二次根式的应用大题提升训练（重难点培优30题）-2023学年八年级数学下册

【拔尖特训】学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】

专题16.6二次根式的应用大题提升训练（重难点培优30题）

班级：姓名：得分：

注意事项：

本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第110题）、能力提升题（第1120题）、培优压轴

题（第2130题），每个题组各10题，可以灵活选用.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓

名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一.解答题（共30小题）

1.（2022秋•桥西区期中）交通警察通常根据刹车后车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公

式是丫=16府，其中I，表示车速（单位：km/h）,d表示刹车后车轮划过的距离（单位：〃//表示摩擦

系数，在某次交通事故调查中测得d=20/〃，/=1.2.

（1）求肇事汽车的速度：

（2）若此路段限速70M?/力，请通过计算判断肇事汽车是否超速？

【分析】（1）直接用题目中速度公式和计算即可求出；

（2）比较两个速度的大小即可.

【解答】解：（1）当d=2（）m,/=1.2时，v=16V20x1.2=3276（km/h）,

答：肇事汽车的速度是32nhM?；

（2）v=32V6«78>70,

二肇事汽车已经超速.

2.（2022秋•社旗县期中）（1）计算：（-2x）3•⑶2-孙-1）

（2）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且

用时很短，常常避让不及.据研究，面空物体自由下落到地面的时间t（单位：s）和高度力（单位：加）

近似满足公式t=楞（不考虑风速的影响，g"9.8〃y）.已知一幢大楼高78.4/人若一个鸡蛋从楼顶自

由落下，求落到地面所用时间.

【分析】直接将〃=78.4,&=9.8代入公式计算即可.

【解答】解：将力=78.4,g=9.8代入公式仁停

答：落到地面所用时间为4s.

3.（2022秋•南岸区校级期中）某居民小区有一块形状为长方形八BC。的绿地，长方形绿地的长BC为代名〃,

宽AB为丁而〃?，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为

（V13+1）in,宽为（g-l）tn.

（1）长方形/18CD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）

（2）除去修建花坛的地方.其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺

完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

【分析】（1）长方形A8CO的周长是2（〃?）；

（2）先求出空白部分的面积，再根据通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖列式计算即可.

【解答】解：（1）长方形A8CD的周长=2（V162+V128）=2（9企+80）=34/（用，

答：长方形ABCD的周长是34e（M；

（2）购买地砖需要花费=50X[9或X8鱼-（V13+1）（V13-1）1

=50X（144-12）

=50X132

=6600（元）；

答：购买地砖需要花费6600元.

4.（2021秋•长安区期木）某居民小区有块形状为长方形A4QJ的绿地，长方形绿地的长NC,为五国米，

宽相为国米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为（尺+1）

米，宽为（V13—1）米.

（1）长方形A8CD的周长是30近米:

（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个

通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果均化为最简二次根式）

B

【分析】（1）根据长方形ABC。的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得;

（2）先计算出空白部分面积，再计算即可,

【解答】解：(1)长方形A8CD的周长=2X(^4128+V98)=2(872+772)=30^2(米),

答：长方形A4c。的周长是30企米,

（2）通道的面积除一（V13+1）（V13-1）

=100（平方米平

购买地砖需要花费=6X（100）=600（元）.

答：购买地砖需要花费600元;

5.（2021秋•叙州区期末）已知&48C三条边的长度分别是VFFLJ（x-5）2,4-（V4^）2,记△ABC

的周长为C^ABC.

（1）当x=2时，△ABC的最长边的长度是（请直接写出答案）;

（2）请求出品相。（用含工的代数式表示，结果要求化简）；

（3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S=

/加炉_（。2+户2沟其中三角形边长分别为小b、C,三角形的面积为S.若X为整数，当C,S8C

取得最大值时，清用秦九韶公式求出AABC的面积.

【分析】（1）把x=2代入三角形的三边中，分别计算，比较后即可求解；

（2）把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简即可求解；

（3）先根据x的取值范围，确定三角形周长的最大值及三角形各边的长，代入公式求出三角形的面积.

【解答】解：（1）当x=2时，VxTl=V3,7（x-5）2=V9=3,4-（V4^X）2=4-2=2,

:.△A8C的最长边的长度是3：

（2）由题知：/+解得-1WXW4.

