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文档简介
安徽省宿州市省、市示范高中2024-2025学年高一下学期7月期末教学质量检测
数学试霞
一、单选题
1.已知复数z=(l+i)(2+3i),其中i为虚数单位,则z的共规复数彳在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2.已知是空间中的两条直线,贝是““,。无公共点”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条
件
3.设。为是平面内的两个单位向量,若3b,则(。+。)电的值为()
A.-V2B.-1C.0D.1
4.某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生
中抽取容量为200的样本,则从高一年级抽取的学生人数为()
A.40B.60C.80D.100
5.某袋中有编号为1,2,3,4的4个小球(小球除编号外完全相同),甲先从袋中摸出一个球,记下编号后放
回,乙再从袋中摸出一个球,记下编号,则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是()
6.已知是单位圆。上的两点(。为圆心),4408=120。,点C是线段48上不与4、B重合的动点.MN
是圆。的一条直径,则CM.CN的取值范围是()
A•卜训B-
7.某同学为测量学校附近山上信号塔的高度A6(塔底视为点6,塔顶视为点A〉,在山脚下选取了两点C,
。(其中4,B,C,。四点在同一个铅垂平面内),在点。处测得点A的仰角为30。,在点。处测得点A、B
的仰角分别为60。、15。,测得。。=36(6+1)米,则按此法测得的塔高为()
A.67米B.72米C.74米D.76米
8.在平行六面体ABC。-A4G〃中,点M是8瓦上靠近B的三等分点,直线DM交平面8c。A于点N,
二、多选题
9.设样本空间。={L2,3,4}含有等可能样本点,且4={1,2},3={1,3}。={1,4},。={3,4},则下列说法正确
的是()
A.事件A与3为互斥事件B.事件A与。为对立事件
C.事件A3,C两两相互独立D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
10.在VABC中,BC=4,若点。满足:AD=^AB+^AC,lanZADC=^\AD\=4i3,则下列结论正确的
443
有()
A.CD=3BDB.AC=2
C.VA3c的面积为3D.VA8c的外接圆半径为石
11.在正三棱柱ABC-A4G中,AB=AA1=2,E,F,G,"分别为BB「CC”A综AG的中点,动点N在
四边形ABAA内及其边界上运动,则下列说法正确的是()
A.E,F,G,,四点共面
B.切与BC所成角的余弦值为当
8
C.正三棱柱A8C-A4G的外接球表面积为08千7r
D.若CN//平面AG,,则动点N的轨迹长度为石
三、填空题
12.已知复数z=3-2i,其中i为虚数单位,则|"|=_
13.数据为的平均数元=10,方差$=20,若凹=2王+5,%=2%+5,,券=2乙+5,则数据
如必,、”的平均数9=,方差s;=.
14.已知一个圆锥的表面积为2兀,则它的体积最大值为.
四、解答题
15.己知平面向量d=(1,2)石=(T,2),c=(3,4).
⑴求〃+/,与c的夹角余弦值;
(2)若.+标)〃侬一可,求实数A的值.
16.某地区市政府为了鼓励居民节约用电,计划调整居民生活川电收费方案,拟确定一个合理的月用电量
标准X(千瓦时):月用电量不超过X的部分按平价收费,超出X的部分按议价收费.为了了解居民用电情况,
通过抽样,获得了100位居民每人的月均用电量(千瓦时),将数据按照[0,100),[100,200),4600,700)分成
7却,制成了如图所示的频率分在百方图.
八频率/组距
0.0030...............
0.0020............
a...................
0.0010...................
0.0005——
。1602603/)4沁6066076古量/千瓦时
(1)求频率分布直方图中。的值,并且计算样本的平均数;
(2)若该市有900万居民,估计全市居民中月均用电量不低于400千瓦时的人数;
⑶若该地区市政府希望使85%的居民每月的用电量不超过标准;(T・瓦时),估计x的值.(结果保留整数)
17.每年的3月14日为国际数学日,也被称为,日”,某学校在国际数学日举办了“数学知识竞赛”,竞赛
32
共分两轮,即每位参赛选手均须参加两轮比赛,已知在第一轮比赛中,选手甲、乙胜出的概率分别为了、彳;
43
在第二轮比赛中,选手甲、乙胜出的概率分别为p、q.假设甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.若
96
甲、乙各有一轮胜出的概率为石,甲、乙两轮都胜出的概率为天.
(1)求〃和q的值;
(2)求甲,乙两人至少有一人两轮都胜出的概率.
18.在VA8C中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a(6sin8+cos或=〃+c,。为边BC上一点,
且A£>=2.
题号12345678910
答案CADBAABCBCABD
题号11
答案ACI)
1.c
根据等式求出复数Z,进而得到共知复数三,从而可确定其象限.
