贵州2025自考工商管理概率论与数理统计经管类主观题专练

贵州2025自考[工商管理]概率论与数理统计（经管类）主观题专练一、计算题（每题10分，共30分）1.设随机变量X和Y的联合分布律如下表所示：|X\Y|0|1||-||||0|0.1|0.2||1|0.3|0.4|（1）求随机变量X和Y的边缘分布律；（2）求P{X+Y=1}；（3）求P{X>Y}。2.设随机变量X和Y的联合概率密度函数为：$f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{8}(x+y),&0\leqx\leq2,0\leqy\leq2\\0,&\text{其他}\end{cases}$（1）求随机变量X和Y的边缘概率密度函数；（2）判断X和Y是否相互独立；（3）求P{X+Y\leq2}。3.设随机变量X服从正态分布N(0,1)，Y=2X+3，求Y的分布函数。二、证明题（每题10分，共20分）1.证明：若随机变量X和Y相互独立，则E[XY]=E[X]E[Y]。2.证明：若随机变量X和Y的协方差为0，则X和Y不相关。三、应用题（每题15分，共45分）1.某贵州农产品公司生产的茶叶重量X（单位：克）服从正态分布N(150,25^2)。现随机抽取10盒茶叶，求这10盒茶叶的平均重量超过155克的概率。2.某贵州旅游公司推出“黄果树瀑布+荔波小七孔”旅游套餐，已知游客对黄果树瀑布的满意度Y（单位：分）服从均匀分布U(80,100)，对荔波小七孔的满意度Z（单位：分）服从均匀分布U(70,90)。求游客对整个旅游套餐的平均满意度在85分以上的概率。3.某贵州白酒生产企业为了提高产品质量，对生产的白酒进行质量检测。检测结果显示，某批次白酒的酒精含量X（单位：%）服从正态分布N(58,3^2)。现随机抽取5瓶白酒，求这5瓶白酒的酒精含量均不低于57%的概率。答案与解析一、计算题1.（1）边缘分布律：$P{X=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=0,Y=1}=0.1+0.2=0.3$$P{X=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.3+0.4=0.7$$P{Y=0}=P{Y=0,X=0}+P{Y=0,X=1}=0.1+0.3=0.4$$P{Y=1}=P{Y=1,X=0}+P{Y=1,X=1}=0.2+0.4=0.6$（2）$P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}=0.2+0.3=0.5$（3）$P{X>Y}=P{X=1,Y=0}=0.3$2.（1）边缘概率密度函数：$f_X(x)=\int_0^2f(x,y)dy=\int_0^2\frac{1}{8}(x+y)dy=\frac{1}{8}(2x+2)=\frac{x+1}{4},0\leqx\leq2$$f_Y(y)=\int_0^2f(x,y)dx=\int_0^2\frac{1}{8}(x+y)dx=\frac{1}{8}(2+2y)=\frac{1+y}{4},0\leqy\leq2$（2）由于$f_X(x)\cdotf_Y(y)\neqf(x,y)$，所以X和Y不独立。（3）$P{X+Y\leq2}=\int_0^1\int_0^{2-x}\frac{1}{8}(x+y)dydx=\frac{1}{8}\int_0^1(2x-2x^2)dx=\frac{1}{8}\left(x^2-\frac{2}{3}x^3\right)\bigg|_0^1=\frac{1}{24}$3.$Y=2X+3$，所以$Y$的分布函数为：$F_Y(y)=P{Y\leqy}=P{2X+3\leqy}=P{X\leq\frac{y-3}{2}}=\Phi\left(\frac{y-3}{2}\right)$二、证明题1.因为X和Y相互独立，所以$E[XY]=E[X]E[Y]$。2.因为协方差为0，所以$E[XY]=E[X]E[Y]$，即X和Y不相关。三、应用题1.$P{\bar{X}>155}=\Phi\left(\frac{155-150}{\frac{25}{\sqrt{10}}}\right)=\Phi(0.63)=0.7357$2.$E[Y]=\frac{80+100}{2}=90,E[Z]=\frac{70+90}{2}=80$$E[Y+Z]=90+80=170,E[(Y+Z)^2]=D[Y+Z]+(E[Y+Z])^2=\frac{(100-80)^2+(90-70)^2}{12}+170^2=18250$$P{E[Y+Z]>85}=\Phi\left(\frac{170-85}{\sqrt{18250}}\right)=\Phi(2.23)=0.9871$3.$P{X\geq57}=\Phi\left(\frac{57-58}{3}\right)=\Phi(-0.33)