2026年中考数学压轴题专项练习-数学建模思想（学生版+详解版）

数学建模思想

1.(2025春•大连期末)如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-gx+2与x轴，y轴分别交于点A,

点、B,直线4c与x轴负半轴交于点C,且"=04.直线y=j1•与直线4c交于点。，点P在x轴上.

(1)求直线8C的解析式；

(2)若PB=PD,求点P的坐标；

(3)如图2,连接"),若NODB=/PDA,求点P的坐标.

图1图2

2.(2025秋•上城区期末)已知RtAABC,两直角边横与AC之和为4,作AAAC的外接圆，点O为圆

(1)如图1,连结OA,当4C：‘9O。时，求04的值.

(2)如图2,过点A作14c于点。，点E为AC中点，连结DE,求证：AC：2NADE.

(3)如图3,作/小C的平分线交4c于点尸，线段AF是否存在最大值？若存在，请求出AF的最大

值；若不存在，请说明理由.

3.（2025•临海市一模）【发现问题】

小聪发现图1所示知形甲与图2所示知形乙的周长与面积满足关系：丝=&=」.

GS甲2

24

a=56=28

甲

S.=96

=48

图1

【提出问题】

对于任意一个矩形A,是否一定存在矩形8,使得G=&=1成立？

GSA2

【解决问题】

（1）对于图2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可设两条邻边长分另为尤和7-X）,使得豆=&=■!■

C乙S乙2

成立.若存在，求出矩形丙的两条邻边长；若不存在，请说明理由；

（2）矩形A两条邻边长分别为，”和1,若一定存在矩形6,使得邑=&='成立，求〃？的取值范围；

CiS&2

（3）请你回答小聪提出来的问题.若一定存在，请说明理由；若不一定存在，请直接写出矩形4两

条邻边长叫〃满足什么条件时一定存在矩形

5.（2024•白下区一模）（1）在遇到问题：“钟面上，如果把时针与分针看作是同一平面内的两条线段，

在2：00~2:13之间，时针与分针直合的时刻是多少？时，小明尝试运用建立函数关系的方法：

①恰当选取变量x和），.小明设2点钟之后经过m?加（噱/15）,时针、分针分别与竖轴线（即经过表示

"12''和"6"的点的直线，如图1）所成的角的度数为x。、y2°;

②确定函数关系.由于时针、分针在单位时间内转动的角度不变，因此既可以直接写出力、），2关于工

的函数关系式，也可以画出它们的图象.小明选择了后者，画出了图2;

③根据题目的要求，利用函数求解.本题中小明认为求出两个图象交点的横坐标就可以解决问题.

请你按照小明的思路解决这个问题.

（2）清运用建立函数关系的方法解决问题：钟面上，如果把时针与分针看作是同一平面内的两条线

段，在7:30〜8:00之间，时针与分针互相垂直的时刻是多少？

图।

6.(2025春•船营区校级期末)如图①，直线4：y=1x+l与x轴交于点A,直线/，与x轴交于点C,两

4

直线相交于点尸，已知点C的坐标为(3.5,0),点尸的横坐标为2.

(1)直接写出点A,P的坐标；

(2)求出直线4的函数表达式；

(3)如图②，点”是射线AP上任一点，过点M作)，轴的平行线交直线于点N,连接4V.设点M

的横坐标为/〃，MNP的面枳为S.

①用〃?表示点M,N的坐标：M(),N()：

②求S与，〃的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

7.(2025春•荆门期末)如图所示，汉江是长江最大的支流，它流经美丽的荆门，汉江一侧有一村庄

C,江边原有两个观景台A,4,其中AB=AC,现建设美丽乡村，决定在汉江边新建一个观景台H(点

A,H,8在同一条直线上)，并新修一条路CH,测得8c=6千米，C"=4.8千米，期7=3.6千米.

(1)C”是不是从村庄C到江边的最短路线？请通过计算加以说明；

(2)求原来的路线AC的长.

8.(2025春•宁江区期中)如图，在RtAABC中，ZC=90°,4C=3厘米，CB=4厘米.两个动点夕，Q

分别从A,。两点同时按顺时针方向沿A/WC的边运动.当点。运动到点A时，P,Q两点运动即停

止.点P,Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动的时间为r(秒).记线段PQ与

从点尸按顺时针方向沿&WC的边到点Q的折线段所围成的图形的面积为S(平方厘米).

