高三数学重难点题型培优练：四大分布：二项分布超几何分布正态分布（13类题型）原卷版

专题8-4四大分布：二项分布、超几何分布与正态分布(13类题型)

题型•归纳

酗o两点分布

二项分布

建立二项分布模型解决问题

服从二项分布的随机变量概率最大问题

利用二项分布求分布列

二项分布之高尔顿钉板问题

超几何分布

■入超几何分布与二项分布

正态分布：正态曲线的对称性

题园会正态分布的实际应用(选填)

顿令O正态分布大题专练

SSOS二项分布与正态分布

题回芬旦超几何分布与正态分布

知识点•梳理

1、两点分布

(1)两步法判断一个分布是否为两点分布

①看取值：随机变量只取两个值：。和1.

②验概率：检验。(X=O)+P(X=1)=1是否成立.如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则

不是

(2)若随机变量x服从两点分布，即其分布列为

X01

P1-PP

其中Ovpvl,则称离散型随机变量X服从参数为〃的两点分布.其中P（X=1）称为成功概率.

注意：

两点分布的试脸结果只有两个可能性，且其概率之和为I;

两点分布又称0-1分布、伯努利分布，其应用十分广泛.

2、二项分布

定义

一般地，在〃次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为〃，不

发生的概率9=1一〃，那么事件A恰好发生攵次的概率是P（X=A）=C：〃W"（攵=0,1,2,〃）

于是得到X的分布列

X01・..k•••n

PC：典”CP0I•••C：p”尸•••c：P"Q

由干表中第二行恰好是二项式展开式

（夕+〃）"=C；〃"+C；+…+C：p，广及+…+c：阳。各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从

参数为〃，〃的二项分布，记作X〜B（〃，p）,并称〃为成功概率.

注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即”=1时的二项分布，所以二项分

布可以看成是两点分布的一般形式.

1.独立重复试验的特点

①每次试验中，事件发生的概率是相同的；

②母•次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的转例.

2.判断随机变量X服从二项分布的条件（X〜8（〃，/?））

①的取值为0,I,2,…，〃：

②P(X=k)=I—py]£(k=0,I,2,…，n,〃为试验成功的概率).

注意：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试脸,

进而判定是否服从二项分布.

3.二项分布的适用范围及本质

(1)适用范围：

①各次试脸中的事件是相互独立的：

②母次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；

③随机变量是这〃次独立重复试验中事件发生的次数.

(2)本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试脸中某一事件发生的概率是相同的.

4.二项分布的期望、方差

若X〜B(〃，p),则E(X)=〃p,D(X)=np(\-p).

3、超几何分布

(1)本质：超几何分布的模型是不放回抽样，在每次试脸中某一事件发生的概率是不相同的.

(2)超几何分布中的参数是M,N,n；

(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑纸、同学中的男和女等问题，往往由差异明

显的两部分组成.

4、正态分布

一、正态曲线

I、定义：我们才巴函数0”(幻=弓［^+00)(其中〃是样本均值，。是样本标准差)的图

象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.正态曲线呈钟形，即中间高，两边低.

2、正态四线的性质

(1)曲线位于x轴上方，与尤轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线对称；

(3)曲线在处达到峰值(最大值)-7=^:

(4)曲线与x轴之间的面积为1；

（5）当。一定时，曲线的位置由4确定，曲线随着〃的变化而沿％轴平移，如图甲所示：

（6）当〃一定时，曲线的形状由。确定.。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中：）越大，曲线

越“镂胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：

二、正态分布

1、定义

随机变量X落在区间（〃，加的概率为P（a<XKb）=f/o（x）dx,即由正态曲线，过点（。，0）和点（〃，0）的

两条x轴的垂线，及工轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是X落在区间（。，勿的概

率的近似值.

一般地，如果对于任何实数。，b（a<b）,随机变量X满足P（a<X4勿则称防机变量X服

从正态分布.正态分布完全由参数〃，。确定，因此正态分布常记作N（〃，o2）.如果随机变量X服从正态

分布，则记为X〜N（〃，t/）.

