A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<0<n D．n<0<m【答案】C【分析】根据双曲线的标准方程，即可得出结论.【详解】双曲线可化为，因为双曲线的焦点在轴上，所以，即．1．设表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为（

）.A． B．2k C． D．【答案】C【分析】先整理双曲线方程，得到，，从而求出双曲线的虚轴长.【详解】整理为：，由题意得：，故焦点在轴上，，所以，该双曲线的虚轴长为.2．双曲线的两个焦点为、，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】设点，根据题意得，进而与双曲线方程联立得，即可得答案.【详解】设点，由双曲线可知、，∵，∴，∴，代入双曲线方程，∴，∴，∴，∴到轴的距离是．3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为（）A．4 B．－4 C．－ D．【答案】C【分析】先将双曲线方程化为标准形式，利用虚轴长是实轴长的倍列方程，解方程求得的值.【详解】依题意，双曲线的标准方程为，即，由于虚轴长是实轴长的倍，所以，即，也即.【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线实轴和虚轴的概念，属于基础题.考点四、双曲线的离心率1．已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，由题意可得，设，，根据对称性可得，，根据双曲线的定义可得，，，整理可得关于，的齐次方程，再由离心率公式即可求解.【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，，因为以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，所以，圆心为，半径为，根据双曲线的对称性可得四边形是矩形，设，，则，由可得，所以，所以，所以.

2．（2023届湖北省调研测试数学试题）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.【详解】因为，所以∽，设，则，设，则，．因为平分，由角平分线定理可知，，所以，所以，由双曲线定义知，即，，①又由得，所以，即是等边三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化简得，把①代入上式得，所以离心率为．3．已知、是双曲线的左，右焦点，过的直线l与双曲线C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】由已知条件结合双曲线的定义可得为等边三角形，从而得，然后在中，利用余弦定理化简可得到，从而可求出离心率的值.【详解】设，则，设，则由双曲线的定义得，，解得，所以，，，，所以为等边三角形，所以，则，在中，由余弦定理得，,即，化简得，，所以双曲线的离心率为.1．如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】不妨令，，，根据双曲线的定义可求得，，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率．【详解】，不妨令，，，，，又由双曲线的定义得：，，，，．在中，，又，，双曲线的离心率．2．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点.点满足，且，若，则双曲线的离心率是（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根据给定条件可得AM垂直平分，再结合双曲线定义及三角形余弦定理列式计算作答.【详解】因，则点是线段中点，由得，即AM垂直平分，则有，，而，则，又，令双曲线的半焦距为c，在中，，，由余弦定理得：，即，化简得，所以双曲线的离心率是.3．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得．详解：由题可知在中，在中,,点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．考点五、双曲线的渐近线1．（2023届山东省一模数学试题）已知双曲线的左焦点为，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若，且，则C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由对称性知四边形为平行四边形，可求得及，在中，由余弦定理建立的关系，从而求得渐近线方程.【详解】如图所示，不妨设在左支，设右焦点为，连接，由对称性知四边形为平行四边形，由得，由双曲线定义知：，所以，因为，所以在中，由余弦定理得，即，整理得，即，所以，则C的渐近线方程为.【点睛】求双曲线的渐近线就是求与的关系，通过可通过几何关系或代数式建立关于的一个齐次等式，求解均可得到渐近线方程.几何关系通过用到平面几何中的有关知识建立关系，甚至平面向量、正弦定理、余弦定理都可以用来建立关系式.2．（2023年山西省调研数学试题）已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据双曲线几何性质解决即可.【详解】由题知双曲线中，所以，双曲线焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为.3．已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为．【答案】【分析】根据离心率求得，即可求得渐近线方程.【详解】因为双曲线的离心率为2，则，解得，故双曲线的渐近线方程为.1．（2023届广东省调研测试数学试题）已知双曲线的渐近线方程为，则（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线方程的特点确定m为负，再求出双曲线渐近线方程作答.