(1)用含，的代数式表示PC的长；

(2)当点。运动时，求S与时间r的函数关系式，并写出自变量/的取值范围：

(3)点P,。在运动的过程中，S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由.

9.(2025春•南通期末)定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于〃(〃..0)的点叫做这个函数图象

的“〃级限距点例如，点(L3是函数产x图象的级限距点“；点(2J)是函数y=/x+2图象的“2

3322

级限距点

(1)在①(」，-1)：③(1,2)三点中，是函数y=2x图象的“1级限距点''的有(填序

233

号)；

(2)若y关于x的一次函数)，="+3图象的“2级限距点''有且只有一个，求A的值；

(3)若y关于x的函数y=-|x-g|-2〃+l图象存在“〃级限距点”，求出〃的取值范围.

1().(2025春•碑林区校级期中)如图①，点A、点4分别在直线斯和直线MN上，EF//MNtZABN=45。,

射线AC'从射线A?的位置开始，绕点A以每秒2。的速度顺时针旋转，同时射线位)从射线BM的位置

开始，绕点8以每秒6。的速度顺时针旋转，射线8。旋转到BN的位置时，两者停止运动.设旋转时间

为f秒.

(1)^AF=°；

(2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线AC与射线3。所在直线的夹角为80。，若存在，求

出/的值；若不存在，请说明理由：

(3)在转动过程中，若射线AC与射线血交于点”，过点，做HK_LAQ交直线AF于点K,且空的

/ABH

值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由.

M------g--------------------NM~DB~

图①图②（备用图）

11.(2025春•普陀区期中)长江汛期来临之前，为了便于夜间查看江水及两岸河堤的恃况，防汛指挥

部在笔直且平行的长江两岸河提AB、CZ)上安置了P、Q两盏激光探照灯如图所示.光线咫按顺时

针方向以每秒1。的速度从P4旋转至以便立即回转，并不断往返旋转；光线QG按顺归针方向以每秒

3。的速度从QC旋转至QO便立即回转，并不断往返旋转.

(1)如果两灯同时开始转动，光线。耳和光线旋转时间为/秒(0</<60),

①如图1,请用含/的代数式表示光线转动的角度，即/切的=。；用含/的代数式表示光线QG

转动的角度，即NCQG=°.

②如图2,当光线QG与光线2勺垂直，垂足为”时，求f的值.

(2)如果光线尸4先转动20秒，光线QG才开始转动，在光线P4第一次到达E4之前，求光线QG旋

转几秒时，与光线「与平行？

12.（2025春•武汉期末）如图1,已知直线/J%,点4、4在直线乙上，点C、。在上，线段4）交

线段比1于点E,且N/3££>=60。.

（1）求证：Z4BE+ZEDC=60°；

（2）如图2,当尸、G分别在线段AE、EC上，H^ABF=2/FBE,ZEZX7=2ZGZX7,标记/BFE为/I,

ZBGD为Z2.

①若Nl-N2=16。，求ZAZX?的度教；

②当左=时，（ZN1+N2）为定值，此时定值为.

13.(2025秋•碑林区校级期中)【知识准备儿数轴上A、△两点对应的数分别为a、/»,则A、B两

点之间的距离表示为：AB=[a-b.

【问题探究】：数轴上A、8两点对应的数分别为八b,且满足|a+2|+S-6)2=0.

(1)求得A、4两点之间的距离是:

(2)若在数轴上有一点满足8V/=4/W,求点M表示的数；

(3)若P、Q两点在数轴上运动，点尸从A出发以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时，点

Q从8出发以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动.经过秒，P、Q相距2个单位长度；

(4)原点O在数轴上表示0,点N在数轴上表示3,若A、O两点在数轴上以2个单位长度/秒的速

度同时向右匀速运动，与此同时，2、N以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左匀速运动，在这个

过程中，有一段时间，4、O两点都运动在线段上，则这段时间的时长是秒.

14.（2025秋•石狮市期末）如图，将一块直角三角板ABC按如图所示放置，点A,"在数轴上，4^=5,

点6在点A右边，点A表示的数是-3.

（1）直接填空：点8表示的数是；

（2）将三角板ABC沿数轴正方向移动至三角板的位置，点A,B,。的对应点分别是点A,B\

C.

