概率（知识点总结+例题讲解）-中考数学一轮复习

2021年中考数学专题27概率

（知识点总结+例题讲解）

一、确定事件与随机事件：

1.确定事件；确定事件是一定会发生或一定不会发生的事件，包括：

（1）必然发生的事件：

在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件；

（2）不可能发生的事件：

有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件；

2.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。

3.随机事件发生的可能性：

（1）一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大

小有可能不同；

（2）对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以

预测它们发生机会的大小；

（3）要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样;

（4）所谓判断事件叮能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，

用数据来说明问题。

【例题1】（2020•广西）下列事件为不可能事件的是（）

A.打开电视，正在播放广告B.明天太阳从东方升起

C.投掷飞镖一次，命中靶心D.任意画一个三角形，其内角和是360°

【答案】D

【解析】根据事件发生的可能性大小判断.

解：A、打开电视，正在播放广告，是随机事件；B、明天太阳从东方升起，是必然事件;

C、投掷飞镖一次，命中靶心，是随机事件；

D、任意画一个三角形，其内角和是360°,是不可能事件;

故选：D.

【变式练习1】（2020•沈阳）下列事件中，是必然事件的是（）

A.从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球

B.任意买一张电影票，座位号是3的倍数

C.掷一枚质地均匀的硬币，正面向上

D.汽车走过一个红绿灯路口时•，前方正好是绿灯

【答案】A

【解析】根据事件发生的可能性大小判断.

解：A、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件；

B、任意买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件；

C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件；

D、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件；

故选：A.

二、概率：

1.概率的概念：一般地，对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值，

称为随机事件A发生的概率，记为P（A）。

2.频率与概率的关系：当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一

个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.

3.确定事件和随机事件的概率之间的关系：

（1）确定事件概率：

①当A是必然发生的事件时，P（A）=1

②当A是不可能发生的事件时，P（A）=0

（2）确定事件和随机事件的概率之间的关系：

事件发生的可能性越来越小

01概率的值

II

不可后然:生------------------为必然发生

事件发生的可能i痢来越大

4.古典概型的定义：

某个试验若具有：

①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；

②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等；

我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。

5.概率的计算：

（1）公式法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性

都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=2；

tn

（2）列表法：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目

较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法；

（3）画树状图：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列

表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图；

（4）几何概型：一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：

解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算；

（5）利用频率估计随机事件发生的概率：

①当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我

们一般根据在同样条件下，大量重复试验时，用一个随机事件发生的频率所逐渐

稳定到的常数来估计这个事件发生的概率；

②在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估

计，这样的试验称为模拟实验；

③在随机事件中，需要用大量重复试验产生•串随机的数据来开展统计工作,把这

些随机产生的数据称为随机数；

6.游戏的公平性：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果

对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平。

例题练习，可能性的大小

D.一组数据的众数一定只有一个

【答案】C

【解析】根据必然事件的概念、众数的定义、随机事件的概率逐项分析即可得出答案.

解：A、明天的降水概率为80%,则明天下雨可能性较大，故本选项错误；

B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是:，故本选项错误；

C、了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；

D、一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误；

故选：C.

【变式练习3】（2019•兴安盟）下列命题正确的是（）

A.概率是1%的事件在一次试验中一定不会发生

B.要了解某公司生产的100万只灯泡的使用寿命，可以采用全面调查的方式

C.甲乙两人各自跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差分

别为0.51和0.62,则乙的成绩更稳定

D.随意翻到一本书的某页，页码是奇数是随机事件

【答案】D

【解析】根据随机事件、方差、普查和抽样调查等知识逐个判断即可.

解：概率为魏的事件在一次试验中也可能发生，只是可能性很小，因此选项A不符合题

意：

把100万只灯泡采取全面调查，一是没有必要，二是破坏性较强，不容易完成，因此选

项B不符合题意；

方差小的稳定，因此选项C不符合题意；

随意翻到一本数的某页，页码可能是奇数、也可能是偶数，因此选项D符合题意;

故选：D.

例题练习：概率公式

【例题4】（2020•阜新）部一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝

下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（）

A.1B.|C.1D,1

【答案】D

【解析】直接利用概率的意义分析得出答案.

解：•・,掷质地均匀硬币的试验，每次正面向上和向下的概率相同，

••・再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是也

故选：D.

