2026届人教版高三数学一轮复习 解析几何板块：抛物线

--------1高三数学一轮复习一一抛物线专题

知识点•梳理

1、抛物线的定义

①抛物线的定义：平面内与一个定点厂和一条定直线/1其中定点厂不在定直线/上）的距离相等

的点的轨迹叫做抛物线，定点厂叫做抛物线的焦点，定直线/叫做抛物线的准线.

②抛物线的数学表达式：{例II例用=d}（d为点M到准线I的距离）。

【即学即练1】已知抛物线），2="上一点尸到焦点的距离为5,则点尸至ijx轴的距离为.

2、抛物线的标准方程

设〃>0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:

方程y2=2px(P>。))2=-2px(P>0)x2=2py(p>。)x2=-2py(p>0)

图形卜率未

隹占F(0,§)

八〉、/、、、呜,0)尸（-尸（。,-9

准线x=-PX-L

2222

【即学即练2】设抛物线C：r=12y的焦点为尸，点尸在C上,2（0,9）,若|尸尸R明,则|阁=（）

A.4x/2B.6C.4GD.6x/2

特别说明：

①要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状（焦点位置、开口方向等）。

抛物线的标准方程中，有一个一次项和一个二次项，二次项的系数为1,一次项的系数为+2〃;若一次

项的字母是/则焦点就在x轴上，若其系数是正的，则焦点就在x轴的正半轴上（开口向右），若系数

是负的，焦点就在x轴的负半轴上（开口向左）;若一次项的字母是几则焦点就在y轴上，若其系数是

正的，则焦点就在y轴的正半轴上（开口向上）,若系数是负的，焦点就在轴的负半轴上（开口向下）。

②焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的

③准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称。

④通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p,通径是过焦点最短的弦。

抛物线V=2px（P>0）上一点P（2°）到焦点吗,0）的距离1明=%+勺也称为抛物线的焦半径。

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3、抛物线的简单几何性质

y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

标准方程

(〃>0)(p>0)(p>0)(P>0)

1/y\y1

图形

J/,卜

07

范围x>0,ywRx<0,ywRy>0,xeRy<o,XeR

对称轴x轴X轴y轴y轴

焦点坐标产(go)尸(苧)F(0,^)

乙

-Ly=

准线方程丫―2X-f

222

顶点坐标0(0,0)

离心率e=\

通径长2P

4、直线与抛物线的位置关系

设直线/:＞，=丘+加,抛物线:)*=2px(〃＞。)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方

程k2x2+2(km-p)x+w2=0

(1)若女w0,当△＞()时，直线与他物线相交，有两个交点；当△=0时，直线与抛物线相切，有一个切点;

当A＜0时，直线与抛物线相离，没有公共点。

(2)若％=0,直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合。因此直线

与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件。

【即学即练3】过点自。，1)且与抛物线＞2=2%有且只有1个公共点的直线条数为()

A.0B.1C.2D.3

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重点题型•归类精讲

题型一抛物线定义的理解

【例1・1】已知抛物线C：y2=2p，H〃>0）的焦点为F,p为C上一点，。为坐标原点，当/「尸。=事时,

|p尸1=6,则片（）

A.4B.3C.2D.1

【例1-2】已知抛物线V=4x上有一点p到准线的距离为9,那么点P到大轴的距离为

【变式1】已知抛物线Cd=4），的焦点为〜点p在。上，若2到直线产-3的距离为5,则|阿=（）

A.5B.4C.3D.2

【变式2】已知抛物线上的点A（2,⑸）到其准线的距离为4,则，”（）

A.6B.C.8D.-

84

【变式3】已知抛物线C：），2=8x的焦点为尸，点“在。上.若M到直线x=T的距离为7,贝lJ|MF|=（）

A.4B.5C.6D.7

o题型二根据抛物线方程求焦点和准线

【例2-1］（2024年真题）抛物线I=2y的焦点坐标为

【例2-2】（2018年真题）若抛物线），2=2*的准线方程为x=-3,则〃=

【例2・3】（2016年真题）抛物线V=2px过点（1,2）,则该抛物线的准线方程为

A、x=-1B、x=lC、）'=-1D、y=1

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题型三求抛物线方程

【例3-1】(2020年真题节选)已知抛物线。的顶点在原点，焦点为/(-1,0)