①连结CV,若CY恰好将三角板A3C的面积分成2:3的两部分，求这时点A表示的数；

②设三角板A/3C的移动速度为每秒2个单位长度，点E为线段AV的中点，点尸在线段49上，且

BE=4BF.设三角板ABC移动的时间为/（秒）.试探索：是否存在某一时刻,,使点£与点尸表示的

两个数互为相反数？若存在，试求出/的值；若不存在，请说明理由.

（备用图）

15.(2025秋•禅城区校级期中)在AAAC中，它的边BC=120,高人。=80.

(1)如图1,正方形PMWQ的一边在上，其余两个顶点分别在AB,4。上.问正方形的边长是多

少？

(2)如图2,点尸、G分别在AB,AC上，且FG//BC,点、P为BC上一点、,连接即、GP,则当尸G=

时，AFGP的面积最大值=.

16.(2025秋•邱城区期中)下面是小丽同学根据学习函数的经验，对函数)，==d+3|x|+2的图象与性

质进行的探究过程.

(1)函数)，=-/+3闭+2的自变量工的取值范围是.

(2)列表

X…-4-3-2-1.5-1011.5234•••

>>…-2244.25424m42-2•••

表格中机的值为

(3)如图，在平面直角坐标系xO.v中，画出了函数1y=-丁+3|x|+2的部分图象，用描点法将这个函数

的图象补充完整；

(4)对于上面的函数)，=-犬2+3|f|+2,

下列四个结论：①函数图象关于)，轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当X>1时，)，随X的

增大而减小；④函数图象与龙轴有2个公共点.所有正确结论的序号是：.

(5)结合函数图象，解决问题：

关于x的方程-x2+31x|+2=3有个不相等的实数根.

17.(2024秋•长乐区期末)已知两条直线4，12,/,///,,AA,4在直线4上，点4在点4的左边,

点C,。在直线4上，且满足Z/V)C=ZA5C=U5。.

(1)如图①，求证：AD//BC：

(2)点A/,N在线段CQ上，点M在点N的左边且满足ZM4C=N4AC,且4V平分NC4O；

(I)如图②，当448=30°时，求ND4M的度数；

(H)如图③，当NC4P=8NMW时，求44C。的度数.

18.(2024•鸡西一模)由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份售价比一月

份售价每台降价500元.如果卖出相同数量的手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有

8万元.

(1)求二月份甲型号手机每台售价为多少元？

(2)为了提高利润，该店计划三月份加入乙型号手机销售，已知甲型每台进价为3500元，乙型每台

进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.5万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几

种进货方案？

(3)对于(2)中刚进货的20台两种型号的手机，该店计划对甲型号手机在二月份售价基础上每售

出一台甲型手机再返还顾客现金门元，乙型手机按销售价4400元销售，若要使(2)中所有方案获利

相同，〃应取何值？

19.(2024•南岸区校级模拟)某公司研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为24。()元.在该产

品的试销期间，为促销，公司决定：商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；

若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销

售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件.

(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？

(2)设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利泗为)，元.在公司规定范围内，商家购买多少

件时，公司可获得最大利润？最大利洞是多少？

(3)某商家一次购买这种产品〃件，以每件3200元的价格全部售出，共获利24750元(不计其它成

本)，请求出产品件数a的值.

20.（2024秋•永川区校级月考）我市的公租房建设卓有成效，目前已有部分公租房投入使用，计划

从今年起，在未来的10年内解决低收入人群的住房问题，预计第1年破工并投入使用的公租房面积），

（百万平方米）满足关系式：

啜!k6时，y=-—x+5;7效*10时，y=--%+—.

684

（1）口设第6年到第8年间每年竣工并投入使用的公租房面积呈下降趋势，且年平均下降率相同，

求这个年平均下降率.（乎=0.97）

（2）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第10年竣工投入使用

的公租房在原预计总面积不变的，青况下，要让人均住房面积比第6年提高期，这样解决住房的人数

将比第6年解决的人数减少〃％,求〃的值（&=1.4,结果保留整数）.

1.（2025春•大连期末）如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-gx+2与x轴，丁轴分别交于点A,点A,直线

与x轴兔半轴交于点C,ROC=OA.直线），=x与直线8C交于点。，点?在x轴上.

