2024-2025学年广州市荔湾区某校九年级（上）期中数学试题（含答案）

广州协和学校2024学年第一学期期中考试

初三年级数学科试题

说明:本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为120分，考试时间为120分钟.

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，共30分，在每小题列出的选项中，选出符合题

目的一项）

1.下列图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

D.

一元二次方程£一办+1=0的根，则。值为（)

A.2B.3C.4D.5

3.在同一平面内，已知。。的半径为2cm,OP=5cm，则点。与。0的位置关系是（）

A.点P在。。外B.点尸在。。上

C.点P在。。内D.无法确定

4.要得到抛物线y=2（x—3『+2,可以将抛物线y=（）

A.向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度

B.向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度

C.向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度

D.向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度

5.如图，在。O中，弦AB〃CD,若NABO40。，则NBOD=1]

A20°B.40°C.50°D.80°

6.用配方法解方程f—4x=l，变形后结果正确的是（）

A.（X+2—5B.（X+2）2=2C.（X-2）2=5D.

（x—2八2

7.如图，在VA8c中，ZB=40°,将VA8c绕点A逆时针旋转，得到VADE，点。恰

好落在8c的延长线上，则旋转角的度数（）

A.70°B.80°C.90°D.100°

8.若4（7,»）,8（-3,）。,。（1,必）为二次函数）'=炉+4%一5的图象上的三点，则

y，%，%的大小关系是（）

A.yv%<%B.%<x<%

?

c.y3<>i<）2D.3V.y2

9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90“后得到△A5C,则其

旋转中心的坐标是（）

（1.5,-0.5）

10.关于x的一元二次方程f一（m+2）工-3加一3=0在一24142范围内有且只有一个根,

则〃?的取值范围为（）

33

A.m>—B.—<5m——8—4A/3

33

C.〃？<一£或D.一£v〃7W5或〃7=-8+4>/5

JJ

第二部分非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11.点4（-1,2）关于原点对称的点的坐标是.

12.某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，

现在售价每盒16元，设该药品平均每次降价的百分率的x,则列方程

13.飞机着陆后滑行的距离）'（单位：m）关于滑行时间，（单位：S）的函数解析式是

），二60/一|产.在飞机着陆滑行中，飞机从开始滑行到停止所需时间为秒.

14.如图，AB为。。直径，弦CD工AB于点H,若AB=1O,CD=8,则0〃的长度

15.等腰三角形的一边为9,另两边恰好是关于工的一元二次方程Y一日+9=0的两根,

则上的值是__________.

16.如图，抛物线），-4x+6与），轴交于点4与x轴交于点氏线段CO在抛物线

的对称轴上移动（点。在点。下方），且CO=3.当AD+8C的值最小时，点C的坐标

为.

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17.解方程:

（2）画出NABC绕点8逆时针旋转90。后的△A28c2；

（3）直接写出点&的坐标为；点6的坐标为

21.已知关于x的一元二次方程%2+（2%—1）X一攵-1=0.

（1）求证：无论攵取何值，此方程总有两个不相等的实数根：

（2）若方程有两个实数根小巧，且5+%―4.1/2=2,求人的值.

22.如图，A8是00的直径，点C,。是0O上的点，且。D〃8C,4c分别与瓦）,

0。相交于点E，F.

（1）求证：点。为弧AC的中点；

（2）若DF=4,AC=16,求00的直径.

23.如图，用一块长为505?、宽为305?的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四

个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为双5.

J=zn

\Uc；

II

II

\AB\

I.....I

（1）底面的长AB=cm,宽BC=c〃？（用含x的代数式表示）

（2）当做成盒子的底面积为300c加时，求该盒子的容积.

（3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出工的值及最大值是多少？若不

存在，说明理由.

24.如图，已知抛物线y=—a+加一2的顶点为A,且通过点8（3,-3）.

(2)点。为直线A3上方抛物线上一动点，求VA8C而枳最大值;

(3)在抛物线上存在一点。，使得NPAB=45。，求点。坐标.