【详解】在双曲线中，，其实半轴长，虚半轴长，因双曲线的渐近线方程为，于是得，解得.2．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作于点，于点，可得，，根据求出和，结合双曲线定义可得的关系，从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作于点于点B，因为与圆相切，所以，在中，，所以．又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：所以，整理得：，所以，所以双曲线的渐近线方程为．3．若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程.【答案】【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题可知，离心率，即，又，即，则，故此双曲线的渐近线方程为.考点六、双曲线相关的轨迹方程1．在直角坐标系中，已知点A，B分别是定直线和上的动点，若的面积为定值S，则线段的中点的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】C【分析】设，由于的面积为定值，可得出为定值，设，设线段的中点为M，因为，即可得出线段的中点的轨迹为双曲线.【详解】设，则.由于的面积为定值且为定值，从而为定值，设.设线段的中点为M，则，，故为定值，从而线段的中点的轨迹为双曲线.2．已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.【答案】【分析】设动圆圆心的坐标为，半径为，由题意可得，可得点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支．根据，，求得的值，可得点的轨迹方程．【详解】设动圆圆心的坐标为，半径为，则由题意可得，，相减可得，故点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，由题意可得，，，故点的轨迹方程为．1．已知两条直线：，：，有一动圆（圆心和半径都在变动）与，都相交，并且，被截在圆内的两条线段的长度分别是定值，，则动圆圆心的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．直线【答案】C【分析】利用几何法列式得圆的弦长与圆心到直线的距离之间的关系，由点到直线的距离公式表示出，，从而代入求解轨迹方程，即可判断.【详解】设动圆圆心的坐标为，半径为，圆心到，的距离分别是，，则，，所以，又因为，，即，得，即.所以动圆圆心的轨迹方程为，由方程可知，动圆圆心的轨迹为双曲线.2．（2023年浙江省联考数学试题）已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点，所以有，由，得，该圆的半径为，因为点在圆上运动时，所以有，于是有，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，所以，所以点的轨迹方程为.3．已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是.【答案】【分析】直接由定义判断出M的轨迹是双曲线，再由待定系数法求方程即可.【详解】由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是.考点七、与双曲线有关的最值问题1．（2023年河南省质量检测文科数学试题）已知点是双曲线的右焦点，点是双曲线上位于第一象限内的一点，且与轴垂直，点是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由双曲线的方程可得点坐标及渐近线方程，进而求得点坐标，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：由双曲线方程可得，点坐标为，将代入双曲线方程，得，由于点在第一象限，所以点坐标为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，点到双曲线的渐近线的距离为．因为是双曲线渐近线上的动点，所以的最小值为．2．长为11的线段AB的两端点都在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用A、B两点的坐标表示出和，(F为双曲线右焦点）解出A、B两点的坐标，利用，求得m的最小值.【详解】由双曲线可知，a＝3，b＝4，c＝5，设AB中点M的横坐标为m，，则，，，当且仅当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时．检验:如图，当F、A、B共线且轴时，为双曲线的通径，则根据通径公式得,所以轴不满足题意.综上，当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时．3．已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（

）A．48 B．49 C．50 D．42【答案】A【分析】由已知可确定点坐标，从而确定以为直径的圆，连接，可将转化为，进一步利用向量的线性运算得到，由双曲线性质可确定结果；【详解】由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上，直线方程为，令，解得：，；以为直径的圆的圆心为，且．连接，在以为直径的圆上，，，；为双曲线上一点，且，，；【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线中的最值问题的求解，解题关键是能够将所求式子进行转化，可采用几何法转化为关于的最值的求解，或利用坐标运算将问题转化为关于点横坐标的函数的最值的求解.4．已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（