14-x>0

:.yj（x-5）2=5-%,4-（V4-x）2=x,

CMBC=\Jx+1+J（x—5=+4—（V4—x）2=Vx+1+5-x+x=Vx+1+5；

=V25-2x5xy/34-3+J4+2x2x+3

=J（5一次）2+J（2+8）2

=5-V3+2+V3

=7.

7.（2022秋•临汾期中）阅读与思考

阅读下列材料，并完成相应的任务：

法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第〃项的表达式，创

造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题.

“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用.卢卡斯数列中的第〃个数产

（〃）可以表示为（苧尸一】+（苧）〃一】，其中〃21.（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列）

任务：

（1）卢卡斯数列中的第1个数尸（1）=2,第2个数尸（2）=1;

（2）卢卡斯数列有一个重要特征：当时，满足F（〃）=F（n--1）+F（n-2）.请根据这一规

律写出卢卡斯数列中的第6个数/（6）.

【分析】（1）根据尸（〃）=（竽）时1+（竽）时1,将〃=1,2分别代入计算即可求解.；

（2）根据当〃23时，满足八〃）=产（〃.1）+「（〃.2）,先求出F<5>,再进一步求出尸（6）.

【解答】解：（1）八］）=1+1=2,第2个数尸出=竽+空=1.

故答案为：2；1；

（2）VF（H）=F（n-1）+F<n-2>

F（4）=F,3）+F（2）=3+1=4,

卜'（5）=卜'（4）+"（3）=4+3=7,

：,F（6）=F<5>+F（4）=7+4=11.

8.（2022秋•商水县校级月考）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落

卜，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及.据研究，高空抛物下落的时间/（单位：s）和高度h

（单位：〃?）近似满足公式1=（不考虑风速的影响，〃心2）.

（1）求从60〃?高空抛物到落地的时间.（结果保留根号）

（2）已知高空坠物动能（单位：J）=1（）X物体质量（单位：依）X高度（单位：〃?），某质量为0.2依

的玩具被抛出后经过3s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由.（注：

伤害无防护人体只需要65J的动能）

【分析】（1）把60〃?代入公式仁楞即可；

（2）先根据公式U楞求出山再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断.

【解答】解：（1）由题意知力=60〃?，

.*./=翁。=>J12=2>/3（$）,

故从60m高空抛物到落地的时间为2百s；

（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，

理由：当f=3s时;3=电,

・・・力=45,

经检验，"=45是原方程的根，

・•・这个玩具产生的动能=10X0.2X45=90（J）>657,

・••这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人.

9.（2022秋•新蔡县校级月考）如图，有一-张面积为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作

一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为加0〃.

（1）求长方体盒子的容枳；

（2）求这个长方体盒子的侧面积.

【分析】（1）结合题意可知该长方体盒子的长、宽都为3V2-272=372。"，高为&n,而长方体的容

积为长X宽X高，即可得答案；

（2）该长方体盒子的侧面为长方形，长为3&a〃，宽为&共4个面，即可得答案.

【解答】解：（1）由题意可知：长方体盒子的容积为：（5V2-2V2）2xV2=18V2（c//P）,

容：长方体盒子的容积为18衣a/；

（2）长方体盒子的侧面积为：（5/一2或）x&x4=24（cw2）,

答：这个长方体盒子的侧面积为24c〃三

10.（2022秋•中原区校级月考）小明同学在学习的过程中，看到北师大版八年级上册数学课本43页有这样

一道题目：如图，两个正方形的边长分别是多少？你能借助这个图形解释我=2a吗？

小明想了想做出如下解答过程：“如图，大正方形的面积为8,则它的边长为弼；小正方形的面积为2,

则小正方形的边长为加.借助这个图形，可以得到大正方形的边长是小正方形边长的2倍，即我=2企.”

个图形解释/=孝吗？请你画出相应

老师夸赞小明做得非常好，继续提出个新的问题：你能设U

的图形并借助图形帮助小明解答这个问题.

面积为2

【分析】根据正方形的面积公式得到2个正方形的边长，利用图形得出边长的关系，进而得出答案.

【解答】解：如图，

大正方形的面积为2,则它的边长为近：

小正方形的面积为点则小正方形的边长为

观察图形可以得到大正方形边长是小正方形边长的2倍，

面积为2

面积为2

11.（2022秋•洛宁县月考）如图，有一张长为16或C7”，宽为8代“〃的长方形纸板，现将该纸板的四个角

剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形.

（1）若小正方形的边长为衣。明则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？

（2）求这个长方体盒子的侧面积.

