函数的最值重点考点 专项练-2026年高考数学一轮复习

函数的最值重点考点专题练

2026年高考数学一轮复习备考

一、单选题

1.函数/(.¥)=2'+sfx的值域为()

A.[0,1]B.[0,+e)C.(1,+8)D.[!,+<»)

2.若函数丁=/1,的定义域为值域为N,则A/nV=()

\J2x-x~

A.(0,-Ko)B.(2,-oo)C.(1,2]D.[1,2)

3.己知-3<x<0,则y=xj9—\2的最小值为()

993

A.--B.—C.--D.不存在

4.已知/(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，若函数/G)-g(x)的值域为

则函数/(3x)+g(3x)的最大值为()

A.2B.3C.6D.9

5.若函数/(x)="的值域为[0,+巧，则实数”的取值范围是()

A.[0,1]B.[-1,0]C.[0,1)D.(-10]

6.已知函数/(X)的定义域为R,值域为(0,+动,fi/(x+y)=/(x-y)/2(y),则下列结论不正确

的是()

A../(0)=1B.f(2x)=f2(x)

C./(x)+/(-.r)^2D./(“是增函数

7.对于复数z,如果复数z•同时满足以下两个条件:①加rR,且册>0,使得z'=痛，②田z*|=4,

则称z*为z的反演.已知复数z的实部等于1,卢为z的反演，则--i|的最小值为()

A.2B.3-石C.75-2D.2-72

8.下列函数中，值域为R且为奇函数的是()

Y3

A./(x)=x3+1B.f(x)=xsinxC./*)=七D.f(x)=--x

eNx

二、多选题

9.函数'称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是()

0,工史。，

A.D(D(2))=D(D(V2))

B.O(x)的值域与函数空的值域相同

2x

C.O(X)H£>(-X)

D.对任意实数x,都有。(x+l)=。0)

10.设正实数机、〃满足机+〃=1,则下列说法中正确的是()

A.2->1B.+«的最小值为坐

C.〃〃？的最大值为:D./+〃2的最小值为上

11.已知函数/(%)=不£，则正确的是()

A./(X)的定义域为R

B./(x)是非奇非偶函数

C.函数/(x+2024)的零点为0

D.当x〉0时，/(切的最大值为g

三、填空题

12.已知函数/(》)=2--2"3,则/(x)的最大值是.

13.函数/(%)满足：①/⑴4②，，"R,2'/(3，)-2，/(工)2(4、一41)/3/(_)，).则〃力的最大

值等于.

14.已知/(x)是定义域为但xwO｝的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，P均有

/W/V)=/(xv)+/-l,则：①/(1)=2：②/(X)的值域为［2,+8)；③〃0=/(£|：

④/(x)是奇函数，则上述结论正确的序号是.

15.已知不等式。+1)2。(/+*/-2》+5)对任意方€区恒成立，则实数7的取值范围是.

16.已知。>0,bsR,若x〉0时，关于x的不等式3-2h2+云_4/0恒成立，则的最小

值为

四、解答题

17.已知2—+jJ-2町，一23一1=0.

(1)若求y的最大值，并求出此时X的值；

(2)若工>1且x>y,求2x-y的最大值.

18.若4b,c>0,且/+/=，，求〃的最大值，使得■+“*一〉£恒成立.

abc

19.已知首项为十的等比数列｛/｝的前〃项和为S,，且-S2,%3s3成等差数列.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵求数列s“+1的最大项.

RPy=Xy/9-X2的最小值为-

故选：A.

4.B

【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值.

【详解】由函数ia)-g(x)的值域为［T2］,^-3</(-x)-g(-x)<2,

由/(x)是定义在R上的奇函数，得/(T是一/(幻,由g(x)是定义在R上的偶函数,得g(r)=g(x),

则-3<-/(x)-g(x)<2,则-2K/(x)+g(x)K3,而函数〃3x)+g(3x)与/(x)+g(x)的值域相同，

所以函数/(3x)+g(3x)的最大值为3.

故选：B

5.A

【分析】分别讨论/(x)在X不同取值时得单调性；当4<0归，/(x)fF,不合题意；当4=0时，

讨论/(X)的最小值即可；当时，由分析可知要求/(X)的最小值为0,先确定a的范围，再根据

。的范围确定xNa时函数的单调性，从而求得其最小值即为/(1)=。符合题意.

【详解】当/(x)=9—3x+2.贝i」r(x)=3x2-3=3(x-l)(x+l),

此时/(X)在(-8,-1),(1,+8)单调递增,在单调递减.

