2026中考数学考点复习：锐角三角函数（学生版+详解版）

考点26.锐角三角函数（精讲）

【命题趋势】

锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点，主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角

函数，尤其是应用主要在综合题中考查，是考查重点，每年都有一道三角函数的综合题，还营和四边形、

圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型，分值为12分左右。预计2024年各地中考

还将以选填题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直

角三角形，是得分的关键。

【知识清单】

1：锐角三角函数（☆☆）

1）锐角三角函数的概念：锐角4的正弦、余弦、正切都叫做/A的锐角三角函数.（其中：0<NA<90。）

2）正弦、余弦、正切的概念：如图，在RtZ\48C+*,ZC=90%AB=c,BC=a,AC=b,

ZA的对边余弦：cos公会警正切：ta加支警，

正弦：sin4=

斜边c邻边b

3）特殊角的三角函数值

asinacosatana

V3

30。

2

45°在也1

22

60°6

2

【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.

4）锐角三角函数的性质

当0。</八<90。时，s/力A随N4的增大而增大；cosA随N4的增大而减小；tanA随NA的增大而增大°

2：解直角三角形（☆☆）

1）解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三

角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.

2）在解直角三角形的过程中，常用关系：

在RtA48C中，ZC=90°,贝lj：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：Z>A+ZB=90：；

（3）边与角关系：sin>4=cosB=—,cos4=sinB=—,tan4=—；4）sin24+cos2>4=l.

ccb

3：解直角三角形的应用（☆☆☆）

1）解直角三角形的相关的名词、术语：

（1）视角：视线与水平线的夹角叫做视角。

仰角；在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做包鱼。

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做幽。

（2）方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角.

（3）坡度：坡面的铅宜高度h和水平宽度I的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作/•=%.

坡角：坡面与水平面的夹角叫做姬，记作a,j=tana.坡度越大，a角越大，坡面越陡.

2）解直角三角形实际应用的一般步骤：

（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题;

（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解.

3）测量物体的高度（距离）的常见模型：

（1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形）

解题方法：（己知条件：a邛，n,求高m）这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条

边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解。

（2）测量底部可以到达的物体高度

解题方法：1）已知测量仪高，〃，水平距离〃，角。，求高62）已知水平距离〃，角a,角夕，求高/7=a+的；

这两种模型种可结合水平距离和相应角度，用正切值解题。

（3）测量底部不可到达的物体的高度

注意：1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余

的三个未知元素（知二求三）；2）已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相

似，但不一定全等，因此其边的大小不确定。

【易错点归纳】

1.若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切对习惯省略角

的符号“N"，如tanA.sina.cos若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的，则表示它的正弦、

余弦及正切时，不能省略角的符号“N"，如s加NA8C,cosZ2ftanZ\o

2.锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的，而且由锐角三角函数的定义可知，其本质特征是两条

线段长的比。因此，锐角三角函数只有数值，没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形

的边长无关。

3.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅

助线来构造直角三角形。

【核心考点】

核心考点1.锐角三角函数

例I：（2025年四川省内江市中考数学真题）在一A8C中，NA、NB、NC的对边分别为。、b、c,且满足

a2+\c-\0\+^/^^8=12a-36,则sinB的值为.

变式1.（2024•河北承德•九年级统考期末）在中，ZC=90°,若的三边都扩大5倍，则sinA

的值（）

A.放大5倍B.缩小5倍C.不能确定D.不变

变式2.（2025•广东•校考一模）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,BC=3AC,则lan6=（）

3x/io

L.------

1010

变式3.（2025•陕西西安•统考二模）在RtZ\A8C中，ZC=90°,己知AC=2BC=3,那么下列各式中,

正确的是（）

222D.ta也—答

A.sin2?=—B.cosB=-C.tanZ?=—

333

例2：（2025年山东省威海市中考数学真题）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28。，高为7米.用

Bc

A.17Msin[2]8|-[7J.|7卜加n[2||x||D.[7j加n|2|8|

变式1.（2025年四川省南充市中考数学真题）如图,小兵同学从A处出发向正东方向走工米到达B处，再

向正北方向走到。处，已知NB4C=a,则A,C两处相距（）

A.1J米B.---米C.jrsina米D.x・cosa米

sinacosa

4

变式2.(2025•山东•九年级专题练习)如图，在中，ZC=90°,sinA=-,8c=8,则A8=

例3:（2025年广东省深圳市中考数学真题）爬坡时坡角与水平面夹角为。，则每爬lm耗能（1.025-cosa）J,

若某人爬了1000m,该坡角为30。，则他耗能（参考数据：75^1.732,V2«1.414）（）

A.58JB.159JC.1025JD.1732J

变式1.（2025•广东潮州•统考一模）3tan30。-1的值等于（）

A.y/3-lB.26C.2D.6

变式2.（2025•陕西西安•校考一模）计算:

(I)2cos60°4-|l-2sin45°|+-，(2)71-2tan60°+tail2600-tan60°.

