高三数学重难点题型培优训练：平面向量中的奔驰定理以及三角形四心的相关计算（解析版）

专题5・3平面向量中的奔驰定理以及三角形四心的相关计算

目录

奔驰定理和四心的性质及证明.......................................................3

奔驰定理以及四心的向量式..........................................................4

蝴o四心的识别.........................................................................6

奔驰定理...........................................................................9

酗且四心的相关计算....................................................................13

酗国奔驰定理与四心的综合题...........................................................27

|知识点•梳理］

技巧一.四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2:1.

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等.

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

技巧二.奔驰定理…解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知/XABC的顶点A（x,y）,8（看，y2）,。（不，为），则△ABC的重心坐标为G（/+；+』,上」告上21）.

注意：（1）在AABC中，若O为重心，则。4+ozi+od=（j.

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1,且分的三个三角形面积相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

奔驰定理：SAOA+Slt-OB+SCOC=6,则△AO8、△AOC、△BOC的面积之比等于4：4：4

奔地定理证明：如图，令4。4=。4，A20G=OB；,^oc=oc',即满足oA+0&+O&=0

技巧三.三角形四心与推论：

(1)O是AA8C的重心：S^BOC:S^COA:S^A0B=1:1:1<=>OA+OB+OC=0.

(2)O是AABC的内心：S,、1toe:S△eg；S^AOB=a：b：c=(tOA+bOB+cOC=0.

(3)O是△ABC的外心：

S*::sin2A:sin2B:sin2C<=>sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=6•

(4)O是AABC的垂心:

SAB0C:S^COA:SAOB=lanA:tan8:tanC=tanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

技巧四.常见结论

ABAC

(1)内心：三角形的内心在向量后百+公三所在的直线上.

卜勾.尸《十忸4•尸《十|司.pR=6oP为ZMBC的内心.

(2)外心：0=|园op为八48。的外心.

(3)垂心：PA・PB=PB-PC=PC,PA。P为2BC的全心.

(4)重心：PA+PB+PC=6。p为AA3C的重心.

BC

奔驰定理和四心的性质及证明(全)

【重心】：若0为^ABC重心

⑴SABOC:SACOA：SgOB=1：1：1；

(2)砺+砺+祝=6：

(3)动点产满足加=05+4(丽十祝)，久£(。,+8),则产的轨迹一定通过△ABC的全心

(4)动点P满足历=34+4^G((X+OO),则动点P的枕迹一定通

过AABC的重心

%%+为+%、

(5)重心坐标为：

3'3J

【垂心】：若O为XABC垂心

⑴OAOB=OBOC=OCOA

2I.|2I.|2i^_|2I.|2.|2

M+四=\OB\+|C4|=\OC\+AB

福

(3)动点p满足加=丽+4%G(0>+8),则动点P的轨迹一定通过

A8|cos8AC|cosC

△ABC的垂心

⑷Swoe'S^COA'S&A()B=SnA.tanB.tanC

⑸tanA•OA+tanB•OB+tanC•OC=6-

【内心】：若0为4ABC内心

⑴:SdcoA:S&AOB=a.b:c

(2)a-OA+b^OB+c-OC=0

AB

(3)动点P满足O户=。,+/1.十,/l£[O,+cc),则P的轨迹一定通过aABC的内心

1叫

AB}BC

MJ=瓯

【外心】：若0为aABC外心

⑴O#=OB'=O自

____/__

OB+OC,屈

(2)动点。满足丽=।XG(0»4-00),则动点P的枕迹一定通

21网cos4AC|cosC^

过aABC的外心:

(3)若(加+0B)•丽=(瓦+元)ET=(汝+宓)/=(),则0是△ABC的外心;

⑷SABOC：S△CQZ:S308=sin2A:sin2B:sin2C；

⑸sin2A.O4+sin2B.0B+sin2C.OC=6

奔驰定理以及四心的向量式

证明：己知。是A4BC内的一点，△8OCA4OCA4O8的面积分别为枭，,Sc,求证:

s八•次+SB•为+Sc衣=6

【解答】如图，延长。4与8c边相交于点。则

BD_SgBD_S'BOD_S^BD-S&BOD_Sc

DCSMCDSAC0DSACD—S^CODSB

―►DC—►BD—►

OD=—OB+—OC

oCoC

SB_Sc_,

「OB+KOC

°D_SBOD_S（X）D-SBOD+SCOD_S.

