2023年导与练总复习数学(二轮)(新教材)第3讲 统计、成对数据的统计分析

第3讲统计、成对数据的统计分析

感悟曲考*明确备考方向__）

⑥真题体验

L［样本的数字特征］（2022•全国甲卷,T2）某社区通过公益讲座以

普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区

居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10

位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则（B）

*讲座前•讲座后

12345678910

居民编号

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

解析:对于A,讲座前问卷答题的正确率的中位数是二等工72.5览所

以A错误;对于B,讲座后问卷答题的正确率分别是

80%,85%,85%,85%,85%,90%,90%,95%,100%,100%,其平均数显然大于

85%,所以B正确;对于C,由题图可知,讲座前问卷答题的正确率波动

较大,讲座后问卷答题的正确率波动较小,所以讲座前问卷答题的正

确率的标准差大于讲座后问卷答题的正确率的标准差，所以C错误；

对于D,讲座前问卷答题的正确率的极差是95%-609k35%,讲座后问卷

答题的正确率的极差是100%-80炉20览所以讲座前问卷答题的正确率

的极差大于讲座后问卷答题的正确率的极差,所以D错误.故选B.

2.［频率分布直方医］(2021•全国甲卷,T2)为了解某地农村经济情

况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查

数据整理得到如下频率分布直方图：

，频率

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(C)

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万

元之间

解析:对于A,该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为

(0.02+0.04)X1=0.06=6%,故选项A正确;

对于B,该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为

(0.04+0.02X3)X1=0.1=10%,故选项B正确;

对于C,估计该地农户家庭年收入的平均值为

3X0.02+4X0.04+5X0.10+6X0.14+7X0.20+8X0.20+9X0.10+10

XO.1O+11XO.04+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7.68>6.5万元,故

选项C错误；

对于D,该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比率为

（0.10+0.14+0.20+0.20）X1=0.64>0.5,故估计该地有一半以上的农

户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确.故选

C.

3.［回归分析］（2022•全国乙卷,T19）某地经过多年的环境治理，已

将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机

选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积（单位:a?）和材积

量（单位:m）得到如下数据：

样本号i根部横截面积Xi材积量Yi

10.040.25

20.060.40

30.040.22

40.080.54

50.080.51

60.050.34

70.050.36

80.070.46

90.070.42

100.060.40

总和0.63.9

101010

并计算得£婷=0.038,Ly?=l.6158,ExiyE.2474.

i=li=li=l

⑴估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积

量;

⑵求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精

确到0.01）；

⑶现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种

树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截

面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估

计值.

附：相关系数厂二；丝=,^17896^1.377.

「的工却万产

解：（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积

10

石馨二等。・。6,

10

估计该林区这种树木平均一棵的材积量歹二誉祟0.39.

1010

(2)£(x-x)(yj-y)=LXiYi-lOxy=0.0134,

i=li=l

1010

£(Xi-x)2=£x?-10x=0.002,

i=lt=i1

ioio

g(y「9¥-gy『T09-0.0948,

Iio?ioy(_______________

所以£(xrx)E(yry)=<0,002x0.0948=V0.000lxl.896

Ni=li=l

^0.01X1.377=0.01377,

10

所以样本相关系数之⑴一切力已器篝器0.97.

抬叱才昌⑶中2

(3)设该林区这种树木总材积量的估计值为Ym3,由题意可知,该种树

木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以盹二三，

0.6186

所以丫二竿F二］209,即该林区这种树木的总材枳量的估计值为1

209ml

4.［独立性检验］(2022•全国甲卷,T17)甲、乙两城之间的长途客车

均由A和B两家公司运营.为了解这两家公司长途客车的运行情况，

随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表:

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030

(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的

概率；

⑵能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客

车所属公司有关？

2

p/iiz2n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P(K2>k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

解：(1)由题意可得A公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为

24012

240+2013’

B公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为三

210+30o

(2)〃二~------50°的"3。2°X21°)：------勺3.205>2.706,

(240+20)X(210+30)X(240+210)X(20+30)

所以有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所

属公司有关.

6者情定位

统计知识主要考查:抽样方法、样本数字特征、统计图表等.以选

择题、填空题形式命题,难度较小；回归分析与独立性检验常与概率交

汇命题，也是近年的热点，常出现在第19或20题的位置，以中档题为

主.此类题目重在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学

运算、数据分析等核心素养.