【分析】（1）利用长方体的体积公式计算即可；

（2）大长方形的面枳减去4个小正方形的面积，再减去底面面积就是盒子的侧面积.（两个小长方形面

积和两个大长方形面积和）

【解答】解：（1）无盖长方体盒子的体积为：

（16夜-2&）X（8V2-2V2）xV2

=14V2x6V2xV2

=I68V2（cvn3）；

答：制作成的无盖长方体盒子的体枳是168或。病.

（2）方法一，长方体盒子的侧面积为：

16V2X8V2-4xV2xV2-（16&-272）（8企-272）

=256-8-168

=80（crrr）;

答：这个长方体盒子的侧面积为80cm2.

方法二，长方体盒子的侧面积为：

（8V2-2V2）xV2X2+（1672-2>/2）xV2x2

=6V2xx/2X2+14V2x或x2

=24+56

=80c〃/.

答：这个长方体盒子的侧面积为805P.

12.（2021秋•钱塘区期末）（1）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是10,求这个长方形的周长.

（2）如图，已知长方形内两个相邻正方形的面积分别为9和3,求图中阴影部分的面积.

【分析】（1）根据长方形面积公式为长X宽，代入计算即可；

（2）两个小阴影部分可以组成一个长为B，宽为（3-V3）的长方形，直接计算即可.

【解答】解：（1）设长方形的宽为x，则长方形的长为Zt,

则x・2r=10,

解得工=遍或一遍（舍去），

••・长方形的长为2百，

・••长方形的周长为（V5+2V5）X2=6V5.

（2）由题意可知，

大正方形的边长为3,小正方形的变成为旧，

・•・阴影部分的面积为（3-V3）xV3=3V3-3.

13.（2022春•海沧区校级期末）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2

和27而『的正方形木板.

（1）求原矩形木板的面积；

（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5曲?，宽为1＜加的长方形木条，估计最多能裁

出多少块这样的木条，请你计算说明理由.

【分析】（I）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；

（2）求出2K和6的范围，根据题意解答.

【解答】解：（1）•・•两个正方形的面积分别为12d加2和27d%2,

・••这两个正方形的边长分别为275dm和375dm,

・•・原矩形木板的面积为38（2V3+3V3）=45（dm2）；

（2）最多能裁出3块这样的木条.理由如下：

•••20*3.464,V3«1.732,

3.46+143（块），

1.73+1.5=1（块），

3X1=3（块）.

，从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5面,宽为\dm的长方形木条，最多能裁出3块这样的木条.

14.（2022春•合阳县期末）海啸是•种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面

上，海啸的行进速度可按公式9=如计算，其中V表示海啸的速度（mJs）,d表示海水的深度，g表示

重力加速度9.8〃?/，.若在海洋深度20小处发生海啸，求其行进的速度.

【分析】把g与d的值代入公式计算即可求出V.

【解答】解：•••1=20机，g=98〃/$2,v=yfgd,

/.v=/gd=V9.8x20=/196=14(mis),

则海啸行进的速度是14加s.

15.(2022春•周至县期末)在一个长为4V5,宽为3次的矩形内部挖去一个边长为(2g-V5)的正方形，

求剩余部分的面积.

【分析】根据矩形的面积-正方形的面积即可得到剩余部分的面积.

【解答】解：4V5X3V5-(2回一花)2

=60-(60-206+5)

=60-60+20百-5

=(20V3-5)平方米，

答：剩余部分的面积为(20/一5〉平方米.

16.(2022春•济源期末)【再读教材工我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如

果一个三角形的三边长分别为a,b,c,记p=驾”,那么三角形的面积为S=Jp(p—a)(p—b)(p—c).

【解决问题］：已知在△ABC中，AC=4,BC=7.5,人8=8.5.

(1)请你用“海伦-秦九韶公式”求△48C的面积.

(2)除了利用“海伦-秦九韶公式“求△A4C的面枳外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法.

【分析】(1)直接代入海伦-秦九韶公式求解：

(2)先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，再用两直角边的根除以2求出面积即可.

【解答】解：(/)VAC=4,8c=7.5,48=8.5,

--4+75+8.5_

・・pv—2-1iU(),

:.S&ABC=710x(10-4)x(10-7.5)x(10-8.5)=V10x6x2.5x1.5=V225=15.