其中，参数〃是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以月样本的均值去估计；。是衡量随机变量总

体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.

2、3o■原则

若X~N（〃，O2）,则对于任意的实数〃>o,P（〃-〃<XW〃+a）=J；：/b（x）dx为下图中阴影部分的面积,

对于固定的〃和。而言，该面积随着。的减小而变大.这说明。越小，X落在区间十，］的概率越大,

即X集中在，周围的概率越大

特别地，有PQi-o<X<//+a)-0.6826；P(p-2a<X<//+2a)=0.9544；P(p-3a<X<〃+3。)=0.9974.

由P(〃-3。<X£〃+3。)=0.9974,知正态总体几乎总取值于区间(〃-3。，〃+3cr)之内.而在此区间以外

取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件.在实际应用

中，通常认为服从于正态分布NS，/)的随机变量x只取(〃-虱，〃+笫)之间的值，并简称之为3b原则.

正态分布在四个特殊区间内取值的概率若X~N(〃，er?)则

(1)P(X</z)=P(X>/z)=50%；

(2)P(\X-ju\<cr)=P(ii-cr4X«〃+b)a68.3%：

(3)P(\X-p\<2a)=PCu-2a<X<//+2a-)«95.4%；

(4)P(|X-//|<3O-)=P(M-3o<X4〃+3b)*99.7%.

三、趣几何分布与二项分布的区别：

(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；

(2)超几何分布是不放回抽样，而二项分布是放回抽样(独立重复)，当总体的容量非常大时，超几何分

布近似于二项分布.

高考真题•回

1.(2021・全国•统考高考真题)某物理展•的测最结果服从正态分布N(10,/)，下列结论中不正确的是()

A.。越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中落在(9910.2)与落在(10,10.3)的概率相等

2.(2022.全国.统考高考真题)已知随机变量X服从正态分布且尸(2<XV2.5)-0.36,则

P(X>2.5)=

3.（2017・全国•高考真题）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取

16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的

尺寸服从正态分布N（〃o2）.

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（〃-女M+3。）之外的零件数，求

P（X21）及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（〃-£.〃+36之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产

过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

116n16jI/16\

经计算得了=77Z%=9.97,s=）22t.-g2no.212,其中r•为抽取的第i个零件

16i=iV10f=1\163=]）

的尺寸，i=l,2,…,16.

用样本平均数工作为〃的估计值用样本标准差s作为。的估计值G,利用估计值判断是否需对当天的生

产过程进行检查？剔除（4-32R+33）之外的数据，用剩下的数据估计〃和。（精确到0.01）.

附：若随机变量Z服从正态分布则尸（〃—3b<Zv〃+3b）=0.9974,0.9974屋0.9592，

>/0008^0.09.

4.（2023•全国•统考高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中

20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲

养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.

（1）设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；

⑵实验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加展从小到大排序为：

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(i)求40只小鼠体重的增加量的中位数加，再分别统计两样本中小于机与不小于的数据的个数，完成如下

列联表：

nE]3

对照组二□

实验组□□

(ii)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加显

有差异.

的."2=Mad-bc)?

，(a+Z?)(c+d)(a+c)(/?+d)'

0.1(X)0.0500.010

重点题型•归类精练

两点分布

1.设随机变量X服从两点分布，若尸(X=l)-P(X=0)=0.4,则E(x)=()

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

2.已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X=0)=3-4P(X=l)=a,则〃=()

A.IB.；C.-D.-

3234

3.已知随机变量S满足P(&=0)=Pi，P(&=l)=l—Pi，且i=l,2.若E(fi)vE(3)，则

().

