2024-2025学年广东省广州二中九年级（下）第二次段考数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年广东省广州二中九年级（下）第二次段考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．）1．（3分）下列实数中，比3大的数是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．π2．（3分）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，其总长度为55000米（）A．55×105 B．5.5×104 C．0.55×105 D．5.5×1053．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A． B． C． D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．20＝0 B． C． D．5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则sinA是（）A． B． C． D．6．（3分）某校为了解学生参加体育锻炼的情况，随机调查100名同学一周参加体育锻炼的时间，如下表所示：同学参加体育锻炼时间的中位数是（）时间（小时）6789人数（人）20302624A．7 B．7.5 C．28 D．307．（3分）如图，一次数学活动中，小明将纸带沿AB折叠，则∠1的度数是（）A．50° B．55° C．60° D．65°8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B在函数，下列说法正确的是（）A．k＞0 B．y随x的增大而减小 C．若矩形OABC的面积为2，则k＝2 D．若点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜19．（3分）某景区定制一批文创用品，要求每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴．已知生产厂家共有70位工人，每位工人每天可生产15个书签，则根据题意可列方程（）A．2×10x＝15（70﹣x） B．2×10（70﹣x）＝15x C．10x＝2×15（70﹣x） D．10（70﹣x）＝2×15x10．（3分）如图，半圆O的直径AB＝10，两弦AC，弦CD＝5，且BD＝8（）A．3 B． C． D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．（3分）要使分式有意义，则x应满足的条件是．12．（3分）因式分解：2a2﹣18＝．13．（3分）式子cos245°+tan60°cos30°的值为．14．（3分）若α、β是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则α2+2α﹣β＝．15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，将线段AD绕点D在平面内旋转，点A的对应点为点P，当点P落在CD的垂直平分线上时，AP的长为．16．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，点E在DC边上，且CE＝2DE，过点D作DF⊥AE，连接OF并延长，过点O作OQ⊥OP分别交AE，AD于点N，H，下列结论：①；②DP2＝NH•OH；③S△AOG＝S△ADG；④，其中正确的结论有．三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）解方程组：．18．（8分）如图，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E19．（8分）先化简，再从﹣2，﹣1，120．（8分）某校举行了某学科实验操作考试，有A，B，C，D四个实验，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．（1）小明抽到实验D的概率为；（2）小明和小敏都参加了本次考试，用画树状图或列表的方法求小明和小敏抽到同一个实验的概率．21．（8分）如图，一次函数y＝2x+2的图象与反比例函数的图象相交于A（1，a），y轴分别相交于点B，C．（1）求反比例函数的表达式；（2）点P在线段AB上，过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q，当时22．（8分）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长CD与AB交于E点，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4是指坡面的铅直高度CE与水平宽度AC的比，CD的长为0.4米．（1）请求出DE的长？（2）按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据（即点D到AB的距离）．