2026高三数学一轮复习：对数与对数函数 讲义+课时练

2.8对数与对数函数

I.理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.

2.了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，理解对

数函数的单调性，掌握对数函数图象经过的特殊点.

3.知道对数函数y=logd与指数函数)，="互为反函数(〃>0,且《工1).

俺备知识回顾自主学习•甚&向扣「

教材回扣

1.对数的概念

一般地，如果炉=M">。，且。中1)，那么数x叫做以〃为底N的对数,记作x=k*N，

其中〃叫做对数的底数,儿叫做真数.

2.对数的性质与运算性质

(1)对数的性质：logj=。，10gM=j_,小，=且(。>0,且4#1，NX)).

(2)对数的运算性质

如果〃>0,且aHl,M>0,N>0,那么

①loga(MM=lo*“A/+：oq〃N：

②1。&可=—lo%N；

③loguAf'=川o/M(〃eR).

3.换底公式

Io—­=器；3>0,且“Wl；c>0,且cWl；b>0).

4.对数函数的概念

一般地，函数v=lo或述(〃>0,且aW1)叫做对数函数,其中工是自变显，函数的定义域是

(0,十8).

5.对数函数的图象及性质

a的范围0<«<1a>\

1\产号】.v=log/

N。，。)

图象

。。:(1,0)x

’.v=log.Jr:

性定义域(0,+8)

质值域R

定点过定点“，0),即x=_L时，y=Q

单调性在(0,+8)上是减函数在(0,+8)上是增函数

6.指数函数与对数函数的关系

一般地，指数函数尸且。工1)与对数函数产1%必”0,且。工1)互为反函数,

它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线匕工对称.

教材拓展

1.换底公式及其推论

(l)logJ>log/=1,即b均大于0且不等于I).

(2)logz“疝"='log法(。，)均大于OoWl,mWO).

(3)logJ>logglog,d=log/(〃，byc均大于()且不等于1,，/>()).

2.对数函数的图象与底数大小的关系

如图，作直线)，=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故

0<c<d<\<a<b.

….....

、^.v=logd

由此我们可得到此规律：底数不同的对数函数图象在第一象限内与直线y=l相交，交点

从左到右对应的底数逐渐增大.

基础检测一

1.判断(正确的画“J”，错误的画“X”)

⑴函数y=log2(x+l)是对数函数.(X)

)+不

(2)函数y=ln■与y=ln(1+x)—In(1—x)的定义域相同.(V)

(3)当x>l时，若log">log以，则。。.(X)

(4)函数y=log加与y=logj的图象重合.(J)

2

2.(人教A版必修第一册Pl41Tl3(1)改编)设。=1。部26"=10go.36,c=logo.46,则(A)

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

解析：方法一如图，作出函数yi=logo",Y2=logo.6,y3=logo4t的图象，由图可知，

当x=6时，logo.26>logo.36>logo.46,即故选A.

6

方法二易知0>log60.4>log6().3>k)g60.2,所以]O；O4Vlog：0.3<log：0.2，即心物46V

logo_36vlogo.26,即故选A.

3.若函数)，=10&仆-2)+4(4>0,且”W1)的图象恒过点A,则点4的坐标为(3,4).

解析：当％=3时,y=log«l+4=4,，函数y=lo&(x-2)+4的图象恒过点4(3,4).

4.(人教B版必修第二册P28练习AT5改编)已知函数/)=2+k)g4•的定义域为[1,9],

则函数而)的值域是12、4].

解析：・・」WxW9,..・log31Wlog3xWlog39,即0Wlog%rW2,即2W«r)W4,则函数人1)

的值域为[2,4].

2,n3

5.计算：e-log49-Iog278+lg4+ig25=10.

解析:原式=”9—Iog231og32+lg100=9—1+2=10.

母键能力提升互动探究•考点相讲

考点1对数的运算

【例1】计算下列各式的值：

(1)log535—21og[+log57—log51.8；

(2)2(lgV5)2+lg^2X1g5+^(lgV2)2-lg2+l.

