人教版九年级数学上册暑假预习课：切线长定理

暑假预习课人教版20252026学年度第一学期九上数学

第24章《圆》第9课时切线长定理

学校:姓名:班级:用时:

※知识点※

1.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条1.如图1一24-46—2,9，P4与。。相

叨线，它们的切线长相等，这一点和圆切，切点为A,也

心的连线平:分两条切线的夹角.

图1—24—46—1

几何语言：

VPA,PB是。。的切线，

,M=PB,NOM=NOPB.

(1)若NAPB=60。，04=1,则NAPO=

30。,PA=\[3；

(2)若NA03=12()。，则△场4是等边三

角形.

2.与三角形各边都相切的圆叫做三角形2.如图1一24—46—3,在△A8C中，ZABC

的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的」=40°,N4C8=70。，点。是△4/3C的内

心，是三角形三条角平分线的交点,心，则/BOC=125。.

它到三角形三边的距离相等.

※例题讲解※

知识点1:切线长定理的简单运用

【例1】如图，PA,PB,EF分别切。O于点A,B,C,PA=10cm,则△PEf'的周长为(C)

B.I5cm

C.20cm

D.25cm

知识点2：切线长定理的综合运用

【例2】(人教九上PI00例2改编汝」图，。。分别切△ABC的三条边A4,BC,CA于点D,E,F.若

AB=6,AC=5,BC=1,求A。，BE和。尸的长.

则A尸=4。=%，BE=I3D=AB-AD=6~x,

CE=CF=AC-AF=5-x.

•:BE+CE=BC,

.,.(6—x)+(5—A)=7.

解得x=2.

••・AQ=2,BE=4,CF=3.

知识点3：三角形的内心

【例3】如图，在RtZMBC中,ZC=90°.

（1）求作：Rt^ABC的内切圆。0（保留作图痕迹，无需写出作图过程）；

⑵NBOA=135。:

（3）若4c=3,8C=4,则RtZ\ABC的内切圆。。的半径为1；

（4）若角4,B,C的对边分别为。，4c，则其内切圆半径为一^二或妇二

——〃十力十，:一2

解：（1）如答图，。。即为所作.

长巩固练习弘

一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，户为O。外一点，PA,PB分别切。。于48两点，若P4=3,则P8的长为（）

【答案】B

2.如图，PA,PB分别与。0相切于点4B,ZP=7O°,C为a上一点（不与点A,B重合），贝I/AC8的度

数为（）

A.110°B.120°C.125°D.130°

【答案】C

3.如图，等腰△4BC的内切圆。0与48,BC,&4分别相切于点D,E,F,且48=4C=5,BC=6,则

DE的长是()

43/10「3/103/56/5

A--B--C—D—

【答案】D

【脩析】【分析】

本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点

的连线平分这个内角.也考查了等腰三角形的性质和勾股定理.

连接。小OE.OD、。氏。8交。EfH,利用切线的性质和切线长定理得到。力平分N84C,OELBC,

ODLAB,BE=BD,再根据等腰三角形的性质判断点A、。、E共线，BE=CE=3,利用勾投定理计算

出4E=4,则40=2,设。。的半径为r,则。0=OE=r,A0=4-r,利用勾股定理得到严+2?=

(4-r)2,解得丁二目，于是可计算出08=竽，然后证明。8垂直平分OE,利用面积法求出，E,从而得到

DE的长.

【解答】

解：连接。小。£、。0、0B,08交CE于H,如图，

•••等腰△ABC的内切圆。。与AB,BC,CA分别相切于点。,E,F,

二/。平分乙BAC,OE1BC,0DLAB,BE=BD,

-AB=AC,

:.AO1BC,

.•.点4、。、E共线，^AE1BC,

:.BE=CE=3,

在RtUBE中，AE=V52-32=4,

BD=BE=3,

:.AD=2,

设00的半径为r,则0D=0E=r,A0=4-r,

在At△40。中,r2+22=(4-r)2,解得r二|,

在股△BOE中，OB=J32+6尸=苧

本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键.

6.如图，PA,P8分别与O。相切于点4B,C为。。上一点，LACB=110°,则NP的度数为（）

,连）

A.30°B.40°C.55°D.60°

【答案】B

7.如图，△力8C中，内切圆/和边BC、AC.48分别相切于点D、E、F,若NB=65。，A

“=75。，则4EDF的度数是（）

C.55°BDC

D.70°

【答案】。

【解析】解：连接/、IF,如图，为

•・呐切圆/和边AC、4B分别相切于点E、F,

IFLAB,

:.LAE1=/-AFI=90°,/V\*AR

•••LA=180°-乙E1F,/VW\

BDC

•••4EDF=g乙EIF,

AZ.EDF=90°-1z/l,

VLB=65。，LC=75°,

:•乙A=180°-ZF-zC=180°-65°-75°=40°,

:.£EDF=90°-1X40°=70°.

