四川省达州市2024-2025学年高二年级下册期末数学试题（含解析）

达州市2025年普通高中二年级春季学期教学质量监测

数学试题

（满分150分考试时间120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡

上，并检查条形码粘贴是否正确.

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字

笔书写在答题卡的对应题框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无

效.

3.考试结束以后，将答题卡收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.从6名学生中选出2名分别担任组长和副组长，则不同的选择方法数为（）

A.C：B.2ftC.A；D.62

【答案】C

【详解】根据题意可知选出2人并担任不同职务，因此相当于选出两人并按照顺序排列，

所以根据排列数的概念可得：不问的选择方法数为A：.

故选:C

2.已知事件A发生的概率事件44发生的概率P（A3）=L则P（同A）=（）

53

514

--aI-4X-

95

I515

【答案】A

1

S二华二尹》

【详解」由条件概率公式可得:

v17P⑷39

5

故选：A.

3.等差数列｛4｝中，%+%=12,a5=54,则数列｛4｝的前10项和为（）

A.55B.65C.110D.130

【答案】B

【详解】设数列的首项为q,公差为d,由%+%=12,%“8=54,

\a,+2d+a.+6r/=12fa=2

即/A八/〜，解得L,，所以见=〃+1,

[（q+4d）x（q+7d）=54[d=l

所以&o=10（4；"°）=5（2+]1）=65,故B正确.

故选:B.

4已知随机变量J服从正态分布4（4,。2）,若尸（2WJK4）=O.488,则尸（4工6）=（）

A.0.976B.0.024C.0.012D.0.988

【答案】I）

【详解】由题意可得随机变量4服从正态分布N（4,〃），且。（2WJW4）=O.488,

则户（4£6）=0.488,所以尸（J£6）=0.488+0.5=0.988,故D正确.

故选：【）.

5.已知甲组有3名男生2名女生，乙组有2名男生4名女生，如果随机选】个组，再从该组中随机选1名

学生，则该学生是男生的概率为（）

714510

A.—B.—C.—D.—

15151111

【答案】A

【详解】依题意，选甲组概率为4=g,选乙组概率为

3321

甲组里男生概率为6=春2=§,乙组里男生概率为己=彳=§

13117

所以该学生是男生的概率夕=68+月？=一'=+—><二=一.

3252315

故选：A.

6.某寝室安排3人打扫下一周5天的寝室卫生，每天只安排1人，每人至少打扫1天，则有多少种不同的

安排方法（）

A.120B.150C.240D.300

【答案】B

【详解】根据题意，分2步进行分析:

①将5天分成3组

C；c；c；

若分成1、1、3的三组，有A；=10种分组方法,

c2c2c'

若分成1、2、2的三组，有种分组方法，

则将5天分成3组，有10+15=25种分组方法；

②将分好的三组全排列，对应3人，有A：=6种情况；

所以不同的安排方式则有25x6=150种.

故选:B.

7.定义在R上的函数/(耳，且/⑴=3,对WxeR,2/(x)+.f(x)<0,则不等式以的解

e~e-'

集是()

A.(-oo,l)B.(l,+oo)C.(e,+cc)D.(^o,e)

【答案】B

【详解】VXER,2/(X)+/Z(X)<0,

构造尸(x)=f(力-e2A2,

所以/(/)=f(x)-e2x-2+/.(外2e2r-2=e2x-2(x)+2/(x)]<0,

所以「(%)在R上单调递减，且F(l)=/(l)e2x,-2=3,

不等式上单<W-可化为“力/-2<3,即尸")〈尸⑴，所以x>l,

e~e'

所以原不等式的解集为(1,+8).

故选：B.

1(11、33

8.设。,Z?=21nsin-+cos-,c=-ln-,则()

2I422

对于选项B：在回归分析中，店或大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故B错误;

对于选项C：将x=2代入»=-0.5x+0.6,则§，=-0.4,则残差1一(-0.4)=1.4,故C错误；

对干选项D：经验回归直线必过中心点，将％=2代入9=-0.5K+0.6则〃z=-0.4故D正确.

故选：AI).

10.已知(1-2x)9=4++-+为工9，则()

A.(「2x)9的展开式中含1项的二项式系数为144

B.(1-21)9的展开式中含一项的系数为144

C.(1-2犬)”的展开式的各二项式系数的和为29

n39-1

D.%+生+4+4+6=—^—

【答案】BCD

【详解】对于A,B：对于(1-20,其展开式的通项为&=C；pf(_2xy=(-2)'CK,那么含「项

的二项式系数为C；=36,含/项的系数为(-2)2(2；=144,故A错误，B正确.

对于C：根据二项式系数的性质，二项式展开式的各二项式系数的和为2”，那么(1-21)9的展开式的各二

项式系数的和为29，所以C正确.

对于D：令x=\可得/+卬+/++<^9=(1-2x1)=-],

令x=—\可得/-q+/一6+一一%=(1+2)9=3。,

39-1

两式相加可得%+生+4+。6+%=二^—，故D正确.

故选:BCD

11.已知各项均为正数的数列｛“满足：以及%。必=6,数列也｝满足

an=log2/?„,则()

A.b“=2”

B.数列｛q+d｝的前〃项和为“(；+°-2M+2

2〃+2

c.数列〈，的前〃项和为

（27）（4+「1）2向一1

1W11

D.若工,=I+-1+—•­1+-，则（<e

I4人b2）I"J

【答案】ACD

【详解】对A：片+1-%一。〃+1-=（a〃+i+a”）（卬+1-4）一（勺+1+4）

=（%+。“）（。〃+1-4,-1）二°，

由%>0,则々I一可一1=0，即。“+「4=1,

故数列｛。〃｝是以1为公差的等差数列，则的26=（%T）•4•（生+1）=。2（a；T）=6,

即〃：_6=（出-2乂d+出+3）=0,故。2=2,则4=1,

故%=,i=log乱,则"=2”,故A正确；

对B：an+bn=T+n,

则其前〃项和为2（1—2"）+（l+〃）•〃二（+〃）•〃

+2'川一2，改B错误;

1-222

2〃+22〃+2彳4

对。：（0_］）（〃3—1）一（2”-1）（2'川T）-2”-1-2〃+i-］，

2〃+2

则数列T.—V——E的前〃项和为：

4_____4______444

2^-22-1+22-1-23-1+

42'-3_8

=4-------：=—_：---,故C正确：

2〃+1_।2-1

对D：,令/（x）=ln（l+x）-x,%>0,

则广（司二£-1=|<0,故/（同在（0,小）上单调递减,

则/（r）</（（））=In1-0=0,即In（I+x）<x,

1

故In7；=In1+—+In1+5…/<H--------1-•••

bJIbbb\bb.

2)I>J2

i—

2

即有ln7；＜l,则7；ve,故D正确.

故选:ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.定义在区间［T3］上的函数/（力的导函数y=/'（力的图象如图所示，则函数，（到的极大值点为

【详解】极大值点在导函数/'（X）的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，

由导函数图象可知，这样的极大值点为1,

故答案为：1

（1A

13.已知&〜Bn,-,E©=5,〃=2彳+1,则。（〃）=.

\，J

40

【答案】—

3

【详解】因为所以£值）=5=9〃，所以"=15,所以0得）=15乂9弓=?

又;7=24+1,所以力⑺=4。@=:.

40

故答案为：y

14.已知。>0,函数/a)=e'(lM+x)-"n(4『),当x之;时，有两个零点，则〃的取值范围

是

【答案】

2

【详解】令e'(lM+x)-上（4"）_（）,即（ln6Z+x）=.vln（4x）,

由";，则ae,•In（优'）=2xln（2x）,

令g（x）=xlnx,xN；，则g（oe）=g（2x）,

I（1\

则g'（x）=lnx+lNln3+l=l-ln2>0,故g（x）在孑，+。上单调递增,

2\2；

-、1-…/x、1、2(1-x)

故〃=—^在工之孑时t有两解，令〃")=一2x；",x>-,则i,)

e2eze

当工£时，"(工)>0，当母)时，//(x)<0,

任(31)上单调递增，在(L+e)上单调递减，

则h

又n—,当xf—时，力(另.0,

故〃£

故答案为:

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤.

15.随着智能家居的迅速发展，扫地机器人已经成为许多家庭不可或缺的清洁助手.某扫地机器人公司在

2024年底发布的某款旗舰级扫地机器人产品从2025年1月开始销售.该公司统计了从1月份到5月份每个

月的销化:量H(万件)。=1,2,3.4,5)的数据如下表所示.

月份代码12345

销售量（万件）1.752.53.755.57.75

（1）根据表格数据判断模型丫=。+公2较为适宜作为月销售量y关于月份代码工的回归方程，求y关于x的

回归方程；

（2）随机调查了200名购买者对该款扫地机器人的认可程度，得到的部分数据见下表:

认可不认可

男性购买者7030

女性购买者6040

依据小概率值a=（）.1的独立性检验，分析购买者对该款扫地机器人的认可程度与性别是否有关联.

参考公式与数据：人=J-----——=R------------,4==55,»；=979,

方之片-〃蓝

1=11=1

£为,=78.75,24M=327.25,其中

f=l1=1

2n^ad-bcy

其中〃=4+b+c+d.

(a+/?)(c+d)(a+(?)(/?+")

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案]（1）$=1.5+O.25.d

（2）见解析

【小问1详解】

_1仁1]

令】=/,得y=c+力，可得x55=ll,

3；-iJ

—1

y=-(1.75+2.5+3.75+5.5+7.75)=4.25,

则/二三k’「5/了二327.25-5xllx4.2593.5八《

-------------：==0.25,

工/-5尸979-5xU2--374

：=>2=4.25-0.25x11=1.5,

所以)'关于/的回归方程为》=1.5+0.25/,

所以)'关于x的回归方程y=1.5+0.25一.

【小问2详解】

零假设Ho：市民对直播带货认可程度与年龄无关;

因为£_200(70x40—30x60)2200

=—«2.198<2.7()6,

100x100x130x7091

依据小概率值«=0.1的独立性检验,推断H。成立，

所以认为市民对直播带货认可程度与年龄无关联.

2

16.已知数列｛《,｝的前〃项和为s〃，s〃=匚2,等比数列也J满足：4=3,仇=81.

6

（1）求数列｛4｝和也｝的通项公式：

（2）求数列｛〃〃•4｝的前〃项和为

【答案】（1）2=3"

⑵（2〃-1）3』

4

【小问1详解】

当〃N2时，。=s_5小Ki-"]/

"〃""663

当〃=1时，工=上d=工=q,所以二二；

633

设血｝的公比为/则4=M=3d=8i,

解得9=3,A=3X3"T=3"：

【小问2详解】

由(1),a-b=—-3n=n-3n1,

3

7；=1x3°+2x3、3x3?++〃x3"”，

37；=1X3,+2X32+3X33+.^+A?X3\

两式相减得—27；=1+3]+3?+3^+.+3〃T—〃x3"

1一3"3"1

=—--nxy=—---nx3\

1-322

所以丁一h+L业=(2"I)3F.

〃4424

17.已知函数/(x)=2x3-3(t?-3)x2+18O¥+6.

(1)若a=0,求曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程;

(2)求函数/(x)的单调区间.

【答案】(1)12x+y-ll=0

见解析

【小问1详解】

当〃=0时，/(x)=2X3-9x2+6,

则r(x)=6f—18x,/(1)=-1,

所以切点坐标为,切线斜率为尸(1)二一12,

所以切线方程为)」(-1)=-12"-1),即12x+y-U=0.

【小问2详解】

由/'(x)=2x3-3(fl+3)x2+18or+6,可得：/z(x)=6x2-6(6/4-3)x+18fl=6(x-6z)(A-3).

令r(x)=(),解得：玉=4,X2=3.