突破热^提升关键能力「

热点一回归分析在实际问题中的应用

♦核心必备♦

1.方程y=bx+a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据

AA

(xby.),(x2,yj,…，(Xn,y)的经验回归方程,其中a,b是待定参数，经

人£(xrx)(yry)”

验回归方程的斜率和截距分别为----—,Q二歹一匕匕(元刃是

*2

Z(xx)

1=1r

样本中心点,经验回归直线过样本中心点.

2.(1)正相关与负相关就看经验回归直线的斜率,斜率为正则为正相

关，斜率为负则为负相关.

⑵样本相关系数r具有以下性质：r>0表示两个变量正相关,r<0表示

两个变量负相关；IrIW1,且|r|越接近于1,线性相关程度越强，Ir|越

接近于0,线性相关程度越弱.

典例1（2022•四川绵阳三模）随着科技进步,近来年,我国新能源汽

车产业迅速发展.以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年

我国新能源乘用车的年销售量数据：

年份201620172018201920202021

年份代

123456

码X

新能源

乘用车

5078126121137352

年销售

Y（万辆）

⑴根据表中数据,求出Y关于x的经验回归方程；（结果保留整数）

⑵若用尸小建模型拟合Y与x的关系，可得回归方程为y=37.71e（，-33x,

经计算该模型和第（1）问中模型的R2（N为决定系数）分别为0.87和

0.71,请分别利用这两个模型,求2022年我国新能源乘用车的年销售

量的预测值；

⑶你认为（2）中用哪个模型得到的预测值更可靠?请说明理由.

参考数据:设u=lny,其中u二In

66

£（Xi-X）•£（Xi-x）•

i=li=l3.635.916.27

yUeee

（yi-y）（Ui-U）

1444.788415.7037.71380528

参考公式:对于一组具有线性相关关系的数据（Xi,yj（i=l,2,3,…,n）,

其经验回归方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

人人

b二三\-------,a=y-bx.

2

.E（xrx）

解：⑴由表中数据得,数』+2+3：4+5+6=3.5,尸144,

6

66

£(Xi-x)(yi-y)=841,£(Xi-x)2=(xi-x)2+(x-x)2+(x-x)2+(x-x)(x

i=li=l2345

22

-%)+(x6-x)

=(1-3.5)2+(2-3.5尸+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2=17.5,

A6

二匚三（勺一三）（％一羽）841

所以------^48,

£（工厂元）2175

i=i

a=y-bx=144-48X3.5二-24,所以Y关于x的经验回归方程为

y=48x-24.

人

⑵由⑴知，Y关于x的经验回归方程为y=48x24,

当x=7时,2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值

人

y=48X7-24=312（万辆）；

A

对于回归方程y=37.71e°*,当x=7时,2022年我国新能源乘用车的年

A

销售量的预测值丫=37.7遂°皿7=/63乂020飞59二380（万辆）.

（3）依题意,y=37.71e°,疥模型和第（1）问中模型的NG为决定系数）

分别为0.87和0.71,

由于决定系数越接近于1,两个变量之间的关系就越强,相应的拟合程

度也越好，

所以y=37.71e°•物模型得到的预测值更可靠.

♦总结提升♦

⑴对于非线性归分析问题,应先进行变量代换,求出代换后的经验

回归直线方程，再求经验回归曲线方程.

⑵成对样本数据之间线性相关的程度，可以利用样本相关系数判

断，"I越趋近于1,两变量的线性相关程度越强.

热点训练1某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解

年宣传费x（单位:千元）对年销售量Y（单位:t）和年利润z（单位:千元）

的影响,对近8年的年宣传费Xi和年销售量2,…,8）数据作了

初步处理,得到散点图及一些统计量的值.

年销售量八

620

600

580

560

540

520

500

480

343638404244464850525456

年宣传费/干元

8

8£(o-

X(Xi-X)•(y]i=l

88

2£（3广所丁i=la>)•(y-

Xyco£(x-x)

i=li=ly)

y)

46.65636.8289.81.61469108.8

表中3i5.

（1）根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d曰哪一个适宜作为年销售量Y

关于年宣传费x的经验回归方程类型？（给出判断即可,不必说明理

由）

(2)根据⑴的判断结果及表中数据,建立Y关于x的经验回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z与x,Y的关系为z=0.2Y-x,根据(2)的结

果回答下列问题：

①年宣传费x:49时,年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大？

附:对于一组数据Q,“)，(th,V，…，(/v)其经验回归方程

八AA

u=a+£u的斜率和截距的最小二乘估计分别

.£(uf-u)(vrv)八

为邛二)----,a=v-pu.