故选：D.

连接/E、IF,如图，根据切线的性质得到乙4E/=乙4巾=90。,利用四边形的内角和得到乙4=180。-

乙EIF,再利用圆周先定理得到乙£。尸=90。一2^1,然后根据三角形内角和求出从而可计算出

Z-EDF.

本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆；三角形的内心与三角形

顶点的连线平分这个内角，也考查了切线的性质.

8.如图，PA,P8分别与。。相切于A,8两点,点C为。。上一点，连接4C,BC,若4P=70。，则41cB

的度数为（）

pc

A.5(rB.55，C.6(rD.65A

【答案】B

【解析】解：连接。小0B,则

又由PA、P8分别与。。相切于小B两点,

得到乙R4。=乙PBO=90°,

所以N/OB=180°一乙P=180°-70°=110°,

从而得到Z4C8=1x110°=55%

因此本题选反

二、填空题：

9.如图，PA,P8与。。相切于点4,B,PA=10,CD与。。相切于点E,交P4PB于C,D两点，则4

PCD的周长是.

【答案】20

10.如图，直尺、三角尺都和。。相切，切点分别为8,E.若AB=8cm,则。。的半径为cm.

B

【答案】8/3

11.如图，在△48C中，=60°,BC=8,。为BC的中点，。。分别与48,4C相切于。，E两点,则。

。的半径长为.

【答案】2/3

【解析】【分析】

本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，证明A/IBC是等边三角形是解题的关键.

连接O£,OD,由HL证明Rt/kOCE咨得出=再结合乙A=60。证明△4BC是等边三角形,

得出N8=NC=60。，最后根据与股定理求解即可.

【解答】

解：如图，连接OE,00,

•••0。分别与AC相切于0,E两点,

GELAC,0D1AB.

•••0为Z?C的中点，BC=8,

:.GB=0C=4.

在而ZkOBO与RtZiOCE中，

(0D=0E

(0B=0C'

•••RtAOBD/RtAOCE(HL),

:.乙B=ZC,

又•.乙4=60°,

.•・△48C是等边三角形，

:.Z.A=Z.B=Z.C=60°,

在RtAODB中，LB=60°,0B=4,

CD=2y[3,

即0。的半径长为2C，

故答案为：2g

12.如图，力是0。夕|、一点，/B,/1C分别与0。相切于点8,C,点。在80。上.已知，4=50。，则，。的度数

【答案】65°

13.如图，己知△48C的内切圆。0与边8c相切于点。，连接。8,OD.^^ABC=40°,则乙BOD的度数

为°.

【答案】70

14.如图，PA,PB分别与。。相切于乂，B,ZP=70°,。为。0上一点，则乙4cB的度数为

【答案】125。

15.如图，AB,4C与。。相切于点8,C.若上A=50。，P是圆上不与点B,C重合的动点，则28PC的度数

【答案】65。或115。

【解析】解：分别连接。、C：。、B；B、Pi；B、P2；C、Pi；C、P2各点

AR

(1)当48PC为锐角，也就是乙ARC时：

"AB,AC与。。相切于点氏C两点

GC1AC,OB1AR,

vLA=50°,

.•.在△48C中，Z.COB=130°,

•.•在。。中，为圆周角，

zFPjC=65°,

(2)如果当4BPC为钝角，也就是/BP2c时

•••匹边形BPiCP2为O。的内接四边形，

•:乙BP、C=65°,

Z.BP2C=115°

故答案为:65。或115。.

此题分为两种情况，如图p点的位置有两个，所以N8PC可能是锐角，也有可能是钝角，分别连接0、C；

。、B；B、P1；B、P2;C、Pj；C、P2各点

(1)当心BPC为锐角，也就是48匕。时，根据AB,4?与。。相切，结合已知条件，在△四。中，即可得出圆

心角NC0B的度数，根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，即可得出NBPiC的度数

(2)如果当/BPC为钝角，也就是/BP2c时，根据O0的内接四边形的性质，即可得8P2c的度数.

本题考查圆的切线性质，在解题过程中还要注意对圆的内接四边形、圆周角、圆心角的有关性质的综合应

用

16.如图，0。的半径为2,PA,分别与00相切于点4,B,zC=60°,贝UP4的长为.

【答案】2/3

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.如图，A/BC的内切圆。。与三边分别相切于D,E,F三点，AB=7,BC=12,CA=11,求力户,

BD,CE的长.