25.在VA8C中，AB=AC,ZB4C=120°.

BD

(1)如图1,点、D在BC边上,且NAO8=2NC.求一的值；

CD

(2)如图2,点E在VA3C的外部，且2N8EC-NAEB=270。.求证：BE=&E,

(3)若尸是平面内一点，且N4P8=90。，N8PC=150°,请直接写出CC的值为______.

BP

广州协和学校2024学年第一学期期中考试

初三年级数学科试题

说明:本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为120分，考试时间为120分钟.

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，共30分，在每小题列出的选项中，选出符合题

目的一项）

1.下列图案，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

【解析】

【分析】此题考查了轴对祢图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是

解题关键.

轴对称图形的概念：如果一个图形沿•条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图

形叫做轴对称图形；中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的

图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，对■各选项分析判断即可得

解.

【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；

C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；

D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意.

故选:B.

2.已知I为关于x的一元二次方程》2一办+1=0的根，则。值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的解、解i元一次方程.将x=l代入方程可得1—。+1=0,

解一元一次方程即可得解.

【详解】解：・门为关于x的一元二次方程d一以+i=o的根，

***1—tz+1=0»

，。=2,

故选:A.

3.在同一平面内，已知0。的半径为2cm,OP=5cm，则点P与。O的位置关系是（）

A.点尸。。外B.点。在。。上

C.点P在。。内D.无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】根据点到圆心的距离即可得出答案.

【详解】解：,・・。尸=5cm,

根据点到圆心的距离5cm大于圆的半径2cm，则该点在圆外.

故选：A.

【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系：当点到圆心距离小于半径时，点在圆内；当点到

圆心距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心距离大于半径时，点在圆外.

4.要得到抛物线）、=2（工一3『+2,可以将抛物线y=2/（）

A.向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度

B.向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度

C.向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度

D.向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度

【答案】C

【解析】

【分析】原抛物线顶点坐标为（0。），平移后抛物线顶点坐标为（3,2）,由此确定平移规律.

【详解】解：•.•抛物线＞=21的顶点坐标为（0。），抛物线），=2（x-3）2+2的顶点坐标为

(3,2),

「•平移的方法可以是向右平移3个单位，再向上平移2个单位.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是将抛物线的平移问题转化为顶

点的平移，寻找平移方法.

5.如图，在OO中，弦AB〃CD,若/ABC=40。，则/BOD=【]

A.20°B.40°C,50°D.80°

【答案】D

【解析】

【详解】•・•弦AB〃CD,・・・/ABC=NBCD（两直线平行，内错角相等）

XVZABC=40°,，/130口=2/人802'40。=80。（同圆所对圆周角是圆心角的一半）.故选

D.

6.用配方法解方程/-4工=1，变形后结果正确的是（）

A.（X+2）2=5B.（x+2）；2C.（X-2）2=5D.

（x-2）2=2

【答案】C

【解析】

【分析】根据配方法可直接进行求解.

【详解】解：由方程f—4x=l两边同时加上4可得（了一2）2二5；

故选C.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法是解题的关键.

7.如图，在VA8C中，ZB=40°,将VA3c绕点4逆时针旋转，得到V4DE，点。恰

好落在的延长线上，则旋转角的度数（）

A.70°B.80°C.90°D.100°

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查旋转的性质，等边对等角.由旋转的性质可知AB=AD,可算出

ZA£）B=40°,就可以算出旋转角.

【详解】解：由旋转的性质可知：AB=AD,NBA。是旋转角，

AB=AD>

:.ZADB=ZB=4（r,

：.ZZiAP=180o-ZAZ^-Z^=100u,

故选：D.

8.若4（7,凹）,3（—3,先）,。（1,%）为二次函数），=/+4%一5的图象上的三点，则

,，必，力的大小关系是（）

A.x<%<%B.必<M<%

C必<,<为D.凹<%<）’2

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足

其解析式是解题的关键.分别代入4（7,凹）,8（-3,%）,。。,%）到），=/+41-5求出

X、%、出的值，再比较大小即可得出结论.