当a<0时，若X<a,/(x)=-aY+l当Xf-co,/(X)f-co,不合题意；

当a=0时，/(x)=］f-3：+2'造°,/(O)=2,/(l)=O,则“X)值域为［0,+动符合题意；

l,x<0

当。>0时，要使/(X)的值域是［0，+8)，则要求/(力的最小值为0.

则必定先有一/+120,得-14a41,即OvaWI,

此时/(x)=d—3x+2在［a,+8)上单调性为(凡1)上单调递减，。,+8)单调递增，

有最小值/。)=0符合题意.改a«0,l］

故选：A.

6.D

【分析】取x=y=o,代入计算，即可判断A,取y=x代入计算，即可判断B,取y=-x代入计算,

结合基本不等即可判断C,举出反例，取/(X)=""即可判断D.

【详解】对于A,取x=1=o,则由已知等式得到/(o)=/(o)/2(o),yp/3(0)=/(0),

又因为值域为(o,+8)，所有/(0)>0，故/(0)=1，故A正确:

对于B,取寸=",则/(2力=〃0)[/(%)了,即/(2x)=[/(x)『，故B正确,

对于C,令'="则f(O)=f(2x)[/(r)y,BPl=/(O)=/(2x)[/(-x)]2=[4打[4-打，

注意到/(x)>0,所以/(一力=肃>°，

所以当/(丫)=1取得等号，故c正确;

对于D,®/(x)=e-\贝ij/(：r+y)=eTr,/(x_y)/2(y)=ei-e-2，=eT-"

符合题意，但此时/(x)是减函数，故D错误.

故选：D.

7.C

【分析】设z=l+6i,beR,利用判别式法可求归-i|的最小值.

【详解】设z=l+bi力wR,则z*=〃?(l+bi),

._________444b

所以Jl+/x/〃xJl+/=4，故阳=1万，故2*=1方+「了

设"普,则曲+泌+-6=。，其中匹R，

若Z=0,贝!)〃=2；

若"0,则△=64-4/(/一16)20即产一⑹―16W0，

故8-4万工区8+4扁/0,

(\6-Sh,

故8-4石q48+4x6，故+1=9-4瓦

1-1-+-/r

min

故尸-iL=6",

故选：C.

8.D

【分析】利用奇函数排除AB：再求出函数值域即可判断.

【详解】对于A,/(幻=/+1是非奇非偶函数，A不是；

对于B,函数/(x)=xsinx值域为R,/(-%)=-xsin(-A)=xsinx=f{x),是偶函数,B不是;

对于C,函数/(M=定的定义域为R，/(-R=三=-金~=-/(X)，是奇函数，

当x>0时，/(x)=4>求导得/'(x)=I-，当O<X<1时，/'a)>()；

ee

当x>l时，/'(x)<0,函数/(x)在(0,1)上递增，在。,内)上递减，/UU=/(1)=-,

e

而当x40时,/U)<0,即函数/(X)的值域不是R,C不是：

33

对于D,函数=的定义域为(一8,0)U®+8),f(-x)=—+x=-f(x),是奇函数；

X-X

当x>()时，尸2,y=-x都递减，则函数/(X)在(0,*o)上单调递减，

X

函数/(外在(0J上值域为［0,3),在［1,+8)上值域为(-8,(小因此函数/(X)在(0,内)上的值域是R，

同理函数/*)在(YO,0)上的值域是R,D是.

故选：D

9.ABD

【分析】由狄利克雷函数定义逐项判断即可：

【详解】对于A,根据狄利克雷函数定义可知力(。(2))=。(1)=1,力(。(&))=。(0)=1,即A正确；

对于B,易知函数/")=在二的定义域为(-oo,0)U(0,⑹，

2x

当X€(Y,O)时，/。)=乜产=0；当xe((),+8)时，r(x)=-^=l；

2x2x

即函数的值域为他1｝，所以B正确；

2x

对于C,若xcQ,则-xeQ,则。(幻=。(一幻=1,

若工£今。，则一xw4。，则。(幻=0(—x)=0,综上可得：D(x)=D(-x)t故C错误：

对于D,当xcQ时，x+lw。，

此时£)(x+l)=O(x)=l；

当x史。时，x+1任。,此时。(x+l)=Q(x)=0,所以D正确.

故选：ABD

10.ACD

【分析】由题设得机-〃=2”?-le(-1,1),结合指数函数性质判断A：应用三角换元、辅助角公式及

正弦型函数性质求向+«的范围判断B；应用基本不等式求最值判断C、D.

【详解】对于A,因为正实数机，〃满足“+〃=1,则m-n=w-(1-m)=2m-1e(-1,1),

故2i>2一］「，正确；

2

对于B,设J^=sina，Vw=cos«»满足正实数〃?，〃的关系式，〃+〃=1,

所以+〃=sina+cosa=75sina+色，

14)

由于aw(0,；),所以弓<sin(a+；)«l,所以1正，错误；

对于C,由基本不等式得〃7〃/"1=,，当且仅当机=〃=1时等号成立，正确;

I2J42

可得"/+〃2之_[,当且

对于D,因为2(〃?’+〃2)=(〃/+“2)+(〃/+〃2”/n~+〃2+2〃?"=(/〃+〃)2=]

2

仅当〃?=〃=J时等号成立，正确.

故选：ACD

11.AD

【分析】利用函数的性质研究.可以判断A、B、C选项，对于D选项，利用基本不等式来求最值即

可.

【详解】由』+9工0可得：函数〃》)=一当的定义域为R,故A正确；

X'+9

由八一”卜占乐=一式？=一/(力，结合定义域为R，可知/("是奇函数，故B错误；

由/(x+2024)="…\2]=0解得,x=-2024,所以零点为—2024,故C错误；

(x+2024)+9

〃二2K二2.2=1

当x>0时，彳=3八9―/+9工+9、西一鼠取等号条件为x=3,故D正确；

x

故选：AD.

12.16

【分析】求出f=-x2+2x+3的范围，根据复合函数的单调性求解.

【详解】由/(必=2*+2'",而/=-1?+2X+3=TX-1)“+444,

因为y=T单调递增，所以j，=2Y2“，则/(x)的最大值是16.

故答案为：16

13.1/0.5

2

【分析】设/(x)a=，且/⑻=%，代入得：2丁2噂(¥-4)刍，令2Jp,则有关于P的不等式

JJ

"_〃+/40有解，利用判别式求解即可.

【详解】解：设/(X)a=,且/(机)=，

令x=〃?，y=1,

则有2*/'(1)-2/(.)之(#-4)./(〃?)./(1),

22

即]2皿_2，“4m_4》不，

22

设2"'=〃，贝1]]P一2/2(/—4)・《/,

HP2tp2-2p+2t<0,

所以伊2-P+/V0有解，A=I-4r2

所以/(x)的最大值等于9

故答案为：y

【点睛】方法点睛：解答与抽象函数有关的题FI时，常川赋值法.

14.®@

【分析】利用赋值法判断①和③的正误：设/(x)=x+L,代入已知等式即可验证②的正误；取

X

〃X)=X+L验证④的正误会.

X

【详解】对于①，令y=l,可得/⑴/(x)=2/(x),因为/W是非常数函数,所以/(力不恒为0,

所以/(1)=2,故①正确.

1[।

对于③，令x=i,则/(歹)/(1)=/。)+/-,可得/3=/二

<y)1歹

即/")=/(，],故③正确.

IX/

对于②，根据/")=/可取/(x)=x+J

可知/(X)是定义域为｛x|x^O)的非常数函数,

且/(x)/3=(旧卜+J=(^4--1+-+-1=/(A>')+/-

xy)㈠x)Vy)

可知/(X)=X+L符合题意，但/(—1)=一2<0,故②错误.

X

对于④，例如/(》)=工+m，可知/("是定义域为｛xlxwO｝的非常数函数,

且小)/(加卜+*+j，卜+J+仔+£，注意到职同号,

可得/3/（加卜吗卜停+小|1XX

xy-\—4.:叶"功+/[

xy

可知/（x）=x+：符合题意，但〃T）=11

一x+—x+-

-XX=/3,

即/（X）为偶函数，故④错误.

故答案为：①③.

1

15.—,4-00

2

(A-+1)2

【分析】参变分离可得(x2+l)(x2-2x+5)对任意xwR恒成立，换元令x+l=f,整理得

(X+l)21

22

(x+l)(x-2x+5)-^+4_3J+r结合对勾函数性质分析求解.