SB（）A+COAS+

SBSc

・•.OD=^~0A

SB+SC

・•・--^OA=^f^OB^^f^OC

S+S十OcQg十o（?

RC

：.S/A.O4+5/,.CB+5c.dC=6

推论：0是MBC平面内的一点，且X•次+y•丽+Z•1=6,则

S.,r

S^OC:SACOA:S^OBTX：M|z|②=

°AABCX十）十Z

【奔驰定理与三角形四心向量式】

1、。是AA9C的重心=SABOC:SACQA-Sg（）B=1：1：1=0A+OB+OC=0

2、。是AABC的内心++

3、。是AA8C的外心oSA80c：SAC0A：SM08=sin2A:sin2B:sin2C

=sin2A.OA4-sin23•砺+sin2C.OC=6

4、。是AA8C的垂心SAR（~）C:SACCA•SAACR~tunA:tanB:tunC

=tanA•CM+tanB•OB+tanC•OC=0

CDCD

证明：如图。为三角形的垂心，tanA=——,tanB=——=>tan/I:tanB=DB:AD

ADDB

SABOC:S&COA=DB:AD

・・Sgoc,S&8A=gnA:tanB

同理得

S&COA'S^OB=6nB:tanC,S^BOC：=tanA:tanC

11

Swoe:S^COA:S^OB=匕A:tanB:tanC

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

重点题型•归类精讲

题型四心的识别

1.已知点P是AABC所在平面内点，有下列四个等式：

甲：PA+PB+PC=O：乙：PA•(PA-PB)=PC.(PA-PB)；

丙：|PA|=|PB|=|PC|；丁：PAPB=PBPC=PC'PA.

如果只有一个等式不成立，则该等式为()

A.甲B.乙C.丙D.7

【答案】B

【解析】

甲：P为4ABC的重心；

乙：(PA-Pd)(PX-PEi)=OnCA-BA=O，即4ABC为RtA；

丙：P为AABC的外心；

T:P为AABC的垂心(投影转换)

则AABC为等边三角形时，三心重合，故选B.

2.已知点。是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

9二函+义(坐+要■],/te[0,+oc),则P的轨迹一定通过△4BC的()

11人例\AC\)

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B构造菱形

3.若0在AABC所在的平面内，a,b,c是aABC的三边，满足以下条件

小。X+/2•。月+5。3=0,则。是AABC的()

A.垂心B.重心C.内心D.夕卜心

【答案】B奔驰定理

4.若0在aABC所在的平面内，且满足以下条件

_、

ACASBCBA（CACB}

0A-=两=oc-=0,则0是4人8（2的（)

而一而wr网,、而一两）

A.垂心B.重心C.内心D.夕卜心

【答案】B构造菱形

【四心之垂心】

5.已知。是平面上一定点，ARC是平面上不共线的三个点，动点尸满足

"=。""［阿嬴+砰4六（°'+孙则动点尸的轨迹一定通过△板：的

().

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解析】原式为AP=4=-------+

48cos8|AC|COSC

等式两边同时乘就，得Q•灰=几

|AB|COSB

*+奉桐悒=。,为屈—"C

6.P是△ABC所在平面上一点，若后.丽=丽.记=k.西，则P是△45。的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解析】PAPB=PBPC=>PB（PA-PC）=O=>PB±CA,其它同理.