\^/

例4：（2025・安徽•统考一模）在“5C中，（2cosA-&『+|]TanB|=0，则“8（7一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

变式1.（2025・广东•统考二模）在二A3C中，若cosA=无，则/A的度数是（）

2

A.30。B.45°C.60°D.75°

变式2.（2025•广东•校考二模）在二"C中，疝人=85（90。一。）=与，则_^。的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

例5：（2025・重庆•统考模拟预测）若0。<a<90。，则下列说法不正确的是（）

A.sina随"的增大而增大B.cos。随。的减小而减小C.tan"随"的增大而增大D.0〈sin〃vl

变式1.（2025・湖北恩施•校考模拟预测）已知锐角A的正弦sin.A是一元二次方程2/一3工+1=0的一个根,

则sinA=.

变式2.（2025♦浙江•统考一模）已知.人4。是锐角三角形，若AB>AC,则（）

A.sinAvsin"B.sin/?<sinCC.sinA<sinCD.sinC<sin4

变式3.（2025・上海•校考模拟预测）如果锐角A的度数是25。，那么下列结论中正确的是（）

A.0<sinA<:B.0<COS4<&C.B<tanA<1D.1<colA<V3

223

核心考点2.解直角三角形

例6：（2025年江苏省宿迁市中考数学真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形

的顶点称为格点.点A、B、C三点都在格点上，则sinZA8C=.

变式1.（2025•江苏泰州•统考一•模）如图，在4x3的网格图中，点A、B、C、。都在小正方形的顶点上,

AB.C。相交于点P,则tan/APC的值是.

变式2.（2025•河北邯郸•校考三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,。是以8C的

外接圆，点A，B,O在网格线的交点上，贝iJcos/AC3的值是（）

35/io

10

变式3.（2025•湖北宜昌•统考模拟预测）由小正方形组成的网格如图，A,B,C三点都在格点上，则NA8c

D.4

C-T

例7：（2025年浙江省杭州市中考数学真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是17。0多年前中

国古代数学家赵爽的“弦图如图，在由四个全等的直角三角形（.△DAEAABFABCGACDH1和中间

一个小正方形EF6”拼成的大正方形A8CD中，ZABF>ABAF,连接瓦：.设4BAF=a、NBEF=。,若正

方形石打汨与正方形A8CO的面积之比为1:几的。=1@1?4，则〃=（）

D.2

变式1.（2025•陕西西安•校考模抵预测）国际数学大会是全世界数学家的大聚会.如图是某次大会的会徽,

选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，充分肯定了我国在数学方面的成就，也弘扬了我

国古代的数学文化.如图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果

大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直角三角形中较小的锐角为仇那么cos。的值等

于_______________•

4变式2.（2025・浙江绍兴•校联考模拟预测）如图，用4个全等的直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾股

定理，这个图被称为“弦图若"该图"中大正方形面积为20,tana=2,则小正方形的面积为_____.

例8：（2025年四川省广元市中考真题数学试题）如图，在平面宣角坐标系中，已知点A（l,0）,点现0,-3）,

点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB,BC,若tan乙48c=g,则点。的坐标为

变式1.（2025•浙江•校考二模）如图，0的半径J.A8于点C.连接AO并延长交。于点E，连接EC.若

AB=S,CD=2,则lan/OEC%（

D,亚

1713

变式2.（2025•浙江杭州•校考二模）点石为正方形A8CO的边八B上一点，连接OF,AC,且。E与AC相

S1

交于点若丁皿=/，则sinZ.CDE=_________________.

