湖南省长沙市一中学湘一南湖学校2026届数学九年级第一学期期末复习检测模拟试题含解析

湖南省长沙市一中学湘一南湖学校2026届数学九年级第一学期期末复习检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（每题4分，共48分）1．2的相反数是（）A． B． C． D．2．已知△ABC∽△A1B1C1，若△ABC与△A1B1C1的相似比为3：2，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（）A．2：3 B．9：4 C．3：2 D．4：93．如图所示的工件的主视图是（）A． B． C． D．4．函数y＝与y＝kx2﹣k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．5．如图，某物体由上下两个圆锥组成，其轴截面中，，.若下部圆锥的侧面积为1，则上部圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．6．关于x的方程的两个根是-2和1，则的值为（）A．-8 B．8 C．16 D．-167．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球，摸出白球的概率是()A． B． C． D．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是（）A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosB＝ D．tanB＝9．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（）A． B． C． D．10．如图，在正三角形ABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB上的点，DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于（）A．1∶3 B．2∶3 C．∶2 D．∶311．在平面直角坐标系中，二次函数与坐标轴交点个数（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个12．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm二、填空题（每题4分，共24分）13．函数y＝kx，y＝，y＝的图象如图所示，下列判断正确的有_____．（填序号）①k，a，b都是正数；②函数y＝与y＝的图象会出现四个交点；③A，D两点关于原点对称；④若B是OA的中点，则a＝4b．14．圆锥侧面积为32πcm2，底面半径为4cm，则圆锥的母线长为____cm．15．已知是关于的方程的一个根，则______.16．如果四条线段m，n，x，y成比例，若m＝2，n＝8，y＝20，则线段x的长为________.17．如图，点在双曲线上，且轴于，若的面积为，则的值为__________．18．在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为________．三、解答题（共78分）19．（8分）己知抛物线与轴交于两点,与轴交于点,顶点为．（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）判断的形状．20．（8分）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA，PB，PO，若△POA的面积是△POB面积的倍．①求点P的坐标；②点Q为抛物线对称轴上一点，请求出QP+QA的最小值．21．（8分）如图，是的直径，是上半圆的弦，过点作的切线交的延长线于点，过点作切线的垂线，垂足为，且与交于点，设，的度数分别是.用含的代数式表示，并直接写出的取值范围；连接与交于点，当点是的中点时，求的值.22．（10分）黎托社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户10月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（.小于5天；.5天；.6天；.7天）.（1）扇形统计图部分所对应的圆心角的度数是______.（2）12月份雨花区将举行一场各社区之间“垃圾分类”知识抢答赛，黎托社区准备从甲、乙、丙、丁四户家庭以抽签的形式选取两户家庭参赛，求甲、丙两户家庭恰好被抽中的概率.23．（10分）计算：（1）（2）解方程：24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，半径OD与弦AC垂直，若∠A＝∠D，求∠1的度数．25．（12分）已知二次函数与轴交于、（在的左侧）与轴交于点，连接、.（1）如图1，点是直线上方抛物线上一点，当面积最大时，点分别为轴上的动点，连接、、，求的周长最小值；（2）如图2，点关于轴的对称点为点，将抛物线沿射线的方向平移得到新的拋物线，使得交轴于点（在的左侧）.将绕点顺时针旋转至.抛物线的对称轴上有—动点，坐标系内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.26．如图，抛物线与坐标轴分别交于，，三点，连接，．（1）直接写出，，三点的坐标；（2）点是线段上一点（不与，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接．若点关于直线的对称点恰好在轴上，求出点的坐标；（3）在平面内是否存在一点，使关于点的对称（点，，分别是点，，的对称点）恰好有两个顶点落在该抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】根据相反数的概念解答即可．【详解】2的相反数是-2，

故选D．2、C【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵△ABC与△A1B1C1的相似比为3：1，∴△ABC与△A1B1C1的周长之比3：1．故选：C．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．3、B【解析】从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．故选B．4、D【分析】根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论，然后再对照选项即可．【详解】解：分两种情况讨论：①当k＜0时，反比例函数y＝在二、四象限，而二次函数y＝kx2﹣k开口向下，故A、B、C、D都不符合题意；②当k＞0时，反比例函数y＝在一、三象限，而二次函数y＝kx2﹣k开口向上，与y轴交点在原点下方，故选项D正确；故选：D．本题主要考查反比例函数与二次函数的图象，掌握k对反比例函数与二次函数的图象的影响是解题的关键．5、C【分析】先证明△ABD为等边三角形，得到AB=AD=BD，∠A=∠ABD=∠ADB=60°，由求出∠CBD=∠CDB=30°，从而求出BC和BD的比值，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到上部圆锥的侧面积．【详解】解：∵∠A=60°，AB=AD，