【答案】设=的内切圆。0与三边分别相切于0,E,尸三点，AB=7,BC=12,CA=

11,AE=AF=x,BF=BD=AB-AF=7-x,CE=CD=AC-AE=11-%,vBD+CD=BC,:.

7-x+ll-x=12,解得％=3..•.力尸=3,BD=7—x=4,CE=ll-x=8

18.（教材P102习题11变式1）如图，AB,BC,CD分别与◎。相切于E,F,G三点，，KAB//CD,BO=

6,CO=8,求W。的半径.

DGC

【答案】解：如图，-AB.BC、CD分别与。。相切于E、F、G,AB//CD

由BE=8F,0E=OF,OB=OB,可得△OEB/AOFB,

AZ1=Z.2,同理43=44,OFIBC,

z2+z3=90。，

又••BO=6,CO=8,

:.BC=10,

由面积公式得：

11

xOF=OBxOC

24

・・。尸=亏

则0。的半径为苦.

19.如图，的内切圆。。与BC,CA,48分别相切于点D,E,F,且AB=18cm,3c=28cm,

CA=26cm,求力心BD,CE的长.

【答案】21F的长为8cm,的长为10cn,CE的长为18cm

20.如图24.2—17,△48C的内切圆O。与BC,CA,4B分别相切于点。,E,F,且4B=9,BC=14,

。4=13.求力凡BD,CE的长.

图24.2-17

【答案】解：设力尸二x,则

AE=x,

CD=CE=AC-AE=13-X,

BD=BF=AB-AF=^-x.

由BD+CD=BC,可得

(13-x)4-(9-x)=14.

解得

x=4.

因此

AF=4tBD=5,CE=9.

21.如图，。。与四边形48CD的各边分别相切于点E,F,G,H.

(1)若力8=AD=C，48=40=90°,/.BAD=60°,求。。的半径长；

(2)若4氏CO的长是关于%的方程%2-3%+病=0(mH0)的两个实数根，且四边形ABCD的面积为，W，

求0。的半径长.

【答案】(1)解：连接AC,则易证R/Z\ABCgR/Z\4OC,

^CAD=Z.CAB=30°,

J.CB=CD=—AB=1,S四边形/8CD=2Sg)48c=

设0O的半径为r,则3(力8+BC+CD+AD)r=<3.

3一口

・•.r=-：

(另解：连接Of,OF,则四边形OEB/是正方形，设。。的半径为八则OE=BE=r,AE=yf3-rt

-WAE=^Z.BAD=30°,

•-AE=y/~3OE,

'>>[3-r=y[3r,

3-、

♦・.T=；)

(2)接：•••A4,CO的长是原方程的两个实数根,

••.AB+C£>=3,由切线长定理易证：

8C+4O=AB+CO=3,

•••匹边形A8C。的周长为6,

・•.GO的半径长为空二¥.

63

22.如图，。。的直径AB=12cm,/1M和BN是它的两条切线，DE与。0相切于点E,并与4M,8N分别相

交于。，C两点.

(【)若乙10。=122。，求乙BCD的度数：

(II)设4。=x,BC=y,求y关于％的函数解析式.

【答案】解：(/)・.乂。与8。都是。。的切线，

/.OAD=Z.OBC=90。，

:.£OAD+乙OBC=180°,

:.AD//BC,

•••乙BCD+Z-ADC=180°,

乙BCD=58°：

(〃)过点Q作。尸1BC于点F,可知48=DF=12,

•••AM和BN是。。的两条切线，0E与。。相切于点E,

AD=DE=x,BC=CE=

CD=DE+CE=x+yt

；.CF=BC-BF=y—x,

在At△DFC中，

由勾股定理可知：DFfFCZ=CD"

即122+(y-x)2=(x+y)2,

.・.化简可得：y二g.

JX

【解析】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，勾股定理笔知识，属于中等题型.

(/)由于/。与8C都是。0的切线，易证力。〃"，所以Z40C+28co=180。，从而可求出4BC。的度数;

(〃:I过点。作OF1BC于点F,可知｛8=DF=12,由切线长定理以及勾股定理即可求出％与y之间的关系

式.

23.如图，在四边形力BCD中，AD//BC,41=90。，。。与边ZB,BC,CD,ZM分别相切于点f,F,

G,H.

(1)求证：AE=BE.

(2)若48=4,AD=5,求CO的长.

【答案】(1)证明：连接OE,OF,OH,证得正方形OE4”和正方形OE8F,

•.AE=BE.

(2)解：作CML4。于点M,可证H,O,"三点共线，

匹边形CM”广为矩形.

DH=AD~AH=5~2=3=DG,AB=CM=4,

设HM=C/=CG=x,则0M=3一-在△£)•中，(3—幻2+42=(3+工)

4

AX=

o

：.CD=3+g4=孩13.

24.已知匕MPN的两边分别与。。相切于点4B,。。的半径为r.

(1)如图①，点。在点力，B之间的优弧上，^MPN=80%求乙4cB的度数；

(2)如图②，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形月P8C为菱形，乙AP8的度数应为多少？请说明理

由.

【答案】解：(1)如图1，连接。力，0B,

M

图1

VPA,PB为oo的切线，

:./.PAO=Z.PBO=90°,

•••Z.APB+Z.PAO+乙PBO+〃OB=360°,

/APB+LAOB=180°,

vZ.APB=80°,

:.Z.AOB=100°,

£ACB=50°；

(2)如图2,当乙4PB=60。时，四边形4P8C是菱形,

连接。4,OB,

由(1)可知，Z,AOB+Z.APB=180°,

•••Z.APB=60",

Z.AOB=120°,

A/.ACB=60°=^LAPBt

•••点C运动到PC距离最大，

•••尸。经过圆心，

-PA,P8为。0的切线，

:.PA=PB,Z,APC=乙BPC=30°,

X-.PC=PC,

.••△4PCgZk8PC(S4S),

A£ACP=Z-BCP=30°,AC=BC,

•••乙APC=乙4cp=30°,

:.AP=AC,

AP=AC=PB=BC,

•••匹边形4PBe是菱形.

【解析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，菱形的判定等知识，灵活

运用这些性质解决问题是本题的关键.

⑴连接04,OB,由切线的性质可求/夕力。=乙尸8。=90。，由四边形内角和可求解；

⑵当〃PB=60。时，四边形4PBC是菱形，连接。40B,由切线长定理可得PA=PB,乙APC=4BPC=

30%由“SAT可证△力PC也ZiBPC,可得乙4cp=4BCP=30。，AC=BC,可证AP=AC=P8=8C,

可得四边形4PBe是菱形.

25.【教材母题】如图，AB,BC,CD分别与。0相切于E,F,G三点，SLAB//CD.

(1)求证：OB1OC；

(2)若BO=6,CO=8,求O。的半径.

【答案】(1)证明：连接OE,OF,OG.

则。E1A8,OF1BC,OGLCD,

•••8。平分乙48C,C。平分48CO.

•:ABHCD,.•.〃4C+N4C£>=180°,

.•.乙OBC+40cB=90°,:ZBOC=90",•・O/LLOC；

(2)解：BC=yjOB2+0C2=V62+82=10,

'：OBOC=BCOF,

6x8

'.OnFc="IF=48

•••CO的半径为4.8.

26.如图，在△力8c中，乙4cB是直角，内切圆。/与4C,BC分别相切于点E,D.

小

CDB

(1)试判断四边形CD/E的形状，并说明理由；

(2)若此直角三角形两条直角边的长分别为9和40,求线段。的长.

【答案】(1)四边形CQ/E是正方形理由：为△A4C的内切圆，.•.应LAC,1DLBC.又•••乙4cB是直

角，.•zACB=4/EC=4/Z)C=90°..••四边形CO/E是矩形.又\化=//),，四边形。川£：是正方形.

(2)连接A/,BI.由题意，得=J402+92=41..•5叼叱=(力。•=S4G+S^c/+S^B/，易得点/

413

到△48C三边的距离相等，.gx40x9=Jx(40+9+41)・/。.二/。=4.由(I),得C/)=//)=4.

在对△CQ/中，CI=y/CD2+ID2=4x<2

27.如图，。。是△GDP的内切圆，切点分别为4B,H,EF与。。相切于点C,分别交P4PB于点E,

F.

(1)若尸的周长为12,求线段PA的长；

(2)若乙G=90。，GD=3,GP=4,求。。的半径.

【答案】(1六。。是△GOP的内切圆，切点分别为A,B,",.•.PA=P4.•••£：〃与。。相切于点C,.•/％=

EC,FB=FC.12,：.PE+EC+PF+FC=\2..-.PE+EA+PF+ra=12,即PA+PB=

12.：.PA=6

(2)如图，连接06、0〃.设。0的半径为r.•.zG=90°,GD=3,GP=4,：.DP=GD2+GP2=

V324-42=5.PA+QA=5.•••◎O是△(；/»的内切圆，切点分别为4,B,H,：,OHLDG,O&LPG,

PA=PB,OA=。，..•20BG=20HG=Z_G=90°..•・四边形OE