【解】(I)原式=Iog，5X7)—2(log57—log53)+log57-log5a=log。+logs7-21og57十

210g$3+logs7—210gs3+log55=210gs5=2.

(2)原式=]gV2X(21g^2+lg5)+〈(lgp-l)2=lgV2X(lg2+lg5)4-I-lg小=lg

V2+l-lg^2=1.

-------------------------------1

解决对数运算问题的常用方法

(1)将真数化为底数的指数暴的形式再进行化简.

(2)将同底对数的和、差、倍合并.

(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用

及变形应用.

lg3

【对点训练1】⑴计算：|logV^100-log54+log29x10g38-10=5.

=-l.

规律总结

对数函数图象的识别及应用方法

(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标粕的交

点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法京解.

【对点训练2]⑴函数/U)=-b)及g(x)=bx+a,则＞=段)及y=g(x)的图象可

能为(B)

解析：令/=-当0＜〃＜1时，/=匕＞(),单调递减，因为函数y=log/单调递减,

所以危)=log〃T工单调递增且定义域为(b,+°°),此时直线g(x)=Z?x+a在y轴上的我距在

(0,1)上，排除C.当A1时，/=匕＞0,单调递减，因为函数)，=1。&『单调递增，所以凡6

=1°&-一7单调递减且定义域为("，+8),此时直线,g(x)=/»+a在y轴上的板距在(1,+°°)

XD

上，排除D.在A,B中，由y=g(x)的图象知X0,则/(x)=-logaa-〃)=0时，x=l+*l,

排除A.故选B.

(2)(2024.云南曲靖一模)在第一象限内，矩形A8C。的三个顶点A,B,。分别在函数y

=10g^.l；丫=),),=G毁的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若点A,8的纵坐

标都为2,则点。的坐标是O).

解析：由题意知，点A,B的纵坐标都为2,则8点的横坐标为8,即C点的横坐标为8,

所以A点的横坐标为(坐)”=孑，C点的纵坐标为(坐)=£[，由四边形A4C。为矩形知。点

的坐标是停,给.

考点3对数函数的性质及应用

命题角度1比较对数式的大小

【例3】（2024•天津北辰区三模）已知4=0.53/，-=iogo.90.3,c=logn，则扇b,c的

,I

3

大小关系为（D）

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<a<cD.a<c<b

【解析】因为）=0.5、在R上单调递减，所以0.5浦<0.51=£,即因为y=logo.ox在

（0,I8）上单调递减，所以logu,y0.3>logu.9（）.9==1,即>>l.c=log受=k>gj2,因为），=k>gK在

3

（0,十8）上单调递增，所以!=1083小<1。832<10833=1,即.综上所述，.故选D.

命题角度2解对数不等式

[例4]若log2（2—x）>logo..可士，则实数x的取宜范围是©」）.

【解析】因为log2（2—xAlogo。所以不等式化为log2（2-x）>k）g2（3x-2）,<y=

2—x>3x—2,

10g2X在（0,+8）上是增函数，所以log2（2—x）>log2（3x—2）<=>彳

[3x—2>0,

解得我vl,即x的取值范围是（|,1）.

命题角度3对数函数性质的综合应用

【例5】已知函数咒¥）=10&仆+2）+]0耿（1一刀）（〃>0,月.。=1）.

（1）当。=2时，求函数«r）的单调区间.

（2）是否存在实数小使得函数於）在区间[—1，*L取得最大值2?若存在，请求出。的

值；若不存在，请说明理由.

x+2>0,

【解】（1）由题意可得1八解得一24V1,即函数7U）的定义域为（-2,1）.

U—Q0,

2

当a=1时，fix）=log2（x+2）+log2（1-x）=log2（-X-A:+2）,

令f=-f—x+2,则y=log2/,易知函数y=log2/在（0,+8）上单调递增.