A.Pi<P2»且。(fi)V。(§2)B.Pi>P2»且D(fi)>。⑥)

C.PivP2，Ro(fi)>。(#2)D.Pi>p2,且。(Si)v。(§2)

4.已知随机变量f满足P(t=0)=1—p,P(f=1)=p,其中0<pV1.令随机变量〃=|f-E(f)|,则()

A.E(〃)>E⑹B.EM<F(f)

C.D(〃)>D(f)D.DS)VD(f)

5.若随机变量X服从两点分布，其中尸(X=0)=gE(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结

•J

论不正确的是(〉

A.P(X=1)=E(X)B.E(3X+2)=4

C.O(3X+2)=4D.D(X)=1

6.有3个人在一楼进入电梯，楼上共有4层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进

电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为G则E（f）=.

7.有一个盒子里有1个红球，现将〃（〃eN“）个黑球放入盒子后，再从盒子里随机取一球，记取到的红

球个数为J个，则随着〃（〃wN'）的增加，下列说法正确的是（）

A.E（g）减小,0（。）增加B.七代）增加，仇3减小

C.矶J）增加，。（）增加D.E《）减小,。收）减小

8.某工厂生产某种电子产品，每件产品不合格的概率均为〃，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前

每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验5件该产品，且每件产品检验合格

与否相互独立.若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：洛产品每人个

仅45)一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则

说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验1次或1+Z

次.设该工厂生产MXX)件该产品，记每件产品的平均检验次数为X.

(1)求X的分々列及其期望；

(2)(i)试说明，当〃越小时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；

(ii)当P=0』时，求使该方案最合理时*的值及1000件该产品的平均检验次数.

S二项分布

【点拨】

1、二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多''问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般

转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率.

2、二项分布的简单应用是求〃次强立重复试脸中事件A恰好发生女次的概率.解题的一般思谿是：

(1)根据题意设出随机变量；

(2)分析出随机变量服从二项分布；

(3)找到参数〃，〃；

(4)写出二项分布的分布列；

(5)将我值代入求解概率.

9.设随机变量82,p),若Pi：®)],则〃的值为.

10.已知随机变量4服从二项分布则。管=2)=.

X3)

19

11.在3重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件A至少出现1次的概率为三，则事件人在1次试验

中出现的概率为

12.假设某型号的每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为且各引擎是否有故障是独

立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更为安全,

则〃的取值范围足

S建立二项分布模型解决问题

13.知甲每次投掷飞镖中靶的概率为0.6,若甲连续投掷飞镖〃次,要使飞镖最少中靶一次的概率超过90%,

至少需要投掷£镖次.(参考数据：馆2。0.3)

14.32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手进行

一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获胜.已知每

名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为!，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为若业余棋手队获

34

胜，则选择与甲进行比赛的业余棋手人数至少为()

A.24B.25C.26D.27

15.设随机变量则函数/(力=/+©+<?存在零点的概率是.

题型服从二项分布的随机变量概率最大问题

16.若乂~8(20q)，则P(X=Z)取得最大值时，k=.

17.有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数，当投掷到第35次时，记录到此时

点数1出现5次.若继续再进行65次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1一共出现的次数为一

的概率最大.

18.设随机变量X~45，p),记P£=C：pA(l-p)”T,在研究处的最大值时，某学习小组发

现并证明了如下正确结论：若5+l)P为正整数，当左=5+l)P时，0=此时这两项概率均为最

大值；若(〃+l)P不为正整数，则当且仅当k取S+DP的整数部分时，0取最大值.某同学重复投掷

一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数I出现4次，

若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出现的次数为的概率最

大.

19.已知随机变量X~8(6,〃)§<〃<$,若对9eN*,k45,都有P(X八)WP(X='〃)(〃?€N)则

£(/〃X)的取值范围是.

20.设随机变量X~8(〃,p),记p*=Cp"l-p)x,4=0,1,2,.在研究凡的最大值时，某学习小组发

现并证明了如下正确结论：若5+l)P为正整数，当女=5+1)〃时，Pk=P"i，此时这两项概率均为最

大值；若(〃+l)P不为正整数，则当且仅当k取(〃+l)P的整数部分时，取最大值.某同学重复投掷

一枚质地均匀的骰子并实时记录点数I出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数I出现4次，

若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出现的次数为的概率最

大.