（1）求直线AC的解析式：

（2）若PB=PD,求点P的坐标;

求点尸的坐

【解答】解：(1)将x=0代入y=—gx+2,解得)，=2,

8(0,2),

将y=0代入y=一34+2得

0=--x+2»解得x=4,

2

4(4,0),

•・•OC=OA,

.\C(-4,O),

设)，8c="+〃，将3(0,2),C(-4,0)代入得,

b=2k=-

，解得2，

-4k+b=()

b=2

二直线3c的解析式为：y=^x+2.

（2）如图I,作8。的垂直平分线EP,垂足为点E,交x轴于点P,连接PB、PD,作EH上OP于点H,则PB=PD,

•.•直线），=x与直线8c交于点。,

，=人x=4

1C解得

y=-x+2y=4

,2

ZX4,4),

•.•点石为的中点，

.,.£（2,3）,

设点P的坐标为（九0）,则在C=m+4,

­.•CD=>/82+42=4x/5,

即(w+4)x4=4>/5-PE,

在RlAPEH中，EH=3,PH=m-2,PE=—^,

V5

EH°+PH2=PE：

即32+W-2)2=()2,

V5

解得〃?=?,

2

0).

2

7

当心时，点。的坐标为(一，0).

2

(3)如图2,作b_L直线)，=x,垂足为点

在RdCOF中，ZCOF=45°,OC=4,

..CF=OF=2y/2,

vA(4,0),以4,4),

.•.AO_Lx轴，00=4应，

:.FD=OF+OD=6>/2,

在IsCDF和△[DA中，4CFD=A。=90°，Z.ODB=,

:MDFsARDA，

CFDFnn2V26x/2

/.——=——，即------=------,

小DA小4

4

：.PA=-,

13

,-.O/；=4--=-,OR.=4+-=—,

33233

0)或(3,0).

33

2.（2025秋•上城区期末）已知RtAABC,两直角边A3与AC之和为4,作AA3c的外接圆，点。为圆心.

(1)如图1,连结OA,当AC：'90。时，求04的值.

(2)如图2,过点A作AO_L4C于点。，点E为AC中点，连结DE,求证：AC^2ZADE.

(3)如图3,作NR4C的平分线交BC于点尸，线段A/是否存在最大值？若存在，请求出A厂的最大值；若不存

在，请说明理由.

.•.AC是O。的直径.

AC-90°,

ZABC=45°.

RtAABC为等腰直角三角形.

/.BA—AC.

•.•两直角边他与AC之和为4,

:.BA=AC=2.

BC=>JAB2+AC2=2X/2.

:,OA=-BC=42.

2

(2)证明：•.•AO_L8C于点。，点芯为AC中点,

■,DE=-AC=AE=EC.

2

:.ZED\=ZEAD.

-.•Z2X4C=9O°,AD工BC,

：.AAI3D^>ACAD.

;./B=/DAC.

:.ZADE=ZB.

•.•圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，

皮」AC.

-2

W

AC.2Z.ADE.

(3)解：线段所存在最大值，理由：

过点尸作尸D_LA8于点O,左;_LAC于点石，如图,

•.•Z£MC=90°,FD±AB,FE±AC,

二.四边形4)正为矩形.

vZ^4C=90°,AF是N84C的平分线,

/.Z/M/'=ZC4?=45°.

.••矩形4)正为正方形.

：.FD=FE=AD=AE,AF=>j2DF.

设正方形4)庄的边长为x,BD=m,

：.DF=AD=AE=x»AB=x+m.

•.•4C+AB=4,

AC=4-x-m.

•.・DF//AC,

:.MiDFsgAC.

BDDF

~BA~~AC•

mx

------=------------■

x+ni4-x-m

：.JC4-nix=4/77-nix-nr.

...x2+2"ix+irr=4m.

即:(x+m)2=4m.

vx>0,/n>0，

x+in=2\[m.

x=-tn+2\[in=~(\fm-1)2+1.

,当册=1即〃?=1时，x有最大值1,

当〃2=1时，。尸由最大值1.

AF=y/2DF,

有最大值为夜.

3.（2025•临海市一模）【发现问题】

小聪发现图1所示矩形甲与图2所示矩形乙的周长与面积满足关系:

2

G(iS甲

246口

Cz.=28

甲

5乙=48

图1图2

【提出问题】

对于任意一个矩形A，是否一定存在矩形使得邑=&='成立？

g5八2

【解决问题】

（1）对于图2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可设两条邻边长分别为x和7-x）,使得m=生=［成立.若存

C乙S乙2

在，求出矩形丙的两条邻边长；若不存在，请说明理由;

（2）矩形A两条邻边长分别为〃?和1,若一定存在矩形8,使得邑=&=2成立，求〃?的取值范围；

CS八2

（3）请你回答小聪提出来的问题.若一定存在，请说明理由；若不一定存在，请直接写出矩形A两条邻边长a,b

满足什么条件时一定存在矩形B.