函数，=-x2—x+2图象的对称轴为直线x=一；,当x£（—2,1）时，函数，-x+2

在（-2,一g上单调递增，在一；，1）上单调递减.由复合函数的单调性可得函数7U）的单调

递增区间为（一2,-1],单调递减区间为一=1）.

（2）存在实数〃，使得函数./U）在区间[—1,5上取得最大值2.

fix）=log<Xx+2）4-log^A1—x）=log"（一f—x+2）3>0,且aWl）.

（if9

令），=一97+2=_卜+引+不

由一IWx韦3，得1而1力常9，

则产一（x+0+3的值域为保，羽

当0V4V1时，y=loguX在国T上单调递减，所以函数於）在［-1,T上的最大值为

10ga||,则10g晟=2,/=1|="=*y1,满足题意.

当。>1时,y=log亦在根,日］上单调递增,

319993

［一1,上的最大值为k）g,q,则lo&q=2=/=z=a=5>l,满足题

意.

综上所述，a的值为斗^或微.

,规律总结

1.比较对数式大小的常见类型及解题方法

|底数与真数都不同一T常借助1式）等中间量进行康

2.求解对数不等式的两种类型及方法

（1）1。曲A>log/：借助y=logd的单调性求解，如果〃的取值不确定，需分与0<。

<1两种情况讨论.

（2）\ogaX>b：需先将〃化为以。为底的对数，再借助y=logd的单调性求解.

3.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须

弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关

系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数

形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.

【对点训练3】（1）（2024・湖北武汉二模）已知函数yk）=log5⑷-2）在［1,+8）上单调递

增，则。的取值范围是（C）

A.（1,+8）B.［1112,+8）

C.（2,+8）D.［2,+8）

解析：因为凡6=1。85（〃-2）在［1,+8）上单调递增，所以且。-2>0,所以。>2.

故选C.

「1■

（2）函数段）=（10g2x+10g24）（10g2x+10g22）的定义域为4.

①设/=10g2X，求，的取值范围；

②求函数人幻的最大值与最小值，并求出取最值时对应的X的值.

解：①因为，=Iog2X在;，4上单调递增，所以f=log2xw[log2；,log24=[—2,2],所

以/的取值范因为[-2,2].

2

题幻=（log2文+2）（log2x+l）=（log2x）+310g2文+2,

令f=log2X,f£[-2,2],

则函数变形为产尸+3什2=（叶号2—1，

当，=一/时，），min=—4，此时10g2X=12>解得X=2~~2=^",

当，=2时，>'max=12,此时10gzX=2,解得X=4.

所以ZU）的最大值为12,此时x的值为4,7U）的最小值为一4，此时x的值为乎.

课时作业13

/乎基础巩固.

1.（5分）（2024•河北邯郸三模）函数八丫）=10加2（1—『）的递增区间为（C）

A.（-1,0]B.（-1,1）

C.[0,1）D.[0,+8）

1—.R>o,

解析：由函数I/U）=logo.2（l—X2）,则函数府）的递增区间满足I、解得OWxvl,

GO,

所以函数./U）的递增区间为[0,1）.故选C.

2.（5分）（2024•广东佛山模拟）已知。厉勺，1。陵机=2,log即=3,则log®〃=（D）

A

-16D-・15

56

C-D

6•5一

解析：由题,意知，〃2>0,«>0,Z»0,因为log”,?一2,IG&JH-3,所以由换底公式可得log〃.

=；,log〃Q=g,又因为log,/+log〃Q=log,Mb（abWl）,所以log,Mb=J+；=V，所以由换底公

式可得log加.故选D.

3.（5分）当时，在同一平面直角坐标系中，函数），=〃r与y=log△•的图象是（A）

解析：当时，函数与y=lo&x分别在各自的定义域内单调递减、单调

递增，故可排除B,C,D,且函数)，=〃一'=(：『与)，=k>g△•图象分别过定点(0,1),(1,0),

经检脸，A符合题意.故选A.