1=1

解：⑴由散点图知，各点呈非线性递增趋势,所以y=c+dy作为经验

回归方程比较合适.

-8

zox.r-m(1,g(3厂加(y厂歹)108.8公。

(2)由a贝ijd=-----'一一一68,

.£(何国产16

1=1

人人

由万二6.8,歹二563,得c二9-daJ=563-68X6.8=100.6,所以

人

y=100.6168V%.

(3)①当x=49时,年销售量y=100.6+68)屈=576.6(t).此时年利润

z二。2X576.6-49=66.32(千元).

②由题

意,z=0.2X(100.6+68V%)-x=20.12+13.6G(«)'-(«-6.8)2+66.

36,

所以当«二6.8,即x=46.24时,年利润的预报值最大.

热点二独立性检验

♦核心必备♦

2

2_n(ad-bc)

“卡方公式”n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

典例2（2021•山东济南期末）为了研究某种疾病的治愈率，某医院

从过往病例中随机抽取了100名患者,其中一部分患者采用了外科疗

法,另一部分患者采用了化学疗法,并根据两种治疗方法的治愈情况

绘制了等高堆积条形图,如图.

⑴根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的2X2列联表:

疗效

疗法合计

未治愈治愈

外科疗法

化学疗法18

合计100

⑵依据小概率值。=0.05的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与

治疗方法有关.

2

附:（如需计算x2,结果精确到0.001）,

X2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

治愈率等高堆积条形图

100%---------

90%

80%

1~I冶俞

70%1_1m感

60%

去治布

JU%1_-_1不值型

4no/

anoz

xuzo

1v/b

nqz

外彳理疗法4二学疗法

解：(1)由题意及等高堆积条形图可得,2义2列联表如表.

疗效

疗法合计

未治愈治愈

外科疗法202040

化学疗法421860

合计6238100

(2)零假设为H。:是否治愈与治疗方法无关联.

由列联表中的数据可得，X2,100X(20X182OX42)2^^Q75>3.841,

根据小概率值a=0.05的独立性检验,我们能推断H。不成立，即认为是

否治愈与治疗方法有关联,此推断犯错误的概率不大于0.05.

♦总结提升♦

独立性检验的具体做法

⑴根据实际问题的需要确定容许推断“两个随机事件有关系”犯错

误概率的小概率值a,然后查表确定临界值.

⑵利用公式，计算xI

⑶如果x2>Xa,就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超

过a；否则，就认为在犯错误的概率不超过。的前提下不能推断“X与

Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有

关系”.

热点训练2为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调

查问卷的形式对辖区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调

查.调查数据如下:共95份有效问卷,40名男性中有10名不愿意接种

疫苗,55名女性中有5名不愿意接种疫苗.

(1)根据所给数据,完成下面的2X2列联表,并根据列联表,根据小概

率值a=0.050的x2独立性检验,判断是否有95%的把握认为是否愿意

接种疫苗与性别有关？

态度

性另u合计

愿意接种不愿意接种

男

女

合计

⑵从不愿意接种的15份调查问卷中得到拒绝接种新冠疫苗的原因：

有3份身体原因不能接种;有2份认为新冠肺炎已得到控制，无需接种;

有4份担心疫苗的有效性;有6份担心疫苗的安全性.求从这15份问

卷中随机选出2份，在已知至少有一份担心疫苗安全性的条件下,另

一份是担心疫苗有效性的概率.

2

n(ad-bc)

•x二______________________________

(a+匕)(c+d)(a+c)(b+d)’

a0.0500.0100.005

Xa3.8416.6357.879

解：⑴补全2义2列联表如表.

态度

性另合计

愿意接种不愿意接种

男301040

女50555

合计801595

22

X-_95X(30X5-50X10)%408>3.841二X。.。眇

(a+b)(c+d)(Q+C)(b+d)40x55x80x15

根据小概率值a=0.050的x2独立性检验,有95%的把握认为是否愿意

接种疫苗与性别有关.

⑵设事件A为“至少有一份担心疫苗安全性”，事件B为“另一份担

心疫苗有效性”，

8

则P(A)=1-品则P(AB)竽白所以P(B|A)号.奇V

热点三概率与统计的综合问题

典例3(2022•山东济南高三期末)某机构为了解市民对交通的满意

度,随机抽取了100位市民进行调查，结果如下：回答“满意”的人数

占总人数的一半,在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上

班族”人数的,；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占也

(1)请根据以上数据填写下面2X2列联表,并依据小概率值a=0.001

的独立性检验,分析能否认为市民对于交通的满意度与是否为上班族

存在关联？

满意不满意合计

上班族

非上班族

合计

(2)此机构欲随机抽取部分市民进一步调查.规定:抽样的次数不超过

n(n£N*),若随机抽取的市民属于不满意群体,则抽样结束;若随机抽

取的市民属于满意群体,则继续抽样,直到抽到不满意市民或抽样次

数达到n时,抽样结束.

①若吁5,写出Xs的分布列和数学期望；

②请写出尤的数学期望的表达式(不需证明)，根据你的理解说明Xn的

数学期望的实际意义.

附：

2

X2_n(ad-bc)S+“其中『a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(Q+C)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

解：(1)由题意可知,2X2列联表如表,

满意不满意合计

上班族154055

非上班族351045

合计5050100

零假设为H。:市民对交通的满意度与是否上班独立.因为X

2

一「00X(15X1035X40)=咨£入？5.253>10,828.

50X50X55X4599

根据小概率值&=0.001的独立性检验,我们推断H。不成立，即认为市

民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于

0.001.

⑵①当"5时,X5的可能取值为1,2,3,4,5,由(1)可知市民的满意度

和不满意度均为最

所以p区刁)qpa二2)*p(x$=3)q,p供=4)q,p区二5)q,

乙乙乙乙乙

所以X,5的分布列为

x512345

11111

P

22223

所以E(X5)=lX1+2X.+3X导4X,+5X*.

②E(XJ=1X*2X/3X导・・・+(n-1)+n•奈2-看，

当n趋向于正无穷大时,E(X。趋向于2,此时E(X，恰好为不满意度

的倒数，

也可以理解为平均每抽取2个人,就会有一个不满意的市民.

♦总结提升♦------------------------

解决概率与统计综合问题的一般步骤

热点训练3(2021•重庆渝中区期末)某中学成功地举办了一年一

度的大型学生社团文化节，吸引了众多学生.该中学目前共有社团近

40个，由高一和高二学生组成,参加社团的学生有四百人左右.已知该

中学高一和高二的所有学生中男生与女生人数比为6:4,为了解学生

参加社团活动的情况,按性别采用分层抽样的方法抽取部分学生,统

计得到如图等高堆积条形图.

(1)求该中学参加社团的学生中，任选1人是男生的概率；

(2)若抽取了100名学生,完成下列2X2列联表,并依据小概率值。

=0.05的独立性检验,能否认为该中学高一和高二学生的性别与参加

学生社团有关联?请说明理由.

参加社团未参加社团合计

男生

女生

合计

附:八…窗喘"a+b+c+d.

（10.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

解：（1）设高一和高二的所有学生中任选一人是男生、是女生分别为事

件A,4

设高一和高二的所有学生中任选一人参加社团为事件B,则

P（A）=60%,P（彳）=40%,

则P（A|B）二端产PC4）P（8|A）_60%X10%_6_3

P（4）P（8|4）+P（Z）P（BR）60%X10%+40%X20%6+87,

⑵2X2列联表如表,

参加社团未参加社团合计

男生65460

女生83240

合计1486100

零假设为H。:性别与参加社团独立，即性别与参加社团无关.

根据列联表中的数据，经计算得到X*。；：公震

1.993<3.841=ao.o5,

依据小概率值Q=0.05的独立性检验,没有充分的证据推断H。不成立,

因此可以认为H。成立，即性别与参加社团无关.

专题强化训练（十七）

一、单项选择题

1.（2022•山东莱西高三期末）通过随机询问某中学110名中学生是

否爱好跳绳,得到列联表:

性别

跳绳合计

男女

爱好402060

不爱好203050

合计6050110

已知XF黑襦丽,P（x—828）6001,根据小概率值

0=0.001的x2独立性检验，以下结论正确的为（D）

A.爱好跳绳与性别有关

B.爱好跳绳与性别有关,这个结论犯错误的概率不超过0.001

C.爱好跳绳与性别无关

D.爱好跳绳与性别无关,这个结论犯错误的概率不超过0.001

2

)2

解析：x2=-n(ad-bc')110X(40X30-20X20-F.822<10.828,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)60x50x60x50

则爱好跳绳与性别无关,这个结论犯错误的概率不超过0.001.故选

D.

2.某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费

x（单位:万元）对年销售量Y（单位:千件）的影响.现收集了近5年的年

宣传费x（单位:万元）和年销售量Y（单位:千件）的数据,其数据如表

所示,且Y关于x的经验回归方程为厂bx-8.2,则下列结论错误的是

(C)

X4681012

Y1571418

A.x,Y之间呈正相关关系

B.b=2.15

C.该经验回归直线一定经过点(8,7)

D.当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销

售量为34800件

解析：由表中数据可

得，土［X(4+6+8+10+12)=8,y=1x(1+5+7+14+18)=9,

故经验同归直线一定经过点⑻9),故9=86-8.2,解得15,故A,B

正确,C错误；

人人

将x=20代入y=2.15x-8.2,解得y=34.8,故当此公司该种产品的年宣

传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件,故D正确.

故选C.

二、多项选择题

3.(2022•江苏扬州高三期末)下列说法中正确的有(ABD)

A.将一组数据中的每个数据都乘以2后,平均数也变为原来的2倍

B.若一组数据的方差越小，则该组数据越稳定

c.由样本数据点（x「yj,（X2,%）,…，（X”yj所得到的经验回归直线

人

八A

y=bx+Q至少经过其中的一个点

D.在某项测量中，若测量结果&〜N（l,。2）（。〉0）,则P（10）=0.5

解析:对于A,设数据xi,xz,…，X。的平均数为元则土二/+外+…+”

n

则数据2x„2X2,…,2Xn的平均数为2巧+2必+…+2孙=26+与+…+孙；2匕A

nn

正确；

对于B,由方差的定义可知,方差越小,样本越稳定,B正确;

A

AA

对于C,经验回归直线y=bx+a一定过样本的中心点（%,歹），不一定过

样本点,C错误；

对于D,在某项测量中,若测量结果5〜N（l,。9（o〉0）,则P（&<

1）=0.5,D正确.故选ABD.

4.（2022•湖南常德高三期末）甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰

子每次出现的点数可能为1,2,3,4,5,6）,并分别记录每次出现的点数,

四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述，可以判断一

定没有出现点数6的描述是（AD）

A.中位数为3,众数为5

B.中位数为3,极差为3

C.中位数为1,平均数为2

D.平均数为3,方差为2

解析:对于A,由于中位数为3,众数为5,所以这5个数从小到大排列

后,第3个数是3,则第4和5个数为5,所以这5个数中一定没有出现

6,所以A正确；

对于B,由于中位数为3,极差为3,所以这5个数可以是3,3,3,4,6,

所以B错误；

对于C,由于中位数为1,平均数为2,所以这5个数可以是1,1,1,1,6,

所以C错误；

对于D,由平均数为3,方差为2,可得

22222

xi+x2+x3+x,i+x5=15,(X-3)+(X2-3)+(X3-3)+(X-3)+(X5-3)]=2,若有

一个数为6,取Xi=6,则

2222

X2+X3+X4+X5=9,(X2-3)+(x3-3)+(X4-3)+(X5-3)=1,所以&-3)W

1,(X3-3)Wl,(X「3)2W1,(X5-3)?W1,所以X2,x3,x.bX5这4个数可以是

4,3,3,3或2,3,3,3,与x2+x3+x4+x5=9矛盾，所以xH6,所以这5个数

一定没有出现6,所以D正确.故选AD.

5.(2022•湖北江岸高三期末)某电子商务平台每年都会举行“年货节”

商业促销狂欢活动,现在统计了该平台从2013年到2021年共9年“年

货节”期间的销售额(单位:亿元)并作出散点图，将销售额Y看成年份

序号x(2013年作为第一年)的函数.运用图表软件，分别选择回归直

线和三次函数回归曲线进行拟合,效果如图，则下列说法正确的是

(ACD)

A.销售额Y与年份序号x正相关

B.三次函数回归模型的残差平方和大于直线回归模型的残差平方和

C.三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果

D.根据三次函数回归曲线可以预测2022年“年货节”期间的销售额

约为2680.54亿元

解析:根据图象可知,散点从左下到右上分布,销售额Y与年份序号x

呈正相关关系,A正确；

由散点图以及直线回归模型和三次函数回归模型的位置关系可知，三

次函数回归模型的残差平方和小于直线回归模型的残差平方和，B错

、口

识；

根据三次函数回归曲线的决定系数0.999>0.936,决定系数越大,拟合

效果越好，所以三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效

果,C正确;

由三次函数y=0.07X3+29.31X2-33.09X+10.44,当x二三时,尸2

680.54亿元,D正确.故选ACD.