即△ABC的面积为15；

(2)••YC=4,BC=7.5,45=8.5,

•-AC2=42=16=票BC2=(竽¥=竿,用=鸟尸=289,

:,AC2+BC2=竽+竽=等=柳，

444

/.ZC=90°,

S^A[iC=2AC,BC=2x4x7.5=15.

17.（2022春•石泉县期末）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为

b（单位：km）,观测者能看到的最远距离为d（单位：km）,则尿，其中R是地球半径，通常取

6400公〃.小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为5m,她观测到远处一艘船刚露出海平

面，求此时观测者能看到的最远距离d约是多少千米？

【分析】根据加丽，把R=64005，〃=0.005h〃代入计算即可.

【解答】解：由R=6400加7,h=5m=O.OO5km,

得d=V2x0.005X6400=8（k，n）,

答：此时观测者能看到的最远距离4约是8km.

18.（2022春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形A8CO的爆地，长4c为g米，宽AB为同米，

现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为

[旧+1）米，宽为（旧一1）米.

AD

BC

（1）求矩形A8CQ的周长.（结果化为最简二次根式）

（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完

整个通道，则购买地砖需要花费多少元?

【分析】（1）根据矩形的周长=（长+宽）X2计算即可;

（2）先求出通道的面积，再算钱数即可.

【解答】解：（1）（g§+国）X2

=（8V2+5V2）X2

=1372x2

=2672（米），

答：矩形ABC7）的周长为26&米；

（2）V128XV50-2X（V13+I）X（-713-1）

=8V2X5V2-2X（13-1）

=80-24

=56（平方米），

6X56=336（元）,

答：购买地砖需要花费336元.

19.（2022春♦赣州期末）有•块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和

32dm2的正方形木板.

（1）截出的两块正方形木料的边长分别为3近dm,4&dm:

（2）求剩余木料的面积；

（3）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5加,宽为I,加的长方形木条，最多能截出2块这样的

木条.

32dm2

18dm2

【分析】（1）由正方形的面积可得边长分别为g力〃和限行〃，再对二次根式进行化简即可;

（2）矩形的长为7企山〃，宽为4企小〃，再求面积即可；

（3）剩余木条的长为3a宽为企力〃，再由题意进行截取即可.

【解答】解：（1）V18=3\^2dni,x/32=4\^2dm,

故答案为：3adm,Nidtn；

（2）矩形的长为3&+4&=7迎（dm）,宽为4或力小

・••剩余木料的面积=（7>/2X4合）-18-32=56-18-32=6（力齐）；

（3）剩余木条的长为3a加，宽为4a-3无=鱼（dm）,

V3X/2<3X1.5,后>],

.••能截出2X1=2个木条，

故答案为：2.

20.（2022春•宁乡市期末）如图所示，将一个长宽分别为人的长方形纸片的四个角都剪去〜个边长为x

的正方形.

（1）用含a,4%的代数式表示纸片剩余部分的面积：

（2）当Q=12+2g,6=12-2A/3,x=五,求剩余部分的面积.

【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可；

（2）把相应的值代入（1）进行运算即可.

【解答】解：（1）剩余部分的面积为：，心-4f；

（2）当Q=12+2V5,a=12-2V3,%=鱼时，

ab-4.r

=（12+2V3）（12-2V3）-4X（V2）2

=144-12-8

=124.

21.（2022春•梁平区期末）电流通过导线时会产生热量，电流/（单位：4）、导线电阻R（单位：。）、通

电时间，（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足。=尸刑，已知导线的电阻为6C,1s时间导线产生

3（X7的热量，求电流/的值.（结果用根式表示）

【分析】将已知最代入物理公式。=户心，即可求得电流/的值.

【解答】解:通电时间/（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足。=产业，

所以电流/二弱二J恶=©•

故电流/的值为逐1.

22.（2022春•雁塔区校级期末）请阅读卜面材料，并解决问题：

海伦一一秦九韶公式

海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》--

书中证明了一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式：

假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为小〃，C,记〃=，上，那么三角形的面积

S=yjp(p-a)(p-b)(p-c).这个公式称为海伦公式.

秦九韶(约1202-1261年)，我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式

S=2b2一(五詈与2].它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高

的数学水平.通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九貂公式实质是同一个公式，所以海伦公式也称海

伦-秦九阳公式.

问题：如图，在中，A8=6,AC=7,8C=8,请用海伦一秦九韶公式求△相©的面积.

【分析】代入公式，进行二次根式的化简.