）A．19 B．23 C．25 D．85【答案】B【分析】设且，应用两点距离公式及P在双曲线上，结合基本不等式求的范围，注意等号成立条件，进而可求目标式的最小值.【详解】令且，则，而，所以，令，则，当且仅当，即时等号成立，所以，即最小值为23.1．已知双曲线，，为坐标原点，为双曲线上任意一点，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设点，可得或，且有，求得，设，利用二次函数的基本性质求得函数在上的值域，进而求解.【详解】设点，则或，且有，可得，则，，所以，令，其中或，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.当时，函数单调递减，此时；当时，函数单调递增，此时.综上所述，函数在上的值域为.因此，的最小值是.2．（2023届江西省摸底测试数学（理）试题）若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据化简可得该方程表示双曲线的右支，再结合双曲线的性质判断.【详解】由，左右两边同时平方得，即，该方程可表示双曲线的右支，如图所示，

故的最小值为.3．（2023年河南省联考数学试题）已知P是双曲线上的动点，Q是圆上的动点，则P，Q两点间的最短距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出圆的圆心坐标，求出圆心到的距离，再求得出答案.【详解】P是双曲线上的动点，Q是圆上的动点，由已知圆的圆心为，半径为2，P，Q两点间的最短距离就是P到圆的圆心的距离的最小值减去半径，设，可知，即，可得，当且仅当时取等号，所以P，Q两点间的最短距离为：.4．已知点是双曲线上的动点，，分别为其左，右焦点，为坐标原点.则的最大值是（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】设在右支上，根据双曲线的性质求得、且，由已知双曲线有，结合的范围求范围，即可得结果.【详解】由双曲线的对称性，假设在右支上，即，由到的距离为，而，所以，综上，，同理，则，对于双曲线，有且，所以，而，即.【点睛】关键点点睛：双曲线上点到焦点距离与到距离的比值为，求焦半径、，进而结合已知双曲线求目标式范围.考点八、双曲线的实际应用1．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的焦距为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，求得该双曲线的标准方程，进而求得其焦距.【详解】如图，以O为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，则该双曲线过点，且，所以，解得，所以，得，所以该双曲线的焦距为.2．双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为，分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后（，A，B在同一直线上），满足，则该双曲线的离心率的平方为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，根据题意可得，由双曲线定义得、，进而求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．【详解】易知共线，共线，如图，设，则.因为，所以，则，则，又因为，所以，则,在中，，即，所以.3．北京冬奥会火种台（图1）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50cm，上口直径为，底座直径为25cm，最小直径为20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为（

）A．2B．C． D．【答案】B【分析】建立双曲线标准方程下的直角坐标系，得双曲线方程为，利用实轴长为20，（），（）在双曲线上，且，可求得，得离心率．【详解】建立双曲线标准方程的直角坐标系，最小直径在轴，如图，双曲线方程为，则，，（），（）在双曲线上，且，由，即，，，由，得，所以，，，离心率为．1．圆锥曲线具有优美的光学性质，如：光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点.光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.已知以坐标轴为渐近线的等轴双曲线：的图象以直线为对称轴，从其中一个焦点发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，则入射光线与的交点到中心的距离为.【答案】2【分析】根据直角三角形的性质，可知，根据对称轴与双曲线的交点可得实半轴的长a，利用等轴双曲线可求出c，即可得解.【详解】是双曲线的焦点，，分别为入射光线、反射光线，且，如图，由解得，故，又双曲线为等轴双曲线，所以，所以，即,所以.2．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为.【答案】【分析】以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，由题意求出可得答案.【详解】如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，由题意知，所以，，，所以，解得，所以，所以.3．青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为16，上瓶口圆的直径为20，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12，则该双曲线的离心率为.【答案】【分析】由题意作出轴截面，最短直径为，根据已知条件点在双曲线上，代入双曲线的标准方程，结合，，的关系可求得离心率的值．