23．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在⊙O上且∠BCD＝∠ACB．（1）求证：ED＝EC；（2）在图2中，求作△ACD的内心G（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（3）在（2）的条件下，若BC•BE＝2524．（8分）已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，﹣5）（1）求抛物线的解析式；（2）若直线BC上方抛物线上一点D，满足∠DCB＝∠ACO，求点D的坐标；（3）已知点M（m﹣1，﹣2m+5），N（﹣1，m），若抛物线与线段MN有公共点，结合函数图象25．（8分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，将矩形ABCD绕点B逆时针旋转得到矩形GBEF，点C，D，F，G．（1）如图1，当点E落在边AD上时，求DE的长；（2）当点D，E，F在一条直线上时，设BE与AD的交点为P；（3）如图2，设点H为边FG的中点，连接HE，CE，在矩形ABCD旋转过程中，求出这个最大值；若不存在

2024-2025学年广东省广州二中九年级（下）第二次段考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DBBBABADBB一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意．）1．（3分）下列实数中，比3大的数是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．π【解答】解：∵﹣2＜3，8＜3，π，3，∴所给的实数中，比7大的数是π．故选：D．2．（3分）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被称为“新世界七大奇迹之一”，其总长度为55000米（）A．55×105 B．5.5×104 C．0.55×105 D．5.5×105【解答】解：数据55000用科学记数法表示为5.5×107．故选：B．3．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从上边看共有两层，底层右边是一个小正方形．故选：B．4．（3分）下列运算正确的是（）A．20＝0 B． C． D．【解答】解：A、20＝8，故该说法不正确；B、2﹣1＝，故该说法正确；C、2﹣＝，故该说法不正确；D、＝2；故选：B．5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则sinA是（）A． B． C． D．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，∴AB＝＝5，∴sinA＝＝．故选：A．6．（3分）某校为了解学生参加体育锻炼的情况，随机调查100名同学一周参加体育锻炼的时间，如下表所示：同学参加体育锻炼时间的中位数是（）时间（小时）6789人数（人）20302624A．7 B．7.5 C．28 D．30【解答】解：由统计表可得最中间的两个数据为7和8，∴同学参加体育锻炼时间的中位数是＝3.5．故选：B．7．（3分）如图，一次数学活动中，小明将纸带沿AB折叠，则∠1的度数是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【解答】解：如图，∵∠2＝65°，a∥b，∴∠3＝65°．由折叠的性质得，∠2＝∠3＝65°，∴∠5＝180°﹣65°﹣65°＝50°．∵a∥b，∴∠3＝∠5＝50°．故选：A．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B在函数，下列说法正确的是（）A．k＞0 B．y随x的增大而减小 C．若矩形OABC的面积为2，则k＝2 D．若点B的坐标是（﹣2，1），则当x＜﹣2时，y的取值范围是0＜y＜1【解答】解：A．由于反比例函数图象在第二象限，选项A不符合题意；B．由图象可知y随x的增大而增大；C．由|k|＝S矩形OABC＝2，而k＜0，选项C不符合题意；D．若图象上点B的坐标是（﹣7，则当x＜﹣2时，选项D符合题意；故选：D．9．（3分）某景区定制一批文创用品，要求每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴．已知生产厂家共有70位工人，每位工人每天可生产15个书签，则根据题意可列方程（）A．2×10x＝15（70﹣x） B．2×10（70﹣x）＝15x C．10x＝2×15（70﹣x） D．10（70﹣x）＝2×15x【解答】解：由题意可得，2×10（70﹣x）＝15x，故选：B．10．（3分）如图，半圆O的直径AB＝10，两弦AC，弦CD＝5，且BD＝8（）A．3 B． C． D．