21.已知一个质子在随机外力作用下，从原点出发在数轴上运动，每隔一秒等可能地向数轴正方向或负方

向移动一个单位.若移动〃次，则当〃=4时，质子位于原点的概率为,当〃=一时，质子位于6

对应点处的概率最大.

利用二项分布求分布列

22.甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先嬴得3局的运动员获胜，并结束比赛.设各局比

赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为彳2，乙赢的概率为三1.

(1)求甲获胜的概率：

⑵设X为结束比赛所需要的局数，求随机变量X的分布列及数学期望.

23.一个袋子中装有N大小相同的球，其中有N1个黄球，N2个白球，从中随机地摸出加个球作为样本，

用X表示样本中黄球的个数.

(1)若采取不放回摸球，当N=6,N、=2,M=4,〃?=3时，求X的分布列；

(2)若采取有放回摸球，当N=100,M=50,M=50,,〃=10时，用样本中黄球的比例估计总体黄球的比

例，求误差不超过0.1的概率(用分数表示).

24.“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动.某校为了解学生课后

活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间(单位：小时)，分

别位于区间[7,9),[9,11),[11,13),。3』5),[15,17),[17,19],用频率分布直方图表示如下，假设用

频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立.

八频率/组距

0.200----……——1—

0.125-----------j—

0.075.......l

0.050……]—

0.025—T-------------।

。1113151719时间祢时

(1)估计全校学生••周参加课后活动的时间位于区间13/7)的概率：

(2)从全校学生中随机选取3人，记J表示这3人一周参加课后活动的时间在区间[15,17)的人数，求J的分布

列和数学期望£偌).

25.甲、乙两位同学决定进行一次投篮比赛，他们每次投中的概率均为P,且每次投篮相互独立，经商定共

设定5个投篮点，每个投篮点投球一次，确立的比赛规则如下：甲分别在5个投篮点投球，且每投中

一次可获得1分；乙按约定的投篮点顺序依次投球，如投中可继续进行下一次投篮，如没有投中，投

篮中止，且每投中一次可获得2分.按累计得分高低确定胜负.

（1）若乙得6分的概率?，求〃；

O

⑵由（1）问中求得的〃值，判断甲、乙两位选手谁获胜的可能性大？

26.盐水诜种是古代劳动人民的智誉结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度,进而判断其优良.现对一

批某品种种子的密度（单位：g/cn?）进行测定，测定结果整理成频率分布直方图如图所示，认为密度

不小于1.2的种子为优种，小于1.2的为良种.自然情况下，优种和良种的萌发率分别为0.8和0.5.

1频率

［组距

101：2141：61：8种岸密度

（1）估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）

⑵用频率估计概率，从这批种子（总数远大于2）中选取2粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为X,求

随机变量X的分布列和数学期望（各种子的萌发相互独立）.

27.某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料.现有如下两种

抽样检验方案：

方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格数不超过1个，则认为这批原料合

格，予以接收；

方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，若都合格，则予以接收；若样本中不合格数超过1

个，则拒收：若样本中不合格数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批样本

全部合格才予以接收.

假设拟购进的这批原料的合格率为p（0<p<1），并用p作为原料中每件产品是合格品的概率.若每件产品所

需的检验费用为3元，且费用由工厂承担.

（1）若p=j即方案二中所需的检险费用为随机变量X,求X的分布列与期望；

（2）分别计算两种方案中这批原料通过检验的概率，若你是原料供应商，你希望质检部门采取哪种检验方案?

说明理由.

二项分布之高尔顿钉板问题

28.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每

个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距

离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概

率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止现从入口

放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为（）

①②③④⑤⑥⑦⑧

29.如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间

留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉

后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为I向右下落的概率为2:，最后落入底部的格子中.格

了从左到右分别编号为0,1,2,…，10,则小球落入号格了的概率最大.（图片仅供参考）

30.高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一

排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入

一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将

以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下•排铁钉.如此继续下去，

在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.