3.CMD10

变式3.（2025・重庆•统考一模）构是几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算〔an15。时,

如图，在RtZLABC中，ZC=90°,NA8C=30。，延长。4,使BD=AB,连接AO,使得NO=15。，所以

5啮=+2—

类比这种方法，计算tan22.5o=

（2+倒2—G）

例9：（2025年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，

给出了这样的一个结论：三边分别为。、b、c的..ABC的面积为工.二gJ。?从_（♦+'；Yj..工8C的

边。、氏c•所对的角分别是（M、团B、团C,则S》8c=；，力sinC=；MsinB=；〃csinA.下列结论中正确的是

（）

a-a-+b~-c~c-a~+b--c',-a~^b~-c~>-a~+b--c~

A.cosC=---------------B.cosC=--------------------C.cosC=-----------------D.cosC=-----------------

2ablablac2bc

变式1.（2025•浙江杭州•统考二模）在Rf..ABC中，NC=90°,cosA=g,则sin8=.

变式2.（2025・河北保定•统考二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：

sin27°+sin283°«0.122+0.992=0.9945,

sin222°+sin268°«0.372+0.932=l.（X）18,

sin290+sin26l°«0.482+O.872=0.9873,

sin370+sin253。«0.602+O.8O2=l.CXXX）,

sin245°+sin245=,

据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角。，B,若a+，=90。，均有sin2a+sin2/?=l.

⑴当a=30。，〃=60°时，验证sin%+sin2〃=l是否成立？

（2）嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示RlZSABC给予证明，其中NA所对的边为*N8所对

的边为6,斜边为J若不成立，请举出一个反例；

⑶利用上面的证明方法，直接写出tana与sin。，cosa之间的关系.

变式3.(2025・湖南•校考一模)同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式:

sin(a-/7)=sin«cos/?-cos«sinp,sin(6if+/?)=sin«cos/y+ccsasinp；

cos(«-//)=cosacos/^+smasin/?,cos(<2+/?)=costzcos/?-sinasinp.

/7_/z

例：sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos300-cos45°sin30°=-------.

⑴试仿照例题，求出8s75。的值；(2)若已知锐角a满足条件sina=g，求sin2a的值.

核心考点3.解直角三角形的应用

例10：（2025年山东省济南市中考数学真题）图1是某越野车的侧面示意图，折线段A8C表示车后盖，已

知AB=Im,=。6m,ZABC=123°,该车的高度AO=1.7m.如图2,打开后备箱，车后盖ABC落在ABC

处，A*与水平面的夹角/8'4）=27。.

⑴求打开后备箱后，车后盖最高点&到地面/的距离；

⑵方小琳爸爸的身高为1.8m,他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险？请说明理由.

（结果精确到0.01m,参考数据：sin27°«0.454,cos27°«0.891,tan27°®0.510,75^1.732）

变式L（2025年浙江省衢州市中考数学真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调

节杆8C=缶，AB=b,A8的最大仰角为。.当NC=45。时，则点A到桌面的最大高度是（）

bb

A.a+-------B.a+----C.a+boosaD.a+bsinct

cos。sin

变式2.（2025年江苏省镇江市中考数学真题）小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一

个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部.

如图1是俯视图，OA,分别表示门框和门所在位置，M,N分别是QA上的定点，

OM=27cm,ON=36cm,MF,的长度固定，NMFN的大小可变.

门

门框所在位置完

全

打

开

“枢所在,置时

1~7^所

在“框所在位为

B位

门所在位K置

ffll图2图3

（1）图2是门完全打开时的俯视图，此时，OA1OB,ZM/W=180°,求NMNB的度数.

（2）图1中的门在开合过程中的某一时亥IJ,点尸的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置08.

（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（3）在门开合的过程中，sinNONM的最大值为.（参考数据：sin37°«0.60,cos37°»0.80,Um37°^0.75）

例11:（2025年湖北省鄂州市中考数学真题）鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花

山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐.今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝

活动.如图2,景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点石处，挂好后，小明进

行实地测量，从元明塔底部尸点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端八点，在A点用仪器测得条幅下端

E的仰角为30。；接着他沿自动扶梯AQ到达扶梯顶端。点，测得点A和点。的水平距离为15米，H.

4

tanZDA5--；然后他从。点又沿水平方向行走了45米到达。点，在。点测得条幅上端G的仰角为45。.（图

上各点均在同一个平面内，且G,C,8共线，F,A,8共线，G、E、尸共线，CD〃AB,GFSB）.