【解答】解：・.NB=6,AC=7,BC=8,

/•6/=8,b=l9c=6,

・efi__z64+49-36.,21VT5

・•S=J.x7[674A_X4_9-(——2——)?1=-

23.(2021秋•龙岗区校级期中)平面几何图形的许多问题，如长度、周长、面积、角度等问题，最后都转

化到三角形中解决.占人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积.具体如卜：

设一个三角形的三边长分别为〃、b、c,(a+b+c),则有下列面积公式：

S=y/P(P-a)(P-b)(P-c)(海伦公式)；

s=2b2一(土岑士)2](秦九韶公式).

(1)一个三角形边长依次为5、6、7,利用两个公式，可以求出这个三角形的面积是_6V6_.

(2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积.如图，在中，AB

=15,BC=14,4C=13,求/XABC的面积.

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程.

①作。于。，设8。=%，用含x的代数式表示CQ,则CD=14-x；

②请根据勾股定理，利用AO作为“桥梁”建立方程，并求出工的值；

③利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积.

A

【分析】(1)利用两个公式分别代入即可；

(2)①根据CO=BC-B。可得答案；

②化两个在角二角形中分别应用勾股定理可得方程，解方程可得x的值；

③根据三角形面积公式计算即可.

【解答】解：(1)P=\(a+b+c)=1x(5+6+7)=9,

由海伦公式可得S=JP(P-㈤(P-b)(P-c)=V9x(9-5)x(9-6)x(9-7)=6几；

由秦九昭公式可得S=J[a2岳一(也竽0)2]=Jx[52xGY?+广=6瓜

故答案为：6V6；

(2)①・・・8C=14,BD=x,

ADC=14-X,

故答案为：14-x；

②・.,AQJ_4C,

.\AD1=AC2-CD2,AD2=AB2-BD2,

A132-(14-x)2=152-?,

解得x=9；

③由(2)得：AD=y/AB2-BD2=V152-92=12,

11

/.SA4BC=7BC*AD=WX14X12=84.

24.(2022春•章贡区期末)小明家装修，电视背景墙长BC为旧历,宽AB为我打，中间要镶一个长为25,

宽为企〃?的大理石图案(图中阴影部分).除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积.(结

果化为最简二次根式)

【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则冲算得山答案.

【解答】解：由题意可得：

727xV8-2A/3xV2

=375x2企-2V3xV2

=6V6-2V6

=45/6（/n2）>

答：壁布的面积为4乃届.

25.（2021秋•长安区校级期末）某居民小区有块形状为长方形48CQ的绿地，长方形绿地的长3c为8g米，

宽AB为廊米，现要在长方形绿地中修建•个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为VI5+1

米，宽为a5-i米.

（1）长方形A8C。的周长是多少？（结果化为最简二次根式）

（2）除去修建花坛的地方.其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/阳2的地砖，要铺完整个

通道，则购买地破需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）

B1-----------------------'C

【分析】C）根据长方形4ACO的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；

（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，

【解答】解：（1）长方形A8CD的周长=2X（8V3+>/98）=2（873+772）=1673+1472（米），

答：长方形ABCD的周长是16/5+14a（米），

（2）通道的面积二（8V3xV98）-（V13+1）（713-1）

=5676-（13-1）

=36伤一12（平方米），

购买地砖需要花费=6X（56指一12）=33676-72（元）.

答：购买地豉需要花费336后-72元；

26.（202（）春•玄武区期中）数学阅读：

古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为。、b.

c,则这个三角形的面积为S=Jp（p-a）（p-b）（p-c）,其中〃=i（a+b+c）,这个公式称为“海伦公式”.

数学应用：

如图，在中，已知AB=9,AC=8,BC=1.

（1）请运用海伦公式求△44C的面枳；

（2）设AC边上的高为61,边上的高用，求加+也的值.

【分析】（1）根据海伦公式，代入解答即可；

（2）根据三角形面积公式解答即可.

【解答】解：（1）AB=c=9,AC=h=^,BC=a=l.〃=义（a+b+c）=12,

AS=Jp（p—a）（p—b）（p—c）=712（12-7）（12-8）（12-9）=12倔

（2）•:Swc=•hi=^BC.h2=12遥，

.,_24底__24V5

••"1--Q---3QV5,九2---y-，

.,G工247545、，丐

••/l]+/I2=3V54--y-=-y-.