□[I]0H[?]

(1)理论上，小球落入4号容器的概率是多少？

(2)一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为X,求X的分布列.

31.高尔顿板是英国生物数学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行

但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从

高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞.且等可能向左或向右滚下，最后

掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第

2层中间的小木块碰撞，以叁的概率向左或向右流下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1,

2,…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰:童中有2次向右4次向左滚下.

1234567

(1)若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入2号球槽的概率;

(2)若进行5次高尔顿板试验，记小球掉入偶数号球槽的次数为求J的分布列与期望.

15101051

323232323232

题型EE超几何分布

【点拨】

1、随机变量是否服从超几何分布的判断

若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试脸是不放回地抽取〃次：(2)随机变量X表示抽取

到的次品件数(或类似事件)，反之亦然.

2、求超几何分布的分布列的步骤

(1)险证随机变量服从超几何分布，并确定参数N,M,〃的值；

(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个使时的概率；

(3)列出分布列.

32.厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一

定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按

合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.则该商

家拒收这批产品的概率是.

33.袋中装有1()个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到I个白球的概

率是现从该袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,则反X尸.

34.某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能

的评价指标,按[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]分成8组，得到如图所

示的频率分布直方图.

⑴求。的值，并估计该项技能的评价指标的中位数(精确到0.1)；

(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在［70,75)和［85,90)内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随

机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在［70,75)内的学员人数为X,求X的分布列与数学

期望.

35.某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取9

箱进行检测，其中有5箱为一等品.

(1)若从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率；

(2)若从这9箱产品中随机抽取3箱，记4表示抽到一等品的箱数，求4的分布列和期望.

36.课堂上，老师为了讲解“利用组合数计算古典概型的问题”，准备了x(x>3,xGN-)个不同的盒子，

上面标有数字1,2,3,…，每个盒子准备装x张形状相同的卡片，其中一部分卡片写有“巨额奖励”的

字样，另一部分卡片写有“谢谢惠顾”的字样.第1个盒子放有1张“巨额奖励”，%-1张“谢谢惠顾”，

第2个盒子放有2张“巨额奖励”，2张“谢谢惠顾”，…，以此类推.游戏时，老师在所有盒子中随

机选取1个盒子后，再让一个同学上台每次从中随机抽取1张卡片，抽取的卡片不再放回，连续抽取3

次.

(1)若老师选择了第3个盒子,％=7,记摸至厂谢谢惠顾”卡片的张数为X,求X的分布列以及数学期望E(X)：

(2)若x=5,求该同学第3次抽至产谢谢惠顾”的概率.

37.为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识''竞赛活动.竞赛共有

4和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对I道A类试题得10分；每答对I道8类试题得20分，

答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出3道题问答（每道题抽后不放归1）.已知某

同学4类试题中有7道题能答对，而他答对各道B类试题的概率均为|.

（1）若该同学只抽取3道4类试题作答，设X表示该同学答这3道试题的总得分，求X的分布和期望；

⑵若该同学在A类试题中只抽I道题作答，求他在这次竞赛中仅答对I道题的概率.

38.某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中

做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名

学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：

甲校乙校

使用AI作业不使用AI作业使用AI作业不使用AI作业

基本掌握32285030

没有掌握8141226

假设每位学生是否掌握“向量数量积“知识点相互独立.从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机

抽取2名学生，用f表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求f的分布列和数学期望

39.为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省推出了省内居民

阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期，月度滚动使用.第一阶梯：年用电量在2160度以下（含

2160度),执行第一档电价0.5653元/度;第二阶梯：年用电量在2161度到4200度内(含4200度)，超

出2160度的电量执行第二档电价0.6153元/度：第三阶梯：年用电量在4200度以上，超出4200度的

电量执行第三档电价0.8653元/度.