【详解】解：代入A（Y,yJ到），=/+4工一5得，）［=（T）2+4X（-4）—5,

*''y\--5，

同理可得：为=-8,%=。，

-8<—5<0，

•••%<y<?3•

故选:B.

9.如图，在平面直角坐标系中，△44C绕旋转中心顺时针旋转90。后得到△A7TC,则其

旋转中心的坐标是（）

（1.5,-0.5）

【答案】C

【解析】

【分析】根据旋转性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对

应点所连线段的垂直平分线上，由图形可知，线段8*与AA'的垂直平分线的交点即为所求.

【详解】•••△A8C绕旋转中心顺时针旋转90"后得到△A'8'C',・・・A、B的对应点分别是A'、

B'.

又•・•线段48'的垂直平分线为户1,线段4T是一个边长为3的正方形的对角线，其垂直平

分线是另一条对角线所在的直线，由图形可知，线段与人人’的垂直平分线的交点为（I,

-1）.

【点睛】本题考查了旋转的性质及线段垂直平分线的判定.能够结合图形，找出对应点的垂

直平分线是解题的关键.

10.关于X的一元二次方程公一(加+2)工-3加-3=0在—2«工《2范围内有且只有一个根,

则〃?的取值范围为()

33

A.ni>一一B.一一<机工5或〃2=-8-46

55

33l

C.m<一一或加25D.一《5或加二-8+46

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和二次函数II勺关系，根的判别式的意义；

分两种情况：①方程有两个相等的实数根，且在—2KxV2的范围内时，可得

△=nr+16〃?+16=0,求出〃2=-8土4石和再=占=~~，再根据一2WxW2确定m

的范围，得到此时m的值：②方程有两个不相等的实数根，且在—2WXW2的范围内时，

根据一兀二次方程的解和二次困数的关系得出不等式组，求解即可.

【详解】解：①当一元二次方程/一。〃+2)]-3m一3=0有两个相等的实数根，且在

—2WxW2的范围内时，

则△=［一(机+2)7-4x1x(-3/7?-3)=w2+16m+16=0,

解得：tn=—8±4\/3»

m+2

此时x}=x2=

〃1+2

・•一2<<2,

2

解得：-6<m<2,

・・・加=-8+46；

②当一元二次方程/一(爪+2)%一3〃?一3=0有两个不相等的实数根，且在一2《为42的范

围内时，

伍z+2)x2—3机一3之0^J(-2)2-(Z??-I-2)X(-2)-3W-3>0

2-(/??+2)x(-2)-3m-3<022-(/??+2)x2-3m-3<0

K22-(W+2)X2-3//7-3>0

解不等式组，、得该不等式组无解;

(-2)-一(加+2)x(-2)-3〃?-3<0

解不等式组

3

综上，加的取值范围为：一一<"7<5或加=一8+46,

5

故选：D.

第二部分非选择题(共90分)

二、填空题(本大题共6小题，共18分)

11.点A(—1,2)关于原点对称的点的坐标是

【答案】(1,—2)

【解析】

【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标：根据关于原点对称的两点的横纵坐标互

为相反数得出答案.

【详解】解：点A(T,2)关于原点对称的点的坐标是(1,一2),

故答案为：(1,-2).

12.某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，

现在售价每盒16元，设该药品平均每次降价的百分率的x,则列方程

【答案】25X(1-x)2=16

【解析】

【分析】等量关系为：原价X(I-降低的百分比)2=降价后的售价，把相关数值代入即可.

【详解】解：第一次降价后的价格为25X(l-x),

第二次降价后的价格为2fx(1-x)X(1-x)=25X(1-x)2,

，列的方程为25X(1-x)2=16,

故答案为：25X(1-x)2=16.

【点睛】本题考查了一元二次方程中求平均变化率的方法，熟练掌握一元二次方程的运用是

解决本题的关键.

13.飞机着陆后滑行的距离V(单位：m)关于滑行时间，(单位：S)的函数解析式是

y=60r-1r.在飞机着陆滑行中，飞机从开始滑行到停止所需时间为秒.