7.若“为△ABC所在平面内一点，且师卜国2=|班卜同2m因2+|珂

则点H是△48。的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解析】|7M|2+|W|2=|而『+|CA|2=>|7M|2+(M+77c)2=|™|2+[CH+/M)2

得而屈=阮屈=而•5=0,即配,同理可得〃月_LAGHCLBC

【四心之重心】

8.已知G是△ABC所在平面上的一点，^GA+GB+GC=0，则G是△48。的（）.

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解析】A重心的性质

9.已知。是平面上一定点，A8C是平面上不共线的三个点，动点尸满足

OP=OA+A（AB+AC）t/£（。+8）,则尸的轨迹一定通过△48。的（）.

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解析】OP=WL+A(AB+AC)=>AP=A(AB+AC)

AB

10.O是AABC所在平面内一点，动点P满足。P=OA+Z

|AC|sinC

/LG（0,+OO）,则动点P的轨迹一定通过aABC的（）

A.内心B.重心C.外心D.垂心

ABACABAC

【解析】於W+和TT+丁，万为BC边上的高

.-.AP-^AB+码.

.•■（x+x+xy।+y”+y）

［补充］——重心坐标为［二A一：n-rr

【四心之外心】

11.已知。是△ASC所在平面上一点，若方不二^?二反^，则。是△45。的（）.

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解析】外心的性质

12.己知。是平面上的一定点，AB,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OB+OC

0P=,^e（0,+oo）,则动点P的轨迹一定通过△ABC

-2-A闿cosBAclcosC

的（）o

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解析】取BC中点M,Ol3+OC=0D,

2

ABAC

OP-OD=A，移项后同乘就

ABcosBACcosC

AB1ACABBCACBC

DP=2nDPBC=2

cos3|T4C|COSCcos3|AC|COSC

DPBC=A-BC+|BC|)=O,即力？_L比

13.0是AA8c所在平面上一点，若+而）•而一（而+反）・正一（方+反）而一0,则

。是△48。的（）.

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【解析】记A8中点为。，（3+砺）•丽=0=历_1_而，其它同理

题理S奔驰定理

14.己知点P是AA8C所在平面内一点，满足244+5/^+303=。，=s,则又改二

S21，

【解析】（法I）：由结论推广可得，=L—T=T,所以SAMC=J

3gse2+3+3〉5

（法2）：由2⑸+5而+3定=。可得2（再+而）+3（而+定）=6,设AB,BC中点分别是D,E,得

__PD3221I

2布+3即=0,所以点P在中位线上，且7r子所以加

15.已知点P是AA8C所在平面内一点，满足24+P月+2PC=3A月，则AA4P与AA5C面积之比是

【解析】(法1)：由再+而+2定=3而得，PA+PE+2PW=3(PB-P"),即4再一2万一2定=6,

2I

由结论推广得

4-2+2-2

(法2)：由尸乂+2月+22。=34看得，PA+PB+2PC=3(PB-PA),即4方一2。月+2PC=。，化简

得2中一方+方=6,由中一厢+而十4=6,得通=丽+定，设AB中点为D,则AB=2PD，

S1

所以点P在AABC的中位线上，所以道^二5

16.设P为八48c所在平面上一点，且满足3月4+423=〃力方("?>0).若八48P的面积为8,

则AABC的面积为

【答案】14

【解析】法一：共线系数和+分点恒等式+等积变形

3—.4—/??—..4—

—PAH—PC=—A3("z>0),设H为线段ACJi一点，且AH=—AC,

7777

3,"*4,・777一3.

则一PA+—PC=一A8=A/7,

777

7

•・•PD〃AB,・••SA^=SAAfiDnSwe=8Xw=14

法二：奔驰定理推论：。是A43C平面内的一点，且x・E+y•丽+Z•双=6,则

①SM:SACOA：5刖。8=|X：|y|：|z|：②^BOC~

0CdA4scx+y+z

•・・3画+4定=加丽=(〃2+3)中一团丽+4定=0.

S^APC_4

in+3-+4

17.已知。是“18。内部的一点，/A，NB,/C所对的边分别为〃=3,〃=2,c=4,若

sin4OX+sinfiOB+sinCOC=0，则与"BC的面积之比为（）

A.19

B"c-jD

9-I

【答案】A

ab

【解析】由正弦定理=K，又a=3,b=2,c=4,所以得《（3.9+20月+4•祝）=0,

sinAsinBsinC

因为工工0,所以3。4+2•(历+4•优=6

K

设函=3诙，西=2砺,M=4诙，可得函+函+M=a则O是△44G的重心

利用所以

ga\8i=S4OB4=SAQA。=S,sinNAO4=sinNAO3,

W-OAOBsxnZAOB

JOAB_2—=-=1,所以sOAB='s,同理可得sOBC=—s.sAOC二、S.所以108

5gQ4O8；sin“OS3OA2OB6MB6Me8,欠

与SBC的面积之比为—1S'\—S+—S+—S|=4:9即为14.

6616812）9

18.已知。是三角形A8C内部一点，且至+235+诙="贝JAAOB的面积与凶8C的面积之比为()

【答案】C

【解析】如图，设次+玄=历，•・•9+2丽+枇=0,・・・瓦=一2砺，设4c与。。交于点M,则M平

分AC,BD,：.o而=一。6,。是中点，

***SgoB=5SMMB=WSM8C.比值为7

故选：C.

B

19.若点M是△4次？所在平面内的一点，点。是边4c靠近A的三等分点，且满足5而=而+正，则

△A8W与△AA。的面积比为（）

【答案】C

【解析】M是aABC所在平面内一点，连接AM,BM,延长4W至E使AE=5AM,

5AM=AB+AC=AE,AAli=AE-AC=CE,

连接此，则四边形A8EO是平行四边形，向量A月和向量在平行且模相等，

由于熊=345,所以5%即=；5&^,又荏=5AM.，所以5&^=三5“斯，

JJ

7S/^ABK3

在平行四边形中，S△人曲=名人酩，则△A8W与△ABD的面积比为^-----=-

§SMRD

故选：C.

20.平面上有“SC及其内一点。，构成如图所示图形，若将△（MB,△OBC,的面积分别记作工，

UUuuuLILUUI

sa,既，则有关系式邑・。4+5厂03+邑-0。=0.因图形和奔驰车的汝8很相似，常把上述结论称为

“奔驰定理”.已知“IBC的内角4,B,。的对边分别为a,b,c,若满足G次+岳丽+c•反=的则

。为母48。的（）

A

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【答案】B

［解析］由s“成+邑・笈+Sc炭=&得04=_*o6一苓o「，

OaDa

—h—•c—•

由〃京+匕・赤+c抚=。得OA=--O8--OC,

aa

SbSc

根据平面向量基本定理可得一消h=-一，一方二一一，

S,aS„a

延长CO交47于E,延长〃。交X。于?，

所以C石为N4C4的平分线，

同理可得BF是NABC的平分线,

所以。为&48C的内心.

题理S四心的相关计算

21.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的

距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知“8。

的外心为。，重心为G,垂心为〃，"为4C中点，且A8=5,AC=4,则下列各式正确的有.

®AGBC=-3®AOBC=-6

®OH=OA+OB+OC®AB+AC=4OM+2HM

【答案】①③④

___2___1

【解析】对于①，小BC童心为G,有而=5两=5(4n+40,

故入C=g(A^+AG(AC-A8')=g(AC，一AB')=；(16-25)=-3,故①正确；

对于②，&4BC外心为Q过三角形4BC的外心。分别作人屎AC的垂线，垂足为。、E,易知。、E分别

—--------1—425----------1-----2

是AB、AC的中点，有AOA8=-48=—,AOAC=-AC=8

222

___________95Q

AA3-BC=AO(AC-AB)=8__=一一,故②错误；

22

对于③，由欧拉线定理得2诙=而，即丽=3药，又有乱+说+觉=6,

故。Z+O/i+o3=(OC+或)+(OG+G8)+(OG+U)=3OG+GA+GB+GC=3UG,即08=O正+O分+O。,

故③正确：

对于④，由37=3砺得丽-破=3(四G-而)，故M(j=&MO+aMH.,

JJ

所以AB+AC=2AM=-6MG=40M+2HM,故④正确.

22.若。为“WC的重心(重心为三条中线交点)，且9+而+4祝=。，则"—.

【答案】1

【解析】在"AC中，取8c中点。，连接A。，

由重心的性质可得O为A。的三等分点，且。4=-20万，

又。为8C的中点，所以砺+玩=2而，

所以。4+O*+OC=-2O万+O万=0,所以2=1.

故答案为：1

BD

23.锐角中，"，b,C为角A,B,C所对的边，点G为a48C的重心，若AG_L3G,则cos。的

取值范围为

【答案】

7I__।___2I一_1__

【解析】由题意4£=一、一（43+八8）=一（4乙+48）,BG=-x-（BA+BC）=-（BA+BC）,

323323

又AGJ.8G.则X8•前二［（而+Ag）•（函+83）=*（71-84+AC・8C+福•朗+Ag辰）=0,

所以B•。月=AC-AB+BA-BC+AB~»即abcosC=Z?ccosA+accosB+c2,

〃+c：,cosB=.2+c~―JosC=

由cosA=C

2bc2ac2ab

所以a2+b2=5C2,COSC=1（^+-）,

5ba

a2+b~=5c2

3"：》2J可得显上〉旦,

由为锐角三角形及上式，贝卜a2+c2>b2,即•

3b->2a~2a3

b2+c2>a2

所以cosC在乐)上递减，在(1,马上递增，则*cosC*

故答案为：［±95)

53

24.设点O是4ABC外接圆的圆心，AB=3,且而•前=-4,则也0的值是_______.

sinC

【答案】-

3

【解析】AO-BC=AO-(AC-?IB)=^|AC|2-^|AB|2=>|AC|=I

-s-i-n--B-—_/?_1

sinCc3

外心向量计算可以构造方程组

25.已知点O是AABC的外心，若同=《而+贝iJcosNBAC=.

【答案】且

4

【解析】——构造方程组

—,—.4—«21——.网国网网国.力

AOAB=-AB+—ACA8gJcosA=2

99n

［卜“卜小斗

..4,,1・2-\AC\=-\ABCOSA+-\AC\8sA

AOAC=-ABAC+-AC

99

解得CQS/B4C=且(负值已舍去)

4

—4—I—

26.已知点O是aABC的内心，AO=-AB+-AC,则cosNBAC=()

【答案】C

江西赣州市高一期中第16题—外心、重心相关计算

27.AA6c中，AB=3,AC=6,G为AABC的重心，O为八钻C的外心，则由同=

【答案】—

2

［解析］而•而=g超•(而+恁)=：(而2+/2卜葭

28.(1)已知AABC的外心为0,且AB=5,AC=3,^\AO^C=.

(2)已知AABC的重心为O,且AB=5,AC=3,则血.

(3)己知AABC的重心为0,且AB=5,AC=3,A=^fD为BC中点，则Z6•丽=

1649

【答案】(1)-8;(2)一一；(3)——

318

【解析】(1)AOBC=AO^AC-AB)=1-y=-8：

超前=；（而+码便+码4阿-网2卜弋

(2)

(3)而而=：珂",阿二'(而+珂=_LX(25+9+15)=^

29.设H为△ABC的垂心，且3赤+47而+5沅=6，则cos/A/78=

【容案】一逅

6

【解析】

［方法1］VH为“3。的垂心；・HA»HB=HB»HC=HC»HA

苏（3用+4/+5麻）=3福2+4丽丽+5碗％=0

---2---2

则有3冏2+9赤・月月=0=＞源・而=_",同理可得狐血=—"-

32

2

HAHB(苏•丽)