某市的电力部门从本市的用户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下:

用户

12345678910

编号

年用电量/度1(X)0126014001824218024232815332544114600

(1)计算表中编号为10的用户该年应交的电费；

⑵现要在这10户中任意选取4户，对其用电情况进行进一步分析，求取到第二阶梯的户数的分布列.

题理也超几何分布与二项分布

超几何分布与二项分布的区别：

(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；

(2)超几何分布是不放回抽样，而二项分布是放回抽样(独立重复)，当总体的容量非常大时，超几何分

布近似于二项分布.

40.电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.如

图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的步贝率分布直方图：将日均收看该体育节目时

间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.将上述调查所得到的频率视为概率.

(1)现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中

的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列及数学期望.

⑵用分层抽样的方法从这10。名,'体育迷”中抽取8名观众，再从抽取的抽取8名观众中随机抽取3名，V表

示抽取的是“体育迷''的人数，求y的分布列.

41.近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答.小张

有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为p(0<pVI),且猜中每道谜语与

否互不影响.

(1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；

(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求p的取值范围.

42.4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书FT为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该

地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，

并将样本数据分成［0,成、(2,4］、(4,6］、(6,8］、(8,10］、(10,12］、(12,14］>(14,16］>(16,18］九组,绘制

成如图所示的频率分布直方图.

f频率

0.15...............

5

OS..O4

.O3

O..O2

()..O1

()..O

O

24681012141618日平均阅读时间/小时

(1)求频率分布直方图中Q的值；

(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在

(6,8］、(14,16］、(16,18］三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人,

记口平均阅读时间在(14,16］内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望；

(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，用P(£)表示这8名学生中恰有k名

学生日平均阅读时间在(8,12］内的概率，其中k=0,1,2,・一8.当。伏)最大时，请直接写出k的值.(不需要说明

理由)

43.某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动.

⑴假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为。，从学校全体男生中随机选取3人，记X为

3人中身高不超过。的人数，以频率估计概率求X的分布列及数学期望：

（2）从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有々（攵=1,2,…,3。）个男生的

概率为2（女）,求使得P（k）取得最大值的攵的值.

44.为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已

知某单位有N名员工，其中:是男性，:是女性.

（1）当N=20时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；

（2）我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.

从、名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作Pi：有二项

分布中（即男性员工的人数X〜〃（3,，）男性员工恰有2人的概率记作匕.那么当N至少为多少时，我们可

以在误差不超过0.001（即Pi-P2W0.001）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：V578«

24.04）

45.杭州第19届亚运会后，多所高校掀起了体育运动的热潮.为了深入了解学生在“艺术体操''活动中的参

与情况，随机选取了10所高校进行研究，得到数据绘制成如下的折线图：

(1)若“艺术体操”参与人数超过35人的学校可以作为“基地校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记可

作为“基地校”的学校个数为f,求f的分布列和数学期望；

⑵现有一个“艺术体操”集训班，对“支撑、手倒立、手翻''这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多

轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在集训

测试中，某同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为|,每个动作及每轮测试互不影响.如果该同学

在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到8次，那么理论上至少要进行多少轮测试？

正态分布：正态曲线的对称性

46.已知随机变量X服从正态分布N(2,〃)，若尸(XWa)=0.32,则P(.vXW4-a)=.

47.已知随机变量X~8(8.〃),y~N(〃,『)，P(X>4)=1,且七(X)=E(Y),则〃=.

48.已知若函数/(X)=/>(XWJWX+3)为偶函数，则〃=.

49.设1~N(O,1),且P(岁vl.623)=p,那么P(-1.6234。〈0)的值是()

A.pB.~PC.7?-0.5D.0.5-p

50.已知随机变量X〜8(2,p),随机变量丫〜N(2,"),若尸(XW1)=0.36，?“<4)=p,则尸(0<V<2)=

()

A.0.1B.0.2C.0.3D,0.4

题理*正态分布的实际应用(选填)

51.研究人员采取普查的方式调查某市国企普通职工的收入情况，记被调杳的职工的收入为X,统计分析可

知X~77(4200,62500),则尸(34504X44450)=()

参考数据：若4~N(〃,CT2),则尸(〃一b4g<〃+b)=().6827,P(/z-2cr<<//+2a)=0.9545,

P(,Z/-3CT<^<//+3O-)=0.9973.

