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最小生成树问题10/9/2025赋权连通图的最小支撑树边的权:G=(V,E)对每边ei∈E规定一个非负的实数w(ei)叫“权”；带权图:每边都有权的图叫赋权图或带权图；树:其特点之一是边数比顶点数少一；图G的支撑树T:E(T)

E(G),V(T)=V(G),即由G找T，顶点一个不能少，边可能删去几条，但T必须是树[当然如G不是连通图，则没有支撑树]。最小树:赋权的连通图G的众多支撑树中必至少有一，其各边权之和为最小的，它就叫G的一棵最小支撑树或最小生成树；简称最小树或最短树[管线铺设]。最小树的存在性：赋权的连通图G=(V,E),记m=|E|,n=|V|,支撑树T的边数|E(T)|=n-1,E(T)必为V的n-1元子集，显然这种子集合最多个，所以支撑树是有限的，其权组成有限集，必有最小的[但可能不唯一]。

10/9/2025求最小树的Kruskal算法赋权的连通图G=(V,E)中m=|E|,n=|V|,S1:对E中各边的权排序，设w1≤w2≤…≤wm,wi=w(ei)S2:初始化：w←0,T←φ,k←1,t←0S3:若t=n-1则转S6，否则转S4S4:若T∪{ek}有圈则k←k+1转S4，否则转S5S5:T←T∪{ek},w←w+wk,t←t+1,k←k+1,转S3S6:输出T及w，结束。T为最小树，w为T的权。这个算法叫Kruskal算法(避圈法)T’←T∪{ek}t=n-1?k←k+1NY输出T,wENDSTARTE的权排序w1≤w2≤…≤wmw←0,T←φ,k←1,t←0T’成圈?YNT←T+{ek},w←w+wk,t←t+1,k←k+110/9/2025用Kruskal算法求最小树用Kruskal算法(避圈法)求赋权连通图G的最小树V1V2V3V5V4V6V723798105612445611723644565∴最小树的权为24，最小树为T={v1v2,v1v3,v2v5,v5v6,v6v7,v6v4}10/9/2025Prim法求最小支撑树Kruskal法盯住边,而Prim法更注意顶点:从任一顶点开始都可以,逐个把最近的顶点找进来(找过的不找,就不会成圈)。算法如下:S1:T←{v1},S←V\{v1},w←0S2:若S=φ转S5,否则转S3S3:S4:T←T∪{vk}

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