∴△ABD为等边三角形，

∴AB=AD=BD，∠A=∠ABD=∠ADB=60°，∵∠ABC=90°，

∴∠CBD=30°，而CB=CD，

∴△CBD为底角为30°的等腰三角形，过点C作CE⊥BD于点E，易得BD=2BE，∵∠CBD=30°，∴BE：BC=：2，∴BD：BC=：2=：1，即AB：BC=：1，∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，

∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，

∴下面圆锥的侧面积=．

故选：C．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．6、C【解析】试题解析：∵关于x的方程的两个根是﹣2和1，∴=﹣1，=﹣2，∴m=2，n=﹣4，∴=（﹣4）2=1．故选C．7、A【分析】根据概率公式计算即可.【详解】∵盒子内装有红球1个、绿球1个、白球2个共4个球，∴出一个球，摸出白球的概率是，故选：A.此题考查概率的公式，熟记概率的计算方法是解题的关键.8、D【分析】根据三角函数的定义求解．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝1．∴AC＝，∴sinA＝，tanA＝，cosB＝，tanB＝．故选：D．本题考查了解直角三角形，解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义．9、A【分析】根据二次函数图像的特点可得.【详解】解：二次函数与轴有两个不同的交点，开口方向向上．故选：A．本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是二次函数的开口方向和与x轴的交点．10、A【解析】∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴∠C+∠EDC=90°，∠FDE+∠EDC=90°，∴∠C=∠FDE，同理可得：∠B=∠DFE，∠A=DEF，∴△DEF∽△CAB，∴△DEF与△ABC的面积之比=，又∵△ABC为正三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°∴△EFD是等边三角形，∴EF=DE=DF，又∵DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，∴△AEF≌△CDE≌△BFD，∴BF=AE=CD，AF=BD=EC，在Rt△DEC中，DE=DC×sin∠C=DC，EC=cos∠C×DC=DC，又∵DC+BD=BC=AC=DC，∴，∴△DEF与△ABC的面积之比等于：故选A．点晴：本题主要通过证出两个三角形是相似三角形，再利用相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于对应边之比的平方，进而将求面积比的问题转化为求边之比的问题，并通过含30度角的直角三角形三边间的关系（锐角三角形函数）即可得出对应边之比，进而得到面积比．11、B【分析】首先根据根的判别式判定与轴的交点，然后令，判定与轴的交点，即可得解.【详解】由题意，得∴该函数与轴有一个交点当时，∴该函数与轴有一个交点∴该函数与坐标轴有两个交点故答案为B.此题主要考查利用根的判别式判定二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握，即可解题.12、B【详解】由题意可知，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以斜边=2×2=4cm.考点：含30°的直角三角形的性质.二、填空题（每题4分，共24分）13、①③④【分析】根据反比例函数、一次函数的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可判断．【详解】解：由图像可知函数y＝kx经过一、三象限，h函数y＝，y＝在一、三象限，则k＞0，a＞0，b＞0，故①正确；由图像可知函数y＝与y＝的图像没有交点，故②错误；根据正比例函数和反比例函数的图像都是中心对称图像可知，A，D两点关于原点对称，故③正确；若B是OA的中点，轴OA＝2OB，作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，∴BN∥AM，∴△BON∽△AOM，∴，∴，∴b＝4a，故④正确：故答案为①③④．本题考查了相似性质、反比例函数、一次函数的性质以及反比例函数系数k的几何意义，数形结合的思想是解题的关键14、8【分析】根据扇形的面积公式计算即可.【详解】设圆锥的母线长为，则：，解得：，故答案为：.本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键.15、9【分析】根据一元二次方程根的定义得，整体代入计算即可.【详解】∵是关于的方程的一个根，∴，即，∴故答案为：．考查了一元二次方程的解的定义以及整体思想的运用．16、1【详解】解：根据题意可知m:n=x:y，即2:8=x：20，解得：x=1．故答案为：117、【分析】设点A坐标为（x，y），由反比例函数的几何意义得，根据的面积为，即可求出k的值.【详解】解：设点A的坐标为：（x，y），∴，∴，∴，∵反比例函数经过第二、四象限，则，∴故答案为：.本题考查了反比例函数的性质，以及反比例函数的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数的几何意义进行解题.18、1【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【详解】解：设这栋楼的高度为hm，∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，∴，解得h=1（m）．故答案为1．本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）顶点；（2）是直角三角形．【分析】（1）根据点A和点B的坐标设函数解析式为两点式，再将点C的坐标代入求出a的值，最后再将两点式化为一般式即可得出答案；（2）根据BCD三点的坐标分别求出BC、CD和BD边的长度即可得出答案.