2026年中考数学压轴题专项练习-转化思想（学生版+详解版）

转化思想

1.(2025秋•扶风县期末)二次函数y=加+次+c的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A(-1,0),

与y轴交于点。(0,-5),且经过点D(3,-8).

(1)求此二次函数的解析式；

(2)将此二次函数的解析式写成)，=〃。-力)2+4的形式，并直接写出顶点坐标以及它与x轴的另一个

交点8的坐标.

(3)利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程加+灰+c―=0(/为实数)在T<x<3的

范围内有解，则，的取值范围是.

2.(2025•沐阳县模拟)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=加+云+3的图象与x轴交于点4-G,

0),B(36,0),与y轴交于点C,其对称轴与X轴交于点D.

(1)求二次函数的解析式：

(2)若点E是线段4c上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为r，且EF=2EC,求点E的坐标：

(3)若P为y轴上的一个动点，连接2/),直接写出gpC+P。的最小值；

(4)若点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接附,PC,设点P的纵坐标为1,当ZAPC不小于60。

时，求/的取值范围.

3.(2025•南岗区模拟)如图，4?为0。直径，弦CD交AO于E,连接用)、BC.

(1)求证：NC+ZA^/)=SKT；

(2)若ZABC=2ZABO,求证：CB=BE；

(3)在(2)的条件下，连接AC,F、G在AC、BC上,且b=CG,连接所、EG,ZFEG=90°,

连接M,4CFB=/CGE,BG=24J,求处的长.

5.（2025•商河县校级模拟）（1）初步思考

如图1,在APCB中，已知PB=2,BC=4,N为BC上一点、且BN=1,试证明：PN=-PC

2

（2）问题提出

如图2,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点。是圆3上的一个动点，求的最

2

小值.

（3）推广运用

如图3,已知菱形AZ7CZ）的边长为4,ZZ7-60°,圆46勺半径为2,点〃是圆3上的一个动点、，＜PD--PC

2

的最大值.

6.（2025•长安区校级模拟）如图所示，二次函数），=-：/+云+2的图象与％轴交于点儿、B,与），轴

交于点C,点4的坐标为（-4,0）,尸是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）：

（1）则系数人=;点8的坐标是;

（2）设直线PA与直线AC相交于点是否存在这样的点P,使得QW:用4=1:2?若存在，求出点尸

的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC、BC,判断NC4B和NCB4的数量关系，并说明理由；

（4）设点M在二次函数的图象上，以点M为圆心，半径为|右的圆与直线AC相切，求点、取的坐标.

（备用图）

7.（2024•雁塔区校级模拟）问题提出

（1）如图1,正方形/WC"的对街线交于点O,△<_；/光是边长为6的等边三角形，则。、“之间的距

离为；

问题探究

（2）如图2,在边长为6的正方形A8CD中，以8为直径作半圆O,点尸为弧8上一动点，求A、

。之间的最大距离；

问题解决

（3）窑洞是我省陕北农村的主要建筑，窑洞宾饰更是一道靓丽的风景线，是因为窑洞除了它的坚固

性及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点家住延安农村的一对即将参加中考的双胞胎小宝

和小贝两兄弟，发现自家的窑洞（如图3所示）的门窗是由矩形A8CD及弓形AMD组成，AB=2m,

BC=3.2m,弓高WN=1.2"?（N为AD的中点，MN1AD）,小宝说，门角8到门窗弓形弧AD的最大距离

是8、M之间的距离.小贝说这不是最大的距离，你认为谁的说法正确？请通过计算求出门角3到门

窗弓形弧4）的最大距离.

8.（2025•宝安区校级三模）如图①，已知线段与直线/,过A、B两点、,作0。使其与直线/相切，

切点为尸，易证ZAP3=ZAHB>ZAQ8,可知点P对线段的视角最大.

问题提出

（1）如图②，已知A4BP的外接圆为O。，。。与0。相切于点P，交的延长线于点Q.

①请判断N8PQ与NA的大小关系，并说明理由.

②若Q8=2,AB=6,求PQ的长.

问题解决

（2）如图③，一大型游乐场入口/W设在道路ON边上，在“雪亮工程”中，为了加强安全管理，结

合现实情况，相关部门准备在与地面道路力N夹角为60°的射线OM方向上（位于垂直于地面的平面内）

确定一个位置C,并架设斜杆AC,在斜杆AC的中点P处安装一摄像头，对入口4?实施监控（其中

点A、B、D、P、C>M、N在同一平面内），已知D4=40米，48=25米，调研发现，当NATO最

大时监控效果最好，请问在射线ZW上是否存在一点C,使得ZAP8达到最大？若存在，请确定点。在

OM上的位置及斜杆AC的长度；若不存在，请说明理由.