6.（2022•湖北襄阳高三期末）下列说法正确的是（AC）

A.当总体是由差异明显的几个部分组成时,通常采用分层抽样的方法

抽样

B.频率分布直方图中每个小矩形的高就是咳组的频率

C.若两个满足线性回归的变量负相关,则其回归直线的斜率为负

D.已知随机变量X服从正态分布N(2,。9,P(X<3)=0.9,则

P(2<X<3)=0.3

解析：对十A,根据分层抽样的定义可知，当总体是由差异明显的几个

部分组成时,通常采用分层抽样的方法抽样,A正确；

对于B,频率分布直方图中每个小矩形的高是“频率/组距”，即每个

小矩形所代表的对象的频率/组距，每个小矩形的面积才是该组的频

率,B错误；

对于C,根据回归方程性质，若两个满足线性回归的变量负相关,则其

回归直线的斜率为负,C正确；

对于D,因为P(x<2)=0.5,P(X<3)=0.9,所以P(2<X<3)=0.9-0.5=0.4,D

错误.故选AC.

三、填空题

7.(2022•山东青岛高三期末)由样本数据(x】，yj,(X2,y2),(x7,y7)

得到的经验回归方程为y弓五+a,已知如下数

777八

据:3产19,者产二35,次界卷,则实数a的值为.

人A

解析:令t=Vx,则经验回归方程y[t+Q过样本中心点(K歹)，

因为+73,歹=35+7=5,所以有5X即Q=4.

答案：4

8.根据某市有关统计公报显示,该市对外贸易近几年持续繁荣,2017

年至2020年每年进口总额x（单位:千亿元）和出口总额Y（单位:千亿

元）之间的一组数据如表：

2017年2018年2019年2020年

X1.82.22.63.0

Y2.02.83.24.0

若每年的进出口总额x,Y满足线性相关关系y=bx-0.84,则

人

b=;若计划2022年出口总额达到5千亿元,预计该年进口总

额为千亿元.

hjj4-r"r4f日》+.—曰—1,8+2.2+2.6+3.0cA-2.0+2.8+3.2+4.0

解析：由题悬可得%二------------二2.4,y二-------------二3n.

44

因为样本中心满足经验回归方程,可得3=2.4b-0.84,解得b=1.6,所

以y=l.6x-0.84,

2022年出口总额达到5千亿元,预计该年进口总额为x,则

5=1.6x-0.84,解得x=3.65.

答案：L63.65

四、解答题

9.（2022•江苏通州高三期末）当今时代，国家之间的综合国力的竞争,

在很大程度上表现为科学技术水平与创新能力的竞争.特别是进入人

工智能时代后,谁掌握了核心科学技术,谁就能对竞争对手进行降维

打击.我国自主研发的某种产品,其厚度越小,则该种产品越优良,为

此,某科学研发团队经过较长时间的实验研发，不断地对该产品的生

产技术进行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平并获得

了生产技术专利.

⑴在研发过程中，对研发时间x(月)和产品的厚度Y(nm)进行统计，

其中1—7月的数据资料如表：

x(月)1234567

Y(nm)99994532302421

现用y二a+夕乍为Y关于x的经验回归方程类型,请利用表中数据,求出

该经验回归方程,并估计该产品的“理想”优良厚度约为多少？

(2)某企业现有3条老旧的该产品的生产线,迫于竞争压力，决定关闭

并出售生产线.现有以下两种售卖方案可供选择：

①直接售卖,则每条生产线可卖5万元；

②先花20万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生

产领先水平后再售卖.已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概

率均为/若改造成功,则每条生产线可卖20万元;若改造失败，则卖价

为0万元.请判断该企业应选择哪种售卖方案更为科学.并说明理由.

77

参考数据：设z尸工,5七0.37,歹=50,iZiyi=184.5,Ezf-Tz2^

xxt'i=li=l

0.55.

参考公式:对于一组数据（UI,vj