【解答】解：如图，连接AD，，∵AB为半圆O的直径，∴∠ADB＝90°（圆周角），∵AB＝10，BD＝8，∴AD＝，∵（在同一个圆中，∴∠CDE＝∠BAE（在同一个圆中，弧相等对应的圆周角也相等），∵∠CED＝∠BEA，∴△CDE∽△BAE，∵CD＝5，∴，∴AE＝5DE，∵AD2+DE2＝AE7，∴62+DE2＝4DE2，∴或（舍去），故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）11．（3分）要使分式有意义，则x应满足的条件是x≠1．【解答】解：根据题意得x﹣1≠0，解得x≠2，故答案为：x≠1．12．（3分）因式分解：2a2﹣18＝2（a+3）（a﹣3）．【解答】解：2a2﹣18＝4（a2﹣9）＝4（a+3）（a﹣3）．故答案为：2（a+3）（a﹣3）．13．（3分）式子cos245°+tan60°cos30°的值为2．【解答】解：原式＝＝2．故答案为：2．14．（3分）若α、β是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，则α2+2α﹣β＝8．【解答】解：∵α、β是方程x2+3x﹣5＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣5＝8，∴α2+3α＝6，∴α2+2α﹣β＝α8+3α﹣α﹣β＝（α2+2α）﹣（α+β）＝5﹣（﹣3）＝3+3＝8，故答案为：2．15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，将线段AD绕点D在平面内旋转，点A的对应点为点P，当点P落在CD的垂直平分线上时，AP的长为或．【解答】解：作CD的垂直平分线，交CD于点E，①当点P在矩形ABCD内时，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝6，AB∥CD，∵EF垂直平分CD，∴EF垂直平分AB，且EF＝AD＝5，∴DE＝AF＝＝3，由旋转的性质可得AD＝PD＝5，在Rt△DEP中，由勾股定理得，∴PF＝EF﹣PE＝3，在Rt△AFP中，由勾股定理得AP＝＝；②当点P在矩形ABCD外时，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝5，AB∥CD，∵EF垂直平分CD，∴EF垂直平分AB，且EF＝AD＝5，∴DE＝AF＝＝3，由旋转的性质可得AD＝PD＝5，在Rt△PDE中，由勾股定理得PE＝，∴PF＝PE+EF＝9，在Rt△PAF中，由勾股定理得AP＝．综上，AP的长为或．故答案为：或．16．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，点E在DC边上，且CE＝2DE，过点D作DF⊥AE，连接OF并延长，过点O作OQ⊥OP分别交AE，AD于点N，H，下列结论：①；②DP2＝NH•OH；③S△AOG＝S△ADG；④，其中正确的结论有①②③．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝DO，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵OQ⊥OP，∴∠NOF＝90°，∴∠AON＝∠DOF，∵∠OAD+∠ADO＝90°＝∠OAF+∠DAF+∠ADO，∵DF⊥AE，∴∠DAF+∠ADF＝90°＝∠DAF+∠ADO+∠ODF，∴∠OAF＝∠ODF，在△ANO和△DFO中，，∴△ANO≌△DFO（ASA），∴ON＝OF，∴△NOF是等腰直角三角形，∴，说法正确；②在△AOH和△DOP中，，∴△AOH≌△DOP（ASA），∴AH＝DP，∵∠FNO＝45°＝∠OAH，∠AHN＝∠OHA，∴△AHN∽△OHA，∴，∴AH2＝HO•HN，∴DP2＝NH•OH，说法正确；③过点O作OK⊥AE于K，∵DF⊥AE，∴∠OKG＝90°＝∠DFG，∵CE＝2DE，∴AD＝CD＝CE+DE＝3DE，由三角函数可知，，∴AF＝3DF，∵△ANO≌△DFO，∴AN＝DF，∴NF＝7DF，∵ON＝OF，∠NOF＝90°，∴，∴OK＝DF，在△OKG和△DFG中，，∴△OKG≌△DFG（AAS），∴OG＝DG，∴S△AOG＝S△ADG，说法正确；④∵∠NAO+∠AON＝45°，∠AQO+∠AON＝45°，∴∠NAO＝∠AQO，∵OG＝DG，∴AO＝DO＝8OG，由勾股定理可得：，由三角函数可得：，说法错误．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）解方程组：．【解答】解：，①﹣②得：8y＝4，即y＝1，将y＝8代入①得：x＝3，则方程组的解为．18．（8分）如图，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF．19．（8分）先化简，再从﹣2，﹣1，1【解答】解：＝＝．∵x≠1，4，﹣2，∴当x＝﹣1时，原式＝．20．（8分）某校举行了某学科实验操作考试，有A，B，C，D四个实验，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．（1）小明抽到实验D的概率为；（2）小明和小敏都参加了本次考试，用画树状图或列表的方法求小明和小敏抽到同一个实验的概率．