4.(5分)(2024・天津卷)若。=42°3,-=4.2%c=log4.20.2,则mb,c的大小关系为(B)

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

解析：因为y=4.2'在R上递增，JL-0.3<0<0.3,所以0<4203v4.2°v4.203,所以

O303

O<4.2-<1<4.2,即OVKlv。，因为>'=log4,ir在(0,+8)上递增，且0<0.2<1,所以

Iog4.20.2<log4.21=0,即c<,3,所以b>a>c.故选B.

5.(5分)(2024•江西九江二模)若函数/U)=]n(or+1)在(1,2)上单调递减，则实数。的取

值范围是(C)

A.(-8,0)B.(一白，0)

C.-寺，0)D.[-1,0)

解析：函数九r)=ln(ar+l)在(1,2)上单调递减，由函数y=lnx在定义域内单调递增，

4<(),1

所以函数g(x)="x+1在(1,2)匕单调递减比恒大于0,则有<、解得一5W〃<0.

g(2)=2a+l±0,'

故选C.

6.(5分)(2024•江西南昌三模)若©^logza,/=2工则正数〃，h,c大小

关系是(B)

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

解析：由Q)=log2«,得“为y=0与y=log2x图象交点的横坐标，由Q)=b2,得b

A3.2Z|\CZ|\XI

®与y=/图象交点的横坐标，由C2=2-C,即c=(j)，得c为与y=上图

象交点的横坐标，作出)，=(；),y=log2X,y=f,)，=#的图象如图所示，

由图可知，.故选B.

7.(6分)(多选)已知函数yWngr+x+M(〃代R),则(AC)

A.当尾时，於)的定义域为R

B.y(x)一定存在最小值

C../U)的图象关于直线工=-3对称

D.当机21时，段)的值域为R

解析：对于A,若鬲，则/=1-4〃?<0,则二次函数尸f+x+/〃的图象恒在x粕的上

方，即f+x+/〃>0恒成立，所以4r)的定义域为R,故A正确；对于B,若〃?=0,则儿r)

=ln(『斗刈的定义域为(-m,-l)U(0,4e),值域为R,没有最小值，故B错谈.；对于C,

由于函数y=ln(/+〃?一1)为偶函数，其图象关于y轴对称，将该函数的图象向左平移g个单

位长度即可得到函数,/(x)=ln［((+；)+〃?一；=ln(/+x+〃?)的图象，此时对称轴为直线工

=-1,故C正确；对于D,若〃?21,则y=『+x+〃?=lj+g+加一(沾，故/U)的值域不

是R,故D错误.故选AC.

8.(6分)(多选)已知函数/U)=lnC/U+1+X)+2A+g(x)是定义在R上的偶函数，且g(x)

在(-8,0］上单调递增，则下列判断正确的是(AD)

A.火。板。)|是奇函数

B.府)|・g(x)是奇函数

C.加(2025))弧(2026))

D.g(A2025))>g(A2026))

解析：易知+1+A>0恒成立，所以./U)的定义域为R,令1=.做+1+x,因为y=In

，单调递增，1=日/+l+x在［0,+8)上单调递增，所以y=ln(df+1十外在「0,十8)上单

调递增，又在［0,+")上单调递增，所以儿r)在［0,+8)上单调递增.因为人一月+人的

=ln+1—x)-2?+ln(［/+1+x)+2?=0,所以｛r)为奇函数，所以函数/⑴在(-8,

+8)上单调递增.因为平㈤是定义在R上的偶函数，E在(-8,0］上单调递增，所以g(x)

在［0,+8)上单调递减.对于A,因为人一。磔一处|=一人幻也(知，所以儿。根。)|是奇函数，

A正确；对于B,因为火-x)卜g(—x)=l/U»ga),所以IA力卜g(x)是偶函数,B错误;对于C,

因为g(2025)>g(2026),所以人g(2025))习匕(2026)),C错误；对于D,因为0=贝0)勺(2025)勺(2

026),所以g(/(2025)026)),D正确.故选AD.