⑴求自动扶梯A。的长度；（2）求大型条幅GK的长度.（结果保留根号）

变式1.（2025年江苏省南通市中考数学真题）如图，从航拍无人机A看•栋楼顶部8的仰角。为30。，看这

栋楼底部C的俯角夕为60。，无人机与楼的水平距离为120m,则这栋楼的高度为（）

B

C

A.140鬲B.160GmC.180园D.200Gm

变式2.（2025年湖北省黄石市中考数学真题）如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点4处，此时

飞行高度AC=1200米，从飞机上看到点B的俯角为37。飞机保持飞行高度不变，且与地面目标分别在两条

平行直线上同向运动.当飞机飞行“3米到达点。时，地面H标此时运动到点£•处，从点E看到点O的仰角

310

为47.4。，则地面目标运动的距离花约为一米.（参考数据…37。。-47.4。/）

变式3.（2025年湖北省黄冈市中考数学真题）综合实践课.匕航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图，

无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达8处，测得博雅楼顶部E的俯角为45。，尚美楼顶部产的

俯角为30。，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度。尸为米.（结果保留根号）

例12：（2025年山东省潍坊市中考数学真题）如图，/是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米,

海岛。位于码头A北偏东60。方向.一艘勘测船从海岛C沿北偏西30。方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资

源，勘测发现位于码头人北偏东15。方向的。处石油资源丰富.若规划修建从。处到海岸线的输油管道，则

输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）

变式L（2025年四川省眉山市中考数学真题）一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60。方向，渔船

向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45。方向，若渔船继续向正东方向航行，则

渔船与灯塔C的最短距离是海里.

变式2.（2025年海南省中考数学真题）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30。方向上，轮

船沿着正北方向航行20海里到达8处，测得灯塔”位于8的北偏东60。方向上，测得港口。位于8的北偏

东45。方向上.已知港口C在灯塔M的正北方向上.⑴填空：ZAMB=一度，ZBCM=____度；（2）求灯塔

M到轮船航线AB的距离（结果保留根号）；（3）求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）.

例13：（2025年山西省中考数学真题）2025年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2025—2025

年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选.在推进实施母亲河玛苏行

动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）.某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一

项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告.请根据活动报告计算8C和人B的长

度（结果精确到0.1m.参考数据：石*1.73，夜=1.41）.

课

母亲河驳岸的调研与计算

题

调

查

资料查阅、水利部门走访、实地查看了解

方

式

功

驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物

能

驳相关数据及说明，图中，点4,B,C,D,

eft]

岸E在同一竖直平面内，4E与CD均与地

剖面平行，岸墙A6_L4?于点4,

面」\

ZBCD=135°,ZEDC=60°,ED=6m,

图AE=1.5m,CD=3.5m

计

算

结

果

交

流

展

示

变式1.（2025年山东省淄博市中考数学真题）如图，与斜坡CE垂直的太阳光线照射立柱AB（与水平地面

8尸垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上.若8C=2米，8=8.48米，斜坡的坡

科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）

0530

cos

0.625

变式2.（2025年湖北省中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面

为梯形A8CO,斜面坡度，=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度座■的比.己知斜坡。。长度为20米，

ZC=18°,求斜坡AB的长.（结果精确到米）（参考数据:sin18°«0.3l,cos18°«0.95,tan18°«0.32）

B

考点26.锐角三角函数（精讲）

【命题趋势】

锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点，主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角

函数，尤其是应用主要在综合题中考查，是考查重点，每年都有一道三角函数的综合题，还营和四边形、

圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型，分值为12分左右。预计2024年各地中考

还将以选填题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直

角三角形，是得分的关键。

【知识清单】

1：锐角三角函数（☆☆）

1）锐角三角函数的概念：锐角4的正弦、余弦、正切都叫做/A的锐角三角困数.（其中：0<NA<90。）

2）正弦、余弦、正切的概念：如图，在RtZ\48C+*,ZC=90%AB=c,BC=a,AC=b,

ZA的对边余弦：cos公会警正切：ta加支警，

正弦：sin4=

斜边c邻边b

3）特殊角的三角函数值

asinacosatana

V3

30。

2

45°在也1

22

60°

V2

【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.

4）锐角三角函数的性质

当0。</八<90。时，s/力A随N4的增大而增大；esA随N4的增大而减小；tanA随NA的增大而增大°

2：解直角三角形（☆☆）

1）解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三

角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.