(1)求。的方程

【例3-2】(2012年真题)过抛物线丁=2力的焦点尸作斜率为:和-2的直线，分别交抛物线的准线

于AB,若,.必3的面积是5,则抛物线的方程是

21

AD^y2=4x

A、y'=2xB、C、/=2x

【例3-3】已知抛物线C：V=2p.r(p>0)的焦点为尸，点46,8)在抛物线。上，且|叫=%求抛物线。

的方程

【例3-4】若点P到点(2,0)的距离比它到直线x+3=O的距离小1,则点尸的轨迹方程是()

A.y2=8.rB.y2=-8.rC.x2=8yD.x2=-Sy

【变式1】以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(I，M到焦点的距离为3,则抛物线的方

程是(：)

A.y=8x2B.y=12x2C.y2=8xD.y2=\2x

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【变式2】以坐标轴为对称轴，焦点在直线以-5），+10=。上的抛物线的标准方程为（）

A.“2一］（）y或V=B.一三一10），或y2-隈

C.y;lOx或人2=8,D.>2=-10x或=8y

题型四抛物线的简单几何性质运用

【例生1】抛物线f=2〃），5>0）的焦点为尸，其准线与双曲线号-<=】相交于Al两点，若△说为等

边三角形，则〃的值为（）

A.2B.4C.6D.8

【例4-2】抛物线C：9=叙的焦点为尸，〜为。上一点且|P月=3,。为坐标原点，则S“F=o

【例43】已知抛物线），2=以的焦点为广，准线为/.若/与焦距为2a的双曲线，一，=1（。>0,。>0）的

两条渐近线分别交于点A和点3,且卜臼=3|。目（。为坐标原点），则双曲线的实轴长为.

【变式1】设。为坐标原点，直线产-6（>1）过抛物线C：y2=2px（P>0）的焦点，且与C交于M，N

两点，/为。的准线，则三角形OMN的面积为o

【变式2】抛物线C：），=4工的焦点为尸，直线>=〃?与），轴的交点为A,与抛物线C的交点为8,且

忸目=：|八河,则加的值是__________。

【变式3】已知抛物线y2=2px（〃>0）的焦点为F,准线为/,过尸的直线与抛物线交于点A、B,与直

线/交于点。，若4尸=3冏叫=4,则〃=.

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题型五直线与抛物线

（例5-1］（2017年真题）已知抛物线C:x2=4），的焦点为尸，过尸作C的对称轴的垂线，与C交于A,B,

则|的=

A、8B、4C、2D、1

【例5-2］（2003年真题）过点P（4,3）的直线I和抛物线y2=4x交于A,3两点，且，为线段AB的中点，

求直线/的方程

【例5-3】直线1+），+2=0与抛物线C：产=双的图象相切，则。的准线方程为（）

A.x=-2B.x=~］C.y=-2D.y=-l

【变式1】设抛物线C：y=4/的焦点为F,过焦点产的直线与抛物线。相交于A,B两点,则IA8I的

最小值为（）

A.1B.yC.-D.-

248

【变式2】过抛物线〃=的焦点尸的直线交抛物线于4B两点，若弦48中点纵坐标为2,则

I蜴二•

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【变式3］己知椭圆呜+＞叱，，＞。)的右焦点/与抛物线户4，的焦点重合，且椭圆的离心率为

正

3

(1)求椭圆。的方程;

(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M,N两点，|MN|=8,求直线方程.

【变式4】已知点P到厂(0,4)的距离与它到x轴的距离的差为4,P的轨迹为曲线C。

(1)求C的方程;

⑵若直线/与。交于A,B两点，且弦中点的横坐标为7,求/的斜率。

【变式5】已知抛物线C：x2=4y,过点P(LO)作直线/.