【详解】解：（1）设，将代入解析式得：顶点（2）是直角三角形．本题考查的是二次函数，难度适中，解题关键是根据题目意思灵活设出二次函数的解析式.20、（1）；（2）①点P的坐标为（，1）；②【分析】（1）先确定出点A，B坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）设出点P的坐标，①用△POA的面积是△POB面积的倍，建立方程求解即可；②利用对称性找到最小线段，用两点间距离公式求解即可．【详解】解：（1）在中，令x=0，得y=1；令y=0，得x=2，∴A（2，0），，B（0，1）．∵抛物线经过A、B两点，∴解得∴抛物线的解析式为．（2）①设点P的坐标为（，），过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E．∴∵∴∴，∵点P在第一象限，所以∴点P的坐标为（，1）②设抛物线与x轴的另一交点为C，则点C的坐标为（，）连接PC交对称轴一点，即Q点，则PC的长就是QP+QA的最小值，所以QP+QA的最小值就是．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，对称性，解本题的关键是求抛物线解析式．21、（1）β=90°－2α（0°＜α＜45°）；（2）α=β=30°【分析】（1）首先证明，在中，根据两锐角互余，可知；（2）连接OF交AC于O′，连接CF，只要证明四边形AFCO是菱形，推出是等边三角形即可解决问题．【详解】解：（1）连接OC．∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAE=2α，∵∠D=90°，∴∠DAE+∠E=90°，∴2α+β=90°∴β=90°－2α（0°＜α＜45°）．（2）连接OF交AC于O′，连接CF．∵AO′=CO′，∴AC⊥OF，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，∴CF∥OA，∵AF∥OC，∴四边形AFCO是平行四边形，∵OA=OC，∴四边形AFCO是菱形，∴AF=AO=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠FAO=2α=60°，∴α=30°，∵2α+β=90°，∴β=30°，∴α=β=30°．本题考查了圆和三角形的问题，掌握圆的切线的性质以及等边三角形的性质和证明是解题的关键．22、（1）108度；（2）.【分析】（1）先由A类别户数及其所占百分比求得总户数，再由各类别户数之和等于总户数求出B类别户数，继而用360°乘以B类别户数占总人数的比例即可得；（2）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．【详解】（1）被调查的总户数为9÷15%＝60（户），∴B类别户数为60−（9＋21＋12）＝18（户），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是360°×＝108°；故答案为：108°；（2）根据题意画图如下：由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种结果，所以恰好选中甲和丙的概率为．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时本题还考查了通过样本来估计总体．23、（1）；（2）【分析】（1）由题意利用乘方运算法则并代入特殊三角函数值进行计算即可；（2）根据题意直接利用因式分解法进行方程的求解即可.【详解】解：（1）（2），解得.本题考查实数的混合运算以及解一元二次方程，熟练掌握乘方运算法则和特殊三角函数值以及利用因式分解法解方程是解题的关键.24、30°【分析】利用垂径定理和圆周角定理证得∠A＝∠1＝∠ABD，然后根据直角三角形两锐角互余即可求得∠1的度数．【详解】解：∵半径OD与弦AC垂直，∴，∴∠1＝∠ABD，∵半径OD与弦AC垂直，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC，∴∠1＝∠D，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠1＝∠ABD，∵∠A+∠ABC＝90°，∴3∠1＝90°，∴∠1＝30°．本题考查了垂径定理和和圆周角定理的推论，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握垂径定理，能够理清各线段和角的关系.25、（1）；（1）存在，理由见解析；，，，，【分析】（1）利用待定系数法求出A，B，C的坐标，如图1中，作PQ∥y轴交BC于Q，设P，则Q，构建二次函数确定点P的坐标，作P关于y轴的对称点P1（-2，6），作P关于x轴的对称点P1（2，-6），的周长最小，其周长等于线段的长，由此即可解决问题．（1）首先求出平移后的抛物线的解析式，确定点H，点C′的坐标，分三种情形，当OC′=C′S时，可得菱形OC′S1K1，菱形OC′S1K1．当OC′=OS时，可得菱形OC′K3S3，菱形OC′K2S2．当OC′是菱形的对角线时，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图，，过点作轴平行线，交线段于点，设，=-（m1-2）1+2，∵，∴m=2时，△PBC的面积最大，此时P（2，6）作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接交轴、轴分别为，此时的周长最小，其周长等于线段的长；∵，∴.（1）如图，∵E（0，-2），平移后的抛物线经过E，B，∴抛物线的解析式为y=-x1+bx-2，把B（8，0）代入得到b=2，∴平移后的抛物线的解析式为y=-x+2x-2=-（x-1）（x-8），令y=0，得到x=1或8，∴H（1，0），∵△CHB绕点H顺时针旋转90°至△C′HB′，∴C′（6，1），当OC′=C′S时，可得菱形OC′S1K1，菱形OC′S1K1，∵OC′=C′S==1，∴可得S1（5，1-），S1（5，1+），∵点C′向左平移一个单位，向下平移得到S1，∴点O向左平移一个单位，向下平移个单位得到K1，∴K1（-1，-），同法可得K1（-1，），当OC′=OS时，可得菱形OC′K3S3，菱形OC′K2S2，同法可得K3（11，1-），K2（11，1