【解答】解：（1）一共有A，B，C，D四个试验．故答案为：；（2）画出树状图，可知每种结果出现的可能性相同，一共有16种可能出现的结果，所以小明和小敏抽到同一个试验的概率是．21．（8分）如图，一次函数y＝2x+2的图象与反比例函数的图象相交于A（1，a），y轴分别相交于点B，C．（1）求反比例函数的表达式；（2）点P在线段AB上，过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q，当时【解答】解：（1）依题意得：点A（1，a）在一次函数y＝2x+3的图象上，∴a＝2×1+5＝4，∴点A（1，8），∵点A（1，4）在反比例函数，∴k＝1×4＝7，∴反比例函数的表达式为：；（2）对于y＝2x+8，当y＝0时，∴点B的坐标为（﹣1，8），∵点P在线段AB上，∴设点P的坐标为（t，2t+2），∵PQ∥x轴，∴点P的纵坐标为8x+2，∵点Q在反比例函数的图象上，∴点Q的坐标为，∵PQ＝，∴，整理得：2t2+11t+7＝0，解得：t＝﹣0.4，t＝﹣2.5（不合题意，当t＝﹣4.5时，＝4，∴点Q的坐标为（6，1）．22．（8分）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长CD与AB交于E点，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4是指坡面的铅直高度CE与水平宽度AC的比，CD的长为0.4米．（1）请求出DE的长？（2）按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据（即点D到AB的距离）．【解答】解：（1）如图，由题意可知，∵i＝1：2.5，∴，∴，∵AC＝8.2米，∴CE＝3米，∵CD＝3.4米，∴DE＝3﹣7.4＝2.5（米）；（2）过点D作DH⊥AB于H，如图所示：∵∠EDH+∠DEH＝∠CAB+∠DEH＝90°，∴∠EDH＝∠CAB，∵，∴，∴，∴设EH＝5x，DH＝12x，∴，∵DE＝2.6米，∴13x＝4.6，解得：x＝0.7，∴DH＝12x＝12×0.2＝6.4（米），答：该车库入口的限高数值为2.5米．23．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在⊙O上且∠BCD＝∠ACB．（1）求证：ED＝EC；（2）在图2中，求作△ACD的内心G（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（3）在（2）的条件下，若BC•BE＝25【解答】（1）证明：在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠BCD＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC；（2）解：如图2，点G即为所求；∵∠BCD＝∠ACB，∴CB是∠ACD的平分线，作∠CAD的角平分线，两条角平分线的交点即为△ACD的内心G．作法如下：以A为圆心，适当长为半径画弧、AD于两点，大于这两点距离一半的长为半径画弧，过A和这个交点作射线，点G即为所求；（3）解：∵∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB．∵G是△ACD的内心，∴∠GAC＝∠GAD，∵∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，∠BGA＝∠BAG，∴AB＝BG，∵∠B＝∠B，∴△ABE∽△CBA，∴，∴BE•CB＝AB2，∵BC•BE＝25，∴AB8＝25，解得：AB＝5（负值已舍去），∴BG＝5．24．（8分）已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，﹣5）（1）求抛物线的解析式；（2）若直线BC上方抛物线上一点D，满足∠DCB＝∠ACO，求点D的坐标；（3）已知点M（m﹣1，﹣2m+5），N（﹣1，m），若抛物线与线段MN有公共点，结合函数图象【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣5），将点C的坐标代入，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x5﹣4x﹣5；（2）如图6，设直线CD与x轴交于点E，抛物线y＝x2﹣4x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），当y＝0时，得：0＝x4﹣4x﹣5，解得：x＝﹣7或x＝5，∴A（﹣1，7），0），∴OA＝1，OB＝4，∵点C（0，﹣5），∴OC＝4，∴OB＝OC＝5，∴∠OBC＝45°，在直角三角形BOC中，由勾股定理得：，∵EH⊥BC，∴EH＝BH，设BE＝t，则，∴，∵∠DCB＝∠ACO，∴tan∠DCB＝tan∠ACO，即，∴，解得：，∴，∴，∴，设直线CD的解析式为y＝kx+a，将点C，解得：，∴直线CD的解析式为，联立得：，解得：