【答案】20

【解析】

3

【分析】将函数解析式是y=60/化为顶点式进行分析，即可求解.

33

【详解】»：Vy=60/--/2=--(/-20)2+600,

22

.••当/二20时，滑行的距离y=600m,此时飞机滑行停止，

・•・飞机从开始滑行到停止所需时间为20s,

故答案为：20.

【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式，理解并掌握二次函数化为顶点式的方法，及顶点

式的含义是解题的关键.

14.如图，AB为。。的直径，弦CD1AB于点H,若45=10,CD=8,则。”的长度

为一

OH

【答案】3

【解析】

【分析】连接OC,由垂径定理可求出CH的长度，在R3OCH中，根据CH和。。的半径,

即可由勾股定理求出OH的长.

【详解】连接OC,

RtZ\OCH中，OC」AB=5,CH=-CD=4：

22

由勾股定理，得：OH70c2-CH?-A2=3；

即线段OH的长为3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了垂径定埋：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考

查了勾股定理.

15.等腰三角形的一边为9,另两边恰好是关于x的一元二次方程f一日+9=0的两根,

则上的值是

【答案】10

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得％+&=攵，内尤2=9,根据题意可得

再=9,々=1或%=占=3,进而求解即可.

【详解】解：设f-速+9=0的两个根分别为百，“2,

，x1+x2=ktx)x2=9,

•・•等腰三角形的一边长为9,另两边的长是关于x的方程Y一依+9=0的两根,

-V|=9,—1或X|=X,=3,

当X=9,々=1时，三边为9,9,1,满足三角形的三边关系，此时攵=10；

当元|二工2=3时，三边为9,3,3,不满足三角形的三边关系，舍去;

:•左=10,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解

题的关键.

16.如图，抛物线y=gf—4x+6与y轴交于点A,与x轴交于点8,线段CO在抛物线

的对称轴上移动（点。在点。下方），且CO=3.当40+3。的值最小时，点。的坐标

为.

【答案】（4,1）

【解析】

【分析】在），轴上取点E（0,3）,证明四边形AECO是平行四边形，得出AD=CE,利用

抛物线的对称性得出5C=Cb,则AO+BC=CE+BNb,当E、C、尸三点共线时，

AO+BC最小，利用待定系数法求出直线石厂解析式，然后把x=4代入，即可求出C的坐

标.

【详解】解：y=^x2-4x+6=^（x-4）2-2,

・••对称轴为x=4,

如图，设抛物线与x轴另一个交点为凡

当x=0时，y=6,

•••4(0,6),

1、

当y=0时，()=-X2-4X+6,

2

=

解得xt=2,x26,

•••3(2,0),F(6,0),

在y轴上取点E（0,3）,连接CE,CF,EF,

JAE=3=CD,

9：CD//AE,

••・四边形AECD是平行四边形，

/.AD=CE，

•・.抛物线对称轴为x=4,

・•・BC=CF,

・•・AD+BC=CE+CF^EF,

当£、C、尸三点共线时，AO+8C最小，

设直线EF解析式为y=kx+h,

做+〃=0

*

[b=3

k=--

解得，2.

0=3

••y—x4*3,

'2

当x=4时，y=--x4+3=l,

2

，当AO+8C最小时，C的坐标为(4,1),

故答案为：(4,1).

【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解

析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辆助线，构造平行四边形是解题的关

键.

三、解答题(本大题共9小题，共72分)

17.解方程:

(1)(x-l)2-4=0；

(2)x(x-2)=x-2

【答案】(1)%=3,=—1

(2)-t|=1,x?=2

【解析】

【分析】本题考杳了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方

法，配方法，公式法，因式分解法等.

(1)移项，利用直接开方法解一元二次方程即可；

(2)移项，利用因式分解法解一元二次方程即可.

【小问1详解】

(X-1)2-4=0

(1):4

x—1=±2

X-1=2B£X-1=-2

X1—3,Xj——I；

【小问2详解】

x(x-2)=x-2

x(x-2)-(x-2)=0

(x-l)(x-2)=0

x-l=0或工一2=0

内=1,W=2.

18.已知：如图，将VA。石绕点人顺时针旋转得到VABC,点E对应点C恰在EO的延长

线上，若BC〃AE.求证：AACE为等边三角形.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】由旋转性质可得出AC=AE,ZACB=ZAED.再根据平行线的性质可得出

ZACB=ZCAE,从而得出NA£C=NCAE,最后根据等角对等边可推出

AC=CE=AE,即AACE为等边三角形.

【详解】解：由旋转的性质可知AC=AE,ZACB=ZAED.

•・,BC//AE,

・•・ZACB=/CAE,

/.ZAED=ZCAE,即NAEC=NC4E,

•二AC—CE，

**.AC=CE-AE，

・•・AACE为等边三角形.

【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定.熟

练掌握旋转前、后的图形全等是解题关键.

19.己知抛物线y=V+公+c经过点。(0,-3)和点£>(4,5).

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线与x轴的交点是A,B；求VA8C的面积.

【答案】（1）y=x2-2A-3

(2)SMBC=6

【解析】

【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与图形面积综合.

(1)利用待定系数法求出解析式即可;

⑵首先求出A(-1,O),8(3,0),得到A5=4,OC=3,然后代入面积公式计算即可.

【小问1详解】

解：把点。(0,-3)和点£)(4,5)代入y=x2+bx+c•得

-3=c

5=16+4/？+。

解得《

b=-2

所以抛物线的解析式为：y=x2-2x-3.

【小问2详解】

把y=0代入了二产一级-3,

得0=/一2X一3，

解得X=-1,x2=3,

•.•点A在点8的左边，

.•.点A（—1,0）,点8（3,0）.

连接AC、BC,

S=-ABOC=-X4X3=6.

△ARC八22

20.如图所示的平面直角坐标系与网格纸，其中网格纸每•格小正方形的边长都是坐标系的

1单位长度，VA6c的顶点坐标为A（2,5）,3（2,1）,C（4,2）.

以A

（1）画出VABC关于原点成中心对称的图形△44G：

（2）画出VA3C绕点B逆时针旋转90°后的△4BC2:

（3）直接写出点G的坐标为;点。2的坐标为.

【答案】（1）见解析（2）见解析

（3）（-4,-2）,（1,3）

【解析】

【分析】本题考查了坐标与图形、图形平移、旋转作图：

（I）根据中心对称图形的作法作图即可.

（2）先把VA8C绕点8逆时针旋转90。后的点4，G*J坐标找出来，再连接即可作答.

（3）根据图形，直接读取，即可作答.

【小问I详解】

解：如图所示：△44G即为所求；

解.：如图所示：即为所求；

【小问3详解】

解.：由图可知：点G的坐标为（7，-2）；点C?的坐标为（L3）,

故答案为：（~4，-2）,（1,3）.

21.已知关于x的一元二次方程幺+（2左一1）X一左一1二0.

（1）求证：无论Z取何值，此方程总有两个不相等的实数根：

（2）若方程有两个实数根%、£，且内+々-4.耳为=2,求女的值.

【答案】（1）证明见解析

(2)k=-\.5

【解析】

【分析】(1)利用根的判别式判断即可：

(2)利用根与系数的关系式得到百+9=一(2&-1),』&=一女一1，代入计算即可.

【小问1详解】

证明：VA=(2Z:-l)2-4xlx(-Z:-l)

=4二+1一必+4攵+4

=4/+5>0

・•・无论A取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

【小问2详解】

解：由根与系数的关系得出：与+苍=一(2%-1),%±=—攵-1,

由百+x2-4x^2=2得：_(2攵-1)-4(-攵-1)=2

解得：k=-\.5.

【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，正确掌握根的判别式的

三种情况及根与系数的关系式是解题的关键.

22.如图，八8是0。的直径，点C，£)是。。上的点，旦”>〃8C,4c分别与8£),

。。相交于点E，F.

(1)求证：点。为弧4c的中点；

(2)若DF=4,AC=16,求。。的直径.

【答案】(I)证明见解析

(2)20

【解析】

【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，勾股定理:

(1)根据直径所对圆周角是直角可得NC=90。，由平行线的性质可得

ZOM=ZC=90°,从而可得OF_LAC,然后利用远径定理即可解答；

(2)利用垂径定理可得A尸=，AC=8,然后在RtVAR)中，利用勾股定理进行计算即

2

可解答.

【小问I详解】

证明：〈AB是。。的直径，

・•・ZAC3=90。,

•：OD//BC,

•••NOE4=NC=90。，

工OFLAC,

••AD—CD»

，点。为AC的中点；

【小问2详解】

解：VOF±AC,DF=4,AC=16,

・•・AF=-AC=-xl6=8,

22

在RtVA/7。中，AO2=AF2+OF2>

：,OA2=S2+(OD-DF)2,

・•・。片=⑨+缶一可?

：,OA=[0,

・••。。的直径为20.

23.如图，用一块长为50°m、宽为30c〃?的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四

个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为工。儿

-£)...........C-

II

II

\AB\

I...........I

(1)底面的长AB=c〃?，宽BC=cm(用含x的代数式表示)

(2)当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子的容枳.

(3)该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不

存在，说明理由.

【答案】(I)50・2x,30-2A-；(2)当川=10时，盒子容积为3000。小(3)当尸僧时，

S有最大值，最大值为800.

【解析】

【分析】(1)利用长方形的长与宽以及在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，得出AB

与BC的长即可；

(2)利用(1)中长与宽以及盒子的底面积为300cm2时得出x的值，即可的求出盒子的容

积；

(3)利用盒子侧面积为:S=2x(50-2x)+2x(30-2x)进而利用配方法求出最值即可.

【详解】(1)・・•用一块长为50。〃、宽为30cM的长方形铁片制作一个无盖的盒子,在铁片的

四个角截去四个相同的小正方形，

设小正方形的边长为工。小

・••底面的长43=(50-20cm,宽BC=(30-20cm,

故答案为50-2x,30-2A；

(2)依题意，得：

(50-2x)(30-2x)=300

整理，得：X2-4Ox+3OO=O

解得：M=10,照=30(不符合题意，舍去)

当片=10时,盒子容积=(50-20)(30-20)xlO=3(X)O(cm3)；

(3)盒子的侧面积为：

S=2x(50-2v)+2x(30-2x)

=1OO.v-4/+60犬-4x2

=-8A2+160A=-8(A2-20.x)

=-8[(x-10)2-100]

=-8(x-10)2+800

V-8(x-10)2<0,

:.-8(x-10)2+80()<800,

.••当x=]()时，S有最大值，最大值为800.

【点睛】此题主要考查了•元二次方程应用以及二次函数的应用，想象出立体图形的形状

进而表示出侧面积是解题关键.

24.如图，已知抛物线y=—«?+〃a+加一2的顶点为A,且通过点8(3,-3).

(1)求顶点A的坐标；

(2)点。为直线上方抛物线.上一动点，求VA8C面积的最大值；

(3)在抛物线上存在一点“，使得/PAR=45。，求点。坐标.

【答案】(1)A(l,l)

(2)VA8c面积的最大谊为1

⑶尸(-2,—8)或P不6

【解析】

【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求解解析式，二次函数的

图象和性质，全等三角形的判定和性质，顶点式的运用，学会数形结合的解题方法，即可.

(1)把点8(3,-3)代入抛物线y=—犬+〃xx+m-2，即可；

⑵设直线A8的解析式为：y=丘+人(%。0),求出解析式；当直线A8向上平移，与

抛物线仅一个交点时，V48C面积有最大值，且平移的解析式为y=-2x+d,求出点。的

坐标,再根据S&ABC=§»DC+SWD,即可.

