2026届江苏省扬州市江都区郭村中学九年级数学第一学期期末考试试题含解析

2026届江苏省扬州市江都区郭村中学九年级数学第一学期期末考试试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．若，则的值为（）A．1 B． C． D．2．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝－3，则实数k的值为()A．1 B．－1 C．2 D．－23．对于反比例函数，下列说法错误的是（）A．它的图像在第一、三象限B．它的函数值随的增大而减小C．点为图像上的任意一点，过点作轴于点．的面积是．D．若点和点在这个函数图像上，则4．如图，矩形的对角线交于点O，已知则下列结论错误的是（）A． B．C． D．5．方程的根是（）A．2 B．0 C．0或2 D．0或36．一元二次方程的一次项系数和常数项依次是()A．-1和1 B．1和1 C．2和1 D．0和17．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6） B．（9，6） C． D．（10，6）8．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤．其中正确结论的是（）A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤9．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2图象相交于点A(2,4)，下列说法正确的是（A．反比例函数y2的解析式是B．两个函数图象的另一交点坐标为(2,-4)C．当x<-2或0<x<2时，yD．正比例函数y1与反比例函数y2都随10．下列方程中，是一元二次方程的是()A． B． C． D．11．一个圆锥的母线长为10，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（）A．100 B．50 C．20 D．1012．如图，已知⊙O的直径为4，∠ACB＝45°，则AB的长为（）A．4 B．2 C．4 D．2二、填空题（每题4分，共24分）13．将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第_____行左起第_____个数．14．抛物线在对称轴_____（填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的．15．如图，四边形内接于圆，点关于对角线的对称点落在边上，连接.若，则的度数为__________．16．二次函数的顶点坐标是___________.17．已知二次函数y＝3x2+2x，当﹣1≤x≤0时，函数值y的取值范围是_____．18．如图，点A，B，C都在⊙O上∠AOC＝130°，∠ACB＝40°，∠AOB＝_____，弧BC＝_____．三、解答题（共78分）19．（8分）已知抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设，当k为何值时，.②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．20．（8分）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.(1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；(2)如图2，若=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形.21．（8分）如图以的一边为直径作⊙，⊙与边的交点恰好为的中点，过点作⊙的切线交边于点.（1）求证：；（2）若，求的值.22．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．23．（10分）小淇准备利用38m长的篱笆，在屋外的空地上围成三个相连且面积相等的矩形花园．围成的花园的形状是如图所示的矩形CDEF，矩形AEHG和矩形BFHG．若整个花园ABCD(AB＞BC)的面积是30m2，求HG的长．24．（10分）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上，按下列要求画出图形．（1）在图①中找到两个格点C，使∠BAC是锐角，且tan∠BAC＝；（2）在图②中找到两个格点D，使∠ADB是锐角，且tan∠ADB＝1．25．（12分）如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，tan∠DCO=，过点A作AE⊥x轴于点E，若点C是OE的中点，且点A的横坐标为﹣1．，（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接ED，求△ADE的面积．26．已知，，，（如图），点，分别为射线上的动点（点C、E都不与点B重合），连接AC、AE使得，射线交射线于点，设，.（1）如图1，当时，求AF的长.（2）当点在点的右侧时，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域.（3）连接交于点，若是等腰三角形，直接写出的值.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】∵，∴==，故选D2、B【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．【详解】解：因为x＝-3是原方程的根，所以将x＝-3代入原方程，即（-3）2+3k−6＝0成立，解得k＝-1．故选：B．本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，解题的关键是把方程的解代入进行求解.3、B【分析】对反比例函数化简得，所以k=＞0，当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵k=＞0，∴它的图象分布在第一、三象限，故本选项正确；B、∵它的图象分布在第一、三象限，∴在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误；C、∵k=，根据反比例函数中k的几何意义可得的面积为=，故本选项正确；D、∵它的图象分布在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，∵x1=﹣1＜0，x2=﹣＜0，且x1＞x2，∴，故本选项正确．故选：B．题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时函数图象的两个分支分别位于一三象限是解答此题的关键．4、C【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC，再解直角三角形判定各项即可．【详解】选项A，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∴AO＝OB＝CO＝DO，∴∠DBC＝∠ACB，∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，选项A正确；选项B，在Rt△ABC中，tanα＝，即BC＝m•tanα，选项B正确；选项C，在Rt△ABC中，AC＝，即AO＝，选项C错误；选项D，∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝m，∵∠BAC＝∠BDC＝α，∴在Rt△DCB中，BD＝，选项D正确.故选C．本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．5、D【分析】先把右边的x移到左边，然后再利用因式分解法解出x即可.【详解】解：故选D.本题是对一元二次方程的考查，熟练掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键.6、A【分析】找出2x2-x+1的一次项-x、和常数项+1，再确定一次项的系数即可．【详解】2x2-x+1的一次项是-x，系数是-1，常数项是1．故选A.本题考查一元二次方程的一般形式．7、B【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴，∵BC＝2，∴EF＝BE＝6，∵BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴，解得：OB＝3，∴EO＝9，∴F点坐标为：（9，6），故选：B．此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出OB的长是解题关键．8、D【解析】根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得，然后求出MD=2AM=4EM，判断出④正确，设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=MF，判断出⑤正确；过点M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根据正方形的性质求出BO，然后利用勾股定理逆定理判断出∠BMO=90°，从而判断出③正确．【详解】在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，