9.(2025•永兴县二模)如图1,抛物线y=V-4x与x轴相交于原点O和点A,直线y=x与抛物线在

第一象限的交点为4点，抛物线的顶点为。点.

(1)求点"和点C的坐标；

(2)抛物线上是否存在点。，使得NDOB=NOBC?若存在，求出所有点。的坐标；若不存在，请说

明理由；

(3)如图2,点£是点8关于抛物线对称轴的对称点，点尸是直线08下方的抛物线上的动点，EF与

直线OB交于点G.设MAG和ABEG的面积分别为S；和邑，求色■的最大值.

10.(2025•瑶海区三模)已知抛物线C:)，=f_2法+C；

(1)若抛物线C的顶点坐标为(1,-3),求力、c的值：

(2)当c=〃+2,&2时，抛物线C的最小值是T,求〃的值；

(3)当c=Z/+l,3效卜/"时，犬-2法+的工-2恒成立，则〃?的最大值为

11.已知如图，直线A8:)，=-Gt+18G的图象与x轴，)，轴分别相交于4、A两点，点P在线段AA上

由A向4点以每秒2个单位运动，点Q在线段80上由4向。点以每秒1个单位运动(其中一点先到

达终点则都停止运动)，设运动的时间为/秒(1•.0).

(1)请直接写出A,8两点的坐标；

(2)当/值为多少时，APBQ为等边三角形？

(3)是否存在/的值，使APBQ为直角三角形？若存在，求出，的值：若不存在，说明理由.

12.(2025•雁塔区校级四模)(1)如图①，在AAAC中，AB=ACfZft4C=120°,4c=12,求AAHC外

接圆的半径r；

(2)如图②，0。是一个半径为20()米的圆形广场，弦是广场上一个长为2(X)6米的纳凉演绎舞

台，现计划在广场上建一个长为200米的手工艺集市CD,并在舞台/W和集市CD之间修建两个休闲

长廊AD和BC,规划长廊、舞台、集市围成四边形A8CD为活动区域，那么能否在优弧上确定两

点C、D,使得长廊AD+8C最长？若能，请求出AD+8C的最大值，并计算此时么位)的度数及四边

形A8CZ)的面积；若不能，请说明理由.

图①

图②

13.(2025秋•龙湖区校级月考)如图①，OO的半径为5,点A、A在上运动，以为边向圆心

方向作正方形ABCL).

(1)当48=5应时，判断并证明点。与0。的位置关系;

(2)如图②，当直线6与0。相切时，求回的长；

(3)请直接写出O、O两点距离的最小值.

14.（2025•南岸区校级模拟）初中阶段的函数学习中，我们经理了列表、描点、连线画函数图象，并

结合图象研究函数性质的过程，以下我们研究函数），=|工|-2性质及应用的部分过程，请按要求完成

x-2

下列各小题.

（1）下表是工与），的几组值，请在表格中的空白处填上恰当的数字;

X•••-4-3-1021345•••

~22

y•・•_244_8_4044•••

3535~33

（2）在平面直角坐标系中，补全描出表格中数据对应的各点，补全函数图象;

（3）观察函数y=|2|-2的图象，请写出函数的一条性质：____.

x-2

（4）若方程=p为常数）有三个实数解，则/的取值范围为

15.(2025秋•惠民县月考)小刚在用描点法画抛物线)，=〃/+队+c时，列出了下面的表格:

X・・.-2-101234・・・

y・・・-3023320・.・

(1)请根据表格中的信息，写出抛物线的一条性质:

(2)求抛物线的解析式；

(3)抛物线与x轴的交点分别为A、8(4在8的左侧)与y轴的交点为C,其对称轴与x轴的交点为

在抛物线的对称轴上存在点P，使APCD是以CZ)为腰的等腰三角形，求出产点的坐标；

(4)在(3)的条件下，抛物线上有一点Q,使A8CQ的内心在大轴上，直接写出点Q的坐标.

~OxO'

备用图1爸用图2

16.(2025•滨城区一模)如图，在RtAABC中，4=90。，功=。广，点石在4。上，以他为直径的0。

经过点。.