(3)①过点B作BQJ.BA交AP于点Q,过点8作6口〃丁轴，分别过点A,Q作

AG上GH于点G,QH上GH于点H；得到NAGB=N43Q=N8〃Q=90。，根据全

等三角形的判定和性质，则△ABGgaBQH,求出4GBG=QH,得到点。的

坐标，设直线AQ的解析式为；y=ax+b(a^0),求出解析式，联立抛物线，②延长

交A6于点过点3作8K_LRK交于点K,且8K||X轴，同理得到△/?8Kg△B。”，

求出Q〃=8K=4,BH=RK=2,得到点R的坐标，设直线AR的解析式为：

），=，氏+〃（〃工0）,求出解析式，联立抛物线，即可.

【小问1详解】

二•抛物线y——x2+〃zr+〃2—2的顶点为A，且通过点6（3,—3）,

-3=-32+3m+/2，

解得：〃z=2,

・♦.抛物线为：y=—%2+2x=—(x—1)~+1»

••・顶点

【小问2详解】

•・・A(1/)，8(3,-3),

，设直线A8的解析式为：丁=米+人(々。0),

.[\=k+b

，\-3=3k+b，

k=-2

解得：

b=3

・•・直线AB的解析式为：y=-2x+3,

当直线A8向上平移，与效物线仅一个公共点时，VA8C面积有最大值，且平移的解析式

为y=-2%+〃,

:.—2x+d=—x2+2x，

整理得：/一4工+[=0，

AA=0=16—4J=0,

解得：d=4,

・•・平移直线的解析式为：y=-2x+4,

••一2JV+4—一+2,v>

解得：玉二占=2,

・•・点。（2,0）,

设直线A3与x轴的交点为点D，

0=-2x+3,

①过点“作3Q_LB4交AP于点Q，过点8作G”〃丁轴，分别过点A,Q作AG_LG”于

点G,QH上GH于点H,

:.ZAGB=/ABQ=/BHQ=90°,

,:NABG+/QBH=90。,NBQH+/QBH=90。,

・•.ZABG=/BQH,

•/NRAB=45。,

/.BA=BQ,

在△48G和力。”中，

ZAGB=ZBHQ

NABG=ZBQH,

AB=BQ

:・dABG、BQH,

:・AG=BH=3—\=2,8G=。”=1-（-3）=4,

工点Q（-1,-5）,

设直线A。的解析式为：），=奴+〃（。工0）,

1=k+b

工直线A0解析式为：y=3x-2,

•••点<在直线A。上，

・•・直线的解析式为：y=3x-2,

联立抛物线）=一42+2%,

••—+2x=3x—2.

解得：玉=1（舍去），&二-2,

・・・点田-2,-8）；

②延长Q8交A鸟于点A,过点8作BKJ.RK交于点K，且8K||x轴

:,QH〃BK,ZBKR=90°,

・•.NRBK=NBQH,

vNA乙。=90。.

・•・ZAP/?=90°,

•・•鸟AB=45。，

:•AB=BR,

QB=BR,

在ARBK和LBQH中,

ZRKB=NBHQ

・•.NRBK=ZBQH,

RB=BQ

:.4RBKABQH,

：,QH=BK=4,BH=RK=2

・••点R（7,T）

设直线AR的解析式为：），=加+。（〃工。）,

\=k+b

-1=7+/?

k=--

解得；/3，

b=匕

3

14

，直线4Q的解析式为：y=——x+-,

JJ

•・•点鸟在直线AQ上

14

•••直线人传的解析式为：y=--x+—,

，联立抛物线y=-x2+2x»

,cI4

.•—x2+2x=—XH—,

33

4

解得：X=1（舍去），x,=-,

二点呜（J;

（48、

综上所述，点P（—2,—8）或P.

9/

BD

(1)如图1,点。在BC边上，且NAO8=2NC.求一的值；

CD

(2)如图2,点E在VABC的外部，且2N8EC—NAEB=270°.求证：BE=&E,

(3)若尸是平面内一点，且NAPB=90。，N8PC=150°,请直接写出CC的值为______.

BP

【答案】(1)­=2

CD

(2)证明见解析(3)75或