【解答】解：（1）不存在矩形丙，使得5=&成立.理由:

C乙S乙2

假定存在矩形内,

..£i=5i=l,

.金s乙2

.•.矩形丙的两个邻边之和为7,它的面积为24.

设两条邻边长分别为x和7-犬，由题意得:

x(7-x)=24.

.,.丁一女+24=0.

△=(-7)2-4xlx24=-47<0,

二此方程没有实数根,

「•不存在矩形丙，使得笑二叁二!成立.

QS乙2

（2）•.•矩形A两条邻边长分别为〃?和1,

若存在矩形8,使得％=&=•!■成立，则矩形5的邻边之和为生

GSA22

设矩形区的一边为X，则另一边为W—X,由题意得：

2

fn+\、tnx1

M—---x）=^—•

22

化简得:2X2-（/«+l）x+zn=0.

由题意方程2/_（〃?+]）犬+〃?二0一定有实数根.

/.△=[―（/〃+I）]2—4x2m..0.

解得：〃?..3+2&或痔，3-2&.

加为矩形A的边长,

/.m>0.

:.m的取值范围为:0<科,3-2南或加..3+2夜.

（3）由（2）可知：对于任意一个矩形A,不一定存在矩形6,使得邑二邑=’成立.

GSA2

当矩形A两条邻边长。，〃满足0<2,3-2&或纥3+2拒时，一定存在矩形

aa

4.（2024秋•汉阳区校级月考）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商

品的售价每上涨I元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）.设每件商品的售价上涨x元（x为正整数）,

每个月的销售利润为），元.

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围.

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？

（3）根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

【解答】解：（1）根据题意得，y=（50+x-40）（210-l0x）=-10x2+110x+2100（0<A；J5）

（2）由（1）知，），=-10丁+110%+2]0（）,

•.•每个月的利润恰为2200元，

/.-10?+110x4-2100=2200,

或x=10,

.•」+50=51或60,

即：每件商品的售价定为51或60元时，每个月的利润恰为2200元；

（3）由（1）知，J=-10X2+110JC+2100,

每个月的利润不低于2200元，

.-.-10x2+110x+2100..2200,

/.（x-l）（x-IO）„O,

/.1M10,

v0<A;,15,

/.1M10,

即:售价在51到60之间（包括51和60）时，每个月的利润不低于2200元.

5.（2024•白下区一模）（1）在遇到问题：“钟面上，如果把时针与分针看作是同一平面内的两条线段，在2:00〜2:15

之间，时针与分针重合的时刻是多少？”时，小明尝试运用建立函数关系的方法：

①恰当选取变量x和y.小明设2点钟之后经过m而（（货上15）,时针、分针分别与竖轴线（即经过衣示“12”和“6”

的点的直线，如图1）所成的角的度数为y。、8°：

②确定函数关系.由于时针、分针在单位时间内转动的角度不变，因此既可以直接写出凹、为关于人的函数关系式，

也可以画出它们的图象.小明选择了后者，画出了图2；

③根据题目的要求，利用函数求解.本题中小明认为求出两个图象交点的横坐标就可以解决问题.

请你按照小明的思路解决这个问题.

竖轴钱

|><°）

O\5101520；（min）

困1图2

（2）请运用建立函数关系的方法解决问题：钟面上，如果把时针与分针看作是同一平面内的两条线段，在

7:30~8:00之间，时针与分针互相垂直的时刻是多少？

【解答】解：（1）时针：y.=60+—x.

12

分针：%=6%.

60+—x=6x,

2

解得x=电.

11

所以在2:00~2:15之间，时针与分针重合的时刻是2:1012

7,

（2）时针：y,=135+-x.

-2

分针：、2=6X.

135+—x=6x,

2

解得：x=

11

・•・时针与分针垂直的时刻是7:54--

11

6.（2025春•船营区校级期末）如图①，直线4：y='x+l与x轴交于点A,直线/，与x轴交于点C,两直线相交于

点尸，已知点C的坐标为（3.5,0）,点尸的横坐标为2.