【详解】因为(*+1)2彳丸[2I1)12-2“+5),且/十1>0.2_2A+5>0,

可得(41知24+5产对任意'WR恒成立，

令X+1=f,则X=/-1,

(X+1)2八

若“一1,则"0,可得西产五可=0,

(x+l)2_r

若“工一1,则“。，可得俨+加2_2戈+5)=[(—1)2+]][(1)2_2(1)+5

=__________r_____________________1二]

-/4-6/3+lX/2-24/+16-,2」624-7""4""?~,

1+产-&-7+猪,+>3j+1

4

由对勾函数〃=/+-可知”之4或“K-4,

t

则/+2-321或/+2—3K—7,可得/+上-321,

tt\t

-^）1_=_!____efol

则（入烬-2X+5）（仔河］「：

…（工+1）2「八「

综上所述：（X2+*X2-2X+5『［'5_|'

（A+l）2i1

即声/许的最大值为9则壮于

-1、

所以实数2的取值范围是3,田.

-L/

故答案为：*+8）.

【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题

（1）分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围.

（2）函数思想法

第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值：

第三步：构建不等式求解.

16.4

【分析】分析得到8=24-22,故6+上4=2〃+2£,利用基本不等式求出最小值.

aaa

【详解】若。>0,x>0,3-2）（一+队一4"0恒成立，

即方x-4）20'恒成立，

所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解，

故—+加-4=卜一|）（工+2〃）才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致），

2

,故6=2。—,

a

2

4,当且仅当24=：,即。=1时，等号成立，

4

故6+—的最小值为4.

a

故答案为：4

17.（1）»的最大值为3,此时工=2；

（2）3

【分析】（1）设三二攵€（0/），故x=如，代入2/+），2-29-2》-1=0>+.,2/A;2-（2/+2^）Z:+/-l=0,

设/任）=2），2&2­（2/+2J，）&+），2—1,根据二次函数根的分布得到不等式，求出1<J，W3,进而得到

的最大值为3,代入2—十/一2个一2入-1=0,求出x=2；

（2）i^2x-y=tf由于x〉］,x>y,^t=x+（x-y）>1,将2x—=y>（弋入等式中得

2X2-（2/+2）X+Z2-1=0,根据根的判别式得到l<fW3,验证当/=3时满足要求，从而得到最大值.

【详解】（1）设±="£（0/），故工=如，

y

2x2+y2-2xy-2x-\=0=>（2k2+\）y2-2ky--2ky-\=0,

22

即2A-（2/+2y）k+y-\=0t

令f（k）=272k2-（2/+2y*+y2_i,开口向上，

则/（0）=「-1>0,

要想0=2/3一(2/+2亦+/-1在心(o,|)上有解,

A>0

则要/⑴<0或,

/⑴“

由/⑴=）12），-1<0得1<”1+上,

A>0nJ（2r+24-8r（r-i）>o

叫/⑴20解得1+/KyK3,

-2y-l>0

综上，1<^<3,故〉的最大值为3,此时4x+4=0,解得x=2.

（2）设2x-y=f,由于x>l,x>yt故/=x+（x-y）>1,

将2i=y代入2./+/一2町，-21=0中，得

2x2+（2x-t）2-2x（2x-t）-2x-\=0,即2x2-（2/+2）x+/2-1=0,

2X2-（2/4-2）X+/2-1=0,A=（2/+2）2-8（/2-1）=-4/2+8/+12,

要想方程在x«l,+8)上有解.，需要ANO,解得-14Y3,

又/>1,故1</S3,

当，=3时，2x2-(2r+2).¥+/2-l=0=>2.¥2-8.v+8=0,

解得x=2,此时y=】，符合要求，

故2x-y的最大值为3.

【点睛】关键点点睛：设土=々«0,1),故》=勿，转化为关于左的一元二次方程，结合根的分布与二

y

次函数图象，得到不等式，求出最值；设2x->，=/,转化为2——(Z+2)x+〃—1=0的解向题，利用

根的判别式得到不等式，求出答案.

18.2+V2

【分析】法一：采用特殊值探路，再证明结论即可：法二：利用三角换元，设

a=ccosa,b=csina,«G|0,-J.再设/=sina+cosa,求出，的范围，再将“于"转化为关于f的

abc

式子，最后根据函数单调性即可求出最值.

不妨设。=方=1,。=&代入《±£土《2A•可得

【详解】法一：由题意知/+/=c2,由“，力对称

abc

k<2+>/2，

下证：/+/+<?之2+6

abc

事实上因为(^3+6'>3b3c3=3+abcCD，当且仅当巫°=〃=/)等号成立，

2

fl--L(a2+/72)>2fl-^\abc②，

当且仅当。=。时等号成立，

①+②得。3+〃+。32(2+a)必C,即N2+G%,