(1)求证：①4c是OO的切线；

②C£>2=CEC4;

(2)若点尸是劣弧4)的中点，且CE=3,试求阴影部分的面积.

17.(2024•商水县一模)自主学习，请阅读下列解题过程.

解一元二次不等式：X2-5X>0

解：设丁-5x=O,解得$=0,再=5,则抛物线y=/-5x与x轴的交点坐标为(0,0)和(5,0).画出二次

函数y=f-5x的大致图象(如图所示)，由图象可知：当x<0,或x>5时函数图象位于x轴上方，此

时y>0,即f_5x>0,所以，一元二次不等式x2-5x>0的解集为：x<0,或x>5.

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题:

(1)一元二次不等式V-5xv0的解集为.

(2)用类似的方法解一^元二次不等式：jv2-2x-3>0.

18.(2025•忻州模拟)阅读与思考

如图是小强同学的数学课堂笔记本，靖仔细阅读，并完成相应的任务.

平面直角坐标系与直角三角形

x年X月X日星期三

原理：根据直角三角形的定义，性质，判定，以直角三角形顶点分三种情况进行

分类讨论.口诀：“两线一圆”

作图：举例如下：已知A(3,O)、6(0,4),在直线x=l上求点C,使得AA4c为直角

三角形.以下分三种情况讨论：

情况一：当A为直角顶点时，过点A作A3的垂线/交直线x=l于点C,则交点即

为所求点C.如图①，有CI一个点；

情况二：当8为直角顶点时，过点8作A8的垂线/交直线x=l于点C,则交点即

为所求点c.如图②，有G一个点；

情况三：当C为直角顶点时，以A8为直径作圆，则该圆与直线x=l的交点即为所

求点c.如图③，有G，。“两个点；

图I图2图3

方法：一、几何法：构造“K型”或“一线三垂直”相似；

二、代数法：两点间的距离公式，列方程，解方程，检脸根；

三、解析法：求垂线解析式，联立方程组求交点.

任务：(1)上面课堂笔记中的分析过程，主要运用的数学思想是(从下面选项中选出两个即可);

A.数形结合

B.统计思想

C.分类讨论

D.转化思想

(2)选择一种课堂笔记本中记载的方法，求出“情况一”中C的坐标.

(3)直接写出“情况二”中G的坐标

(4)清你写出在“情况三”中，确定G、U的坐标位置及求坐标过程中，所依据的教学定理或原理

(写出一个即可).

19.(2025•庐阳区校级三模)直线yi=x+b经过点A(1,0),抛物线y=x2-2ax+4a-6经过点8(2,

m),其中〃和Z?为实数.设抛物线)>2=12-2or+4a-6的顶点为M,过用作y轴的平行线交直线yi

=x+b于点N.

(1)求b和加的值;

(2)当抛物线顶点M的纵坐标取得最大值时，求线段MN的值；

(3)求线段MN的最小值.

20.(2025•微山县二模)如图，AA8C中，ZC=9O°,ZAAC的平分线交人C于点。，点。在4,上，以

点。为圆心，以。”为半径的圆经过点"，交〃c于点七，交4y于点〃•

(1)求证：AC与0。相切；

(2)若8。=10,sinZDfiC=1,求AF的长.

1.（2025秋•扶风县期末）二次函数），=0炉+法+c的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点4-1,0）,

与y轴交于点。（。,-5）,且经过点D（3,-8）.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）将此二次函数的解析式写成），=。（公4+左的形式，并直接写出顶点坐标以及它与x轴的另一个

交点8的坐标.

（3）利用以上信息解答下列问题：若关于工的一元二次方程内二+区+c一=。。为实数）在的

范围内有解，则，的取值范围是_-9,,/<0

【解答】解：（1）根据题意得,

a-b+c=0©

，c=-5②，

9a+3b+c=-8③

②分别代入①、③得，

a-b=5®t

3a+b=—i@t

④+⑤得，4rt=4,

解得a=l>

把〃=1代入④得，1=5,

解得Z>=T,

.••方程组的解是

a=I

"?二一4,

c=-5

・•.此二次函数的解析式为），=丁-44-5；

二次函数的解析式为尸。-2）2-9,

顶点坐标为(2,-9),

对称轴为x=2,

设另一点坐标为3(40),

则-l+a=2x2,

解得a=5，

.••点B的坐标是5(5,0);

(3)由(1)可知二次函数解析式为)，=/—4x-5,

S|Jy=(x-2)2-9,

x=—］时，y=9-9=0,

x=3时，y=1—9=—8>

•.•关于X的一元二次方程加+〃X+CT=O(/为实数)在-lvx<3的范围内有解相当于产江+云+c与直

线)，=7的交点的横坐标，

.•.当-9,,」<0时,在-1<%<3的范围内有解.