∵E、F分别为边AB，BC的中点，

∴AE=BF=BC，

在△ABF和△DAE中，，

∴△ABF≌△DAE（SAS），

∴∠BAF=∠ADE，

∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，

∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，

∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF）=180°-90°=90°，

∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正确；

∵DE是△ABD的中线，

∴∠ADE≠∠EDB，

∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；

∵∠BAD=90°，AM⊥DE，

∴△AED∽△MAD∽△MEA，

∴∴AM=2EM，MD=2AM，

∴MD=2AM=4EM，故④正确；

设正方形ABCD的边长为2a，则BF=a，

在Rt△ABF中，AF=∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，

∴△AME∽△ABF，

∴，

即，

解得AM=

∴MF=AF-AM=，

∴AM=MF，故⑤正确；

如图，过点M作MN⊥AB于N，

则即解得MN=，AN=，

∴NB=AB-AN=2a-=，

根据勾股定理，BM=过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，

则OK=a-=，MK=-a=，

在Rt△MKO中，MO=根据正方形的性质，BO=2a×，

∵BM2+MO2=

∴BM2+MO2=BO2，

∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正确；

综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．故选：D本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．9、C【解析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．【详解】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点∴正比例函数y1=2x∴两个函数图象的另一个角点为(-2,-4)∴A，B选项错误∵正比例函数y1=2x中，y随x的增大而增大，反比例函数y2=8∴D选项错误∵当x<-2或0<x<2时，y∴选项C正确故选：C．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．10、D【解析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．【详解】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；B、是二元二次方程，故B不符合题意；C、是分式方程，故C不符合题意；D、是一元二次方程，故D符合题意；故选择：D.此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．11、B【分析】圆锥的侧面积为半径为10的半圆的面积．【详解】解：圆锥的侧面积=半圆的面积=，故选B．解决本题的关键是把圆锥的侧面积转换为规则图形的面积．12、D【分析】连接OA、OB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求出∠AOB＝90°，再根据等腰直角三角形的性质即可求出AB的长.【详解】连接OA、OB，如图，∵∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AB＝OA＝2．故选：D．此题考查的是圆周角定理和等腰直角三角形的性质，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决此题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、611【分析】根据图形中的数字，可以写出前n行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．【详解】解：由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则第n行n个数，故前n个数字的个数为：1+2+3+…+n＝，∵当n＝63时，前63行共有＝2016个数字，2020﹣2016＝1，∴2020在第61行左起第1个数，故答案为：61，1．本题考查了数字类规律探究，从已有数字确定其变化规律是解题的关键.14、右侧【解析】根据二次函数的性质解题．【详解】解：∵a=-1＜0，