（1）直接写出点A,尸的坐标；

（2）求出直线4的函数表达式；

（3）如图②，点M是射线"上任一点，过点”作），轴的平行线交直线于点N,连接4V.设点M的横坐标为

m,AAA"的面积为S.

①用〃?表示点N的坐标：N（____）；

4

【解答】解：(1)在直线4：y=Lr+l中，

令y=0,得0=}+1,

解得x=-4，

/.4-4,0),

令x=2,得),=：x2+l='|,

3

二.P(2,—);

2

(2)设直线的函数表达式为：y=kx+b,

3

将P(2,?)、C(3.5,O)代入，得,k+b=Q,

2[3.5k+〃=O

A=-l

解得，，7，

b=—

.•・直线/，的函数表达式为：j=-x+2；

-2

(3)①将x=，〃代入直线4:y=；x+1,

4

7

将x=rn代入直线Z,:y=—x+—,

-2

7

2

I7

②由①得/WQ/iq7〃十D，NQ〃,-/〃+Q)>

/.MN=|(:m+1)-(-m+g)I，

如图②，点M在线段"上时，即T殁近2,

…55

MN=—m4--,

42

„__1/55、/八1,55、八、1515

SS+S

^ANP=MMNSPMN=-><(--ni+:-)x(in+4)+-x(--m+^)x(2-m)=--/n+-：

如图③，点M在射线4)上(点尸右侧)时，即/">2,

…55

MN=—"1»

42

Gcc1/55、,“、155、,〜1515

，

SMNP=S^MN-S^MN=2X4W-2X""+4)--x(-/«--)x(m-2)=-ni--.

综上所述，S与，〃的函数关系式为：S=-日相+3(-4殁近2)或5=?加一孩(〃>2).

7.（2025春•荆门期末）如图所示，汉江是长江最大的支流，它流经美丽的荆门，汉江一侧有一村庄C,江边原有

两个观景台A,B,其中AB=4C,现建设美丽乡村，决定在汉江边新建一个观景台〃（点A,H,8在同一条

直线上），并新修一条路C”，测得BC=6千米，CH=4.8千米，5〃=3.6千米.

（1）C”是不是从村庄C到江边的最短路线？请通过计算加以说明：

（2）求原来的路线AC的长.

【解答】解：（1）是，

理由是：在中，8c"=6千米，CH=4.8千米，的=3.6千米,

/.CH2+BH2=4.82+3.62=36,BC2=36,

:.CH、BH°=BC:

所以C"是从村庄。到河边的最短路线；

（2）设AC=x千米，

在RtAACH中，由已知得AC=x千米，A，=（x-3.6）千米，。/=4.8千米,

由勾股定理得：AC2=AH2+CH2,

x2=（工一3.6y+4.82,

解这个方程，得工=5,

答：原来的路线AC的长为5千米.

8.（2025春•宁江区期中）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=3厘米，C8=4厘米.两个动点P,Q分别从A,

C两点同时按顺时针方向沿凶3c的边运动.当点Q运动到点人时，，P,Q两点运动即停止.点P,。的运动速

度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点尸运动的时间为/（秒）.记线段PQ与从点P按顺时针方向沿AA4c的边到

点。的折线段所围成的图形的面积为S（平方厘米）.

（1）用含f的代数式表示PC的长；

（2）当点P，Q运动时，求S与时间/的函数关系式，并写出自变量/的取值范围；

（3）点尸，Q在运动的过程中，S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由.

【解答】解：（1）・・•RtAABC中，NC=90。，AC=3厘米，C4=4厘米,

.•./\4=5厘米.

•.•（4+5）+2=2秒.

2

.••尸运动的最大距离为2xi=2厘米，

22

.•・当点尸在AC边上运动时，PC=3-Z；

当点夕在边上运动时，PC=t-3.

(2)当0</,,2时，点尸在AC边上，点Q在C8边上，如图所示,

•••AC=3,BC=4,AB=5,点、P,Q的运动速度分别为I厘米/秒、2厘米/秒,

,\AP=l,CP=3-t,CQ=Z,

•/ZC=90°,

.•.以P,C,Q三点为顶点的三角形是直角三角形.

S=S^PCQ=^CPCQ=^(3-t)x2t=-r+3t,

当2<L,3时，点尸在AC边上，点。在A8边上，如图所示,

­,AC=3,BC=A,A〃=5,点P，Q的运动速度分别为I厘米/秒、2座米/秒，

：.AP=t,AQ=9-2t,

二线段P。与从点0按顺时针方向沿A/WC的边到点Q的折线段所围成的图形为四边形PCBO.

此时S=SA38—Sw，0,过点。作P£>_AQ于。.

•/ZA=ZA,ZADP=ZACB.

：./SADP^MCB,

PDAPPDt你俎口八4

——=——，K即n——=一，解得夕。

BCAB455

I44

••=-AQ-PD=-(9-2t)x-t=--r+—t,

J/•JJJ

ccc1…/4218、/4218、4218/

••s=SACAB_S^NPQ=]x3x4_(-工1=+-t)=-t--1+6.

当3〃,2时，点尸在CB边上，点。在边上，如图所示.

2

BC=4,48=5,CP=t-3,BP=7T,AQ=2-4,

••・线段PQ与从点P按顺时针方向沿MBC的边到点Q的折线段所围成的图形为三角形PQB.

此时，S=S.QPB，过点尸作庄_LQB于E.

NREP=NBCA,

：.ABEPsABCA,

...这:”即笠=士

ACAB35

解得枕=21二卫，

5

2

・•.S=S^,p/i=-BQPE=-(2f-4)x^^-=--t+—f-—

的225555

—t'+3/(0</„2)

^r-y/+6(2</„3)

综上，S=«

3,2742c9、

一一r+—t---(3<t„—)

5552

R9

（3）由(2)知：,当0<7,,2时，5=-r+3r=-a--)2+-»

24

s有最大值为2；

时,

*4

c4218公4/9\239

当2<43时,

555420

•.•±>0,当时，函数值s随自变量/的增大而增大,

54

.•.当/=3时，S有最大值为口；

5

91H.e3,27423,9、,15

2555524

当f=2,s有最大值为空，

24

综上，当/=2时，S有最大值为”.

24

9.（2025春•南通期末）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大了〃（儿.0）的点叫做这个函数图象的“〃级限距

点”.例如，点打）是函数尸x图象的”;级限距点”；点（2,1）是函数y=-；x+2图象的“2级限距点”.

117

（1）在①（,，-1）；②（」,，）；③（1,2）三点中，是函数y=2x图象的“1级限距点”的有①②（填序号）:

233

（2）若），关于x的一次函数），=丘+3图象的“2级限距点”有且只有一个，求k的值；

（3）若），关于x的函数y=-|x-/-2〃+l图象存在“〃级限距点”.求出〃的取值范围.

【解答】解：（1）•.•点（-±-2）到两坐标轴的距离都不大于］,

233

・•・点（」1/）,（」I,，7）是函数），=2》・图象的“1级限距点”，

233

•.•点。,2）到。轴的距离为2,大于1,

.•.点（1,2）不是函数y=2.r图象的“1级限距点”，

故答案为：①②；

（2）如图，在以。为中心，边长为4的正方形只88中，当直线>=代+3与正方形区域只有唯一交点时，图象的

“2级限距点”有且只有一个，

当直线经过点ZX2,2)时，&=」；

2

综上所述：2的值为」或—

22

(3)当X..2时，y=-x-—n+\；当时，y=-x-—H+1；

2222

在以O为中心，边长为2〃的正方形力8c。中，当图象与正方形区域有公共部分时，

函数y=|x-9・2〃+图象的“〃级限距点”一定存在.

设A(-n,n),B(-n,-n),C(n,-n),0(〃,〃).

57

当图象经过点A(f,〃)时，代入y=x-耳〃+1,

当图象经过点(匕-〃)时，得〃=1.

2

故：当1别71时，函数)，=U-g|-2〃+l图象的“〃级限距点”一定存在.

10.(2。25春•碑林区校级期中)如图①，点A、点3分别在直线所和直线MN上，EFHMN,NABN=45。，射

线4c从射线AF的位置开始，绕点A以每秒2。的速度顺时针旋转，同时射线班＞从射线8W的位置开始，绕点8以

每秒6。的速度顺时针旋转，射线3。旋转到8V的位置时，两者停止运动.设旋转时间为，秒.

(1)ZBAF=135°；

(2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线AC与射线⑺所在直线的夹角为80%若存在，求出/的值；

若不存在，请说明理由；

(3)在转动过程中，若射线AC与射线4。交于点“，过点”做交直线AF于点K,"A"'的值是否会