故答案为：-9,,/<().

2.(2025•沐阳县模拟)如图，在平面直角坐标系中，二次函数广加+云+3的图象与x轴交于点八(_6，

0),5(36，0),与y轴交于点C,其对称轴与x轴交于点D.

(1)求二次函数的解析式；

(2)若点E是线段3C上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为尸，且b=2EC,求点E的坐标；

(3)若户为y轴上的一个动点，连接尸直接写出gpC+P。的最小值；

(4)若点P是抛物线对称轴上的一个动点，连接尸A,PC,设点尸的纵坐标为1,当ZAPC不小于60。

时,求/的取值范围.

【解答】解：（1）将4-6，0）,8（3百，0）代入产加+及+3,

3〃-回+3=0

得＜

27。+3回+3=0

1

a=——

3

解得J

,2G

D=-----

3

，二次函数的解析式为尸产+哈+3.

(2)・・・CO_Lx轴,M_Lx轴,

:.CO//EFf

;.MEFSMCO,

——BE=——EF，

BCCO

设EC=/〃，则&'=2/〃，

由8(3石，0),C(0,3)得BC=作&+3?=6,

6-in2m

----=--，

63

解得：〃i=9,

5

:.EF=2m=—,

5

又由竺：=变得"=凶，

BOCO5

A12百3百

・・Or=.SV3----------=-------9

55

（3）过点C作直线3直线8C,

再PG_LAC,直线/,

则四边形产GC”是矩形，

:.CG=PH,

•.•N8CO=60°,

:.CG=PCcosZBCO=PCcos60°=-PC,

2

-PC+PD=CG+PD=PH+PD,

2

.•.当Z),P,〃三点共线时，Lpc+p。的值最小，

2

此时，Q”_L直线/,

乂作OQ_LBC则，

・・・P”_L直线/,Q”_L直线/,直线/_L8C,

四边形/X?”是矩形，

DH=QC,

:.PH+PD=DH=QC=BC—BQ=6—BDcos30o=6-2&?=3,

.」PC+P/)=P〃+P/)的值最小值为3.

2

(4)：OC=3,OA=B

贝hanZCAO==-j==6，

OAV3

/.ZC46>=60°,

作NC4O的平分线AQ,交y轴于Q,

贝Ij/QAC=NQC4=3O。，

,-.Z^CC=120°,

以。为圆心，QA为半径作圆，与抛物线对称轴交于点心,‘也，

当点M在圆上时，则乙4MC=/4M£=；ZAQC=60。，

当点M在圆内时，ZAMC>60°,

当点M在圆外时，ZAMC<60°,

过Q作Q”垂直于对称轴，

在RtAAOQ中，@M=30。，OA=&,则AQ=2,

在心△MQH中，拈2=1,

.­.W,D=1+1=2,M2D=1-1=O,

(1)求证：ZC+ZABD=90°;

(2)若ZABC=2ZABD,求证：CB=BE;

(3)在(2)的条件下，连接AC,FG在4C、BC上,且CF=CG,连接防、EG,NF£G=90。,

连接郎\ZCFB=4CGE,BG=2M,求的长.

图3

【解答】证明：（1）如图1,连接4）,

BD=BD,

.\ZC=ZA,

•「/W是直径，

/.Z4Z)B=90o，

/.ZA+ZABD=90o,

...ZC+ZABD=90°.

(2)：ZABC=2ZABD,设ZABO=a,

ZABC=2a,

-.­ZA+ZABD=90°,

/.ZA=90°-fz,

/.ZC=90°-a,

ZC£B=l80o-ZABC-ZC=180°-2a-(90o-«)=90°-«,

:.NCEB=NC,

:.CB=IiE.

(3)如图2,延长在，使尸K=BF,连接AK,延长所、BC交于点C,

•/ZFEG=ZFCG=90°,CF=CG,

.•・四边形EFCG对角互补且邻边相等，

NCEF=NCEG=45。,

•.•在RtAACB中，CB=CE,ZO?F=45°,

设/ABC=2/，则

/BEC=/BCE=9O°-0,

/AEF=180°-45°-(90°一尸)=45。+4，

•・ZCB=90。，

.\ZACE=/?,

ZAFE=45°+^,

:.ZAFE=ZAEF.

