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高等数学（上册）（慕课版）第3讲可降阶的高阶微分方程第6章常微分方程本讲内容01型的微分方程02二阶、三阶行列式03型的微分方程301

型的微分方程形如的微分方程,其特点是方程右端仅含自由则原来的n阶方程就只需将作为新的未知函数,化为新的未知函数的一阶微分方程.两端积分得上式两端再积分得依次继续进行下去,接连积分n次,就得到原来的n阶微分方程的含有n个独立任意常数的通解.量x,4求微分方程的通解.对所给微分方程接连积分2次,得故方程的通解为1例

解01

型的微分方程5求微分方程的通解.

对所给微分方程接连积分3次得

这就是所求微分方程的通解.2例

解01

型的微分方程本讲内容01型的微分方程02二阶、三阶行列式03型的微分方程702

型的微分方程方程

的特点是其方程右边不显含未知函数y.令则代入方程得的一阶微分设其通解为即得可分离变量的一阶微分方程两边积分就能得到原方程的通解为方程8求微分方程的通解.

设,则有,即.这是一阶齐次线性微分方程,它的通解为,即,故原方程的通解为,其中,为任意常数.

3例

解02

型的微分方程9的特解.求微分方程满足设则有即这是一阶线性齐次微分方程,根据公式得其通解为由条件当时,,故,

即两边积分得由条件当时,,故.

综上可得,原方程满足初始条件的特解为4例

解02

型的微分方程10求微分方程的通解.令,则,

代入原方程有,这是一阶线性微分方程,其通解为

即再次积分得到方程得通解为5例

解02

型的微分方程本讲内容01型的微分方程02二阶、三阶行列式03型的微分方程1203

型的微分方程方程的特点是其方程右端不显含自变量x.令利用复合函数的求导法则把化为对y的导数,则有:于是方程可化为这是关于y和p的一阶微分方程,设其通解为即解这个可分离变量的微分方程,可求出原方程的通解为:13求微分方程的通解.原方程可化为这是关于y和p的一阶微分方程,根据公式得其通解为解这个可分离变量的微分方程得原方程的通解为设则有6例

解设其通解为03

型的微分方程14求微分方程满足初始条件,的特解.

令,则,代入原方程,将方程化为,

于是有

或

,

有初始条件知,.

7例

解03

型的微分方程15所以,这是一阶线性微分方程,将,代入到通解公式(6.5)中得从而,即.

03

型的微分方程16得,所以,即,两边积分,得,将初始条

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