【详解】由题意作出轴截面如图：以花瓶最细处横截面圆的直径为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为：，花瓶最细处横截面圆直径为，设B为花瓶上瓶口轴截面上的点，则由已知可得是双曲线上的点，且,故,解得，故故．考点九、直线与双曲线的关系1．过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是.【答案】24【分析】利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可.【详解】由双曲线定义知：，所以，，而，故，故的周长为.2．（2023届福建省联考数学试题）双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，P为C上一点，直线PA，PB与分别交于M，N两点，则的最小值为.【答案】【分析】设，，，，写出直线方程求得点纵坐标后，求出，然后利用导数求得最小值．【详解】由题意，，设，，，，直线方程为，令，得，直线方程为，令，得，，设，则，得，时，，时，，∴在上递减，在上递增，时，，所以．3．（2023届江苏省调研测试数学试题）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.【答案】(1);(2)证明见解析;【分析】（1）根据题意，可得，，进而求解；（2）设方程为，，联立直线和双曲线方程组，可得，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，进而得到，进而求解.【详解】（1）当轴时，两点的横坐标均为，代入双曲线方程，可得，，即，由题意，可得，解得，，，双曲线的方程为：；（2）方法一：设方程为，，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令，可得，而，，对恒成立，，以为直径的圆经过定点；方法二：设方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点.设以为直径的圆过，，而，，，即对恒成立，，即以为直径的圆经过定点.1．（2023年四川省阶段性测试数学试题）在平面直角坐标系中，已知，是双曲线上一点，则直线和直线的斜率之积的最大值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】设，由斜率公式可表示出，令，利用判别式法可求得的范围，进而得到最大值.【详解】设，则直线OP斜率，直线AP斜率，，令，则，即方程有解；当时，，解得：，符合题意；当时，，解得：或；综上所述：，则直线和直线的斜率之积的最大值为.2．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用情况一

M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支，，，，设，由即，则，选A情况二若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以，，，设，由，即，则，所以，即，所以双曲线的离心率选C[方法二]：答案回代法特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点都在左支,，，则，特值双曲线，过且与圆相切的一条直线为，两交点在左右两支，在右支，，，则，[方法三]：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率若均在左支上，同理有，其中为钝角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故.3．已知双曲线的一条渐近线斜率为，且双曲线C经过点．(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，直线MA、MB的斜率分别为、，若，求直线l的方程．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由渐近线方程及双曲线所过的点可得，求参数，写出双曲线C的方程；（2）设，，，联立双曲线方程应用韦达定理及求出参数t，即可得直线l的方程．【详解】（1）由题设可得：，∴.（2）设，，，联立，则，∴，由，可得，故，∴.【基础过关】1．设为椭圆和双曲线的一个公共点，且在第一象限，是的左焦点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆和双曲线方程可知二者共焦点，利用椭圆和双曲线定义可构造方程组求得结果.【详解】由椭圆方程知其焦点为；由双曲线方程知其焦点为；椭圆与双曲线共焦点，设其右焦点为，为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，由椭圆和双曲线定义知：，解得：.2．若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（

）A．m＞5 B．m＜－4 C．m＜－4或m＞5 D．－4＜m＜5【答案】D【分析】由方程表示双曲线有，即可求参数范围.【详解】由题设，，可得.3．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据双曲线标准方程的特征求出a的范围即可判断．【详解】方程表示的曲线为双曲线，则a(2a-1)＜0，解得0＜a＜，故“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充要条件．4．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】设C：－＝1．∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4得A(－4，)，B(－4，－)，∴|AB|＝2＝4，∴a＝2，∴2a＝4．∴C的实轴长为4．5．双曲线：与双曲线：的（