:.AE=AFf

再设NCB尸=a,则

NCFB=900-a,

♦；NCGE=/CFB,

.•.NCGE=90°—a,

ZAFE+NC庄=180。，NCGE+NC庄=180°,

ZAFE=ZCGE=90°-«,

/.Z.BFK=21ct,Z.L-ct»

•«•FK—FB,

.•.NK=90°-a,

.•.43K=90°,

♦.・BF=KF=LF,

:•点F为KL中点,点C为龙中点，

再设cr=〃?，则

BK=2m,

•/BEK=/BKE=9(f-a,

:.BE=BK=2m,

：.BC=2m,

CG=CF—ni，

:.BG=CG=m,

•/BG=2回,

/.m=2\/10»

BE=2m=4屈,

^^AF=AE=Xy则

在RtAABC中，有

(2x/I(j-x)2+(4V10)2=(x+4屈＞,

解得x=Vid,

4C=AF+CF=3x/10,

43

/.tanZ.CDB=tanZ.CAB=—>tan/CBA=—,

34

「.tanZBCD=3，

在ABC。中，如图3,过点8作4"_LCD于点〃,

设/汨=123则

CH=Ak,DH=9k,BD=l5k,BC=，Mk,

BC=4x/10,

:.k=\f

:.BD=15.

4.（2025•罗平县模拟）如图，4;是57的宜径，A。是弦，点£在圆外，OKJLAC于点。，BE交©O

于点尸，连接8。、BC、CF,ZBFC=ZAED.

（1）求证：AE是0O的切线；

（2）求证：OB2=ODOE；

（3）没AB4）的面积为S，的面积为S?,若tan/QO8=2,求色的值.

【解答】解：（I）证明：•.•NBFC=ZAE。,

又ZBFC=ZBAC,

/.ZBAC=ZAEDf

•.•0£：_1,人。于点0,

/.ZA£>E=ZAZX）=90o,

ZA£D+Z£XD=90°,

.♦.NK4C+NE4O=90°,即ZCME=9O°,

.\OA±AEy

.•.AE是。。的切线;

（2）•.•ZCME=ZA/X>=90°>ZAOD=/EOA、

：.MOL^J\EOA,

OAOD

..-----=------9

OEOA

2

.-.OA=ODOEf

•：OB=OA,

OH2=ODOE\

（3）/AB为直径，

/.ZACB=90°,

•/ZAZX>=90°,

:.ZACB=ZADO，

:.OENBC,

NODB=4DBC,

在RtABCD中，tanZDBC=tanZODB=--=-

BC3

设X=窃“贝lj8C=3〃z,

:.OD=-BC=-f

22

•.•。门八。于点。，

AD=DC=2m,

.-.OA=OB=ylOD2+AD2=—,

2

由（2）知OB=ODOE,

OBOE

~OD~~OBf

而ZBOD=NEOB,

:.ABOD^AEOBt

3m

.SAW型y=（2）2=2,

SgOB网25

2

设Smoi〉=9k>贝（JS^EOB=25&>

/.MDE的面积为S?=S谢B-S*D=\6k,

而^BAD的面积为S、=2S^OD=\Sk,

S'」8k_9

■'十项一限

5.（2025•商河县校级模拟）（1）初步思考:

如图1,在APCB中，已知依=2,BC=4,N为BC上一点且BN=1,试证明：PN=-PC

2

(2)问题提出：

如图2,已知正方形八笈6的边长为4,圆4的半径为2,点P是圆4上的一个动点，求的最

2

小值.

(3)推广运用：

如图3,已知菱形ABC。的边长为4,ZB=60°,圆8的半径为2,点f是圆B上的一个动点，求PO-LpC

2

的最大值.

【解答】(1)证明:如图1,

•；PB=2,8C=4,BN=\,

:.PB2=4,BNBC=4.

:.PB2=BNBC.

BNBP

又•.•4=4，

:.MPNsgCP.

PNBN

/.--=---=—1•

PCBP2

:.PN=、PJ

2

(2)如图2,在6C上取一点G,使得3G=1,

D

P82rBe4r

*/-----=-=2,------=—=2

BG\PB2

—=—,ZP5G=/FBC

BGPB

"BGS&CBP

,PGBG\

~PC~~PB~2

PG=-PC

2

/.PD+-PC=DP+PG

2

•「DP+PG..DG

当。,P,G共线时,PD+-PC的值最小,

最小值为。G=&+32=5

（3）同（2）中证法，如图3,

图3

当点尸在力G的延长线上时，的最大值，最大值为。G=J方.