A.0.8186B.0.9759C.0.74D.0.84

52.长风工厂产品质量指标X服从正态分布MIO。。>质量指标介于98至102之间的产品为良品.为使这种

产品的良品率达到95.45%,则需要调整生产工艺，使得。至多为.(若X〜N(〃,『)，则

P{\X-fi\<2b}=0.9545)

53.山东烟台某地种植的苹果按果径X(单位：mm)的大小分级，其中XW(8(),1(叫的苹果为特级，且该

地种植的苹果果径X~N(85,25).若在某一次采摘中，该地果农采摘了2万个苹果，则其中特级苹果

的个数约为()(参考数据：

P(〃-b<XV〃+b)H0.6827.P(4-2b<XK〃+2cr)»0.9545,尸(〃-3b<XK〃+3<r)n0.9973)

A.3000B.13654C.16800D.19946

54.在某次大型人才招聘活动中，共有2000人参加笔试，笔试成绩位于区间[70,80),[80,90),[90,100]的

人数分别为683,272,45,已知此次笔试满分为100分，且成绩近似服从正态分布，则笔试成绩的标

准差约为(参考数据：若则尸(〃—2o〈Xv4+2b)=0.9545)

正态分布大题专练

55.某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和旦试，初试通过后方可参加复试.为了解考

生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩绘制成如图所示的样本频率分布直方图.

(2)若所有考生的初试成绩近似服从正态分布NJ。?)，其中〃为样本平均数的估计值，试估计所有

考生中初试成绩不低于80分的人数；

(3)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0

分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中前两题每道题能答对的概率均

为:，后两题每道题能答对的概率均为：，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为X,

45

求P(XN20).

附：若随机变量X服从正态分布N(〃Q2),则：P(〃—bvX<〃+b)=().6827,

-2b<Xv〃+2cr)=0.9545,P(//-3cr<X<//+3cr)=0.9973.

56.零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量,

质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表:

零件直径(单位：厘米)[1.0,1.2)[1.2,14)[1.4,1.6)[1,6,1.8)[1.8,2.0]

零件个数1025302510

已知零件的直径可视为服从正态分布N(〃Q2),分别为这I。。个零件的直径的平均数及方差(同一

组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表).

(1)分别求〃，排的值；

(2)试估计这批零件直径在［1.0441.728］的概率;

(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在［1.0441.728］的个数.

参考数据：而反。0.228；若随机变量4〜则尸(4—bWjw〃+b)a0.6827,

P(u-2cr<^<//+2a)»0.9545,P(//-3<r<^<//+3CF)»0.9973.

57.某公司建有1000个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X服从正态分布NR,/),其中〃=

376,a2=12100,公司把销售件数不小于596的群称为“A级群”，销售件数在［266,596)齿的群为“B级

群”，销售件数小于266的群为“C级群”.

(1)若P(X<a)>P(X>2a-l),求a的取值范围：

⑵该公司决定对每个"A级群''奖励1000元，每个“B级群”奖励500元，每个“C级群”奖励200元，那么公

司大约需要准备多少奖金？(群的个数按四舍五入取整数)

附：若，X〜N3，。?)，则P(〃-o<XV4+o)、0.6827,P(〃-2。<X<〃+2。)、0.9545,P(〃-3。<

X〈〃+3o)a0.9973.

58.在某市举行的2024届高三第一次市统考中，为调查本次考试数学试卷的有效性，市教研部门从参加本

次数学考试且成绩在5()分及以上的学生中随机抽取1000名学生的成绩作为样本，并将数据统计如下

表所示.

成绩X[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150)

人数y2022053020030

⑴假设样本中的数学考试成绩X