cosZAHB=.一-一=---——-

画・|丽|7［向:］丽|

［方法2］奔驰定理

37Z4+477B+5SC=O=>tanA/M+tanB/7B+tanC/7C

SA:SB:Sc=tanA:tanB:tanC=3:4:5

设tanA=3x,tanB=4x,tanC=5x

7x

tanA=-tan(B4-C)=>3x=--------一叵

'7l-20x25

C=a^>ZAHB=Tt-ZC

5亚—娓

tanC------二^cosC=—

56

cosZAHB=--

6

30.（多选）对于给定的aABC,其外心为0,重心为G,垂心为H,则下列结论正确的是（）

A.AOA8=-Ai32

2

B.OAOB=OAOC=OBOC

C.过点G的直线/交AB、AC于E、F,若乐=4；赤，AF=;iAC,则=+—=3

c-----।A8AC_,.

D.A”与一^--------+^=：--------共线x

IAB|cosB|ACIcosC

【容案】ACD

【解析】显然A正确，B错误，OAOB=OAOC=OBOC*O是垂心

1

a=-t----

3211“

所以，3n得二■1=3,故C正确:

(l-r)//=1(1—)=1A〃

J3"

AB

D选项:=-BC|+|BC|=O.

AB^cosB|同cos8|^4C|cosC

31.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重

心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为

欧拉线定理.已知△A8C的外心为0,垂心为"，重心为G,且A8=2,AC=3,则下列说

法正确的是（）

______5

A-AH-BC=0B.AGBC=--

_______5

C.AOBC=-D.OH=OA+OB+OC

2

【答案】ACD

【解析】常规法&特殊化处理

AA

对于A选项，显然正确，

对于B选项，而•前=g（而+衣）•（蓝-丽）=|,也可结合图像排除，显然夹角为锐角

对于C选项，结合投影，AOBC=AO^AC-AB^=^,

对干D选项,OH=30c=3（。4+AG）=3OA+AB+AC

=30A+A0+0B+Ad+0C=0A++0B+0C,故D正确

【重心恒等式补充】P为平面内任意一点，有而二1（用+而+

32.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重

心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称

为欧拉线定理.设点0,〃分别是△ABC的外心、垂心，且M为8C中点，则（）

A.ABIXc=37/MI3MOB.ABIAC=3/7M—3MO

C,诵+AC=2俞+4MOD.AB+AC=2HM~4MO

【答案】D

【解答】解：如图所示的RtZXABC,其中角8为直角，则垂心”与8重合，

•・•。为△4BC的外心，：,OA=OC,即0为斜边AC的中点，

又为8c中点，：.AH=20M,

•・・M为BC中点，・・・/+AC=2息=2（/+或）=2（2或+稔）=4笳+2HM=2HM-4%.故

选：D.

山东省枣庄、滕州市高一期中联考第16题——外心相关计算

33.已知0是aABC的外心，AB=6,AC=10,Ad=xAB+yAC,且2工+10)，=5。工0),则

△ABC的面积为.

【答案】205/2

【解析】

A0•AB=xAB+yAC-AB=>18=36x+60ycosA=>3=6x+1Oy-cosA

代入l()y=5—2x,3=6x+(5-2x)-cos0

AO-AC=xAB•AC+yAC=>50=60x•cosA+100v=>5=6x-cosA+1Oy

代入5=2x+1°y,得2=6cosA=>cosA=—=>sinA=

33

故面积为20立

【补充】若去掉条件。00),则需要考虑外心在AC上的情况，此时AABC为RI△，面积为24

(1)已知aABC的外心为O,且AB=5,AC=3,则人。,8已=.

(2)已知AABC的重心为O,且AB=5,AC=3,则AC»・BC.=.

(3)已知AABC的重心为O,且AB=5,AC=3,D为BC中点，则尤•而=____.

【答案】—8-3

318

【解析】(1)由题意得：如图

过0作OD_L8C,垂足为。，则。是BC的中点

uuuuimuuu——.1----

QBC=AC-AB^AO=AD+DO^AD=-(AzB+AC)

ULM

M=3,AB=5

.：AOBC=^AD+DdyBC=ADBC=^(AB+AC)^AC-AB^=^(AC1-AB2)=-S

A

(2)根据重心的性质，知重心将相应的中线分成2:1两部分

—2-1-__

AO=-AD=-(ABAC),BC=AC-AB

JJ+

.•.巾加=3瓶+/)(/_砌二现研一网j=T

(3)根据重心的性质，知重心将相应的中线分成2:1两部分

__1__2-1__

Ob=-Ad,Ad=-Ab=^(AB^-AC)

（而+4^）2=］阿+国2+21研码8sA=25+9+30x^=49

和丽=g国、葩甲二2(而+可2=得＞49*

34.在“18。中，福•蔗=16，S“BC=6,BC=3,且相＞AC,若。为的内心，则行.册=

【答案】-3

【解析】因为A瓦而所以|而HZ?|COSA=16,

因为八m=6,所以3,可・卜（?|5亩A=6,

所以1!!!A=3，又sin24+cos24=l,cos4>°,sinA>0,

cosA4

34

所以sinA=—,cosA=1，所以AB-AC=20,

由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,又8c=3,

所以=41,又A8>AC,所以A8=5,AC=4,

所以△ABC为以AB为斜边的直角三角形，

设SBC的内切圆与边AC相切于点。，内切圆的半径为「，

由直角三角形的内切圆的性质可得「=生土竽二丝=1,故00=1,

因为AD上BC,所以而•既^O.

因为OD工AC,BC1ACf所以ODHBC,所以DOBC=-3

所以血.反=（而+前）质=而•肥+前M=-3.

故答案为：-3.

A

35,设/为AA8c的内心，AB=AC=5,BC=6,AI=mAB-i-nBC»则，〃+〃为

【答案】与

16

【解析】因为A8=AC=5,所以取BC中点为O,连接40,

则A0_Z4C,且&48C的内心/在AO上，/O即为△/WC的内切圆半径1，

乂8。=6,所以A0=《AB2-=4,

因为=；8CxAO=；(A8+BC+AC)xr,即6x4=(5+5+6)x/O,

以BC所在直线为X轴，8c的垂直平分线为y轴建立坐标系，则40,4),8(-3,0),C(3,0),则而=(-3,-4),

配=(6,0),^7=^o,-|j,

因为4/=〃*月+即°,一制一3,—4)+〃(6,0),

I，/

—4m=—555515

所以•2解得in=—,n=—所以〃?+〃=一+—=

-3/zz+6〃=。81681616

3___一___,、

36.在△ABC中，cos4=-,。为△ABC的内心，若AO=xA8—)，AC(x,yeR),则4+)，的最大值为()

A2口6-V6「7-V78-2V2

A.-o.----------J---------Dn.-------

3567

【答案】D

【解析】如图：圆。在边人仇5。上的切点分别为£尸，连接0£0”,延长AO交8c于点O

设=则cosA=cos2夕=l-2sin，6=3,则*巾8=二

44

设高=X市5=XxAB+AyAC

•・・B,DC三点共线，则就+办，=1,即犬+),=；

A

1二40AOvAO_1_11_1__8-2x/2

力—而一40+01)一人0+0必一|1°F-]IOE-1+sin。-&-1~

AO~AOl+V

Po「8-2拉

ppx+y<——-——

BDFC

37.已知点。是AA8C的内心，若入。=5人月+^AC,则COSNBAC=.

【答案】7

0

々1

［解析］因为一次=1（诙_7）十"（加一网，即觉=-3（）+而），

取A3中点。，连接。。.则。4+08=20方，故反=-6而，故点C,。,。共线,

义NACO=NBCO,故AC=8C,且CO_LAB,所以cos/8AC=^=丝=1.

38.已知。为“3C的外心，AC=3,BC=4,则觉.而=

【答案】二

2

【解析】如图：2尸分别为C8.C4的中点，则OE_L3C,O〃_14c

：,OCAB=OC^CB-CA)=0CCB-OCCA

=(OE+EC)CB-^OF