(1)若直线/的斜率存在，且与抛物线C只有一个公共点，求直线/的方程.

⑵若直线/过抛物线。的焦点尸，且交抛物线。于A,8两点，求弦长恒却.

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题型六综合运用

【例6-1】（2023年真题）已知F为抛物线C:），2=4x的焦点，过F的直线与C交于A,B两点，若

IAF\=2\BF|,则|AB\=。

【例e2】（2022年真题）已知。为坐标原点，双曲线■-/=］（〃〉0）与抛物线。：y2=L交于A、

cr,4

B两点，△AOB的面积为4。

（1）求。的方程

⑵设耳,工为C的左右焦点，点P在D上，求心.「死的最小值

【例&3】（202（）年真题）已知抛物线。的顶点在原点，焦点为网-1,0）

（1）求C的方程（/=-Ax）

（2）设尸为。的准线上的一点，。为直线P厂与。的一个交点且尸为。。的中点，求。的坐标及直线P。

的方程

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【例&4】(2015年真题)已知抛物线C:f=4y,直线/:x+)，-〃i=0

⑴证明：C与/有两个交点的充分必要条件是相>-1

⑵设mvl,C与/有两个交点48,线段48的垂直平分线交y轴于点G,求GA3面积的取值范围

【变式11(201()年真题)已知抛物线。:)，2=2/沈(0>0),/为过。的焦点尸且倾斜角为。的直线。设/

与。交于A,3两点，A与坐标原点连线交。的准线于。点

(1)证明，3。垂直于)，轴

⑵分析夕分别取什么范围的值时，。4与。8的夹角为锐角、直角或钝角

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【变式2】（2008年真题）如图，4与是过原点。的任意两条互相垂直的直线，分别交抛物线），2=x

于点4与点B

⑴证明交x轴于固定点P

（2）求的面积的最小值

【变式3】已知曲线C在工轴的上方，且曲线C上的任意一点到点尸。1）距离比到直线.、，=-2的距离

都小1.

（1）求曲线C的方程：

（2）没〃>0,过点MQM直线与曲线C相交于A、8两点，若科.用<0恒成立，求实数机的取值

范围.

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课后模拟•巩固练习

1、已知点“（4,4）在抛物2戋。：y-=2px（p>0）上，£为C的焦点，则I"户|=（）

A.3B.4C.5D.6

2、焦点在直线2x+5），-10=0上的抛物线的标准方程为（）

A.=]01或寸=4、，B.V=一]0、或f=-4），

C.V=2（h•或％2=8yD.9=-20.1或9二-8），

3、根据下列条件写出抛物线的标准方程：

⑴准线方程是3，=3；

（2）过点P（-2立,4）；

⑶焦点到准线的距离为及。

4、焦点坐标为（。，-3）的抛物线的标准方程为（）

A.x2=-4yB.x2=-2yC.y2=2xD.y2=-2x

5、抛物线的焦点在九轴正半轴上，且准线与焦点轴间的距离为3,则此抛物线的标准方程为（）

A.y2=6xB./=3xC.x2=6yD.x2=3y

6、抛物线y=4/的焦点坐标是（)

A.(1,0)B.(0,1)C.—,0D.

16（啕

7、抛物线x2=2p），（p>0）过点*2,2）,则其准线方程为)

]_

A.x=-B.x=-；C.yD.y=-

2

8、若抛物线丁=2外">。）的焦点是椭圆（+=l的一个顶点,则〃的值为（）.

A.2B.3C.4D.8

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9、已知抛物线U/=8x的焦点为尸,点M在。上。若M到直线x=-2的距离为4,则悭户|=()

A.7B.6C.5D.4

10、已知抛物线的方程为丁=16"，则其准线方程为.

11、分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.

⑴准线方程为2y+4=0；

(2)过点(3.-4)；

⑶焦点在直线犬+3»15=0上.

12、若双曲线C与4+4=1有相司的焦点，与双曲线有相同渐近线。

16426

⑴求双曲线。的标准方程；

(2)求过点(-2,3)的抛物线标准方程.

13、已知抛物线)3=2川(〃>0)上一点A(4,%)到焦点的距离是6,则其准线方程为()

A.x=-2B.x=2C.尸一2D.y=2

14、设抛物线Uy2=4x的焦点为凡过/且斜率为2的直线/与。交于P、Q两点，则归。=

15、已知抛物线y2=2px的焦点为尸(2,0).

(1)求P;

(2)斜率为1的直线过点F,且与效物线交于A,8两点，求线段A8的长.

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16、设抛物线），2=4x的焦点为“，过抛物线上一点尸作其准线的垂线，设垂足为Q,若NPQF=30°,

则四=（）

A.IB.C.-D.75

333

17、抛物线），=：/的焦点和准线为（）

O

A.（*））B.（。，*）y=-C.（0,2）.y=-2D.（2,0）A一2

18、斜率为1的直线/经过抛物线丁=2内（〃＞（））的焦点尸，且与抛物线相交于AB两点，线段A8的

长为8,则〃的值为（）

A*B.1C.2D.3

19、直线），=x+。被曲线y=32所截得的弦长为4&,则实数〃的值为

20、已知直线y=〃-1与曲线V=2x只有一个公共点，则实数。的值为

想破130,可以试试

1、已知直线/:X一号+"，-2=。与抛物线c：V=2*（〃＞。）恒有两个交点A、B.

⑴求「的取值范围；

⑵当加=1时，直线/过抛物线。的焦点八求此时线段48的长度.

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2、已知点。(-Zl),8(2,4),。(2、1)中恰有两个点在抛物线比)=2双p>0)上.

(1)求E的标准方程；

⑵若点M(X，y)，%(无2,%)在E上，且不占二-4,证明：直线MN过定点.

3、己知直线/："-y-A=。分别与x轴，直线后-1交于点A,3,点P是线段A3的垂直平分线上

的一点(尸不在X轴负半轴上)且tanZA8P=k|。

(1)求点P的轨迹。的方程；

(2)设/与。交于E,尸两点，点M在C上且满足AE.AM=O,延长M4交。于点N,求EM.N/的最

小值。

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4、已知抛物线C:』=8x的焦点为F,过点E(-2,0)的直线/与C相交于A,8两点，点A关于x轴的

对称点为。.

⑴证明:直线BD经过点F；

(2)设FA/3=0,求直线/的方程0

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抛物线

知识点•梳理

1、抛物线的定义

①抛物线的定义：平面内与一个定点厂和一条定直线/1其中定点厂不在定直线/上）的距离相等

的点的轨迹叫做抛物线，定点厂叫做抛物线的焦点，定直线/叫做抛物线的准线.

②抛物线的数学表达式：{例II例用=d}（d为点M到准线I的距离）。

【即学即练1】已知抛物线），2="上一点尸到焦点的距离为5,则点尸至ijx轴的距离为.

【答案】2瓜。

【详解】抛物线方程产=8x,则焦点坐标为R2,0）,准线方程为x=-2,由抛物线的定义可知，点P

至I」准线户一2的距离为5,所以与+2=5,解得：4=3,代入），2=8x,则力=土质=±2几所以点P至IJ

x轴的距离为2而.故答案为：2而。

2、抛物线的标准方程

设〃>0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:

2

方程y=2px(〃>0)y2=-2px(P>0)x2=2py(p>。)x2=-2py(p>0)

/*

图形~x木

A

尸（-4，。）

焦点F（MF(0,9F（。芳）

。）2

准线X-JLy=yJ

22-22

【即学即练2】设抛物线C：/=12y的焦点为尸，点P在C上,2（0.9）,若归尸|=|Q|则|P0=（）

A.4拉B.6C.4GD.6&

【答案】D

【详解】由题意可知尸（0,3）,|。q=6,所以归耳=6.因为抛物线C的通径长为2P=12,所以所订，轴，

所以|PQ|=jG+62=6夜.故选：D

特别说明：

①要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状（焦点位置、开口方向等）。

抛物线的标准方程中，有一个一次项和一个二次项，二次项的系数为1,一次项的系数为±2p；若一次

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项的字母是工，则焦点就在X轴上，若其系数是正的，则焦点就在X轴的正半轴上（开口向右），若系数

是负的，俅点就在、轴的负半轴上（开口向左）;若一次项的字母是几则焦点就在）'轴上，若其系数是

正的，则焦点就在y轴的正半轴上（开口向上）,若系数是负的，焦点就在y轴的负半轴上（开口向下）。

②焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的。

③准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称。

④通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2〃，通径是过焦点最短的弦。

抛物线）/=2px（〃>0）上一点尸（见,兄）到焦点吗,0）的距离IPFIm+勺也称为抛物线的

焦半径。

3、抛物线的简单几何性质

4、直线与抛物线的位置关系

设直线/：y="+，〃，抛物线：）7=2px（〃>0），将直线方程与抛物线方程联立整理成关于工的方

程&+2（km-p）x+m2=0

⑴若A=0,当A>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当△=（）时，直线与抛物线相切，有一个切点;

当△<（）时，直线与抛物线相离，没有公共点。

⑵若4=0,直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合。因此直线

与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件。

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【即学即练3】过点P（。」）旦与抛物线产=2工有旦只有1个公共点的直线条数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【详解】如图，设过点?（。』）的直线为/,则当/与X轴平行时，与抛物线有一个公共

点；当直线/和抛物线相切（有两条切线）时，直线与抛物线也只有一个公共点。

由画图可知，过点P（。」）与抛物线y2=2x有且只有1个公共点的直线有3条。故选:D

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重点题型•归类精讲

---------------------题型一抛物线定义的理解

【例1・1】已知抛物线c：y2=2〃H〃>0)的焦点为F7为C上一点，。为坐标原点，当时，

|P尸1=6,则%()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【详解】如图，过P作。的准线的垂线，垂足为4,作在_LPR,垂足为E,由NPR9-芋，得NP/咕-J,

所以仍同=g|PF|=3,所以出国=6-3=3,即p=3.故选：B.

【例1-2】已知抛物线)尸=4光上有一点尸到准线的距离为9,那么点尸到x轴的距离为.

【答案】4&

【详解】由丁二好知抛物线的准线方程为1二一1,设点P(y,%),由题意得％+1=9,解得题=8,代入

抛物线方程V=4x,得火=32,解得％=±4及，则点P到1轴的距离为4拉.故答案为：4核.

【变式1】已知抛物线UV=4)，的焦点为F,点尸在C上，若尸到直线产-3的距离为5,则|尸耳=()

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【详解】由题意可知尸(。」)，抛物线的准线为尸T,而|。臼与P到准线的距离相等，所以

故选：

|PF|=5-(-1-(-3))=3OC

【变式2】已知抛物线。：丁=如(?”0)上的点42,⑸)到其准线的距离为4,则()

A.6B.：C.8D.

84

【答案】C

【详解】因为点42反)到C的准线的距离为4,所以：+2=4,解得利=8.故选：C

【变式3】已知抛物线U/=8x的焦点为尸，点M在。上.若M到直线x=~4的距离为7,则|M/|=()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【详解】由抛物线U/=8x可知，准线方程为汇=-2,因为M到直线x=T的距离为7,所以M到抛物

线准线工=-2的距离为5,由抛物线定义知，也”|=5。故选：B

。题型二根据抛物线方程求焦点和准线

【例2-1】(2024年真题)抛物线/=2)，的焦点坐标为

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【答案】D

【解析】本题考查抛物线基本性质。/=2乂），只能取正的，抛物线开口向上，抛物线标准方程

f=2py,2〃=2,〃=l,焦点坐标即卜，；卜夬速求解，y前面的系数是焦点坐标的4倍

【例2・2】（2018年真题）若抛物线产=2庶的准线方程为x=—3,则〃二

【答案】6

【解析】准线方程冗=-3,开口向右，焦点为（3,0）,§=3,p=6抛物线标准方程丁=2必（〃>0）

若〃=1,即V=2x,x只能取正数，每取一个正数，有两个y相对应，1

抛物线开口向右。焦点坐标（与，0）准线方程％=-£y2=2xy」「

焦点坐标《,0）准线方程x=-g]'

