人教A版高中数学四课时提升作业（二十三）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精温馨提示：此套题为Word版,请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十三）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(25分钟60分）一、选择题（每小题5分，共25分）1.（2015·朔州高一检测)已知a=(2,3），b=（-4，7),则a在b方向上的投影为（)A。13 B.135 C。655 【解析】选C。设a与b夹角为θ,则a在b方向上的投影|a｜cosθ=QUOTEa·b|b|,因为a=（2，3)，b=（-4，7)，所以a·b=(2，3)·(—4，7)=2×(-4)+3×7=13,｜b｜=(-4)所以｜a|cosθ=1365=652。以下选项中，一定是单位向量的有（）①a=(cosθ,—sinθ）；②b=（lg2，lg③c=(2x2,1）；④A。1个 B.2个 C。3个 D。4个【解题指南】解答本题，一方面要注意向量模的坐标公式的应用，另一方面要注意同角三角函数的平方关系、对数运算、指数运算和函数最大值的求法的应用.【解析】选B。因为|a｜=1，|b｜=1，|c|=(2x2|d｜=(1-x)=2x-12所以a，b是单位向量，c不是单位向量，d不一定是单位向量。3。(2015·福建高考）设a=（1，2)，b=(1,1)，c=a+kb，若b⊥c，则实数k的值等于(）A。—32 B.-53 C.53 【解析】选A。c=a+kb=（1+k，2+k），因为b⊥c，所以b·c=0，即1+k+2+k=0⇒k=-32【补偿训练】(2015·温州高一检测）已知a=(—3，2），b=(—1，0)向量λa+b与a—2b垂直，则实数λ的值为()A。—17 B.17 C.—16【解析】选A。向量λa+b=（-3λ-1，2λ)，a—2b=（—1,2）,因为两个向量垂直，故有（-3λ-1，2λ）·(-1，2)=0，即3λ+1+4λ=0，解得λ=—174。设x,y∈R，向量a=(x，1)，b=(1，y），c=(2，—4)且a⊥c，b∥c,则｜a+b|=（）A。5 B。10 C。25 D。10【解析】选B。由a⊥c得2x+1×(—4）=0,所以x=2；由b∥c得1×（-4)=2y，所以y=-2.从而a=(2，1)，b=(1，—2)，所以a+b=(3,—1)，所以|a+b｜=32+(-1)5。（2015·景德镇高一检测）已知平面向量a=(2，4)，b=(—1，2)，若c=a—（a·b)b，则｜c|等于（）A。42 B.2 C.8 D。82【解析】选D。a·b=2×(-1）+4×2=6,所以c=(2,4)—6(—1,2）=（8，-8),所以｜c|=82+(-8)二、填空题（每小题5分，共15分）6。设向量a与b的夹角为θ，且a=(3，3)，2b-a=(—1,—1)，则cosθ=________。【解析】b=12a+12(—1,—1）=(1，1），则a·又|a｜=32，｜b|=2，所以cosθ=QUOTEab|a||b|=66=1.答案：1【一题多解】本题还可以采用以下方法由已知得：b=(1，1)。又a=（3，3）,所以a∥b，且同向.故θ=0°,cosθ=1。答案：17.（2015·南平高一检测）已知a=(1，3），b=（2+λ，1),且a与b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是__________.【解析】设向量a与b的夹角为θ，因为θ为锐角，所以cosθ〉0，且cosθ≠1，即a·b>0，且a与b方向不同，由a·b>0，得1×(2+λ)+3×1=λ+5〉0,所以λ>—5。当a与b方向相同时设b=μa，即(2+λ,1)=μ（1，3），所以2+λ=μ,1=3μ,解得λ=-5所以λ∈-5,-53答案：-5,-5【误区警示】解答本题易因思考不全面,误认为a与b的夹角θ为锐角⇔cosθ〉0，导致错误.实际上，当a与b同向时，即a与b的夹角为0°时,cosθ=1〉0，此时λ=-53【补偿训练】已知a=（-2，—1),b=（λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________.【解析】由题意cosα=QUOTEa·b|a||b|=-2λ-15·λ2因为90°<α〈180°，所以—1〈cosα<0，所以—1〈-2λ-1所以-即λ>-1所以λ的取值范围是-12,2∪答案:-12,2∪8。已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE→·【解析】以点B为原点，以BC→，BA→的方向为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2），B（0，0),所以AE→=（2,-1)，答案：2【一题多解】因为ABCD是正方形，所以BD→=BA→+BC因为E为CD的中点，所以DE→=—所以AE→=AD→+DE所以AE→·BD→=BC→=BC→2—12BA→2=2答案:2【延伸探究】本题中，若增加条件“点F在边AD上，AF→=2",试求B【解析】建立平面直角坐标系如图,则A（0,2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0），C(2，0),因为AF→=2FD所以BE→=（2，1),CF→=4所以BE→·CF→=(2，1）·-23,2=2三、解答题(每小题10分，共20分)9。