2）在解直角三角形的过程中，常用关系：

在RS48C中，ZC=90°,贝lj：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：N4+N8=却:;

（3）边与角关系：sin>4=cosB=—,cos4=sinB=—,tan4=—；4）sin24+cos2>4=l.

ccb

3：解直角三角形的应用（☆☆☆）

1）解直角三角形的相关的名词、术语：

（1）视角：视线与水平线的夹角叫做视角。

仰角；在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做用1兔。

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做他鱼。

（2）方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向用.

（3）坡度：坡面的铅宜高度h和水平宽度I的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作/•=%.

坡角：坡面与水平面的夹角叫做姬，记作a,j=tana.坡度越大，a角越大，坡面越陡.

2）解直角三角形实际应用的一般步骤：

（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题;

（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解.

3）测量物体的高度（距离）的常见模型：

（1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形）

解题方法：（己知条件：a邛，n,求高m）这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条

边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解。

（2）测量底部可以到达的物体高度

解题方法：1）已知测量仪高，〃，水平距离〃，角。，求高62）已知水平距离〃，角a,角夕，求高/7=a+的；

这两种模型种可结合水平距离和相应角度，用正切值解题。

（3）测量底部不可到达的物体的高度

注意：1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余

的三个未知元素（知二求三）；2）已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相

似，但不一定全等，因此其边的大小不确定。

【易错点归纳】

1.若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切对习惯省略角

的符号“N"，如tanA.sina.cos若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的，则表示它的正弦、

余弦及正切时，不能省略角的符号“N"，如s加NA8C,cosZ2ftanZ\o

2.锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的，而且由锐角三角函数的定义可知，其本质特征是两条

线段长的比。因此，锐角三角函数只有数值，没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形

的边长无关。

3.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅

助线来构造直角三角形。

【核心考点】

核心考点1.锐角三角函数

例I：（2025年四川省内江市中考数学真题）在一A8C中，NA、NB、NC的对边分别为。、b、c,且满足

a2+\c-\0\+7^8=12a-36,则sinB的值为.

4

【答案】-/0.8

【分析】由cJ+10|+〃-8=12a-36,可得（々-6）?+卜-1Q+=0,求解a=6,/?=8,c=10,证明

ZC=90°,再利用正弦的定义求解即可.

【详解】解；0«2+|c-10|+V^-8=12«-36,12。13611c10|IJb8-0,

0（^^-6）2+|c-lO|+^/^8=O,回〃-6=0,c-10=0,Z?-8=0,

解得：a=6,b=8,c=10,^a2+b-=62+82=100=102=<?2，

Z?844

团NC=90°,团sinB=-=f==，故答案为：—■.

c1055

【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的

逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明NC=9（r是解本题的关键.

变式1.（2024•河北承德•九年级统考期末）在RtZ\A8C中，ZC=90°,若.工的三边都扩大5倍，则sinA

的值（）

A.放大5倍B.缩小5倍C.不能确定D.不变

【答案】D

【分析】直接利用锐角的正弦的定义一一“锐角A的对边a与斜边c的比叫做Z4的正弦，记作sinA〃求解.

【详解】解:0ZC=9O°,回sinA=NA的对边与斜边的比，

人工8c的三边都扩大5倍，团N4的对边与斜边的比不变，团sinA的值不变.故选：D.

变式2.（2025・广东•校考一模）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=3AC,贝Ijtan8=（）

B

13M

A.-B.3rMUn•

31010

【答案】A

【分析】本题考查正切的计算，熟知直角三角形中止切的表示是解题的关键.根据正切的定义tan3=令AC计

n（

算，得到答案.

AC

【详解】解：ZC=90%tanB=-=—故选：A.

变式3.（2025•陕西西安•统考二模）在中，ZC=90°,己知AC=2,BC=3,那么下列各式中,

正确的是（）

.222

A.sinB=—B.cosB=-C.(anB=—D.—等

333

【答案】C

【分析1利用锐角三角函数定义判断即可.

【详解】解：「在R14A8C中，ZC=90°,AC=2,BC=3,

B

A

AC22V13

/.AB=yJ?2+32=x/13>.-sinB=

13

8s人”[迎tan/^AC2

=正二针故选:C

ABV1313

【点睛】此题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.

例2：（2025年山东省威海市中考数学真题）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28。，高为7米.用

计算器求A6的长，下列按键顺序正确的是（）

A.[7[x]sin[2l81B.比|$屈2|8|c.7[x]lan||2]阿D.阿加n|2|8|

【答案】B

【分析】根据正弦的定义得出A8=7+sin28。，进而可得答案.