）A．实轴长相等 B．焦点坐标相同C．焦距相等 D．离心率相等【答案】C【分析】根据两双曲线的方程，分别求得实半轴，虚半轴，进而求得实轴长，焦点位置，焦距，离心率，即可做出判定.【详解】设双曲线的实半轴，虚半轴，半焦距分别为.由双曲线的方程可得：,.双曲线的实轴长分别是,,与参数t和m有关，所以实轴长不一定相等，故A错误；因为双曲线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标不同，故B错误；因为，∴∴，即两个双曲线的焦距相等，故C正确；因为离心率，，，不一定相等，故离心率不一定相等，故D错误.6．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.7．（2020年天津市高考数学试题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．8．设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】利用双曲线的定义可得，又，进而即得.【详解】∵双曲线，∴，又点P在双曲线C的右支上，，所以，，即，又，∴面积为.9．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．详解：，所以双曲线的渐近线方程为，所以点（4，0）到渐近线的距离点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．10．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（）A． B．C．2 D．【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．11．已知双曲线（其中，）的焦距为，其中一条渐近线的斜率为2，则．【答案】2【分析】根据渐近线斜率求得，根据焦距求得c的值，利用a,b,c的平方关系得到关于a的方程，求得a的值.【详解】双曲线的的渐进线方程为，∵一条渐近线的斜率为2，∴，即,又∵，∴，∴,∴.12．（2023届福建省适应性练习卷（省质检）数学试题）已知双曲线C：（a>0，b>0）的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P.若，则的面积为（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】D【分析】设与渐近线交于，由对称性知且，在直角中可求得，再由求得的面积.【详解】设与渐近线交于，则，，，所以，，由分别是与的中点，知且，即，由得，所以.13．（2023届浙江省教学质量检测（二模）数学试题）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P为双曲线（，为焦点）上一点，点P处的切线平分．已知双曲线C：，O为坐标原点，l是点处的切线，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则．【答案】2【分析】延长交延长线于点，结合题意得点为的中点，，从而得到，再结合双曲线的定义即可求解．【详解】如图，延长交延长线于点，因为点是的角平分线上的一点，且，所以点为的中点，所以，又点为的中点，且，所以．14．已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线距离为．(1)求椭圆的方程；(2)点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，.【分析】（1）由双曲线顶点求出a，再由点到直线距离求出b作答.（2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算、推理作答.（1）双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，依题意，，椭圆上顶点为到直线的距离，解得，所以椭圆的方程为．（2）依题意，设直线l的方程为，、，点，由消去y并整理得，则，，直线FA、FB的斜率之和为，即，有，整理得，此时，，否则，直线l过F点，因此当且，即且时，直线l与椭圆交于两点，直线l：，所以符合条件的动直线l过定点．15．（2023届江苏省调研测试数学试题）已知双曲线的左顶点为，过左焦点的直线与交于两点.当轴时，，的面积为3.(1)求的方程；(2)证明：以为直径的圆经过定点.【答案】(1)；(2)证明见解析；【分析】（1）根据题意，可得，，进而求解；（2）设方程为，，联立直线和双曲线方程组，可得，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，进而得到，进而求解.【详解】（1）当轴时，两点的横坐标均为，代入双曲线方程，可得，，即，由题意，可得，解得，，，双曲线的方程为：；（2）方法一：设方程为，，以为直径的圆的方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令，可得，而，，对恒成立，，以为直径的圆经过定点；方法二：设方程为，由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点.设以为直径的圆过，，而，,，，即对恒成立，，即以为直径的圆经过定点【能力提升】1．已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】当时，得，要由，解得，故当时，即可得到答案.【详解】设的焦距为，离心率为．当时，由平面几何知识得，解得．∵，∴．根据双曲线上点的横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当时，实数的取值范围是．2．