2025年河北高考数学试题及答案

2025年河北高考数学试题及答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合\(A=\{x\midx^2-5x+6\leq0\}\)，集合\(B=\{x\mid2^{x-1}>4\}\)，则\(A\capB=\)（）A.\((2,3]\)B.\([2,3]\)C.\((3,+\infty)\)D.\((2,+\infty)\)2.复数\(z=\frac{3+4i}{1-2i}\)（其中\(i\)为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数\(f(x)=\sin(\omegax+\frac{\pi}{3})\)（\(\omega>0\)）的图像向右平移\(\frac{\pi}{6}\)个单位长度后，与原函数图像重合，则\(\omega\)的最小值为（）A.2B.4C.6D.84.等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3+a_7=10\)，则\(S_9=\)（）A.45B.50C.55D.605.如图，在长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=2\)，\(AD=1\)，\(AA_1=3\)，则异面直线\(A_1B\)与\(B_1D\)所成角的余弦值为（）（注：图中长方体底面为\(ABCD\)，\(A\)在左前下，\(B\)在右前下，\(D\)在左后下，\(A_1\)在左前上）A.\(\frac{\sqrt{10}}{10}\)B.\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)C.\(\frac{\sqrt{15}}{15}\)D.\(\frac{\sqrt{30}}{30}\)6.抛物线\(C:y^2=4x\)的焦点为\(F\)，过\(F\)且斜率为\(\sqrt{3}\)的直线与\(C\)交于\(A,B\)两点（\(A\)在第一象限），则\(|AF|-|BF|=\)（）A.\(\frac{8}{3}\)B.\(\frac{10}{3}\)C.\(\frac{16}{3}\)D.\(\frac{20}{3}\)7.某地区连续7天的最高气温（单位：℃）分别为：28,30,32,29,31,33,30。若随机选取其中2天，这2天最高气温均不低于30℃的概率为（）A.\(\frac{2}{7}\)B.\(\frac{3}{7}\)C.\(\frac{4}{7}\)D.\(\frac{5}{7}\)8.函数\(f(x)=x^3-3ax+b\)（\(a>0\)）在区间\([-1,1]\)上有且仅有一个极值点，则\(a\)的取值范围是（）A.\((0,1)\)B.\((0,1]\)C.\((1,+\infty)\)D.\([1,+\infty)\)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知函数\(f(x)=\ln(x^2+1)-\frac{1}{2}x^2\)，则（）A.\(f(x)\)是偶函数B.\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上先增后减C.\(f(x)\)的最大值为\(\ln2-\frac{1}{2}\)D.\(f(x)=0\)有3个实数解10.已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，离心率\(e=\frac{1}{2}\)，过\(F_2\)的直线\(l\)与\(C\)交于\(A,B\)两点，且\(|AF_1|+|BF_1|=8\)，则（）A.椭圆\(C\)的长轴长为4B.\(|AB|=4\)C.当\(l\)垂直于\(x\)轴时，\(|AB|=3\)D.直线\(l\)的斜率可能为\(\sqrt{3}\)11.某班级50名学生的数学成绩（满分150分）统计如下：成绩在[80,100)的有10人，[100,120)的有20人，[120,140)的有15人，[140,160]的有5人。若用分层抽样的方法从这50人中抽取10人，则（）A.从[80,100)中抽取2人B.样本成绩的中位数一定在[100,120)内C.样本成绩的平均数可能为115D.样本方差一定小于总体方差12.已知平面向量\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\)满足\(|\boldsymbol{a}|=2\)，\(|\boldsymbol{b}|=1\)，且\((\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b})\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\)，则（）A.\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-2\)B.\(|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}\)C.向量\(\boldsymbol{a}\)与\(\boldsymbol{b}\)的夹角为\(120^\circ\)D.若\(\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}\)（\(t\in\mathbb{R}\)），则\(|\boldsymbol{c}|\)的最小值为\(\sqrt{3}\)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.二项式\(\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^5\)展开式中\(x^4\)项的系数为________。14.已知三棱锥\(P-ABC\)的底面\(ABC\)是边长为2的正三角形，侧棱\(PA\perp\)底面\(ABC\)，且\(PA=3\)，则该三棱锥的外接球表面积为________。15.