2

6.（2025•长安区校级模拟）如图所示，二次函数），=+法+2的图象与犬轴交于点A、B,与），轴

交于点C,点A的坐标为（Y,。），。是抛物线上一点（点?与点A、B、。不重合）：

（1）则系数〃=--;点区的坐标是；

—6---------

（2）设直线夕8与直线AC相交于点M,是否存在这样的点P,4吏得PM:MB=1:2?若存在，求出点P

的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC、BC,判断NC44和NCBA的数量关系，并说明理由；

（4）设点M在二次函数的图象上，以点M为圆心，半径为|行的圆与直线AC相切，求点”的坐标.

y.y

（备用图）

【解答】解：（1）点4-4,0）代入），=一：/+次+2,

得———4〃+2—0>

3

,5

.'.b=—,

6

.•・抛物线的解析式为），+2.

36

•.・当y=0时,有-y+2=0,

解得％=-4,x2=-|,

.•.点8的坐标为g,0）,

故答案为：-』；（」，0）.

（2）（方法一）在）,=—工/一』工+2中，

36

令x=0,得y=2,

.\C（0,2）.

设直线AC的解析式为尸质+c（心0）,

把4-4,0）、C（0,2）代入y=H+c中,

/曰［一4欠+。=0

得Jc，

c=2

解得卜=5,

c=2

・•・直线AC的解析式为y=gx+2.

假设存在，设点M的坐标为（〃J〃?+2）.

2

①当点P、4在直线AC的异侧时，

作PEJ.X轴，M/_Lx轴，

S.MF//PE,

BF_MF_BM

~BE~~PE~~BP'

PM

BM2

..---=一,

BP3

BF2MF2

・・---——，---=一，

BE3PE3

•/B(—i0)»M(〃?」〃?+2),尸(〃?,0)，

22

BF=--m,MF=—m+2»

22

——3mr1—ni「+2r

J=2,22,

BE3PE3

933

:.BE=---in,PE=-m+3t

424

二点0的坐标为+3),

•.•点P在抛物线y=--x2x+2_t,

36

把点尸代入得3〃2+3=-1X(3〃?一3)2--x(—7Z?--)4-2,

4324624

2

整理，得12m+20/H+9=0,

...△=202-4XI2X9=-32<0,

.••方程无解，即不存在符合题意得点尸，(舍去)；

②当点P、“在直线AC的同侧时，

同理得，点户的坐标为(，〃+5,

,二点、P在抛物线y=--x2x+2-t»

36

把点尸代入得1=--x(―tn+-)2-—x(―+—)+2,

4324624

整理,得4m2+44m-9=0,

il+x/130-I1+VI30

g=--------,niy=---------,

.••点尸的横坐标为一2-画或-2+迎,

44

综上所述：存在点P,使得?=点尸的横坐标为-2-叵或-2+叵.

44

(3)(解法一)NC8A=2NC48,理由如下：

作NC5A的角平分线，交)，轴于点石，过点石作M_L3C于点八

,点B(—,0),点C(0,2)，

2

35

:.OB=二，OC=2,BC=-.

22

设O£=〃，则。£=2-〃，EF=n,

由面积法，可知：-Ol3CE=-BCEFf即3(2—〃)=2〃，

2222

解得：〃=3.

4

•/-=-=—,ZAOC=90°=ZBOE,

OA2OB

：.MOC^ABOE，

.•.NC4O=N£BO,

ZCfiA=2NEBO=2ZC4B.

(解法二)NCBA=2NCAB，理由如下：

将BC沿y轴对折，交x轴于点6，

•.•点8也，0),点C(0,2),点A(T,0),

2

.".点B\——f0)»

2

,,^=_1_(_4)=|,B，C=,22+(|T，

：.AB,=B,C=BC,

:.ZCAB=ZAC^,ZCBA=4CBB.

ZABB=ZC4B+ZACE,

/.NCK4=2NC44.

(4)•以点M为圆心，半径为的圆与直线AC相切,

.•・点M到直线AC的距离为比L

5

•.•直线AC的解析式为y='x+2,即x—2.v+4=0,

.•.过点切作AC的平行线/,

则直线AC与直线/的距离为，.