∴抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴右侧的部分是下降的，

故答案为：右侧．点睛：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质上解题的关键．15、【分析】直接利用圆内接四边形对角互补，再结合三角形外角的性质即可得出答案．【详解】解：∵四边形内接于圆，，∴∠ADC=180°-115°=65°，又∵点关于对角线的对称点落在边上，∴∠AEC=∠ABC=115°，∴∠DAE=∠AEC-∠ADC=115°-65°=50°.故答案为：50°.此题主要考查了圆内接四边形的性质以及三角形的外角，正确得出∠AEC和∠ADC的度数是解题关键．16、【分析】因为顶点式y=a（x-h）2+k，其顶点坐标是（h，k），直接求二次函数的顶点坐标即可．【详解】∵是顶点式，∴顶点坐标是.故答案为：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键.17、﹣≤y≤1【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．【详解】∵y＝3x2+2x＝3（x+）2﹣，∴函数的对称轴为x＝﹣，∴当﹣1≤x≤0时，函数有最小值﹣，当x＝﹣1时，有最大值1，∴y的取值范围是﹣≤y≤1，故答案为﹣≤y≤1．本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．18、80°50°【分析】直接利用圆周角定理得到∠AOB＝80°，再计算出∠BOC＝50°，从得到弧BC的度数．【详解】解：∵∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝130°﹣80°＝50°，∴弧BC的度数为50°．故答案为80°，50°．此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆周角定理的内容.三、解答题（共78分）19、（1），D的坐标为；（2）①；②以A，F，O为顶点的三角形与相似，F点的坐标为或．【分析】(1)将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点；(2)①由A、C、D三点的坐标求出，，，可得为直角三角形，若，则点F为AD的中点，可求出k的值；②由条件可判断，则，若以A，F，O为顶点的三角形与相似，可分两种情况考虑：当或时，可分别求出点F的坐标．【详解】(1)抛物线过点，，，解得：，抛物线解析式为；，顶点D的坐标为；(2)①在中，，，，，，，，，，为直角三角形，且，，F为AD的中点，，；②在中，，在中，，，，，，若以A，F，O为顶点的三角形与相似，则可分两种情况考虑：当时，，，设直线BC的解析式为，，解得：，直线BC的解析式为，直线OF的解析式为，设直线AD的解析式为，，解得：，直线AD的解析式为，，解得：，．当时，，，，直线OF的解析式为，，解得：，，综合以上可得F点的坐标为或．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．20、（1）15°；（2）证明见解析.【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据等腰三角形的性质求出∠ADC，从而计算出∠CDE的度数；（2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝AC，则BF＝BC，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，从而得到DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，接着由△AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，∵CA＝DA，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°−30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°，∴∠CDE＝75°−60°＝15°；（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，∴BF＝AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝AC，∴BF＝BC，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD，DE＝BC，∴DE＝BF，△ACD和△BAE为等边三角形，∴BE＝AB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△AFD≌△CBA，∴DF＝BA，∴DF＝BE，而BF＝DE，∴四边形BEDF是平行四边形．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．21、（1）详见解析；（2）【分析】（1）直接利用三角形中位线定理结合切线的性质得出DE⊥BC；

（2）过O点作OF⊥AB，分别用AO表示出FO，BF的长进而得出答案．【详解】（1）连接∵为⊙的切线,∴∵为中点,为的中点∴∴(2)过作,则在中，∴,∵,，∴在中，.此题主要考查了切线的性质以及垂径定理、解直角三角形，正确表示出BF的长是解题关键．22、y=2x2+x﹣3，C点坐标为（﹣，0）或（2，7）【解析】设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入可求出解析式，进而求出点C的坐标即可.【详解】设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2+x﹣3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．23、的长是【分析】设的长为，将BC，AB表示出来，再利用整个花园面积为30m2列出方程，解之即可.【详解】解：设的长为，则，由题意得，解得，∵∴不合题意，舍去．答：的长是.此题考查一元二次方程的实际运用，掌握长方形的面积计算公式是解决问题的关键．24、（1）如图①点C即为所求作的点；见解析；（2）如图②，点D即为所求作的点，见解析．【分析】（1）在图①中找到两个格点C，使∠BAC是锐角，且tan∠BAC=；（2）在图②中找到两个格点D，使∠ADB是锐角，且tan∠ADB＝1.【详解】解：（1）如图①点C即为所求作的点；（2）如图②，点D即为所求作的点．本题考查了作图——应用与设计作图，解直角三角形.解决本题的关键是准确画图.25、（1）y=﹣x﹣3，y=﹣；（2）S△ADE=2．【分析】（1）根据题意求得OE=1，OC=2，Rt△COD中，tan∠DCO=，OD=3，即可得到A（-1，3），D（0，-3），C（-2，0），运用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；

（2）求得两个三角形的面积，然后根据S△ADE=S△ACE+S△DCE即可求得．【详解】（1）∵AE⊥x轴于点E，点C是OE的中点，且点A的横坐标为﹣1，∴OE=1，OC=2，∵Rt△COD中，tan∠DCO=，∴OD=3，∴A（﹣1，3），∴D（0，﹣3），C（﹣2，0），∵直线y=ax+b（a≠0）与x轴、y轴分别交于C、D两点，∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣3，把点A的坐标（﹣1，3）代入，可得3=，解得k=﹣12，∴反比例函数解析式为y=﹣；（2）S△ADE=S△ACE+S△DCE=EC•AE+EC•OD=×2×3+=2．26、（1）；（2）；（3）或或.【分析】过点作于N，利用∠B的余弦值可求出BN的长，利用勾股定理即可求出AN的长，根据线段的和差关系可得CN的长，利用勾股定理可求出AC的长，根据AD//BC，AD=BC即可证明四边形ABCD是平行四边形，可得∠B=∠D，进而可证明△ABC∽△ADF，根据相似三角形的性质即可求出AF的长；（2）根据平行线的性质可得，根据等量代换可得，进而可证明△ABC