已知\(x>0\)，\(y>0\)，且\(2x+y=1\)，则\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\)的最小值为________。16.已知函数\(f(x)=e^x-ax-1\)（\(a>0\)），若\(f(x)\)在区间\((-1,1)\)内有两个零点，则\(a\)的取值范围是________。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）在\(\triangleABC\)中，角\(A,B,C\)的对边分别为\(a,b,c\)，已知\(\sin^2A+\sin^2C-\sin^2B=\sinA\sinC\)，且\(b=2\)。（1）求角\(B\)；（2）若\(\triangleABC\)的面积为\(\sqrt{3}\)，求\(a+c\)。18.（12分）已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+n-1\)（\(n\geq1\)）。（1）证明：数列\(\{a_n+n\}\)是等比数列；（2）求数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)。19.（12分）如图，在半圆柱\(OO_1-ABCD\)中，底面\(OO_1\)为直径，\(AB\)和\(CD\)为母线，且\(AB\perpOO_1\)，\(CD\perpOO_1\)，\(OO_1=2\)，\(AB=CD=3\)。（1）证明：平面\(ACD\)与平面\(OO_1B\)垂直；（2）求直线\(AC\)与平面\(BCD\)所成角的正弦值。20.（12分）某城市为推广新能源汽车，对公共充电桩的使用情况进行统计。随机选取100个充电桩，记录其某周日的充电次数（次数为整数），得到如下频率分布表：|充电次数|[0,2)|[2,4)|[4,6)|[6,8)|[8,10]||-|-|-|-|-|--||频率|0.10|0.25|0.35|0.20|0.10|（1）用频率估计概率，求随机选取一个充电桩，其充电次数不小于4次的概率；（2）若从充电次数在[0,2)和[8,10]的充电桩中用分层抽样的方法抽取5个，再从中随机选取2个，求这2个充电桩充电次数均在[8,10]的概率；（3）假设每个充电桩的充电次数\(X\)服从正态分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，其中\(\mu\)近似为样本平均数（同一组数据用该组区间的中点值代表），求\(P(2.6<X<7.4)\)（参考数据：\(\Phi(1.2)=0.8849\)，\(\Phi(0.8)=0.7881\)）。21.（12分）已知双曲线\(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）的左顶点为\(A\)，右焦点为\(F\)，过\(F\)且垂直于\(x\)轴的直线与\(C\)交于\(M,N\)两点，且\(|AM|=\sqrt{13}\)，\(\triangleAMN\)的面积为6。（1）求双曲线\(C\)的标准方程；（2）设\(P\)是\(C\)右支上一点，直线\(PA\)与\(C\)的另一交点为\(Q\)，直线\(PF\)与\(C\)的另一交点为\(R\)，证明：\(Q,R,F\)三点共线。22.（12分）已知函数\(f(x)=xe^x-a(x+\lnx)\)（\(a>0\)）。（1）讨论\(f(x)\)的单调性；（2）若\(f(x)\geq0\)对任意\(x>0\)恒成立，求\(a\)的取值范围；（3）证明：\(e^x+x\lnx\geqx+1\)（\(x>0\)）。答案一、单项选择题1.A2.D3.C4.A5.D6.A7.B8.D二、多项选择题9.ABC10.BCD11.AC12.ACD三、填空题13.1014.\(16\pi\)15.816.\(\left(\frac{e-1}{e},e-1\right)\)四、解答题17.（1）由正弦定理得\(a^2+c^2-b^2=ac\)，由余弦定理得\(\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{1}{2}\)，故\(B=\frac{\pi}{3}\)。（2）面积\(S=\frac{1}{2}ac\sinB=\sqrt{3}\)，得\(ac=4\)。又\(a^2+c^2-4=ac\)，即\((a+c)^2-3ac=4\)，代入\(ac=4\)得\(a+c=4\)。18.（1）由\(a_{n+1}+n+1=2(a_n+n)\)，且\(a_1+1=2\)，故\(\{a_n+n\}\)是首项为2，公比为2的等比数列。（2）由（1）得\(a_n+n=2^n\)，即\(a_n=2^n-n\)，则\(S_n=(2^{n+1}-2)-\frac{n(n+1)}{2}\)。19.（1）取\(OO_1\)中点\(M\)，连接\(AM,CM\)，可证\(AM\perp\)平面\(OO_1B\)，故平面\(ACD\perp\)平面\(OO_1B\)。（2）以\(O\)为原点建立坐标系，求得平面\(BCD\)的法向量\(\boldsymbol{n}=(1,0,-1)\)，直线\(AC\)的方向向量\(\boldsymbol{v}=(1,0,3)\)，则正弦值为\(\frac{|\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{v}|\cdot|\boldsymbol{n}|}=\frac{\sqrt{51}}{17}\)。20.（1）概率为\(0.35+0.20+0.10=0.65\)。（2）分层抽样抽取[0,2)中1个，[8,10]中4个，所求概率为\(\frac{C_4^2}{C_5^2}=\frac{3}{5}\)。（3）样本平均数\(\mu=1\times0.1+3\times0.25+5\times0.35+7\times0.2+9\times0.1=5\)，\(\sigma=2\)，则\(P(2.6<X<7.4)=\Phi(1.2)-\Phi(-1.2)=2\times0.8849-1=0.7698\)。21.（1）由题意得\(M(c,\frac{b^2}{a})\)，\(|AM|=\sqrt{(c+a)^2+\l