【详解】因为复数z=(l+i)(2+3i)=2+3i+2i-3=5i-l,
所以共枕复数5=-l-5i.
所以共规复数在复平面内对应的点(-1,-5)位于第三象限.
故选:C.
2.A
利用异面和平行直线的概念结合充分必要条件判断.
【详解】则〃无公共点,故充分性成立,
无公共点可推得或。,力是异面直线,故必要性不成立;
所以“力”是“4,5无公共点”的充分不必要条件,
故选:A.
3.D
根据单位向量垂直得到〃〃=。,〃〃=1,进而由向量数量积运算法则计算出答案.
【详解】因为。与力是单位向量,且所以〃6=。,且〃为=],
所以(a+b),Z?=a力+。・。=0+1=1.
故选:D
4.B
根据分层抽样的抽样比即可求得结果.
【详解】因为高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,
所以高一年级学生人数占三个年级总人数的比例为:=
3+3+410
3
根据分层随机抽样的计算方法,从高一年级抽取的学生人数为:200x^=60(人).
故选:B.
5.A
根据(甲,乙)方法得出总的取法的结果,求得符合题意的个数,可求甲、乙两人所摸出球的编号不同的
概率.
【详解】甲先从袋中摸出一个球,有4种可能的结果,乙再从袋中摸出一个球,有4种可能的结果,
如果按(甲,乙)方法得出总共的结果为:16个,
甲、乙两人所摸出球的编号不同的结果为12个,
123
甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是1rz
故选:A.
6.A
根据CM=CO+OM.CN=CO+ON,利用向量的运算可以将CM・CN转化为,进而得解.
・••点C在线段AB上,且|。。卜
LZ,
CM.CN=(OM-OC).(ON-ocj=OM.ON-(OM+ON).OC+OC
=-I+OC2=-I+|OC|2,
3)
V\oc\G:.CMCNe■?°L
故选:A
7.B
设直线。。与A8交于点E,分别用AE表示出CEOE,
利用=解出AE,再解出战,最后出塔高即可.
【详解】设直线。。与A8交于点E,则A£_LCE,
由题意,CE=-AL=y/3AE,DE=AE-=—AE,
tan300tan6003
又CO=36(G+1),^CE-DE=CD,代入解得AE=18(3+6),
从而£>E=18(G+1),
进而BE=OEtan15°=DE-tan(60°-45°)=DE•=18(百一1),
所以塔高A8=AE—8E=72米.
故选:B
8.C
作图,根据线面平行的判定定理可知PM〃平面CHAR,然后杈据线面平行的性质定理可知PM〃QN,可
-DN二DQDD、=CC、
得诉一~PQ~~CP~~CP,判断即可.
【详解】设平面D4M与CG交于点P,连接。尸交于点Q,连接QM如图:
因为CB〃D4,C8总平面D4M,D4u平面DAM,
所以C3//平面DAM,又CBu平面CBB£i,平面DAMD平面CBB©=PM,所以CB//PM,
因为M是三等分点,所以岩=3,因为C3u平面平面C84Q,所以〃平面C7MQ,
又PMu平面尸DM,平面CBAACI平面PQM=QV,所以QM〃QN,
,DNDQDD、CQ2…ON3
所rri以诉=无=方=苕=3,因此曲="
故选:C
9.BC
根据互斥事件的定义判断A;根据对立事件的定义判断B;根据独立事件的定义判断C;选项D需验证三
事件同时发生的概率是否等于各自概率的乘积.
【详解】因为A4={1},即件A与3能同时发生,不是互斥事件,A错:
因为P(AC£))=0且P(AD)=Q,即事件A与。不能同时发生且必有一个发生,
事件A与。为对立事件,B正确;
P⑷=P(8)=:=:,P(^)=P((l|)=iP(A)P(8)="!=!=P(A8),故A8独立;
424224
P(C)=;,尸(4C)=尸({1})=;,P(A)P(C)=;=P(AC),故AC独立;
P(BC)=P({1})=;;p(B)P(C)=g[=;=P(8C),故8,C独立,
综上事件ARC两两相互独立,C正确;
选项D:A8C={\}t故P(A8C)=;,P(A)P(8)P(C)=H;=;,;H,,选项D错误.
故选:BC.
10.ABD
对于选项A,根据等式可变形化简求出加),8。的关系,进而可求出81。的关系;对于选项B,先根据
1加4。。求出8§4。。,然后根据余弦定理求出AC的值;对于选项C,根据勾股定理可确定AC_L/3C,
进而可求出三角形面积;对于选项D,根据直角三角形外接圆半径为斜边的一半可求出外接圆半径.