【例2-3】（2016年真题）抛物线y2=2〃x过点（1,2）,则该抛物线的准线方程为

Asx=-\B>x=\C、y=-1D、y=1

【答案】A

【解析】把（1,2）代入抛物线得22=2pxl,p=2,所以准线方程为工=-5=-1

【例2-4】（2014年真题）抛物线），=4d的准线方程是一

【答案】y=~

10

【解析】y=4x2,x2=ly,所以准线方程为），=-[

416

【例2-5】（2006年真题）若抛物线的顶点坐标为（0,2）,准线方程为），=-1,则这条抛物线的焦点坐

标为一

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【例2-6】（2003年真题）抛物线的准线方程为一

【答案】x=-1

【解析】丁二^羽工二？^,故准线方程为x=—g

【变式1】已知抛物线工=2/，则焦准距是（）

A.1B.2C.7D.

24

【答案】D

【详解】由x=2>2可得y2=；x,所以2〃=；=〃=；,故焦准距为〃=；,故选：D

【变式2】已知抛物线C:y=2x2,则C的准线方程为（）

A.y=-1B.x=-1C.y=~D.x=一'

ooZZ

【答案】A

【详解】若y=2/,则可化为标准形式V=；y,故〃=：，故C的准线方程为），=-：,故A正确。

【变式3】若抛物线丁=-2/»（〃>0）过点（Y,-2）,则该抛物线的准线方程为.

【答案】、=2

【详解】将点（Y，-2）代入抛物线方程解得〃=4,所以/=_8），，准线方程为），=2。故答案为：），=2

【变式4】已知抛物线C：V=2pMp:>0））的焦点为F,点。（九4）在抛物线C上，.且|PF|=4,则抛物线

C的准线方程是（）

A.y=-4B.y=-2C.x=-4D.x=-2

【答案】D

P__A

【详解】因为点尸（肛4）在抛物线C：V=2Px上，且阿|=4,可得*万］，解得〃=4,即抛物线/=8x,

2pm-42

所以抛物线C的准线方程是“=-2。故选：Do

【变式5】已知抛物线C丁=〃比过点（2,6）,则抛物线。的准线方程为（）

【答案】B

【详解】由抛物线C：），2=如过点（2,向，可得（6）2=心2,解得吁；，即抛物线的方程为尸=,,

可得抛物线C的准线方程为％故选：B

O

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题型三求抛物线方程

【例3-1】（2020年真题节选）已知抛物线。的顶点在原点，焦点为/（-1,0）

（1）求。的方程

解:⑴焦点为尸（TO），抛物线开口向左，-§=T〃=2,y2=-2px=-4x

【例3-2】（2012年真题）过抛物线产=2/»的焦点产作斜率为;和・2的直线，分别交抛物线的准线

于若的面积是5,则抛物线的方程是

A，1

2

A、y-=-xB、y=xC、/=2xD、y=4x

【答案】D

【解析】设两条直线的方程分别为y=:><

v_£

L\2

P_

y2=-2xlx-1，求出4",B一,A8总巨离2〃一|一

INL乙）\2

S..FAB=^x“'■|〃=5,〃=2,抛物线方程为72=4x

【例3-3】已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为八点A（6,yJ在抛物线。上，旦|叫=10,求抛物线C

的方程

【答案】r=i6x

【分析】点A（6，%）在抛物线。上，由抛物线定义得所=6++10,解得〃=8,

故抛物线c的标准方程为/=16.V.