（2023年江西省模拟数学试题）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】利用椭圆和双曲线的定义及可以列出关于，的方程，再利用均值定理即可得到的最小值【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，，，（），则，解之得又则则，则则，则（当且仅当时等号成立）则的最小值为.3．若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设点，由结合两点间的距离公式得出点的轨迹方程，将问题转化为双曲线与点的轨迹有个公共点，并将双曲线的方程与动点的轨迹方程联立，由得出的取值范围，可得出答案．【详解】依题意可得，设，则由，得，整理得.由得，依题意可知，解得，则双曲线C的虚轴长.4．已知为椭圆：()与双曲线：()的公共焦点，点M是它们的一个公共点，且，分别为，的离心率，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】设椭圆、双曲线的共同半焦距为c，利用椭圆、双曲线定义及余弦定理建立关系，再借助均值不等式计算作答.【详解】设椭圆、双曲线的共同半焦距为c，由椭圆、双曲线对称性不妨令点M在第一象限，由椭圆、双曲线定义知：，且，则有，，在中，由余弦定理得：，即，整理得：，于是得，当且仅当，即时取“=”，从而有，所以的最小值为.5．在平面直角坐标系中，分别是双曲线C：的左，右焦点，过的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，点在轴上，满足，且经过的内切圆圆心，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的定义先推出为正三角形，然后根据余弦定理解决.【详解】，∴，∴，∵经过内切圆圆心，∴为的角平分线，∴．∴，∴，，，∴，于是，∴为正三角形，．中，由余弦定理，∴.6．已知双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，的内切圆的圆心为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意得，，，，进而在中，利用等面积法得的内切圆的半径，再设的内切圆与边相切于点，进而在中结合勾股定理求解即可.【详解】解：因为双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，所以，，，因为，所以，设的内切圆的半径为，则，即，解得，如图，设的内切圆与边相切于点，则，，所以，所以7．已知椭圆和双曲线有公共的焦点､，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是.【答案】【分析】设，由椭圆、双曲线的定义可得，，由余弦定理可建立方程，转化为离心率的关系式，根据椭圆离心率范围，计算即可得到双曲线离心率范围.【详解】设椭圆，双曲线：，椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆离心率，双曲线离心率，，如图，由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，联立可得，，由余弦定理可得：即，解得，因为，所以，，可得，故，故答案为：8．（2023届湖南省一模数学试题）已知椭圆与双曲线有共同的焦点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为.【答案】【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，设，利用三角换元求出的最大值即可.【详解】设椭圆，双曲线，且设，由椭圆的定义得①，由双曲线的定义得②，得，，得，，由余弦定理可得，所以③，设，所以，当即时，取最大值为.9．（2023届安徽省教学质量检测数学试题）已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为．【答案】【分析】根据题意设点并解出Q点坐标为，再根据可得，即可解得，由P为双曲线右支上一点可得，解不等式即可求得离心率的取值范围.【详解】如下图所示，根据题意可得，设，则直线的方程为，所以直线与轴的交点，由可得，即，整理得，即；又因为P为双曲线右支上一点，所以，当时，共线与题意不符，即；可得，整理得，即，解得或（舍）；即双曲线E的离心率的取值范围为.10．已知双曲线，，分别为双曲线的左右焦点，为双曲线上一点，且位于第一象限，若为锐角三角形，则的取值范围为．【答案】【分析】将锐角转化数量积大于零，解出的范围即可.【详解】由双曲线，得，，位于第一象限，恒为锐角，又为锐角三角形，均为锐角．由∠为锐角，得，．，，由∠为锐角，得，，即，又，．即，又，．综上所述，．11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的离心率为B．若，且，则C．以线段，为直径的两个圆外切D．若点到的一条渐近线的距离为，则的实轴长为4【答案】C【分析】设，则，根据两点坐标求斜率的方法求得，再由求出结果，即可判断A选项；由，得，根据双曲线的定义可得，根据题意得出和，可得出的值，即可判断B选项；设的中点为，为原点，则为的中位线，所以，根据两个圆的位置关系即可判断C选项；由点到的一条渐近线的距离为，得出，而得出的值，即可得出的实轴长，即可判断D选项.【详解】解：对于A，设，则，因为，直线与的斜率之积等于3，所以，得，故A错误；对于B，因为，所以，而为双曲线的左支上一点，根据双曲线的定义可得，又因为，且，所以，则，由，可得，即，解得：，故B错误；对于C，设的中点为，为原点，则为的中位线，所以，则以线段为直径的圆，圆心为，半径，以线段为直径的圆，圆心为，半径，所以，故两个圆外切，故C正确；对于D，因为点到的一条渐近线的距离为，所以，又由前面的推理可知，所以，故的实轴长为，故D错误.12．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．(1)求双曲线C的方程；(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证