一一一-
【详解】因为AO==348+;1A—C,所以4—O——A8=:1(AC—A8),
444
即BO=』8C,所以C£>=38O,故A正确;
4
因为tan/AOC=],所以'口二二],因为sii?4/)C+cos?NAOC=1,
3cosZ4A?DC3
在AAOC中,因为CO=?4C=3,AO=jm,由余弦定理得,
4
AC2=AD2IDC22ACDCcosZADC=4,即AC=2,故B正确;
又因为从。2=4。2+。。2,所以AC_L3C,即C=90。,
因此SA8c=gAC,BC=4,故C借误:
因为A82=4C2+BC2=20,所以A3=2石,
ARL
因此VA4c的外接圆半径为卷=逐,故D正确.
故选:ABD.
11.ACD
对于选项A,证明M//G”即可证明E.EG,”四点共面;对于选项B,先确定“与BC所成角,然后根
据余弦定理可求出其余弦值;对于选项C,先由正弦定理求出外接圆半径,然后根据勾股定理求出球的半
径,从而求出球的表面积即可:对于选项D,先确定动点N的轨迹,然后根据勾股定理求出轨迹长度.
【详解】连接因为£F,G.”分别为明,CG,A稣4。的中点,
所以痔〃4G,G〃〃4G,从而EF//GH,故瓦EG,“四点共面,A正确;
连接EREH,因为EF〃BC,则/小石为“与所成角,
在WFE中EF=2、FH={HC;+FC;=g=®EH=^EB;+HB;=Jl+(G):=2,
由余弦定理可得cos/小石=*尸+"£一芯2+二4=4.B错误;
2xHFxEF2x^x24
在等边VA4C中,由正弦定理可得,VA8c的外接圆半径r=1」竺_=友,
2sin6003
设止三棱柱的外接球半径为A,且球心到平面48c的距离为1,
由勾股定理可知*=/+/=1+?=?,
33’
所以球的表面积为4兀*=竽,C正确;
在正三棱柱中,取八3的中点。,连接oq.occq,
可知DC”GC\、AGNDB\,
乂。C仁平面AGC,,GC,u平面AGC;,DB、色平面AGC;,GAu平面AGC;,
所以DC//平面AGC,,//平面AGG,
又因为是平面以4内两条相交直线,因此平面OC8J/平面AGG,
当点N在四边形ABSA内及其边界上运动时,若CV〃平面AGG,
则CN在平面DCg内,从而动点N的凯迹为。片,
又因为DB】=/l宿旅=忖4=下,所以动点N的轨迹长度为石,D正确.
故选:ACD.
12.1
先根据复数的除法化简言,再根据模的概念求解.
„若二洋生忐焉=事
所以
故答案为:1
13.2580
根据平均数、方差的性质求解即可.
【详解】由题意数据中七,,%的平均数为元一10,方差为4=20,
根据平均数和方差性质可得
数据凹=2司+5,),2=2々+5,,”=2/+5的平均数9=25+5=2x10+5=25,
方差*=2?./=4x20=80.
故答案为:25;80
14.四
3
首先根据圆锥的底面半径和母线长的关系以及表面积的值求出〃,,•的表达式,然后利用圆锥的体积公式和二
次函数的性质求出体积的最大值.
【详解】设圆锥的底面半径为「,母线长为/,高为九则『=产+/,
因为圆锥的表面积为2兀,所以冗八+兀〃=2兀
从而/=",〃=豆匚己,JLO<r<l,
所以圆锥的体积为V=1nrh=2G-'=生L(r—p
333V4V2)
因此当〃=也时,体积V取到最大值
23
故答案为:y.
4
15.(1)-
4
⑵(=
(1)根据向量夹角的余弦公式和向量数量积的坐标公式进行求解即可.
(2)根据向量共线的坐标公式求出参数的值.
【详解】(1)由已知,a+h=(OA),
“r/r\(a+b)-c0x3+4x44
所以以汉白+儿4=7~^―=---1===~.
\a+b\\c\4XV32+425
(2)由已知,〃+品=(1+3%,2+必),2〃一。=(一3,2),
因此由(〃+Ac)〃(2〃-。),可得2(1+3%)=-3(2+4女),
4
解得k=-§.
16.(1)^=0.0015,395(千瓦)
(2)495万人
⑶x、567(千瓦).
(1)根据频率分布直方图的频率之和为1求出。的值,进而可求得样本的平均值.
(2)由频率分布直方图求出用电量不低于400千瓦的频率,进而求得用电量不低于400千瓦的人数.
(3)根据百分位数的公式求出85%百分位数,进而可求得「的值.