9.(5分)(2024.全国甲卷)已知且康一点=一|,则°=%.

解析：由此厂益彳=益厂基2"=一|，整理得(log24-51og2a-•6=()=log2a=-l

或Iog2〃=6,又a>\,所以Iog2«=6=log22ft,故4=26=64.

10.(5分)(2024・湖北武汉二模)已知函数府)=叫2(4'+2川+1)一心若1)勺(。+3),

则实数a的取值范围为(二|工<).

4''十2m+1

解析：由题意可得/lx)=log2=log2(2'+2T+2),定义域为R,/-x)=log2(2

-*+2'+2)=凡0,即_/U)为偶函教，在(0,+8)上，令，=2'+2一'+2,且莺>磔>0,则八一h

=2+2_沏_级2-2_12=(2q_212)(1_2,+J，由2Al>Zt2,1一元上故人即函

数/=2'+2-”+2在(0,+«>)上递增，而y=log”在定义城上递增，故儿r)在(0,+8)上递增，

所以,/(24—1)j4+3),可得|2a-l|v|a+3|=(2a—l)2V3+3>,故3a2-10a-8=(3«+2)(a-

2

4)<0,可得一产v4.

1,工

11.(16分)已知函数4x)=log暮log彷—.

“16

(1)解关于x的不等式儿。>3；

(2)若存在工£[2,4],使得不等式,/(2x)—01ogM+120成立，求实数〃的取值范围.

解：⑴”)的定义域为(0,+8),y(x)=1log2j21og2-j^=(log2J-2)(log2X-4)=(log2，v)2-

610gM+8,

设logM=K，eR),则不等式可化为产一6,十8h3,即产一61十5X),

解得YI或/>5,即log2.v<1或log2A>5,解得0<x<2或A>32.

所以不等式的解集为{30，<2或『>32}.

(2)因为，2r)—a」og2x+120,所以。ogM—I)-(log2-t—3)—«log2.r+I20,

设Iog2X=r,则f£[l,2],

4

原问题化为存在/£[1,2],产一41+4一画20,即在/£[1,2]上有解.

因为)，=,+?-4在口.2]上单调递减，所以(+?一4=1,所以aWl.

■i\</max

12.(17分)已知函数凡¥)=log〃(『一ai+4)(a>0且aHl).

(1)当x£(0,2)时，性数_/U)恒有意义，求实数。的取值范围.

(2)是否存在这样的实数小使得函数儿丫)在区间[1,2]上为减函数，且最大值为1?如果

存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.

解：(1)当工£(0,2)时，函数/U)恒有意义，

4

所以X2—av+4>0在(0,2)上恒成立，即。令+1在(0,2)上恒成立.

44A—4(x+2)(x—2)

令g(x)=x+1，x£(0：2),g\x)=1----p----<0,

4

所以g(x)=x+;在(0,2)上单调递减，所以gQ)>g(2)=4,所以〃W4.

又。>()且“XI,所以〃的取值范围为(()，1)U(1,4］.

(2)不存在.函数人v)在区间［1,2］上有意义，则％2—分+4>0在"，2］上恒成立.

由(1)同理可知，。£(0,1)0(1,4),

又函数./(幻在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为1.

当。£(0,1)时，y=log△,为减函数，

则)，=/一级+4>0且在［1,2］上单调递增，

4W2

5

所以，即<-

a-2

log“(5-a)=l,

故不存在这样的实数。；

当,4)时，y=log<4为增函数，

则y=『一ax+4〉0且在［1,2］上单调递减,

注2,

所以r即，

logu(5-d)=1,

故不存在这样的实数。.

综上，不存在这样的实数4,使得函数./(X)在区间［1：2］上为减函数，且最大值为1.

E素一提升4

13.(5分)(2024・北京卷)已知(力5)，3，)，2)是函数