【例3-4】若点尸到点（2,0）的距离比它到直线x+3=0的距离小1,则点尸的轨迹方程是（）

A.y2=8xB.y2=-8xC.x2=SyD.x~=-8y

【答案】A

【详解】由于点尸到点（2,0）的距离比它到直线工+3=（）的距离小1,故点尸到点（2,0）的距离比它到直线

%+2=。的距离相等，故点尸是在以（2,0）为焦点，以x=-2为准线的抛物线上，故轨迹为V=8x,

【变式1】以X轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P（l，〃?）到焦点的距离为3,则抛物线的方

程是（）

A.y=8xB.y=\2x2C.y2=8xD.r=i2x

【答案】C

【详解】根据题意，可设抛物线的方程为）？=2px（p>0）,由抛物线的定义知1+^=3,即〃=4,所以

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抛物线方程为V=8%.故选：C.

【变式2】以坐标轴为对称轴，焦点在直线以-5），+10=0上的抛物线的标准方程为（）

A.八心或/二心B.x2=-10>*ogy2=8x

C.y2=［（）x或/=的D.丁=_10》或Y=8y

【答案】D

程为丁=-10八；当抛物线的焦点为（0,2）时，其标准方程为不=8），。故选：D

题型四抛物线的简单几何性质运用

【例41】抛物线d=2m，（p>0）的焦点为人其准线与双曲线1-1=1相交于两点，若为等

边三角形，则〃的值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【详解】解:抛物线的焦点坐标为&9,准线方程为：尸/，准线方程与双曲线联立可得：［-6=1,

解得产土JW，故|相|=2汽（,因为3尸为等边三角形，所以,A8|=p,即有*.2卜『p,

解得P=6.故选：C\A/

【例4-2】抛物线C：丁=©的焦点为尸，。为。上一点且|阴=3,。为坐标原点，则S°"=

【答案】42以

【详解】如图：不妨设点P（%y）在第一象限，过点尸作尸”与抛物线的准线x=-i4

垂直，垂足为〃。则|P”|=|P尸1=3,又=所以x=2,所以V=4x2=8n一卡

），=2&。所以5加二・|0叩），|=9以2&=女。故答案为：V2

【例43】已知抛物线V=8x的焦点为尸，准线为/.若/与焦距为2a的双曲线,一，=1（4>0,。>0）的

两条渐近线分别交于点A和点3,且|A臼=3|O@（。为坐标原点），则双曲线的实轴长为.

【答案】4

【详解】由抛物线>2=8%的焦点为人则打2,0）,准线/为人一2,又|4/二3|。耳，/率

则|蜴=6,则可得点A（-2,3）,8（-2,-3）在双曲线1-5=1的渐近线上，又焦点在工轴的双:曲弦的渐近

线为尸±£丫，则可得丝=3,即匕=。*又双曲线的焦距为2而，即2c=26，由/=/+〃，即

aa2

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]3=片+仔J可得〃=2,则双曲线的实轴长为%=4,故答案为:4

【变式1】设O为坐标原点，直线)=-百(%-1)过抛物线c：y2=2/M〃>o)的焦点，且与C交于M,N

两点，/为C的准线，则三角形OMN的面积为。

【答案】小心丛

【详解】由题意可知直线y=-V5(x-i)过点(1,0),即为抛物线Cy2=2〃x(〃>0)的焦点”1,0)，所以

/=l,p=2,2p=4,抛物线。的方程为丁=4x,设知(玉,,),可(占,必)，\

由上：一产“一1)消去)、并化简得犷-1OX+3=0,解得i2=?"

[…3'

所以=K+七+〃=与+2=与，直线y=-x/5(x-l),即Jlr+y-e=0,。到直线在x+y-0=0的距离为

d=0=正，所以三角形OMN的面积为g=故答案为：峥

V3+1223233

【变式2】抛物线C：y2=4x的焦点为/，直线>=机与丫轴的交点为A,与抛物线C的交点为4,且

|明=#/3|,则，〃的值是O

【答案】±2五

【详解】因为C：V=4工，所以〃=2,抛物线的准线方程为I=-1,设8W垂直于准线，'

垂足为M,则忸M=|四，|AM|=1,又因为忸F|=；|48],所以忸又怛历|=H加|+|明，

所以MM=g|A8|=l,所以恒耳=2,所以3点横坐标为X=2,X=2代入C:)，2=4X,则/=8,产±2&,

所以用2,±2&),所以掰=±2&。故答案为：±2亚

【变式3】已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为/,过产的直线与抛物线交于点A、B,与直

线/交于点，若人尸=3尸",卜耳=4,贝lj〃=.

