2026年中考数学高频考点突破：二次函数与几何问题（学生版+详解版）

2026年中考数学高频考点突破一二次函数与几何问题

1.如图，用40m的篙色围成一个边靠墙的矩形场地，墙长15m.垂直于墙的边长为久围成的矩形

场地的面积为ym2.

（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求这个矩形场地面积的最大值.

2.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆

围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB,BC两边），设AB=xm.

（2）若在P处有一棵树与增CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内（含边

界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值.

3.如图，一张正方形纸板的边长为2cm,将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）.设

AE=BF=CG=DH=xcm,四边形EFGH的面积为ycm2,

（1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；

（2）求四边形EFGH的面积为3cm2时的x值；

（3）四边形EFGH的面积可以为1.5cm?吗？请说明理由.

4.某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案由四个全等的直角三角形和一个小

正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长m,直角三角形较短直角边Kn,且11=皿-2,大正

方形的面积为S.

(1)求S关于m的函数关系式；

(2)若小正方形边长不大于3,当大正方形面积最大时，求m的值.

5.如图所示，将抛物线丫=劣x2沿x轴向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到新

(1)直接写出新抛物线的解析式为:

(2)设新抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C,顶点为D,作CE_LCD交抛物线于E,如图

所示，探究如下问题：

①求点E的坐标；

②若一次函数y=kx+l的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点F,连接DE,猜测直线

DE与对称轴的夹角和•次函数y=kx+l的图象与对称轴的夹角之间的大小关系，并证明.

6.已知，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=ax2-2ax-3a(a00)分别交x

轴于A、B两点(点A在点B的侧)，与y轴交于点C,连接AC,tan^ACO=1.

(1)如图1,求Q的值;

（2）如图2,D是x轴上一点（不与点A、B重合），过点。作y轴的平行线，交抛物

当力F=BE时，求AF的长.

②当点D在运动时，若DE、DF、EF中有两条线段相等，求此时点0的坐标.

7.如图，某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园.其中一边靠墙，另外三边用长为20米的

篱笆围成.已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.

18米

苗■园

(1)求抛物线的解析式及其对称轴：

(2)点P为抛物线上一点，连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P

的坐标.

11.已知在矩形ABCD中，AB=2,AD=4.P是对角线BD上的一个动点(点P不与点B、D重

合)，过点P作PFJ_BD,交射线BC于点F.联结AP,画/FPE=NBAP,PE交BF于点E.设

PD=x,EF=y.

DADAD

图】留用S3备用图

(1)当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；

(2)如图1,当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；

(3)联结PC,若NFPC=NBPE,请直接写出PD的长.

12,已知，点M是二次函数y=ax2(a>0)图象上的一点，点F的坐标为(0,表),直角坐标系

(2)当O,Q,M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；

(3)当点M在第一象限时，过点M作MN_Lx轴，垂足为点N,求证：MF=MN+OF.

13.已知，抛物线y=ax?+3ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点，点A在点B左

侧.点B的坐标为（1,0）,OC=3OB.

（1）直接写出C点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值.

14.已知：如图1,抛物线的顶点为M,平行于x轴的直线与该抛物线交于点A,B（点A在点B

左侧），根据对称性AAMB恒为等腰三角形，我们规定：当AAMB为直角三角形时，就称4AMB

为该抛物线的“完美三角形”.

（I）①如图2,求出抛物线y=x2的“完美三角形"斜边AB的长;

②抛物线y=x2+l与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数帚关系是▲；

（2）若抛物线丫=2*2+4的“完美三角形”的斜边长为4,求a的值；

（3）若抛物线y=mx2+2x+n-5的“完美三角形“斜边长为n,且y=mx2+2x+n-5的最大值为-

1,求in,11的值.

15.如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C,点

D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E.

(1)求直线AD的解析式；

(2)如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FGJ_AD于点G,作FH平行于x轴

交直线AD于点H,求4FGH局长的最大值；

(3)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A,M,P,Q为

顶点的四边形是以AM为边的矩形.若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.

16.如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c交y轴于点A(0,4),交x轴于点B(4,0)、C,点P

是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ,过点A作AQ1PQ于点Q,连接AP(AP不平行x

轴).

（2）点P在抛物线上运动，若△AQPs△4。。（点P与点C对应），求点P的坐标；

（3）如图2,若点P位于抛物线的对称轴的右侧，将△4PQ沿AP对折，点Q的对应点为点

Q,当点Q落在x轴上时，求点P的坐标.