【变式练习4】（2020•大连）在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除

颜色不同外其他完全相同.从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（）

B134

一--

・3C.7D.7

【答案】D

【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二

者的比值就是其发生的概率，即可求出答案.

解：根据题意可得：袋子中有3个白球，4个红球，共7个，

从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率方

故选：D.

例题练习：几何概率

【例题5】（2020•山西）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连

接菱形各边中点得到一个小矩形.将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴

影区域的概率是（)

<□>

A-IB-zc-iD-I

【答案】B

【解析】由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的1据此可得答案.

解：由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的I・・・飞镖落在阴影区域的概率是:,

44

故选：B.

【变式练习5】（2020•辽阳）如图是由全等的小正方形组成的图案，假设可以随意在图

中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是.

【答案w

【解析】先设阴影部分的面积是5x,得出整个图形的面积是9x,再根据几何概率的求

法即可得出答案.

解：设阴影部分的面积是则整个图形的面积是9x,

则这个点取在阴影部分的概率是,=

9x9

故答案为:

例题练习：列表法与树状图法

【例题6］（2020•广西）九（1）班从小华、小琪、小明、小伟四人中随机抽用2人参

加学校举行的乒乓球双打比赛，每人被抽到的可能性相等，则恰好抽到小华和小明的概

率是（）

A.—B.-C.—D.—

45612

【答案】c

【解析】画出树状图，有12个等可能的结果，恰好抽到小华和小明的结果有2个，再

由概率公式求解即可.

解：把小华、小琪、小明、小伟分别记为A、B、C、D,画树状图如图：

BCDACDABDABC

共有12个等可能的结果，恰好抽到小华和小明的结果有2个，

・•・恰好抽到小华和小明的概率为2=7,

126

故选：C.

【变式练习6】（2020•绵阳）将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰

有一个篮子为空的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

3236

【答案】A

【解析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有一个篮子为空的情况

数，然后根据概率公式即可得出答案.

解：三个不同的篮子分别用A、B、C表示，根据题意画图如下:

开始

ABC

/N/N

ABCABCABC

共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种，

则恰有一个篮子为空的概率为!=

故选：A.

例题练习：游戏的公平性

【例题7】(2020•昆明)有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分

别标有数字2,4,6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1,3,5的三个完全

相同的小球.小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字(若指针指在分界线上

则重转)，小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字.

(1)请用列表或画树状图的方法(选其中一种)表示出所有可能出现的结果；

(2)若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数字之和是7的倍数，

则小玉赢，此游戏公平吗？为什么？

【答案】(1)共有9种不同结果，即(2,1)(2.3)(2,5)(4,1)(4,3)(4,5)

(6,1)(6,3)(6,5)；

(2)游戏是公平的.

【解析】(1)利用列表法表示所有可能出现的结果情况，

(2)列出两次得数之和的所有可能的结果，得出“和为3的倍数”“和为7的倍数”

的概率即可.

解：(1)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下:

盘

摸铲、246

12,16,1

32,3%36,3

52,5%56,5

共有9种不同结果，即(2,1)(2.3)(2,5)(4,1)(4,3)(4,5)(6,1)

(6,3)(6,5)；

(2)列出两次得数之和的所有可能的结果如下：

盘

摸展、246

12+1=34H=5611=7

32+3=54+3=76+3=9

52+5=74+5=96+5=11

共有9种可能出现的结果，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3

种，

因此游戏是公平的.

【变式练习7](2019•丹东)如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A,

B分成3等份和4等份，并在每一份内标上数字.游戏规则：同时转动两个转盘，当转

盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜.如

果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘.

(1)利用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.

(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你在

转盘A上只修改一个数字使游戏公平(不需要说明理由).

【答案】见解析.

【解析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公

式计算可得；

（2）先计算出数字之积为偶数的概率，判断概率是否相等即可得知游戏是否公平.

解：（1）列表如下：

-2-323

1-2-323

2-4-646

3-6-969

由表可知，共有12种等可能结果，其中指针所在区域的数字之积为奇数的有4种结果,

所以甲获胜概率为2=/

（2）・・•指针所在区域的数字之积为偶数的概率为白=

・・・这个游戏规则对甲、乙双方不公平，将转盘A上的数字2改为1,则游戏公平.

例题练习：利用频率估计概率

【例题8】（2020•徐州）在一个不透明的袋子里装有红球、黄