【详解】(1)由频率之和为1,可得(0.0005+O.(X)lx3+a+0.002+0.003)x100=1,
解得“00015,
样本的平均数为:
50:<0.05+150x0.1+250x0.1+350x0.2+450x0.3+550x0.15+650x0.1=395(千瓦).
(2)由图可得,用电量不低于400千瓦的频率为0.3+0.15+0.1=0.55,
故全市居民中月均用电量不低丁400T瓦的人数为900x0.55=495万人.
(3)由图可得,前5组的频率之知为0.05+0.1x2+0.2+0.3=0.75,
前6组的频率之和为0.05+0.1x2+0.2+0.3+0.15=0.9,
设第85百分位数为x,则xs[500,600),
故0.75+(x-500)X0.0015=0.85,
解得X。567(千瓦).
34
17.(l)P=",^=-
嘘
(I)根据古典概型和已知条件求出事件“甲,乙各有一轮胜出”、“甲,乙两轮都胜出”的概率,然后求出参
数即可.
(2)甲、乙两人至少有一人两轮都胜出的概率等于甲两轮胜出的概率、乙两轮胜出的概率以及甲乙两轮都
胜出的概率之和.
【详解】(1)记事件A="第一轮比赛中甲胜出“,事件4=”第二轮比赛中甲胜出”,
记事件4="第一轮比赛中乙胜出",事件员="第二轮比赛中乙胜出”,
由题意得%层相互独立,
32
且p(A)=Z,尸(4)=p,?(4)=§,尸(用)=夕,
记事件"甲,乙各有一轮胜出“,事件E=”甲,乙两轮都胜出”,
则P(0=P(A用+4AJP(瓦瓦+瓦区)=|(l_q)+/*,
P(E)=P(AA避层)=
112
严严?34
从而有,您,解得〃=?
IZDD
pq=
25
(2)记事件G="甲两轮都胜出",事件〃=”乙两轮都胜出”,
事件K=”甲,乙两人至少有一人两轮都胜出”,
9248
P(G)=3N=—,2〃)=—X—=一
45203515
P(K)=P(Gm+Pd〃)+P(G〃),J+L9+2J/3+88+72;交
201520152015300300
18.⑴A=;
⑵。=36-3
⑶6+2日
(I)由正弦定理和三角恒等变换得到2sinA-9=1,从而求出A=W兀;
16/3
(2)先计算出=+两边平方求出4〃+c2+2bc=36,又联立两式解得反J由
33b
余弦定理求出〃=3行-3:
(3)若A。为角平分线,则/8AD=m,sin/8D4=sin(8+2],在△ABD中,由正弦定理得到
6k
2"3+W,昨」,故加3如6+j+lang,根据基本不等式求出最小值.
AB=-----------sinBtan-
sinB2
【详解】(1)由已知a(J5sin8+cosA)=Z>+c,
由正弦定理,可得sinA(>/3sinB+cosB)=sin8+sinC,
又因为sinC=sin(八+8)=sin人cos8+cos人sin8,代入上式,
化简得:6sinAsinB=sinB+sin"cosA,
因为VABC中,Bw(O,n),所以sin8工0,从而Gsin4-cosA=1,
故2sin(A—tj=l,因为Aw(0,兀),所以A=g.
(2)因为40=2cO,
2212
所以AO=A8+8O=48+/。=43+押(:-48)=豺8+豺(7,
由(1)知,A=1,
,->(i2A12*6124.,4
所以AZ/=-AB+-AC\=-AB~+-AC~+-\AB\\AC\cosA
U3J999
1.)4-22
=-AB~+-AC+-\AB\\AC\f
999
由已知AO=2,所以4="/+1/+晟秋•,即4〃+/+»c=36,
又?=G-1,联立两式解得,b-x[6,c-3^2-y/6,
z?
由余弦定理,可得/=〃+/—加=36—186,即4二36—3.
(3)若A。为角平分线,则N8AD==7T,sin/BDA=sin8+三,
6k6J
AnBDAB
在△海中,由正弦定理,得益
sinN3AD-sinNBDA
2BDAB
sinB+仁,
2sinIB+7I
所以A人[6),BD=
sinB
sinB
।2sinBH—1+3r-.
所以4“I6)V3sinB+cosB+3
AB+3BD=---------------乙--=--------------
sinBsinB
,^B-sin^B3cos^sin^.,Br.、B
cos++4cos—+2sin~一
=出+--22I223—
T~B~~B.*D
2sin—cos2sincos
2222
HnAB+3BD=V3+^77+tan-
即A2,
tan—
2
又因为/相„,所以黑0彳,
tan—G(0,V3),
2
InR
y-,jAB+3BDNy/3+2
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