答案解析部分

1.【答案】（1）解：・・•垂直于墙的边长为xm,平行于墙的边长为（40-2x）m,

.*.y=x（40—2x）,

根据题意得：图二2意柒

解得学工不<20,

Ay与x之间的函数关系式为y=-2x2+40%浮<%<20）：

（2）解：Vy=-2x2+40x=-2（x-10）2+200,

V-2<0,竽W20，

・・・当％=竽时，y最大，最大值为187.5,

答：这个矩形场地面积的最大值为187.5^2.

【知识点】二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】（1）根据题意宜接列出函数解析式”一2产+40x（孕-V20）即可；

（2）利用二次函数的性质求解即可。

2.【答案】（1）解：・・・AB二x,则BC=（28-x）,

Ax(28-x)=192,

解得：xi=12,X2=16,

答；X的值为12或16

(2)解.：VAB=xm,

ABC=28-x,

AS=x(28-x)=-x2+28x=-(x-14)2+196,

•・•在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,

V28-15=13,

,当x=13时,S取到最大值为:S=-(1374)2+196=195,

答：花园面积S的最大值为195平方米.

【知识点】一元二次方程的实际应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】3)根据题意得出长x宽=192,进而得出答案；(2)由题意可得出：S=x(28-x)=

-x2+28x=-(x-14)2+196,再利用二次函数增减性求得最值.

3.【答案】(1)解：・・•在止方形纸上剪去4个全等的直角三角形，

AZAHE=ZDGH,ZDGH+ZDHG=90°,HG=HE,

VZEHG=180°-ZAHE-ZDHG,

AZEHG=90°,四边形EFGH为正方形，

在AAEH中，AE=x,AH=BE=AB-AE=2-x,NA=90。，

AHE2=AE2+AH2=x2+(2-x)2=2x2-4x+4,

正方形EFGH的面积y=HE2=2x2-4x+4,

VAE,AH均为正值，

A0<x<2,

故y关于x的函数表达式为：y=2x?-4x+4,自变量x的取值范围0VxV2.

(2)解：将y=3代入y=2x?・4x+4中，整理得：2x2-4x+l=0,

解得：xi=l+孝,X2=l-攀,

故四边形EFGH的面积为3cm2时的x的值为1+?或1-

(3)解：四边形EFGH的面积为：y=2x2-4x+4=2(x-1)2+2,(0<x<2),

;(x-1)2>0,

Ay>2,

四边形EFGH的面积不能为1.5cm2.

【知识点】二次函数与不等式(纽)的综合应用；一元二次方程的实际应用-儿何问题；二次函数的实际应

用-几何问题

【解析】【分析】(1)先证出四边形EFGH为正方形，用未知数x表示其任一边长，根据正方形面积

公式即可解决问题；(2)代入y值，解一元二次方程即可；(3)将面积y=2x2-4x+4改写成完全平

方的形式，可得知注2,故不能为cm?.

4.【答案】(1)解：・・•小正方形的边长m,直角三角形较短直角边长n,

・••直角三角形较长边长为m+n,

由勾股定理及正方形的面积公式可知：

S=(m+n)2+n2,

Vn=m-2,

/.S=(m+m-2)2+(m-2)2

=4m2-8m+4+m2-4m+4

=5m2-12m+8,

*.*n=m-2>0,

Am>2.

AS关于m的函数关系式为S=5m2-12m+8(m>2)

(2)解：由(1)知，S=5m2-12m+8=5(m-1.2)2+0.8,

VS关于m的二次函数的对称轴为直线m=L2,二次项系数为正，

・••当2Vms3时，S随m的增大而增大，

・•・当m=3时，S最大.

，当大正方形面积最大时，m=3

【知识点】二次函数的实际应用-几何问题

【释析】【分析】(1)分别用m和n表示出直角三角形的两条直角边长，再由勾股定理及正方形的面

积公式可得S关于m和n的函数关系式，然后将n=m-2代入化简即可；

(2)将(1)中的函数关系式配成顶点式，根据二次函数的性质及m的取值范围可求解.

5.【答案】(1)y=1(x-2)2-1

(2)解：①丫:1(x-2)2-1,

令x=0,则y=l,则点C坐标为(0,1),顶点D的坐标为(2,-1),

把点C、D的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b,

解得：k=-1,b=1,贝ij：CD解析式为：y=-x+1；

VCDXCE,

・・・CE的解析式为：y=x+l…②，

联立①②并解得：x=6(已舍去不合题意的值)，

AE(6,7)；

②将一次函数表达式y=kx+l与二次函数表达式联立得：1(x-2)2-l=kx+l,

△=b2-4ac=0,解得：k=-2,则一次函数的表达式为：y=-2x+l,

当x=2时，y=-3,即：点F坐标为：(2,-3)；

将直线CF向上平移两个单位过点D,此时一次函数为：y=-2x+3,

而E关于对称轴的点的坐标为：E'(-2,7),

当x=-2时，y=7,故：点日在一次函数上y=-2x+3,

・•・ADEE是等腰三角形，所以两角相等

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问

题

【解析】【解答】解：(1)抛物线y=；X?沿x轴向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长

度，

抛物线表达式为：y=J(x-2)2-1,

故：答案是：y=2(x-2)2-1…①

【分析】(1)利用二次函数图象的平移规律：上加下减，左加右减，可得出平移后的抛物线的解析

式。

(2)①利用新的抛物线的解析式，由x-0求出y的值，就可得出点C的坐标，求出顶点D的坐

标，再由点C、D的坐标求出直线CD的函数解析式，由CDJ_CE,可求出直线CE的函数解析

式，将抛物线的解析式和直线CE的函数解析式联立方程组，解方程组，就可求出点E的坐标；②

将一次函数解析式y=kx+1与二次函数解析式联立方程组，再由b2-4ac=0,求出k的值，就可得到

一次函数解析式，从而可求出点F的坐标，利用图像平移的规律，可求得一次函数解析式为y=-

2x+3,根据对称性求出点E的坐标，即可验证点日在一次函数上y=・2x+3上，继而可证得△DEE

是等腰三角形，可得到结论。

6.【答案】(1)解：y=a(x2-2%-3)(aH0)

令y=0,即a(x+l)(x—3)=0,解得Xi=-1,x2=3,

A.4(-1,0),B(3,0),

=1，C(0,-3a)

又•「tanzTlCO=熬=/，

•.a=1

(2)解：①由(1)得抛物线y=M—2x-3,BC所在直线、丸=工一3,

设O(m,0),

m-3),F(m,m2-2m-3)

•・•乙ABC=Z.FBC=45°,EOJ.x轴，

：^BFD为等腰直角三角形，

又〈AF=BE,

：.RtAADFRtAEDB^HL),

•\AD=ED而AD=m4-1,

/.rn4-1=m2-2m-3,

(m—4)(m+1)=0,m=4,

・'D(4,0),

A.4F=V26

②当DF=EF

3-m=-m2+3m(m—l)(m-3)=0,

Am=1,，O(1,0)

当DE=DF

m2—2m—3=3—m,

/.tn2—m-6=0,即(m+2)(m-3)=0,

•.m=—2,

AD(-2,0),

综上，0的坐标为(1,0),(-2,0)

【知识点】二次函数的实际应用.几何问题

【解析】【分析】(1)由ax?-2ax-3a=0,可得A(-1,0),B(3,0),OA=1,再根据tan/ACO=

|,可求得C(0,-3),即可求出a的值；(2)①构造全等三角形RtAADF-RtAEDB(HL),由

此AD=ED,设D(m,0),建立方程求解；②分两种情况讨论，分别建立方程进行求解即可得到

答案.

7.【答案】(1)解：设这个苗阚园垂直于墙的一边的长为x米，则另一边为(20-2切米，

：・S=x•(20—2x)=-2x2+20%；

VO<20-2%<18,

解得：1Wx<10；

，S与x之间的函数关系式为：

S=-2x2+20x,(l<x<10)；

(2)解：由(1)可知，S=-2%2+20%,

：・S=-2x2+20%=-2(/-10x+25)+50=-2(x-5)2+50；

V-2<0,

・••当％=5时，S有最大值，最大值为50；

・•・当矩形苗圃园垂直于墙的边长为5米时，这个苗圃园的面积最大，最大面积为50平方米；

【知识点】二次函数的实际应用•几何问题

【解析】【分析】(1)设这个苗圃园垂直土墙的一边的长为x米，则另一边为(20-2x)米，根据矩形的

面积公式可得S与x的关系，由0<20-2xW8可得x的范围；

(2)根据(1)的关系式结合二次函数的性质进行解答.

8.【答案】(I)依题可得：

2AB+7x+7ix=6,

AB=3-5x,

V3-5x>0,

/.0<x<|,

••・x的取值范围为：0<x<1.

(2)设窗户透光面积为S,依题可得：

S=2x-(3-5x)+：松，

=~x2+6x,

乙

=.1Z(.A)2+竺，

2X1717，

.••当x啥时，最大面积为掾

【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】3)根据图形2AB+7X+弧长=6列出代数式，从而可得AB的表达式，由3-5x>0,

求得x的取值范围.

（2）设窗户透光面积为S,根据S=矩形面积+半个圆的面积列出二次函数解析式，再由二次函数的

性质即可求得答案.

9.【答案】（I）解：抛物线y="2-2x+c与y轴交于点4（0,-3）,

：•c=—3>

抛物线的解析式为y=x2-2x-3

(2)解：-y=x2-2x-3,

.♦.当y=0时，%2-2%-3=0,

解得x=-1或x=3,

・♦•8、C两点的坐标分别为(-1,0),(3,0),

设点P的坐标为(l,y),则y>0.

■:B、C两点的坐标分别为(-1,0),(3,0),

•••BC=4,

S^PBC~2"BC,y=2y=4>

•••y=2,

•••点户的坐标为(1,2)

(3)解：当以BC为边时，如图，

•:以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,

MN=BC=4,即MiN=M2N=4,

的横坐标为5,M2的横坐标为一3,

y=x2-2%-3,

当％=5时，y=25-10-3=12；

当x=-3时，y=9+6—3=12,

・•.M点坐标为(-3,12)或(5,12).

【知识点】待定系数法求二次函数解析式：二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】(1)将点力(0,-3)代入y=x2-2x+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解

析式；(2)设点P的坐标为(l,y),由点P在第一象限，可知y>0,根据B、C两点的坐标得

出8c=4,由三角形的面积公式得到SAPBC=^BC-y=2y=4,求出y的值，进而得到点P

的坐标；

(3)当以BC为边时，根据平行四边形的性质得到MN=BC=4,则可确定点M的横坐标，然后

代入抛物线解析式得到M的纵坐标.

10.【答案】(1)解：TA(-1,0),

/.OA=1,

V(anZCAB=^=3,

OA

AOC=OB=3OA=3,

AC(0,3),B(-3,0),

设抛物线的解析式：y=a(x-3)(x+l),

贝ij3=a(O-3)(O+l)=-3a,

1,

・•・抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

・•・抛物线的对称轴为：x=l.

(2)解：设直线CP交x轴于点E,

VSAPCB：SAPCA=/EBX(yc-yp)riAEx(yc-yp)=BE：AE,

ABE：AE=3:5,或BE：AE=5：3,

VAB=3-(-1)=4,

••・AE=|或I，

即E点坐标为(1,0),(1,0),

设直线PC的解析式为y=kx+b,

将E(2o),C(0,3)代入得：［/+小。，

/<b=3

解得：忆?

・,・直线CP的表达式为：y=-2x+3,

将E(10),C(0,3)代入得：1#+b=0,

'tb=3

解得:[\=~6,

，直线CP的表达式为：y=-6x+3,

.(y=-x2+2x+3

,*ly=-2x+3

解得：[5或｛；1(舍去)，

=—x2+2%+3

y=—6x+3

解<得:或｛；二(舍去)，

・・・P点坐标为：(4,-5)或(8,-45).

【知识点】二次函数的实际应用•几何问题

【解析】【分析】(1)根据A点坐标，结合tanCAB=3,先求出A、C点坐标，冉由OB=OC即可求

出B点坐标，最后根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；

(2)由于直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，根据面积关系列式求出BE和AE的比

值，结合AB的长度，则可求比AE和BE的长度，从而求出E点坐标，于是利用待定系数法即可求

出直线CP的解析式，再和抛物线的解析式联立求出P点坐标即可.

1L【答案】(1)解：如图，

BEFC

•・,矩形ABCD,

：.LBAD=Z.ABF=90°,

C.LABD4-^ADB=90°,

,:A、P、F在一条直线上，且PFJ_BD,

：.LBPA=90°,

+^BAF=90°,

：.LADB=^BAF,・・丁。7叱40B=缥=J=J,

AD42

ppi

tanZ-BAF=，**•BF=1,

**,^AABF=448•BF=^x2xl=l：

(2)解；•・・PF_LBP,：.^BPF=90°,：,^PFB+^PBF=90°,V^.ABF=90°,：,^PBF4

Z.ABP=90°,工(ABP=(PFB,VZBAP=ZFPE,J.ABAPs"PE，：端福，

VAD//BC,：,^ADB=Z.PBF,

tanz.PBF=tanZ-ADB=:，即PF1

,一i-22V丐—x.r=、2(—

•:BP=2衣-x，APF=i(2V5-x),=，；)=Q/空4=<2通)

243

(3)解：NCPF二NBPE,

①如图所示，当点F在CE上时，

•?ZBPF=ZFPD=90°,:.NDPONFPE,

,/ZFPE=ZBAP,ZDPC=ZBAP,

VAB//CD,.\ZABD=ZCDB,

/.△PAB^ACPD,

APB：CD=AB：PD,

.\PBPD=CDAB,

Ax(2\[S-x)=2x2,

：・X=y/S±1；

②如图所示，当点F在EC延长线上时，

过点P作PN_LCD于点N,在CD上取一点M,连接PM,使NMPF=NCPF,

则有PC：PM=CH：MH,

ZBPF=ZDPF=90°,I.ZBPC=ZDPM,

VZBPE=ZCPF,AZBPE=ZEPF,

VZBAP=ZFPE,AZBAP=ZDPM,

VZABD=ZBDC,

・•・△PAB^AMPD,

APB：MD=AB：PD,

由PD=x,tanZPDM=tanZPFC=2,

易得：DN=9X,PN=芈x,CN=2-9工,

□uu

PH=2x,FH=2、'号-5%,CH=2-遍x,

由PB：MD=AB：PD可得MD=,从而可得MN,

在RSPCN中利用勾股定理可得PC,

由PC：PM=CH：MH可得PM,

在在RtZkPMN中利用勾股定理可得关于x的方程，

解得x=7生询,

综上：PD的长为：遍±1或7、晨际

【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；二次函数的实际应用几何问题

【解析】【分析】（1）要求三角形ABF的面积，由题意只须求出BF的长即可。根据同角的余角相等

可得NBAF二NADB,所以tan/PBF=tanNADB二祭=黑耳，结合已知即可求得BF的长，三角形

ABF的面积=1ABBF；

（2）要求y与x之间的函数关系式，由题意只须证得ABAPSAFPE,从而得出比例式；翳=翳，

现在需求出PF的长，代入比例式即可得y与x的关系式。

（3）由已知条件过点P作PF_LBD,交射线BC于点F可知，点F可能在线段CE上，也可在CE

的延长线上，所以分两种情况求解即可。

12.【答案】⑴解：：圆心。的纵坐标为1,

O

・••设Q（m,1）,F（0,白）,

VQO=QF,

.・城+(营)2=nf+7)2,

*.a=1,

••抛物线为y=x2

(2)解：・・，M在抛物线上，设M(t,t2),Q(m,1),

o

••0、Q、M在同一直线上，

*.KOM=KOQ,

理1

.•1豕

,,m=it'

.,QO=QM,

整理得到：-ie+e+e-2mt=o,

A^+St2-1=0,

J(t2+l)(4t2-1)=o,

ii

..11=与，t2=一

当t尸|时，m尸i,

当t2=-4时，m2=_\•

AMI(i,i),Qi(i,i),Mz(-i1),Qi(-i,吉)

(3)解：设M(n,n2)(n>0),

AN(n,0),F(0,1),

'MF;^n2-(n2-1)2J(n2+1)2=/+/,MN+OF=n2+1,

AMF=MN+OF.

【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用•几何问题

【解析】【分析】⑴设Q(m,1),F(0,小,根据QO=QF列出方程即可解决问题.⑵设

M(t,t2),Q(m,1),根据KON尸KOQ，求出t、m的关系，根据QO=QM列出方程即可解决问

2

题.(3)设M(n,n)(n>0),则N(n,0),F(0,1),利用勾股定理求出MF即可解决问

题.本题考查二次函数的应用、三点共线的条件、勾股定理等知识，解题的关键是设参数解决问

题，把问题转化为方程解次，属于中考常考题型.

13.【答案】(1)解：•・•点B的坐标为(1,0),OC=3OB,

AOB=1,OC=3,

，点C的坐标为(0,-3).

(2)解：将B(I,0)、C(0,-3)RAy=ax2+3ax+c,得：

产3。+；=0,解得：=1,

1。=-31c=-3

・•・抛物线的解析式为y=|x2+|x-3.

(3)解：过点D作直线DE〃y轴，交AC于点E,交x轴干点F,过点C作CG_LDE于点G,如

图所示.

当y=0时，有*x?+?x-3=0,

解得：X|=-4,X2=i,

，点A的坐标为(-4,0),

/.AB=5.

设直线AC的解析式为y=kx+b(k#0),

将A(-4,0)、C(0,-3)代入y=kx+b,得：

3(3

.-4k+b=4,解得：任=-4,

b=-3lb=-3

・•・直线AC的解析式为y=-1x-3.

设点D的坐标为(t,Ix2+x-3),则点E的坐标为(t,-It-3),

AED=-t-3-(1x2+5x-3)=->2-33

4444

S四边形ABCD二SAABC+SAAED+SACED»

=1AB・OC+1ED・AF+|ED-CG,

乙乙乙

=iAB・OC+|ED*AO,

=1x5x3+1x4(-1t2-3t),

=-乳2-6t+孕=・?(t+2)2+期.

V-1<0,

27

・••当t=-2时，四边形ABCD的面积取最大值，最大值为

答：四边形ABCD面积的最大值为名.

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【分析】（1）•・•点B的坐标为（1,0）,OC=3OB,；.OB=1,OC=3,再根据a>0,由此可知

c<3,得出c的坐标；

（2）代入法求解析式。根据B、C两点坐标，代入解析式得到方程组，再求解即可得出结果，

（3）抛物线求面积最值问题，可以用分割法，再利用“铅锤高”的概念可以得出结果。此题SAED+SCED

=DExAO-2,DE称之为三角形ADC的铅锤高，AO称之为水平宽。

14.【答案】（1）解：①过点B作BN_Lx釉于N,如图2,

〈AAMB为等腰直角三角形，

.\ZABM=45°,

•・・AB〃x轴,

・•・ZBMN=ZABM=45°,

AZMBN=90°-45°=45°,

AZBMN=ZMBN,

AMN=BN,

设B点坐标为（n,n）,代入抛物线y=x?,

得n=*

.*.n=l,n=0（舍去），

AB（1,1）

AMN=BN=1,

22

・・・MB=Vi+i=V2,

AMA=MB=V2，

在RSAMB中，AB=JMB?+MA?=2,

，抛物线y=x2的“完美三角形”的斜边AB=2；②相等

（2）解：・・,抛物线丫=&乂2与抛物线丫=@乂2+4的形状相同，

・•・抛物线y=ax2与抛物线y=ax?+4的“完美三角形“全等，

•••抛物线y=ax2+4的“完美三角形“斜边的长为4,

・•・抛物线y=ax2的“完美三角形”斜边的长为4,

・・・B点坐标为（2,2）或（2,-2）,

把点B代入y=ax2中，

.,1

・・口=±2.

故@=；或-1；

（3）解：•・，y=mx2+2x+n-5的最大值为-1，

.4m（n—5）—4.

---------4^—二T，

mn-4m-1=0,

:抛物线y=mx2+2x+n-5的“完美三角形"斜边长为n,

・•・抛物线y=mx?的“完美三角形"斜边长为n,

:•B点坐标为g,—,

・•・代入抛物线y=mx2,得堂2.巾=一4

-2或n—0（不合题意舍去），

・3

,,m=,

故m=-1,n=1.

【知识点】二次函数的实际应用-几何问题

【解析】【解答］解：（1）②•・•抛物线y-x2十1与y-xz的形状相同，

，抛物线y=x2+l与y=x2的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等：

故答案为：相等；

【分析】（1）①过点B作BN_Lx轴，垂足为N,根据AAMB为等腰直角三角形和平行线的性质得

ZBMN=ZABM=45°,所以/BMN=NMBN,得到MN=BN,设B点坐标为（n,n）,代入抛物

线y=x2,得门二标，解方程求得n的值，则可得B的坐标，用勾股定理求出BM的长度；在

RtAAMB中，用勾股定埋计算可求解;

②因为抛物线y=x2+l与y=x2的形状相同，所以抛物线y=x2+l与y=x2的“完美三角形”的斜边

长的数量关系也相等；

(2)根据抛物线y=ax?与抛物线丫=2这2+4的形状相同，所以抛物线y=ax?与抛物线y=ax?+4的

“完美三角形”全等，所以抛物线y=ax?+4的“完美三角形”斜边的长为4,所以抛物线y=ax?的“完

美三角形''斜边的长为4,故B点坐标为(2,2)或(2,-2),把点B的坐标代入y=ax2中计算即可

求解；

(3))根据y=mx2+2x+n-5的最大值为-1可求得出喏化简得mn-4mT=0,根据抛

物线y=mx24-2x+n-5的“完美三角形"斜边长为n,所以抛物线y=mx2的“完美三角形”斜边长为

n,所以把B点坐标(M,-/)代入抛物线y=mx2,得关于mn的方程，解之可求解.

15.【答案】(1)解：(1)当x=0时，y=-x2+2x+3=3,则C(0,3),

当y=0时，・x2+2x+3=0,解得xi=-l,x2=3,则A(-1,0),B(3,0),

Vy=-X2+2X+3=-(x-1)?+4,

・•・抛物线对称轴为直线x=l,

而点D和点C关于直线x=l对称，

AD(2,3),

设直线AD的解析式为y=kx+b,

把A(-1,0),D(2,3)分别代入得Ge；：,解得｛，：；，

直线AD的解析式为y-x+1；

(2)解：当x=0时,y=x+l=l,则E(0,1),

VOA=OE,

•••△OAE为等腰直角三角形，

.-.ZEAO=45°,

VFH^OA,

•••△FGH为等腰直角三角形，

过点F作FN_Lx轴交AD于N,如图，

•\FN_LFH,

・・・AFNH为等腰直角三角形，

而FG_LHN,

，GH=NG,

FGH周长等于^卜GN的周长，

•.•FG=QN二挈卜N,

2

FGN周长二(I+V2)FN,

・••当FN最大时，AFGN周长的最大，

设F(x,-x2+2x+3),则N(x,x+1),

FN=-x2+2x+3-x-1=-(x-i)2+5,

当x马时，FH有最大值?，

乙T,

•••△FGN周长的最大值为(1+△)X99+972

4=4(

即AFGH周长的最大值为上竺1

4

(3)解：直线AM交y轴于R,y=-x2+2x+3=-(x-1)M,则M(1,4)设直线AM的解析式

为y=mx+n,把A(・1,0)、M(1,4)分别代入得｛骁;屋；，解得机・.・直线AM的解析

式为y=2x+2,当x=0时，y=2x+2=2,则R(0,2),

当AQ为矩形APQM的对角线，如图1,

备用图1

VZRAP=90°,而AOJ_PR,ARtAAOR^RtAPOA,AAO：OP=OR：OA,即1：OP=2：1,解得

OP§,，P点坐标为(0,・»•・•点A(・l,0)向上平移4个单位，向右平移2个单位得到M

(1,4),・••点P(0,-1)向上平移4个单位，向右平移2个单位得到Q(2,Z),•・,点T和点Q

关于AM所在直线对称，・・・T点坐标为(0,2).

当AP为矩形AMPQ的对角线，反向延长QA交y轴于S,如图2,

【知识点】二次函数的实际应用•几何问题

【解析】【解答】CD先求出C(。，3),A(-1,0),B(3,0),再利用配方法得y=-(x-1)

2+4,则抛物线对称轴为直线x=l,于是可确定D(2,3),则可利用待定系数法求直线AD的解析

式;

(2)由E(0,1)可判断AOAE为等腰直角三角形，则NEAO=45。，由于FH〃OA,则可得到

△FGH为等腰直角三角形，过点F作FN_Lx轴交AD于N,如图，则△FNH为等腰直角三角形，所

以GH=NG,于是得到△FGH周长等于△FGN的周长，由于FG二GN二号FN,则△FGN周长二

(1+V2)FN,所以当FN最大时，ZkFGN周长的最大，设F(x,-x2+2x+3),则N(x,x+1),则

FN=-x2+2x+3-x-1,利用二次函数的最值问题可得当x吊时，FH有最大值"于是△FGN周长的

最大值为上学也；

4

(3)直线AM交y轴于R,M(1,4),利用待定系数法求出直线AM的解析式为y=2x+2,则R

(0,2),然后分类讨论：当AQ为矩形AMPQ的对角线，如图1,利用RlZkAORSRIAPOA,可

计算出OP=：,