27.（2022春•磁县期中）如图，正方形A8C。的面枳为8,正方形ECFG的面积为32.

（1）求正方形ABCO和正方形ECFG的边长：

（2）求阴影部分的面积.

【分析】（1）根据正方形的面积公式求得边长；

（2）先求出直角三角形BFG、48。的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，这

就是阴影部分的面积.

【解答】解：（1）正方形ABCD的边长为：BC=V8=2V2,

正方形ECFG的边长为：。尸=也=4或；

（2）・：BF=BC+CF,BC=2近,CF=4近,

：.BF=6y/2；

:4BFG=%r・BF=24；

又SMBD=^AB*AD=4,

；・S阴极=S正方形ABCO+S正方形ECFG-SABFG-S&ABD

=8+32-24-4,

=12.

28.（2022春•丰台区期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的

小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：

对于两个数a.h.M=里称为〃这两个数的算术平均数,N=强称为a.〃这两个数的几何平均

数，P=］噂玫称为小匕这两个数的平方平均数.

小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：

r/*1A

⑴若a=-1,〃=-2,则M=一・，N=盘，P=、­；

（2）小聪发现当小人两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当出都是正数时这

三种平均数的大小关系.结合乘法公式和勾股定理的学习经给，他选择构造几何图形，用而枳法解决问

题：

如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图I中阴影部分的面积可以表示解.

①请分别在图2,图3中用阴影标出一个面积为A/?,P?的图形；

②借助图形可知当。，。都是正数时，M,N,P的大小关系是NMM4P.（把M,N,P从小到大排

列，并用“V”或“W”号连接）.

【分析】（I）将〃=-1,力=-2分别代入M,N,。求值即可得；

（2）①分别求出M2,广，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；

②根据（2）①中的所画的图形可得由此即可得出结论.

【解答】解：（1）当a=・1,力=・2时，”=竽=与必=一|,N=Vab=7-1x（-2）=V2,P=

故答案为：一5，鱼，

22

（2）①M2=（竽）2==依=b）；+4ab=+诉

则用阴影标出一个面积为M2的图形如下所示：

则用阴影标出一个面积为P2的图形如下所示:

②由（2）①可知，解运加2W尸，当且仅当a―人=0,即时，等号成立,

•・・a,b都是正数,

・・.M,N,。都是正数，:.NWM&P,

故答案为：N&M&P.

29.（2022春•南部县校级月考）在《九章算术》中有求三角形面积公式“底乘高的一半”，但是在实际丈量

土地面积时，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积.我国南宋著名的

数学家秦九韶(1208年-1261年)提出了“三斜求积术”，阐述了利用三角形三边长求三角形面积方法，

简称秦九韶公式.在海伦(公元62年左右，生平不详)的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长

求三角形面积的方法，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德(公元前287年■公元前212年)

得出的，故我国称这个公式为海伦・秦九韶公式.它的表述为：三角形三边长分别为〃、枚c,则三角

形的面积S=yjp(p-a)(p-b)(p-c).(公式里的p为半周长即周长的一半)

请利用海伦―秦九韶公式解决以下问题：

(1)三边长分别为3、6、7的三角形面积为_4伤_.

(2)四边形48。。中,/18=3,8。=4,。。=7,4。=6,/8=90°,四边形48。。的面积为_6+6e

(3)五边形ABCOE中，AB=BC=273,CO=6,OE=8,A£=I2,ZB=120°,NQ=900,求出五

边形44CQE的面积.

【分析】(1)根据题意应用二次根式的计算解答即可；

(2)根据二次根式的计兜解答即可；

(3)根据二次根式的混合计算解答即可.

【解答】解：(1)三边长分别为3、6、7的三角形面积为J8X(8-3)x(8-6)x(8-7)=4百；

故答案为：4V5：

(2)•・•四边形A8CO中，AB=3,BC=4,NB=90°，

，AC=5,

/.AABC的面积=1x3x4=6,

・•・AACD的面积=79x(9-5)x(9-6)x(9-7)=6瓜

J四边形ABC。的面积为：6+6n，

故答案为：6+6V6：

(3)二•五边形A8COE中，AB=BC=2®CD=6,OE=8,AE=12,NB=120°,NQ=90°,

；•AC=6,

AABC的面积=1x6xV3=3V3,

ACE=10,

••.△CQE的面积为：-x6x8=24,

2

：.AC=6,AE=12,CE=10,

・•・AACE的面积: