高考数学一轮复习 专题10 数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)（原卷版）

专题10数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、典型题型 1题型一：插入新数列构成等差 1题型二：插入新数列构成等比 3题型三：插入新数混合 4二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 5一、典型题型题型一：插入新数列构成等差例题1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足：(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列．(1)求数列的通项公式．(2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列和其前n项和满足.(1)求的通项公式；(2)在和之间插入m个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求满足的正整数m的最小值.例题4．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知等比数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；例题5．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列的前项和为，且.(1)求及数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和.题型二：插入新数列构成等比例题1．（2023·全国·高二专题练习）在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为，再在数列插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列.若，则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为（

）A．30 B．91 C．273 D．820例题2．（2023·全国·高三专题练习）在和之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于.例题3．（2023·高二课时练习）设，在a，b之间插入个实数，，…，，使得这个数成等差数列，则有结论成立．若，在a，b之间插入个正数，，…，，使得这个数成等比数列，则有相应的结论成立．例题4．（2023·全国·高二专题练习）回答下面两个问题(1)在等差数列中，已知，，求a1与Sn．(2)在2与64中间插入4个数使它们成等比数列，求该数列的通项公式．例题5．（2023春·福建·高二校联考阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.(1)计算，猜想数列的通项公式并加以证明；(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.题型三：插入新数混合例题1．（2023春·湖北荆门·高二统考期末）已知各项均为正数的数列满足，．其中是数列的前项和．(1)求数列的通项公式；(2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，求的前100项和．例题2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）为数列的前项和，已知，且.(1)求数列的通项公式；(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.例题3．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）.(1)求数列的通项公式；(2)试确定的值，使得数列为等差数列；(3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求.例题4．（2023·全国·学军中学校联考二模）设数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前项的和为，求的值.例题5．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，对任意正整数，有，且.(1)求数列的通项公式；(2)对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前40项和.二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练一、单选题1．（2023春·江苏南通·高二期末）已知数列满足，在和之间插入n个1，构成数列：，则数列的前18项的和为（

）A．43 B．44 C．75 D．762．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．81923．（2023·全国·高三专题练习）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化．某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了70批学生后支教学生的总数，则的值为（

）A．387 B．388 C．389 D．3904．（2023·全国·高三专题练习）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（

）A．6 B．12 C．18 D．108二、多选题5．（2023·全国·高三专题练习）十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年）．他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为，插入11个数后这13个数之和为，则依此规则，下列说法正确的是（

）．A．插入的第8个数为B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍C．D．三、填空题6．（2023春·高二校考课时练习）在1和17之间插入n个数，使这个数成等差数列，若这n个数中第一个为a，第n个为b，当取最小值时，.7．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校联考期末）已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为．四、解答题8．（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）已知等比数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项；(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.9．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）数列的前项和为且当时，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.10．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)保持中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值（用数字作答）．11．（2023春