当〃<3时，令/'（x）>。，得x>3或xva；令/'（x）<0,得〃<x<3,此时函数/（x）在（一0。）上

单调递增，在（氏3）上单调递减，在（3,48）上单调递增；

当〃=3时，r（A：）=6（x-3）2>（）,此时/（力在（YO,M）上单调递增；

当〃>3时，令/'（x）>0,得或x<3；令r（x）〈O,得3cx<a,此时函数/（五）在（一8,3）上

单调递增，在（3,。）上单调递减，在（。,依）上单调递增；

综上可得：当a<3时，函数）（力的单调递增区间为：（-8,〃）和（3,内），单调递减区间为：（4,3）；

当。=3时，函数/（x）的单调递揖区间为：（yq,伏）上单调递增，无单调递减区间；

当〃>3时，函数“X）的单调递考区间为：（-8,3）和（。,十8）,单调递减区间为：（3,〃）.

18.有1。道单项选择题，某生能正确解答其中6道题，不能正确解答的题目每道题能够猜对的概率为［

（1）若10道单项选择题全部做完，求该生答对的题目数4的分布列；

（2）若从10道单项选择题中随机抽出2道题进行做答，求该生答对的题目数"的均值和方差.

【答案】（1）分布列见解析

739

（2）均值为二，方差为急

5100

【小问1详解】

4的可能取值为6,7,8,9,1（）,

酷=6）小-*（2费，*=7）=*“_力/

心蜀=叱1（I-品急P（a）=4#（1-｛）号

尸（“蚌4品乩

题目数g的分布列如下：

g678910

81272731

P

25664?2864256

【小问2详解】

"的可能取值为0,1,2,

7=0,即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且没有正确解答,

故时=。)=患x(l0

joV4;

〃二1，即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且正确解答其中的1道,

或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题目，且这道睡目没能正确

解答,

故P("=l)=暮x9

jo20

〃二2,即抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，旦均正确解答，

或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题,

且这道题目正确解答，

或抽到的2道题均来自能正确解答的6道题目，

“小，、\戏CYC'C；1Cl19

故产(〃=2)=Vx-+-^_tx-+T=一，

“JC；°⑷C：°4C；o40

39197

所以该生答对的题目数〃的均值为()乂二+1'二+2、二=二,

4020405

2一”一

方差为X—4

I5)405)40100

19.函数/(x)=cosA-+gx2一〃，/(/)的导函数为r(x).

(1)求证：0,g时，/r(x)+ACOsx-x<0；

⑵对VxwR,/(x)NO恒成立，求〉的取值范围;

”I]

(3)求证：V<sin->n+---1.

；=i/2〃

【答案】(1)答案见详解

⑵(-00/

(3)答案见详解

【小问1详解】

/'(x)=-siri¥+x,f'(x)+ACOSx-x=-sinx+xcosx

要证明/'(X)+ACOSX-X<(),只需证明一sinx+xcosxvO.

当X£((),£时，cosX>0,

I2j

不等式一§皿戈+工。091〈0两边同时除以以与工得：-tanx+x<0,

令g(x)=-tanx+x,贝i]g'(x)=----^+1

cos-x

(\

当0,—时，g'(x)<0恒成立，

k27

二.g(x)在(0《)上是减函数.

・・・g(o)=(),

・•.当时，g(x)>0恒成立，

/4、

即xw0,—时，一tanx+xvO,

I2j

：.xe(I,?时，/Z(X)+ACOSX-X<0

【小问2详解】

/'(x)=-sinx+%,.1'(X)=-cosx+1,

令((力=(),得唯一解x=0,且〃0)=1-。

.•»=0是唯一临界点

VCOSX<1,>0,

・•・r（x）是增函数

.J(x)在x=0处取得极小值，

当X.±00时，/(%)—>+00

.•.*=0是最小值点

对VxeR,恒成立时，需/(O)=l-a>0

即〃<1

所以，。的取值范围是(—」].

【小问3详解】

当上=1时，/'(x)=_sinx+x,即=

/tiM7

।ri(\\]f\\

.Jsin-=Z--f-=\-if-

iuMJJ\tJ

"i"(iA

£isin二=〃一£if-I

i=lli