【详解】解：由题意得sin28。=」-,（3A4=7+sin28。，

AB

团按键顺序为团国画回叵国，故选：B.

【点睛】本题考查了正弦的定义，计算器的使用，正确理解三角函数的定义是解题的关键.

变式1.（2025年四川省南充市中考数学真题）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走4米到达“处，再

向正北方向走到。处，已知=则A,C两处相距（）

Yr

A.--米B.--------米C.xrina米D.x・cosa米

sin<7cosa

【答案】B

【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.

【详解】解：小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达8处，再向正北方向走到C处，

.\ZABC=90°,48=彳米.二工05。=——,:.AC=----=-----米.故选：B.

ACcosacosa

【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角

三角形中，锐角的邻边与斜边之比.

4

变式2.（2025・山东•九年级专题练习）如图，在RtA/lBC中，NC=90°,sinA=-,8c=8,则AB=.

【分析】根据锐角三角函数的意义求解即可.

4

【详解】解：团在RtZXABC中，NC=90。，sinA=-,BC=8,

J

Osin4=—=,0AB=10.故答案为：10.

5ABAB

【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的前提.

例3:（2025年广东省深圳市中考数学真题）爬坡时坡角与水平面夹角为a，则每爬1m耗能（1.025-cosa）J,

若某人爬了1000m,该坡角为3（T,则他耗能（参考数据：73=1.732,右=1.414）（）

A.58JB.159JC.1025JD.1732J

【答案】B

【分析】根据特殊角三角函数值计算求解.

【详解】1000(1.025-cosa)=1000(1.025-cos30°)=1025-500x/3«1025-500x1.732=159,故选：B.

【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键.

变式1.（2025・广东潮州•统考一模）3团130。-1的值等于（）

A.75-1B.2x/3C.2D.⑺

【答案】A

【分析】本题考查特殊角的三角函数值，将tan3（r=亭代入求值即可.

【详解】解：原式=3x走-1=6-1,故选：A.

3

变式2.（2025•陕西西安•校考一模）计算：

(I)2cos60°+|l-2sin45°|+⑵71-2tan600+tan2600-tan600•

【答案】⑴&+1⑵-1

【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算、零指数暴以及二次根式的化简;

（1）先代入特殊角的三角函数值，再计算绝对值和零指数寤，最后计算加减即可；

（2）先利用完全平方公式对二次根式变形，再利用二次根式的性质化简，代入特殊角的三角函数值进行计

算即可.

【详解】(1)解：2cos60°+|l-2sin45°|+l-

.1

=2x—+2X+1

2'-T

=l+|l-x/2|+l

=1+>/2-1+1

=+1

⑵解：Vl-2tan600+tan2600-tan60°

=^（1-tan60°）'-tan60°

=|l-tan60°|-tan600

=卜-闽-G

=3-1-6

=-1

例4：（2025•安徽•统考一模）在-ABC中，（2cosA—+|1—tan3=0,则“BC一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得（2cosA-/丫=0,|1-34|=0,从而得8$从=1,tan^=l,

根据特殊角度三角函数的性质.得NA=45。，NB=45。：根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可

得到答案.

【详解】解：0（2cos4-V2V+11-tan=00（2cosA-V2）^=0,|l-UinB|=0

02cosA-\/2=0•1-tan/?=00cosA=,tanB=1回ZA=45°,ZB=45°

0ZC=l8O°-ZA-Zfi=9O°,4C=ACmA/WC一定是等腰直角三角形，故选：D.

【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对

值、三角函数的性质，从而完成求解.

变式1.（2025・广东•统考二模）在中，若cosA=走，则/A的度数是（）

2

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】A

【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键.

【详解】解：0cosA=—=cos3（T,团/A的度数是30°；故选A.

2

变式2.（2025・广东•校考二模）在“8c中，向人=3（90。一。）=*,则^5。的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

【答案】B

【分析】计算出财和团。的角度来即可确定.

【详解】解：MnA=cos（90°-C）=—,004=45°,9OO-0C=45O,

2

即（L4=45。，13045。，005=90°,即0ABe为直角三角形，故选：B.

【点睛】本题考查特殊角三角函数，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键.

例5：（2025・重庆•统考模拟预测）若