.•・设直线/解析式为y=Lr+z,即x-2y+2r=0,

根据两条平行线之间的距离公式(补充)，

若直线4为：Ar+By+C,=0,直线为：Ar+By+C,=0,

则直线乙与直线/,的距离是：《PI,

VA2+B-

.­.由直线AC与直线/的解析式得，

|2/-4|二86

712+(-2)2-5，

.r=6或-2,

当/=-6时，直线，为y=；x+6,

1«

y=—x+6

联立.2,4，

y=——x——x+2

I36

消y整理得x2+4x+12=0,

.••此方程无解，(舍去)，

当/=-2时，直线/为y=gx-2,

16

y=­x-2

联立2,

V=一尸——x+2

36

消y整理得/+以-12=0,

二.5=-6,x2=2f

二点朋的坐标为(-6,-5),(2,-1).

7.（2024•雁塔区校级模拟）问题提出

（1）如图1,正方形A8CD的对角线交于点O,父?。石是边长为6的等边三角形，则。、E之间的距

离为_36+3_;

问题探究

（2）如图2,在边长为6的正方形A8C£＞中，以8为直径作半圆O,点夕为弧8上一动点，求A、

夕之间的最大距离；

问题解决

（3）窑洞是我省陕北农村的主要建筑，窑洞宾馆更是一道靓丽的风景线，是因为窑洞除了它的坚固

性及特有的外在美之外，还具有冬暖夏凉的天然优点家住延安农村的一对即将参加中考的双胞胎小宝

和小贝两兄弟，发现自家的窑洞（如图3所示）的门窗是由矩形A8CO及弓形AMO组成，AB=2fn,

BC=3.2m,弓高MN=12〃（N为4）的中点，MNJ.AD）,小宝说，门角5到门窗弓形弧4）的最大距离

是8、M之间的距离.小贝说这不是最大的距离，你认为谁的说法正确？请通过计算求出门角3到门

窗弓形弧4）的最大距离.

【解答】解：（1）如图1,连接4C,BD,对角线交点为O,连接OE交8于H,

贝l」8=OC,

••,ADC£为等边三角形，

:.ED=EC,

.,.QE狂直平分DC,

:.DH=-DC=3，

2

•.,四边形八4C7）为正方形，

.•.△。/兀＞为等腰直角三角形，

:.OH=DH=3,

在RtzXDHE中，

HE=y^DH=3C，

:.OE=HE+OH=30+3,

故答案为：3y/3+3；

（2）如图2,补全OO,连接4。并延长交。。右半侧于点P,则此时A、2之间的距离最大，

在RtAAOD中，AO=6,00=3,

/.AO=\lAD2+DO2=3\/5,

AP=AO+OP=3＞f5+3;

（3）小贝的说法正确，理由如下，

如图3,补全弓形弧4）所在的连接ON,OA＞过点O作于点后，连接并延长交

上端于点P，

则此时B、P之间的距离即为门角△到门窗弓形弧仞的最大距离，

由题意知，点N为4）的中点，

/.AN=-AD=\.6ONLAD,

2f

在RtAANO中，

设AO=r，贝ljCW=r-1.2,

AN〜ON'=A(f,

/.L62+(r-1.2)2=r2,

解得，「=%

3

57

AE=ON=--\.2=—.

315

在RtAOEB中，OE=AN=16,BE=AB-AE=—,

15

BO=^OE2+BE2

15

BP=BO+PO=^^-+-,

153

二.门角8到门窗弓形弧4)的最大距离为+

8.（2025•宝安区校级三模）如图①，已知线段AA与直线,,过A、3两点,作使其与直线/相切,

切点为P，易证ZAP8=ZA”3>ZAQ3,可知点尸对线段AB的视角最大.

问题提出

（1）如图②，已知AA4P的外接圆为OO,PQ与0。相切于点夕，交/W的延长线于点Q.

①请判断4PQ与ZA的大小关系，并说明理由.

②若Q8=2,AB=6,求PQ的长.

问题解决

（2）如图③，一大型游乐场入口4?设在道路ON边上，在“雪亮工程”中，为了加强安全管理，结

合现实情况，相关部门准备在与地面道路ON夹角为60°的射线OM方向上（位于垂直于地面的平面内）

确定一个位置C,并架设斜杆AC,在斜杆AC的中点P处安装一摄像头，对入口/W实施监控（其中

点4、B、D、尸、C、MxN在同一平面内），已知。4=40米，A6=25米，调研发现，当ZAPE最

大时监控效果最好，请问在射线OM上是否存在一点C,使得ZAP8达到最大？若存在，请确定点C在

DW上的位置及斜杆AC的长度；若不存在，请说明理由.

