2026高三数学一轮复习：空间直线、平面的垂直 讲义+课时练

7.4空间直线、平面的垂直

考试要求

T

1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.

2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用.

陛备知识回顾自主学习•基啾回扣、

教材回扣

1.直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线/与平面。内的廷堂二委直线都垂直，我们就说直线，与平

面a互相垂直，记作LLa.

(2)判定定理与性质定理

项目文字语言图形语言符号语言

Ua

如果一条直线与一个

1〃Ua

判定平面内的两条相交直mfyn=P

定理菖垂直，那么该直线7I±m

与此平面垂直/_L/

=>/±a

ah

性质垂直于同一个平面的

□6Ja)

定理两条直线平行

27a//h

(3)直线和平面所成的角

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成

的角.一条直线垂直于平面，它们所成的角是会一条直线和平面平行，或在平面内，它们

所成的角是3

②范围：［o,5.

2.平面与平面垂直

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任

取一点O,以点O为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA

和OB构成的NAOA叫做二面角的平面角,二面角的平的角的取值范围是10,兀］W.

(2)判定定理与性质定理

项目文字语言图形语言符号语言

如果一个平面过另一

判定

个平面的垂线,那么4

定理

这两个平面垂直1a_LB

两个平面垂直，如果aU

一个平面内有一直线anB=a

性质%

垂直于这两个平面的/_La

定理

交线,那么这条直线£(JIUB,

与另一个平面垂直=>/J_a

3.空间距离

(1)点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这

个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离W.

(2)直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任段二底到这个平面的

距离，叫做这条直线到这个平面的距离.

(3)两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一

个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

4.垂直、平行关系的相互转化

回教材拓展

1.三垂线定理

若平面内的一条直线加平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂

直.

2.三垂线定理的逆定理

若平面内的一条直线知平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.

基础检测

W------

1.判断(正确的画7”，错误的画“x”)

(1)若直线/与平面"内的两条直线都垂直，则/_!_/(x)

(2)若直线a_La,〃_La,则。〃〃.(、)

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(x)

(4)若a邛,贝ija〃a.(x)

2.(人教A版必修第二册P151例3改编)已知直线。，〃和平面a,若。〃a,则*_Ld'

是7_11的(B)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：必要性：若则存在直线〃?u“，a//m,由于8_La,mua,得。_L/%因为。

_L"z,a//m,所以必要性成立；充分性：如图，若平面ABCD为平面a,直线A\B\

为直线。，直线BiG为直线"满足“〃a,〃_!_〃，但81cl〃平面A4CO,即/?〃a,充分性不

成立.所以“_La”是，_La”的必要不充分条件.故选B.

3.（人教A版必修第二册P158例7改编）如图，以垂直于矩形A8CQ所在的平面，则

图中与平面PCQ垂直的平面是（C）

A.ABCDB.平面PBC

C.平面PADD.平面PAB

解析：因为以_1_平面/WCO,COu平面所以以_LCQ,由四边形ABC。为矩形

得CO_LA。，因为以"AO=A,所以COJ_平面布。.又CQu平面PC。，所以平面/<7）_1_平

面BAD故选C.

4.（人教A版必修第二册P162练习T1改编）已知直线a,b,/和平面a,则下歹J命题

正确的是（B）

A.若。〃b,a//a,则。〃a

B.若a〃人，aCa,b*a,a//a,Mb//a

C.若/_!_〃，lA-braua,bua,则/-La

D.若〃_!_/?,a_La,则〃〃a

解析：若a〃b,a//a,则可能〃u%所以A错误：若。〃儿Ma,b«,a//a,则小〃

a,所以B正确：若/_La,/_L〃，aua,bua,当。〃b时，/与a不一定垂直，所以C错误；

若q_LA,ala,则可能。ua,所以D错误.故选B.

直键能力

提升互动体完弋点精讲「

考点1直线与平面垂直的判定与性质

【例1】如图，在三棱柱ABC-AliG中，点当在底面4BC内的射影恰好是点C.

（1）若。是AC的中点，且DA=DB,求证：AB_LCG；

（2）已知以G=2,BiC=2小，求△BCG的周长.

(2)求证：4NJ_平面尸BM；

(3)若AQJ_PB,垂足为Q,求证：NQ1PB.

解：为。。的直径，

又人M=8M=2,

又勿垂直于。。所在的平面，PA=2,

Vp.ARM=彳5AARM-B4=§X2x2=§,

,:Q为PB的中点，

_1_i4_2

・•VQABM-91vZp-ABW-

(2)证明：由(1)知AM_LBM.

又以_L平而ABM,8Wu平而ABM,

：,PALBM.

51PAQAM=At%，AMu平面附M,

.•.4M_L平面PAM.

又ANu平面附M,，8M_LAN.

义AN1PM,且8MnPM=M,BM,尸Mu平面PBM,・・・AN_L平面P8M.

(3)证明：由(2)知AN_平面PBM,

•・・P8u平面P8M,；・ANtPB.

又AQUB,ANQAQ=A,AN,AQu平面ANQ,・・.PBJ_平面ANQ.

大NQu平面ANQ,：.NQ1PB.

考点2平面与平面垂直的判定与性质

【例2】如图，在三棱柱A4C-A3C1中，侧面461cle为菱形，

ZCBBi=60°,AB=BC=2,AC=A8i=4I求证：平面ACS_L平面88CC

化、、、

【证明】如图，连接8G,交8c于点。，则。为8G,81c的中点，连接AD

因为AC=4Bi,所以AO_L8C.

因为侧面881GC为菱形，NCBBi=60。,AB=BC=2,AC=ABi=y[2,

所以BD=3,40=1,所以从外二胡炉+人。2，即力。_1_3。.

因为8|。。8。=。，B\C,8Ou平面8B1GC,所以4D_L平面BBCC.

因为4Du平面AC办,所以平面ACS_L平面BBiGC.

BB{

,规律总结

1.判定面面垂直的方法

(1)面面垂直的定义.

(2)面面垂直的判定定理.

2.面面垂直性质的应用

(1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的

直线

(2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.

【对点训练2】如图，在四棱锥2A8C。中，底面A8CO为矩形，平面％。_L平面ABC。,

PA±PD,PA=PD,£为的中点.求证：

(1)PE±BC；

(2)平面平面PCD.

证明：⑴因为%=PD,E为4。中点，所以尸

又因为平面外平面ABC”平面以DC!平面48CQ=A。，PEu平面附D,所认PE

_L平面ABCD.

又BCu平面人4co，所以PE_L8C.

(2)由(1)知，PE上平面ABCD,因为CQu平面48C。，所以PE工CD.

在次巨形ARCD中，AAICD.

又因为ADCPE=E,AD,P£u平面以。，所以。。_1_平而％D

又APu平面PAD,所以CO_LAP.

因为M_LP。，CDQPD=DtCD,POu平面尸CO,所以以J_平面尸CD.

因为%u平面孙氏所以平面R18_L平面尸CD.

考点3垂直关系的综合应用

【例3】如图，在囚棱锥P-A4C。中，底面48CO是ND48=60。且边长为。的菱形，

侧面附。为正三角形，且其所在平面垂直于底面A8CD

⑴求证:ADLPB.

(2)若E为棱BC的中点，则棱PC上是否存在一点尸，使平面OE/_L平面ABCD?若存

在，证明你的结论；若不存在，请说明理由.

【解】(1)证明：设G为AO的中点，连接PG,BG,如图.

p

AB

VAPAD为正三角形，

PGLAD.

在菱形ABC。中，ZDAB=60°,

•••△ABO为正三角形，又G为AO的中点，

：，BGLAD.

入BGCPG=G,BG,PGu平面PGB,

••・AQ_L平面PGB.

♦：PBu平面PGB,：,ADLPB.

(2)存在，当尸为PC的中点时，满足平面QE凡L平面48CD

证明如下：在"BC占,EF//PB.

又功u平面。所，PBU平面DEF,

・・・P8〃平面DEF.

在菱形ABCO中，GB//DE,

又OEu平面DEF,GBC平面DEF,

・・・G8〃平面DEF,

义PBu平面PGB,GBu平面PG优PBC\GB=B,，平面DEF〃平面PG8.

由(1)得PG_LA。，又平面力。_L平面ABC。，且平面用OCI平面A8CO=A。，PGu平面

PAD,

.・.PG_L平而ABCD,而PG仁平而PGB,

・•・平面PGB_L平面ABCD,

：.平面DEFL平面ABCD.

-----------------------------------------------------------------1

1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

2.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系

的相关定理、性质进行推理论证.

【对点训练3】如图，在三楂锥8c中，平面出CJ•平面A8C,PA±AC,PA=AB

=BC=1,户。=小，M为AC的中点.

B

(1)求证：平面P8C_L平面RW.

（2）线段PC上是否存在点M使得尸C_L平面BMN?若存在，求定的值；若不存在，请

说明理由.

解：（1）证明：因为平面以C_L平面48C,附u平面以IC,PALAC,平面以CD平面A5c

=AC,所以以_L平面A8C,又8Cu平面48C,所以出_8C,又以=1,PC=®PALACf

所以40="。2一必2=小,

又A8=8C=1,所以AC2=4B2+8C2,所以AB_L8C,又以_L8C,PA,48是平面以8

内的两条相交直线，所以8。_1_平面以&又8Cu平面PBC,所以平面尸3CJL平面以B.

（2）存在.过点“作MNJLPC,垂足为N,如图，连接N8,

由（1）知网1.平面ABC,因为MBu平面ABC,所以附JLMB,

又M为人C的中点，AR=RC=\,

所以M8_LAC,51PAYMB,PA,AC是平面布C内的两条相交直线，

所以例3_L平面以C,又PCu平面%C,所

以M3_LPC,又MNLPC,MB,MN是平面3MN内的两条相交直线，所以PCL平面

BMN,

PA_1_^_MN

由已知得

sinZPCA=1=忑=3=记

又MC=^C=芈，成芈MN=%

2

所以行=,（等卜陶2邛,

所以PN=PC—OV=4§—牛=斗，所以乔=事

JJ■J

PN2

即线段PC上存在点"使得PCL平面BMN,且讦=%

1V-*D

课时作业48

星基础巩固4

1.（5分）（2024•山东泰安模拟）己知两条不同的直线m,n和平面a,夕，a邛,aC\p

=〃?，则〃_L4的必要不充分条件是（C）

A.m//nB.n//a

C.inLnD.〃-La

解析：因为1口4=〃?，所以〃U?从当〃J_"时，由线面垂直的定义可知〃J_"7；只有当〃?

_!_〃JL〃ua或n//a时才能得到所以nl.fi的必要不充分条件是故选C.

2.（5分）设小，2为两条不同的直线,内，02为两个不同的平面，下列说法正确的是（D）

A.若/i〃ai，h//«2>/iJ_/2>则内_1__2

B.若d/2与内所成的角相等，则/1〃/2

C.若仙_1_。2，/|〃如，，2〃。2，则

D.若/|-L«|?/2-L«2»则/1_L，2

解析：若/]〃©,l2//a2tI山2,则为，。2可能相交，也可能平行，故A错误；/）,/2与

④所成的角相等，则/2可能异面，可能相交，也可能平行，故B错误：若ai_Ls,T\〃a\,

b"g,则/i,可能平行、相交或异而.故C错误：若ai_La）,Zi±ai,bta?,则/i_Lb,

故D正确.故选D.

3.（5分）（2024.天津卷）若机，〃为两条直线,a为一个平面，则下列结论中正确的是（C）

A.若m//a,n//af则〃i_L〃

B.若〃〃a,则〃]〃〃

C.若m//a,〃_La,则inLn

D.若加〃a,〃_La,则加与〃相交

解析：若/〃〃a,nila,则〃？与〃可能异而、平行或相交，故A,B错误；若用〃a,〃

±a,则小与〃垂直，且用与〃可能相交，也可能异面，故C正确，D错误.故选C.

4.（5分）（2024•山东济南二模）已知正方体/WCD-4小G/Z，M,N分别是4。，。出

的中点，则（C）

A.4|。〃。山，MN〃平面44CO

B.A\D〃D\B,MN_L平面3%出。

C.AID_LOIB,MN〃平面A8CD

D.4O_LO8MN_L平面

解析：如图，连接AZ）i,由已知A8J_平面AOOiAi,4Ou平面AOOiA,«'JABIA^D,

乂A5_LAi〃,A8f）A5=A,A8,A〃iU平面ABDi,所以AQJ_平面A皿,乂。阳u平面ABD\f

所以人排除A,B;因为M,N分别为人小，的中点，所以MN//AB,叉MNC

平面ABC。，A8u平面A8C。，所以MN〃平面48C。，C正确；若MN_L平面/3SQ|。，则

MN±BD,又MN〃AB,所以A8_L3。，显然不成立，D错误.故选C.

5.（5分）（2024.四川广安二模）如图，菱形"CO的对角线AC与4。交于点O,EF是"

CD的中位线，AC与EF交于点、G,已知NZ而是绕E蹴转过程中的一个图形，且PC平面

A3CD给出下列结论：

AR

①8。〃平面PEF；

②平面以C_L平面ABC。；

③“直线PF_L直线人。始终不成立.

其中所有正确结论的序号为（B）

A.①②③B.①②

C.①③D.②③

解析：由EF是ABCD的中位线,得EF//BD,而EFu平面PEF,BDC平面PEF,因此

BD〃平面PEF,①正确：

如图，连接PG,由菱形ABCD的对角线AC与BD交于点0,得BD1AC,则EF_AG,

EF1PG,而AGCIPG=G,AGtQGu平面见C,则石尸_1,平面布。，又EFu平面ABCD,所

以平面以C_L平面A/3CQ,②正确；显然NPGA是二面角P-EF-A的平面角，APEF由XCEF

绕“旋转过程中，/尸G4从180°逐渐减小到0°（不包含180°和0°）,当NPGA=90°时，AG

LPG,PGClEF=G,PG,EFu平面PEF,则AG_L平面P££而PFu平面PEF,因此尸"_L

AG,③错误.故选B.

6.（5分）（2024•四川眉山三模）如图，该组合体由一个正四棱柱A8CD-A/iG。和一

个正四棱锥P-ABiGOi组合而成，已知/W=2,A4尸啦，附尸2,则（C）

A.叫〃平面ABGG

B.〃平面A8GO1

C.PG_L平面BOG

D.PQ|J_平面4QG

解析：如图，因为以=PG=2,AQ=2巾,OC=CC尸®在平面ACG%中有2

^4,Ci=ZAxCyO=ZCyOC=^,所以可〃OG,义OG仁平而BOQ,以仁平而8OG,所以

期|〃平面BDG,则%］与平面ABGOi不平行，故A错误；同理与平面A8GG

不平行，故B错误；20=蛆+乎X2=245,PCI=CIO=2,有尸G+CQ2=P（＞,所以pg

±C|O,又4O_LAC,BDICCi,ACC\CC\=C,AC,CCg平面PC。，所以4。_L平面PC。,

又因为PGu平面PGO,所以PG上BD,又8OClGO=。，BD,CQu平面BDG,所以PG

_L平面BOG,故C正确；又因为PGClPQi=P,且过一点有且仅有一条直线与已知平面垂

直，所以PR不垂直于平面8DG,故D错误.故选C.

7.（6分）（多选）（2024•河北保定三模）已知四边形A8C。为等腰梯形，AB//CD,/为

空间内的一条直线，且区平面ABCZ）,则下列说法正确的是（AC）

A.若/〃A。,则I//平面ABCD

B.若/〃AO,贝lj1//BC

C.若LAD,l±BC,贝l」/_L平面/WCQ

D.若LLAB,/±CDf则/_!_平面A8C。

解析：因为/〃A优且A3u平面44CO,At平面A3cO,所以/〃平面A3CQ,故A正确;

因为与8C是等腰梯形的腰，二者不平行，故若/〃AO,则/与8C不平行，故B错误；

因为直线AD与BC能相交，所以若/_LAD,/IBC,ADu平面ABC。，8Cu平面48CZ）,则

LL平面A8C。，故C正确；因为AB〃CO,两者不相交，所以若/J_A8,LCD,推不出/_L

平面ABCD,故D错误.故选AC.

8.（6分）（多选）（2024•安徽马鞍山三模）已知四极锥/MBCD中，〃_L平面4BCD,

则（AC）

A.若PCLBD,则AC.LBD

B.若AC_L8。,则PB=PD

C.若PB=PD,则AB=AD

D.若AB=A。,则PCLBD

解析：如图，因为以_L平面ABC。，AB,AD,BOu平面ABC。，PA1AB,PA^AD,

PAYBD.若PC_LB。，且B4nPC=RPA,PCu平面见C,可得BO_L平面附C,且ACu平

面以C,所以AC_L4O,同理，若AC_L/3。，则可得PC_L8Q,由/W=A。不能推出AC_8Q,

即43=A。不能推出尸C_LBO,故A正确，D错误：若PB=PD,可知Rt△%8@Rl△朋。，

所以4B=A。，反之，若48=A。，可知Rt△%BgRt△以D,所以PB=PD,即PB=PD等

价于AB=4。，由ACL8Z）不能推出4B=4O,即ACJ_B。不能推出P8=P。，故B错误，C

正确.故选AC.

9.（5分）（2024•陕西咸阳三模）如图，四边形ABC。是圆柱的轴截面，E是底面圆周上

异于4,8的一点，则下面结论中正确的序号是①②

D\

人（：二二：—C垃3

E

®AELCE；②BE_LOE；③。E_L平面8CE；④平面AOE_L平面BCE

解析：因为四边形A8CQ是圆柱的轴截面，则线段八8是底面圆的直径，BC,人。都是

母线.又E是底面圆周上异于4,B的一点、,于是得A及L3&而8C_L平面48E,AEu平面

ABE,则8C_LA£因为8Cn8E=8,BC,BEu平面BCE,则AE_L平面8CE,因为C£u平面

BCE,所以AE_LCE,①正确：同理可证8E_LDE,②正确：点。不在底面A8E内，而直线

AE在底面ABE内，即4E,DE是两条不同直线，若DEL平面BCE,又AE_L平面BCE,则

与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，③不正确；因为AE_L平而BCE,而AEu

平面AOE,所以平面平面8C瓦④正确.

10.（5分）如图，在三棱柱人BC-A8iG中，己知八人|_1_平面/WC,BC=CC\,当底面

A8C满足条■件小。一反G（答案不唯一）时,有/W」4G.（填上一个你认为正确的条件

即可）

解析：如图所示，连接&C,由8C=CG,44iJ_平面ABC,可得8Ci_L8C,因此，要

证48|J_BG,则只要证BCiJ•平面ABC,即只要证ACJ_8G即可，由直三棱柱可知，只要

证AC_L4C即可.因为AG〃AC,BC//BC,故只要证A】GJ_BiG即可.（或者能推出AG

J_81cl的条件,如NAC由1=90。等）

G

11.（15分）如图，在正方体ABCD-AiSGA中，E,r分别是AZ）,BG的中点，棱长

为1.

（I）求证：月产〃平面

C\CDD\.

(2)在线段48上是否存在点G,使EGJ•平面48Ci?若存在，求点G到平面A5c。的

距离；若不存在，请说明理由.

解：(1)证明：如图，氏6c的中点M,连接EM,FM,YE,尸分别是4。，BG的中点，

:・EM〃DC，FM〃C\C,

又EMU平面平面EFM,EA/nFM=M,QCu平面GCQO|,GCu平面C、CDDi,

DCCIC|C=C,

・•・平面EFM〃平面GCOOi,又E/七平面EFM,JE广〃平面GC。。］.

(2)存在.

如图，取A归的中点G,连接EG,AG,EAi,EB,易知成尸EB,而G为4B的中点,

・••石GJ_A由，连接尸G,则尸G〃AG,

・・•正方体棱长为1,

在△418G中，FG=y<\\C\

在RtAFME中，£〜=半，

A

在RtAEAG中，EG=^-f

：.FG2-1-EG2=FF~,即EGLFG,故EG」4G,

又4B,4Gu平面4BG,4由CIAiG=4,・・.EG1平面48G.

易得点G到平面ABCD的距离为:

12.(15分)如图，在正三棱柱ABCABiG中，M,0分别为A4,3G的中点.求证:

(1)MO〃平面A8C；

(2)MO_L平面BiBCG.

证明：⑴如图，取4C的中点/),连接0。，AD,

因为。为BCi的中点，所以0。〃CCi且OD=：CG,

又因为AM//CCi且AM=^CC\,所以OD//AM且OD=AM,所以四边形AMOD为平行

四边形，所以MO〃AO,

又因为MOC平面ABC,AOu平面ABC,所以MO〃平面ABC.

（2）因为ABC-AIiG为正三棱柱，

所以BA」平面人BC,因为AOu平面ABC,所以BBJA。,

因为△ABC为等边三角形，所以AO_L8C,

又BBCBC=B,BB\,BCu平面&BCG,所以AD_L平面3山CG,

又MO//AD,所以MO_L平面BiBCCi.

坦素养提升4

13.（6分）（多选）如图，在三棱柱A8C-481G中，NC4B=NC8A=45。，ZAtAC=

ZACB,P为线段8所的中点，N为线段上靠近81的三等分点，则（ABD）

A.AC±BC

B.AC±CBi

C.AC_L平面NPC

D.平面ACP_L平面BCGS

解析：因为NC4B=/CBA=45。，故NAC8=90。，所以4C_LCB,A正确；因为N4AC

=NACB=90。，所以侧面/UiCC为矩膨，故AC_LCG,又ACJ_BC,BCnCG=C,BC,

CGu平面CGBi仅所以ACL平面CGB由，而CBg平面。。由归，故AC_LCBi,B正确；

平面NFC,与平面CC'i/因小平行，所以AC平面NFC不叁直，C错误；因为AC'u平面ACF,

八。_1_平面。。山山，所以平面4CP_L平面CG3i6,D正确.故选ABD.

14.（6分）（多选）（2024.山东聊城二模）己知四棱锥P-A4co的底面48C。是正方形，

则下列关系能同时成立的是（BC）

A."AB=PB'W"PB=BD"

B.“抬J_PC'与"P81P。”

C."PBLCD”与"PC_AB”

D.“平面以9_1_平面P8D”与“平面PCD_L平面PBD”