【答案】3

【详解】作AEJJ,BHJJ,垂足分别为区从记忸尸分肛/与x轴的交点为G,则画=|"1=3科忸川=m,

\DB\\BH\m1..一r

易知，.DBH〜、DAE,所以号西m==网=藐=§，又|。却=4,所以|D4|=12,即4+4"z=12,加=2,

所以|所=照=画=6,故所为..D4E的中位线，所以P=|FG|=J|M=3。故答案为：3

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题型五直线与抛物线

【例5-11（2017年真题）已知抛物线C:f=4），的焦点为尸，过尸作C的对称轴的垂线，与C交于A,B,

则|叫=

A、8B、4C、2D、1

［答案］B\?/

【解析】工2=4》的焦点为（0,1）,当y=l时，X=±2,所以阴=4-^

【例5-2］（2003年真题）过点P（4,3）的直线I和抛物线），=4］交于A8两点，且P为线段AB的中点，

求直线/的方程

解：设直线/的方程y—3=A（x-4）,y="一软+3设人力/）,8优,％）因为尸是A8的中点，所以

五/=4小+9=8把直线方程待遇抛物线得：（点―42+3）2=4xFd—2M4k—3）x+9=4x

/f_（8/_6攵卜一4x+9=0h2一（8尸一6攵+4卜+9=0$+.=_2=8公［乎+4=8

22221

8%2_6Z+4=8%26k=4k=1、所以直线/的方程为），=Q.E—4xQ+3,y=QX+4

【例5-3】直线x+），+2=0与抛物线C：），2=公的图象相切，则。的准线方程为（）

A.x=-2B.x=-\C.y=-2D.y=T

【答案】A

【详解】由"+2=。'消去"整理得"吁2〃=。'由—。，解得「8或…（舍去）,

所以抛物线c：y2=8x,则C的准线方程为x=-2。故选：A

【变式1】设抛物线。：），=4/的焦点为尸，过焦点尸的直线与抛物线。相交于A,B两点,则1481的

最小值为（）

A.1B.iC.1D.；

【答案】C

【详解】由。：），=4/得/（。，］］，由题意可知直线43的斜率存在，故设其方程为），=丘+1,

4\16；16

联立），=去+］与丁=Jy可得丁-，.上•=（）,设4（内,）1）,8（毛，%），则为+5=3，故

1644644

,+%=小+.）+;=*+：,因此|的=»+），2+；=；/+卜；，当且仅当女=0时取等号，故选：C

o4oo444

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【变式2】过抛物线y=的焦点尸的直线交抛物线于AB两点，若弦/W中点纵坐标为2,则

4

1阴=•

【答案】6

【详解】由y=；/得f=4V,所以焦点坐标为尸（0,1）,准线为/：y=T,设弦A4中点纵坐标为%=2,

故|AW=%+%+2=2），o+2=6.故答案为：6

【变式3】已知椭圆C:「+£=l（"b>0）的右焦点/与抛物线），2=4x的焦点重合，且椭圆的离心率为

立

3

⑴求椭圆。的方程；

（2）过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M,N两点，|MN|=8,求直线方程.

【答案】⑴4+4=1（2”=1或），=—+1

【详解】（1）抛物线丁=4x的焦点坐标为（LO）,所以椭圆中c=1,因为椭圆的离心率为手，即

e，=L=g,所以。=石，从=/“2=37=2,所以椭圆方程为g+4=l

aa332

（2）当直线斜率不存在时，易知此时|MN|=4,不合题意；所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直

线方程为也（1）,如下图所：联立,：=：；；_]）得