(2015·漳州高一检测)已知平面向量a=(1,x），b=（2x+3，-x），x∈R.(1）若a⊥b，求x的值.（2）若a∥b，求｜a-b｜。【解析】(1）若a⊥b，则a·b=(1，x）·（2x+3，—x)=1×（2x+3）+x(-x）=0，即x2-2x-3=0，解得x=-1或x=3.（2）若a∥b，则1×(-x）—x(2x+3）=0，即x(2x+4）=0。解得x=0或x=—2.当x=0时，a=（1，0)，b=(3,0），｜a—b|=|（1，0）-（3，0)｜=|（-2,0）|=2。当x=—2时，a=（1，—2),b=(—1，2），｜a—b|=｜(1，-2）-(—1，2）|=|(2，-4）｜=25.10。（2015·南昌高一检测)设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5），(1)试求向量2AB→+(2）若向量AB→与AC→的夹角为（3)求向量AB→在【解析】（1)因为A(1，0)，B（0，1）,C（2，5),所以AB→=(0,1)—(1，0）=(AC→=(2,5)所以2AB→+AC所以|2AB→+AC→|=（2)由（1）知AB→=(—1,1），所以cosθ=(-1,1)·(1,5)(-1(3）由（2)知向量AB→与AC→的夹角的余弦为cosθ=21313，而|AB→|=2,所以向量AB→在AC(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.(2015·肇庆高一检测)已知向量OA→=(2，2)，OB→=（4，1），在x轴上有一点P使AA.（—3,0） B。(2，0)C.(3,0） D。(4,0)【解析】选C.设点P的坐标为(x，0)，则AP→=（x-2，-2)，BP→=（x-4，—1）。AP→·BP→=（x—2)（x—4）+（—2）×（—1)=x【补偿训练】如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则OB→·OA。2 B。1+2 C。2 D。4【解析】选A。令∠OAD=θ,由于AD=1，故OA=cosθ，OD=sinθ，∠BAx=π2—θ故xB=cosθ+cosπ=cosθ+sinθ，yB=sinπ2-θ=cos故OB→=(cosθ+sinθ，cos同理可求得C(sinθ，cosθ+sinθ），即OC→=（sinθ，cosθ+sin所以OB→·OC→=（cosθ+sinθ，cosθ)·(sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，OB→2.已知向量a=（1，1)，b=（1,m），其中m为实数,O为原点，当此两向量夹角在0,πA.（0，1) B。3C。33,1∪（1,3) D。(1，【解析】选C.已知OA当点B位于B1和B2时,a与b夹角为π12,即∠AOB1=∠AOB2=π12，此时,∠B1Ox=π4-π12=π6，∠B2Ox=π4+π12=π3,故B11,33由图易知m的范围是33,1∪（1，二、填空题(每小题5分，共10分)3。已知a=25,15，b=15,-25，则向量3a【解析】设夹角为θ，因为｜a|=1，｜b｜=1，a·b=0,所以(3a+b)·[-2（3a—b）］=—4，又｜3a+b|=2，｜-2(3a-b）｜=4,所以θ=2π答案:2【补偿训练】已知A(1，2），B(2，3）,C（-2，5）,则△ABC的形状是()A。直角三角形 B.锐角三角形C。钝角三角形 D.等边三角形【解析】选A。因为AC→=(—3，3），AB→=（1，1)，所以4.(2015·安溪高一检测)若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM→=16CB→+2【解析】建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A(0,3)，B(-3，0）,M（0，2)，所以MA→=(0，1）,MB→=（—3，—2)。所以答案：-2【补偿训练】设A(a,1）,B（2，b),C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点,若OA→与OB→A。4a-5b=3 B.5a-4b=3C.4a+5b=14 D.5a+4b=14【解析】选A.因为OA→与OB所以OA→·OC→所以4a+5=8+5b,所以4a-5b=3.三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2015·日照高一检测）已知三点A（2，1)，B(3，2)，D(—1，4)。（1）求证：AB⊥AD。（2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度.【解析】(1)因为A（2，1），B（3,2），D（-1，4），所以AB→=（1，1），AD又AB→·AD→=1所以AB→⊥AD(2）因为AB→⊥AD→，四边形ABCD为矩形，所以设C点的坐标为（x，y)，则DC→=(x+1,y从而有x+1=1,y-4=1,即又BD→=(-4，2)，|BD所以矩形ABCD的对角线的长度为25.6。（2015·惠州高一检测)已知OP→=(2，1