专题2.6一元二次方程（全章知识梳理+题型精析）2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）含答案

（2）解法1．已知关于x的方程ax2-x=2x2-ax-3．(1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二2．下列方程中，是一元二次方程的是()3．若方程(a-2)xa+3x-a=0是关于x的一元二次方程，则a=．2+bx+2b=-1必有一个根为()x-11x2+12x-118．用配方法解方程2x2-12x-5=0时，则下列配方正确的是()则这个三角形的周长为．(2)4x2-6x-3=0．12．一个直角三角形的两条直角边的长a，b是一元二次方程x2-7x+5=0的两个实数根，(1)x(2x-5)=4x-10；(2)x2-6x-3=0．(1)2x2-7x-6=0；）；。当Δ=b2-4ac>0，原方程有两个不相等的实数根@当Δ=b2-4ac=0，原方程有两个相等的实数根是() 25．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程(2)当m为何值时，△ABC是以BC为26．已知a，b是方程x2+x-3=0的两个实数根，则a2-b+2025的值是()24元．调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价29．某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多．据统计，2022年“五一”接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程()2230．如图，某农家乐老板计划在一块长130m，宽60m鱼塘，它们的面积之和为5750m2，两块垂钓鱼塘之间及周边留有宽度相等的垂钓通道，则31．一元二次方程x2=x的解为()2132．用配方法解方程x2-4x+1=0时，配方后正确的是()33．下列方程中，没有实数根的是()A．x2-2x-1=0B．x2+2x-1=035．设a，b是方程x2+2x-20=0的两个实数根，则a2+3a+b的值为()），则下列方程正确的是().(1)x(x-3)=x-3；44．已知关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x+m2-5=0．(1)当方程有两个实数根时，求m的取值(2)当方程的两个根x1、x2满足x+x=x1x2+12时(1)用含x的代数式表示BC的长．(2)矩形ABCD这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明47．汤圆是宁波的特色美食，某店在销售某品牌汤圆时发现，该品牌汤圆进价为20元/盒，48．某大型水果超市销售葡萄，根据市场调查发现，每箱售价x（单位：元）与每天销量y(1)求y与x之间的函数关系式不必49．已知m是方程x2-2x-1010=0的根，则代数式4m-2m2-2的值为()A．-2021B．2021C．-2022D．250．把方程x2-6x-2=0化成(x-m)2=n的形式，下列变形正确的是()51．设M=2a2-5a+1，N=a2-6，其中a为实数，则M与N的大小关系是()A．M>NB．M<NC．M≠ND．不能确定52．若k<0，关于x的一元二次方程kx2-x+1=0的根的情况是()53．若等腰三角形的三边长均满足方程x2-7x+10=0，则此三角形的周长为()为x1，x2（其中x1>x2若y是关于a的函数，且y=x1-ax2，若y>0，则()系如图2所示，则BD的长为().EF的长为()60．若一个三角形的两条边分别是5和7，另一条边是一元二次方程x2-10x+16=0的根，因而得到方程的两个根是-2和-5．原来的方程是．63．如图，某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面粗线表示墙面（粗线A-B-C表示墙个“日”字形的饲养场BDEF（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开并在每个区域开一个宽2米的门，点F在线段BC的延长线上，设EF的长为x米，若要求所围成的饲养直线AB绕点A按顺时针方向旋转45°得到直线AC，设直线AC与y轴的负半轴交于点C，(1)x2-2x-8=0．69．关于x的方程x2-x+k2+2=0根的情况为()A．-4B．-1C．1D．471．若方程x2-x-2=0的两个根是x1和x2，则xx2+x1x的值为()A．-1B．1C．-2D．2客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为()A．10%B．20%C．22%D．44%宽度为xm，则可列方程为()76．已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2x2=．等于四边形ABCD面积的2倍，则．79．解方程：x2-7x=-1280．如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园．为了方便耕作管理，点E、F处是它的两个门，且DE=CF，要修建两条直路AF、BE，AF与BE相交于点O(2)同学们测得AD=4米，AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路，二次项系数为a-2，一次项系数为a-1【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义．【详解】（1）解：ax2-x=2x2-ax-3:方程的二次项为(a-2)x2，一次项为(a-1)x，常数项为3，二次项系数为a-2，一次项系数为a-1；（2）解：若方程是一元一次方程，则a-3．-2【详解】解：:方程(a-2)xa+3x-a=0是关于x的一元二次方程，:a=-2，故答案为：-2．【详解】解：:a是方程x2+2x-10=22-12a2+2a+3【详解】解：:关于x的一元二次方程ax2解得：x=2023，【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到x=1x2x-11x2+12x-11x2+12x-15-26-2-0.59=-2，x2=--2（2）解：x2+4x-3=02:x1=-2，x2=--2．【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是加上32，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．【详解】解：2x2-12x-5=0移项得：2x2-12x=5，方程两边同时除以2得，两边同时加上32可得【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得2:x-5=±3，:6-4<第三边的长<6+4，:第三边为8，整理，得：2x2+3x-3=0，（2）解：4x2-6x-3=0，【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意列出方程求解即可整理得：a2-a-1=0，是解决问题的关键．由题意解一元二次方程x2-7x+5=0得到或 :由公式法解一元二次方程x2-7x+5=0可得x=7+或x=7-，22:根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．:x(2x-5)-2(2x-5)=0，:x2+2x-3=0，首先解方程得到菱形的两条对角线长度，再利用勾股定理计算边长．化简，得x2-6x+8=0，:边长可由勾股定理计算：22=-n-1，x2=1察给出的方程序列，总结规律写出第n个方程，再:x1=-n-1，x2=1，2（2）解：x2-6x-3=0， =-2-2【分析】本题考查解一元二次方程．根据方程的特征选择恰当方法求解是解题的关键．:x1=2-2，x2=-2-2．:(x-1)(2x-1)=0，:x-1=0或2x-1=0，:方程有两个不相等的实数根，去分母得：x+1-(2x-1)=(x+1)(x-解得x1=-1+，x2=-1-，22经检验，x1=-1+，x2=-1-都是原方程的解，22:原方程的解为x1=-1+，x2=-1-．22去分母得：x-10+x2-4=3(x-2)，去括号得：x-10+x2-4=3x-6，整理得x2-2x-8=0，解得x=4或x=-2，:x=4是原方程的解，x=-2不是原方程的解．【分析】本题主要考查了解方程，分式方程的增根，先将分式方x2将方程的增根代入整式方程计算即可求解，掌握知识点的应x2综上：b的值为±1或-7．+4m+1-4m2-4m=1:方程总有两个不等的实数根．:将x=0代入得：解得m=0或m=-1．=4m2-4m+1+9-m2+7m-52:代数式的值为5．【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-20，掌握：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<其代入原方程，可求出x1，x2的值，再利用三角形的周长公式，即可求出结论．:m的取值范围为m≤-1且m≠-2；:x1=x2，:原方程为x2-6x+9=0，3(m-2)22-10m+25:无论m为何值，方程总有两个实数根；:BC2=AB2+AC2，:AB2+AC2=(AB+AC)2-2AC.AB2-2×3(m-2)）；:m=6．【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由a是方程x2+x-3=0的一个实数根，可得a2=-a+3．由根与系数的关系，可得代入a2-b+2025即可求:a2+a-3=0，:a2=-a+3．27．-2:m的值是-2.故答案为：-2每天盈利为：(40-5-24)×30=330（元）所以，每天销量可达30千克，每天盈利330元，根据该县接待游客人次的年平均增长率为x，则2023年五一期间接待游客15(1+x)万人次，则2024年五一期间接待游客15(1+x)万人次，列出方程即【分析】本题考查了一元二次方程的应用，平移的性质，设垂钓通道的宽度为xm，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为(130-3x)m，宽为(60-2x)m，根据题意列出【详解】解：设垂钓通道的宽度为xm，把两块垂钓鱼塘平移在一起所得到的长方形的长为(130-3x)m，宽为(60-2x)m，:x=5，:垂钓通道的宽度为5m，故答案为：5．x2-x=0，【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先把1移到方程的右边，然后方程两边都加4，【详解】解：将方程x2-4x+1=0的常数项移到右边，得：x2-4x=-1.将其两边都加4得：x2-4x+4=-1+4.将左边写成完全平方形式，右边计算得：(x-2)2=3.【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程2-4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若2-4×1【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键．根据一元二次方程求根公式对照得出一元二次方程ax2是用公式法解一元二次方程得到的一个根，:满足要求的方程为：x2-2x-1=0，【详解】解：∵a，b是方程x2+2x-202故选：A．【分析】本题考查了解一元二次方程，根据完全平方数是非负数得到关于m的不等式，解:m-1≥0，38．-1:a=-1，故答案为：-1．【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的解法是解题关键．设a22:x2+x-2=4，:x2+x-6=0，∵a22:x=2，40．-20252解得n=-2025，此时一元二次方程为2x2-6x-2025=0有两个实数根，符合条件.故答案为：-2025．方程是解题的关键．设小道进出口的宽度为xm，根据平移可得种植花草是一个矩形，根据面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程，整理后解得即可得出结论．根据题意，得：(30-2x)(20-x)=532，整理，得：x2-35x+34=0．所以小道进出口的宽度为1m．2【分析】本题主要考查了解一元二次方程．（1）先把方程右边的部分移到左边，然后提取公因式分移项得x(x-3)-(x-3)=0，:x-1=0或x-3=0，:Δ=-2(m-1)2-4(m2（2）解：方程x2-2(m-1)x+m2-5=:x1+x22-5，:x12+x22=(x1+x2)2-2x:2(m-1)2-3(m2-5:(m-1)(m-7)=0，:Δ=(-12)2-4×44=144-176:原方程无实数，（2）由一元二次方程的根与系数关系得到：，然后根据解是整数得到m-1=1，:一元二次方程有两个实数根．综上，不论m取什么实数时，这个方程总有实数根．又Qx1和x2为整数，且m为正整数，:m-1=1，解之得：m=2，(2)能；15【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积列出方程．:BC=(60-3x)米；当x=5时，BC=60-5×3=45>40，:墙长为40米，:x=5不符合题意舍去；整理，得x2-8x+15=0，2:每盒汤圆销售价应降价5元．:每盒汤圆销售价定为33-5=28（元故y与x之间的函数关系式是y=-5x+380．:x=54．【分析】本题考查一元二次方程的根，由题意可知，m是方程x2-2x-1010=0的根，因此m2=2m+1010．将代数式4m-2m2-2中的m2用该等式替换，即可化简求值．【详解】解：∵m是方程x2-2x-1010=0的根，:m2-2m-1010=0，:m2=2m+1010．:4m-2m2-2=4m-2(2m+1010)-2=4m-4m-2020-2=-2022【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，移项后，两边都配上一次项系数一半的平方，【详解】解：x2-6x-2=0，:x2-6x=2，【详解】解：根据题意，得M=2a2-5a+1，N=a2-6，故M-N=2a2-5a+1-a2+62-5a+7:M-N>0，:M>N，:Δ=b2-4ac=(-1)2-4.k.1=1-4k．:-4k>0，先求出这个方程的解，再根据等腰三角形及三而用含a的代数式表示出y，即可得出结论．:a>0，x12，,x22:AB=BC，AC^BD，BD=2OB，:AB=5，OA.OB=12，:x+y=7，:x和y是一元二次方程m2-7m+12=0的两个根，:OB=4，:BD=2OB=8，作AH⊥CE交CE延长线于H，可得是等腰直角三角形，即得AH=EH=AE=2，设2【详解】解：如图，过点A作AH⊥CE交CE延长线于H，:△AHE是等腰直角三角形，:AH=EH=AE=2，2整理得，x2+8x-20=0:点F为BC的中点，故选：A．键．解一元二次方程，求得方程的两根，由勾股即：直角三角形的两直角边分别和:a＞0，即a＜4；:0＜a＜4，【详解】解：x2-10x+16=0，2:此时不符合三角形三边关系定理，舍去；【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中x2:x1+x2又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2,-5．故答案为：x2-7x+10=0整理得：x2-10x=0，【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设EF的长为x米，则米，【详解】解：设EF的长为x米，则米，【分析】过A作AD丄y轴于D，过B作AB丄BE交AC于E，过E作EF丄y轴于F，通过证明△ABD≌△BEF得出AD=BF，BD=EF，设B(0,m)，表示出E(m-2,m-2)，设C(0,n)，利用待定系数法求出直线AC的解析式，整理【详解】解：过A作AD丄y轴于D，过B作AB丄BE交AC于E，过E作EF丄y轴于F，:将直线AB绕点A按顺时针方向旋转45°得到直线AC，直线AC与y轴的负半轴交于点C，:上BAC=45°,点B必定在y轴的正半轴且在D点下方，:AB=BE，:△ABD≌△BEF(AAS)，:AD=BF，BD=EF，:点A的坐标是(-2,2)，:OF=BF-OB=2-m，:E(m-2,m-2)；代入A(-2,2)，E(m-2,m-2)得:22+(m-2)2=(-n)2，②-①得，m2-mn-n2=0，性质与判定、一元二次方程的应用，利用45度角构造“一线三垂【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．【详解】（1）解：x2-2x-8=0，:k≥.:k的取值范围为k≥.2x222-3解得：k≥-2；x222-3:k=-4舍去，:k的值为2．（2）解：设每件服装降价x元，一件的利润为：(500-250-x)元，使顾客得到更多优惠，每件服装的售价为375元．=-4k2-7.由于k2≥0，则-4k2≤0，关键是熟记：一元二次方程的两个根为x1和x2，则．【详解】解：∵x1和x2是方程x2-x-2=0的两个根，所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%，宽度为xm,且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共2x),即12-2x;草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共2x),即10-2x;列面积关系方程：草坪面积为(12-2x)(10-2x),且等于总面积的，由此确定方程形式．∵花卉带宽度为x◆m，且分布在矩形四周，:中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽xm),即12-2x;草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽xm),即10-2x．因此，草坪的面积可表示为(12-2x)(10-2x),结合