线性考试题库及答案

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单项选择题（每题2分，共10题）1.线性方程组Ax=b有解的充要条件是（）A.r(A)=r(A,b)B.r(A)>r(A,b)C.r(A)<r(A,b)D.以上都不对2.向量组线性相关的充要条件是（）A.向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示B.向量组中每个向量都可由其余向量线性表示C.向量组中任意两个向量都线性相关D.向量组中存在一个向量为零向量3.矩阵A的秩等于其列向量组的（）A.最大无关组所含向量个数B.向量个数C.线性无关向量个数D.线性相关向量个数4.若A是可逆矩阵，则A的秩（）A.等于0B.等于其阶数C.小于其阶数D.大于其阶数5.线性方程组Ax=0只有零解的充要条件是（）A.r(A)=nB.r(A)<nC.r(A)>nD.r(A)=06.向量组α1,α2,α3线性无关，则（）A.k1α1+k2α2+k3α3=0时，k1=k2=k3=0B.存在不全为零的k1,k2,k3使k1α1+k2α2+k3α3=0C.对任意k1,k2,k3都有k1α1+k2α2+k3α3=0D.以上都不对7.若矩阵A与B相似，则（）A.A与B有相同的特征值B.A与B有相同的特征向量C.A与B相等D.A与B合同8.二次型f(x1,x2,x3)=x1²+2x2²+3x3²+4x1x2的矩阵是（）A.120220003B.120240003C.110120003D.1000200039.已知A是n阶方阵，且|A|=0，则（）A.A的行向量组线性无关B.A的列向量组线性无关C.Ax=0有非零解D.Ax=b有唯一解10.设A是3阶方阵，且r(A)=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含向量个数为（）A.0B.1C.2D.3答案：1.A2.A3.A4.B5.A6.A7.A8.A9.C10.B多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些是线性方程组Ax=b的解（）A.x1=1,x2=2,x3=3B.x1=0,x2=0,x3=0C.x1=-1,x2=-2,x3=-3D.x1=2,x2=3,x3=42.向量组α1=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(0,0,1)（）A.线性无关B.线性相关C.是三维向量空间的一个基D.可以表示三维空间中任意向量3.矩阵A可逆的充要条件有（）A.|A|≠0B.r(A)=nC.A满秩D.A的行向量组线性无关4.二次型正定的充要条件是（）A.其矩阵的各阶顺序主子式都大于0B.其标准形的系数全为正C.其正惯性指数等于nD.其负惯性指数等于05.若A与B合同，则（）A.A与B有相同的秩B.A与B有相同的正惯性指数C.A与B有相同的负惯性指数D.A与B相似6.齐次线性方程组Ax=0的基础解系（）A.所含向量线性无关B.所含向量个数为n-r(A)C.可以表示方程组的任意解D.是唯一的7.向量组α1,α2,α3,α4线性相关，则（）A.其中至少有一个向量可由其余向量线性表示B.该向量组的秩小于4C.存在不全为零的数k1,k2,k3,k4使k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0D.任意三个向量都线性相关8.已知矩阵A=1234则A的伴随矩阵A=（）A.4-2-31B.42-3-1C.-423-1D.-4-2319.若A是对称矩阵，则（）A.A^T=AB.A的特征值都是实数C.存在正交矩阵P使P^(-1)AP为对角矩阵D.A一定可逆10.线性方程组Ax=b有唯一解的充要条件是（）A.r(A)=r(A,b)=nB.A可逆C.导出组Ax=0只有零解且r(A)=r(A,b)D.增广矩阵(A,b)的秩等于系数矩阵A的秩且等于未知数个数答案：1.ABCD2.ACD3.ABCD4.ABCD5.ABC6.ABC7.ABC8.A9.ABC10.ABCD判断题（每题2分，共10题）1.线性方程组Ax=b若有解，则解唯一。（）2.向量组中任意两个向量线性无关，则整个向量组线性无关。（）3.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数。（）4.若A是正交矩阵，则A^(-1)=A^T。（）5.二次型的矩阵一定是对称矩阵。（）6.齐次线性方程组Ax=0的基础解系不唯一。（）7.若矩阵A与B等价，则A与B相似。（）8.向量组α1,α2线性相关，则α1可由α2线性表示。（）9.线性方程组Ax=b无解的充要条件是r(A)<r(A,b)。（）10.若A是正定矩阵，则A的主对角线元素都大于0。（）答案：1.×2.×3.√4.√5.√6.√7.×8.×9.√10.√简答题（总4题，每题5分）1.简述向量组线性相关的定义。答：存在不全为零的数k1,k2,…,km，使k1α1+k2α2+…+kmαm=0，则向量组α1,α2,…,αm线性相关。2.写出矩阵可逆的几个等价条件。答：|A|≠0；r(A)=n；A满秩；A的行（列）向量组线性无关；存在矩阵B使AB=BA=E。3.简述二次型正定的定义及一个充要条件。答：对任意非零向量x，都有f(x)>0，则二次型正定。充要条件是其矩阵的各阶顺序主子式都大于0。4.齐次线性方程组Ax=0基础解系的特点是什么？答：所含向量线性无关，个数为n-r(A)，能表示方程组的任意解。讨论题（总4题，每题5分）1.讨论线性方程组解的情况与系数矩阵秩的关系。答：r(A)=r(A,b)=n时有唯一解；r(A)=r(A,b)<n有无穷多解；r(A)<r(A,b)无解。2.谈谈向量组线性相关和线性无关在实际中的应用。答：如在物理中力的合成与分解，判断向