图②

备用图

【解答】（1）解：①N4PQ=ZA,理由如下：

如图②，连接也并延长至圆上一点N,连接

贝Ij/B4B=NPN8,

•.•PN为圆的直径,

,\ZPftV=90°,

.\ZPA®+ZA^B=90°,

•••PQ与。。相切于点尸，

:.ZNPQ=90°f

:"NPB+/BPQ=9。。，

/BPQ=NPNB,

\-^PNB=ZA，

/.ZBPQ=ZA.

②•.•/8PQ=Z4,4BQP=4PQA,

\BPQ^^PAQ,

.BQ_PQ

"PQ~AQ1

AB=6，QB=2,

AQ=A6+8Q=6+2=8,

・,・--2=_-P-Q-，

PQ8

:.PQ=4.

(2)解：存在一点C,使得ZAP4达到最大.

如图③，取/V)的中点E,过点E作。例的平行线防,

经过A,“作OO与"相切于点P,

由题意知，此时NAP8最大.

•.♦DMi/EF,尸是AC中点，

:.ZPEA=O)°tCD=2PE,

作直径PG,连接AG,

则/PBE=NG,APAC=90。，

/.ZAPG+々PRE=90°，

•・•£F是G)O的切线，尸是切点，

PG上EF,

:.ZEPA+ZAPG=9(r，

:.ZEPA=NPBE,

又ZAEP=NPEB,

"EASBEP,

PE2=EAEB=20x(20+25)=900,

.•.PE=30,

:.CD=2PE=0).

过点A作4/D于”，

•.•ZPE4=60°,

：.ZEAH=30°f

.\EH=-AE=-x20=\0,

22

A”=4Esin600=20x—=10x/3,

2

:.PH=PE—EH=30-10=20,

由勾股定理得,

PA7PH2+AH2=12()2+(106;=10V7,

:.AC=2PA=2x\0>j7=20>/7.

故点C在。M上距离点7）60/??处，斜杆AC的长度为20历〃.

9.（2025•永兴县二模）如图1,抛物线y=d-4x与x轴相交于原点。和点入，直线），=x与抛物线在

第一象限的交点为8点，抛物线的顶点为C点.

（1）求点“和点。的坐标；

（2）抛物线上是否存在点。，使得NDOB=NOBC?若存在，求出所有点。的坐标；若不存在，请说

明理由；

（3）如图2,点£是点8关于抛物线对称轴的对称点，点尸是直线以下方的抛物线上的动点，EF与

直线OB交于点G.设MAG和ABEG的面积分别为S；和邑，求回■的最大值.

【解答】解：(1)•.•抛物线y=f一41=。一2)2-4,

・「4=1>0,

.•.当x=2时，]，有最小值Y,

/.C(2,-4).

■.・直线)，=式与抛物线在第一象限的交点为8点，

二.联立P，，

y=x'-4x

解得F〈或(舍去)，

[y=5[y=0

8(5,5).

故点8和点。的坐标分别为(5,5)和(2,~4)；

(2)设直线的解析式为：y=kx+b,

则将秋5,5),C(2T)代入.)，=丘+4得，

5k+b=5

2k+b=—4'

k=3

解得，

方二-10

直线的解析式为：y=3x-\0.

①当点。在直线(M的下方时，过点5作轴，交x轴于点F,延长。。，交BF于G,

3(5,5),

OF=BF，即NBOF=/OBF=45°,ZOFG=ZBFE=90°,

Y/DOB=/OBC,

:"GOF=/EBF,

:^OFG=\BFE{ASA),

:.EF=GF.

ID

当）,_0时，3A—10-0,得:

・•.F(y,0),

5

则GF=EF=OF-OE=5-3-9

33

二G(5,j),

易知宜线OG的解析式为：y=-xi

3

联立：匕铲1

y=x2-4.r

13

X=一

解得3或＜（舍去），

13「乂>'=0

y=一

9

:•。（找）;

②当点。在直线OB的上方时,

•.•nX）B=NOBC,

：,ODUBC,

•.•直线BC的解析式为：y=3x-10,

・•・直线OD的解析式为：y=3x,

联立：P'=3：解得：[二或[a：（舍去），

y=x~-4x[y-21[y=0

/.D（7,21）.

综上，当点。的坐标为（*